Phương trình v = u + at: Gia tốc không đổi trong Vật lý HSC

Một chiếc ô tô đang chuyển động với vận tốc \(12\ \text{m s}^{-1}\). Ba giây sau, nó chuyển động với vận tốc \(21\ \text{m s}^{-1}\). Bạn có thể xem đây là hai phép đo vận tốc không liên quan đến nhau. Nhưng nếu gia tốc giữ không đổi trong khoảng thời gian đó, bạn có thể dự đoán mọi vận tốc ở giữa chỉ bằng một phương trình ngắn:

\[
v = u + at
\]

Trước khi quan tâm đến các chữ cái, hãy thử dự đoán. Nếu vận tốc của ô tô tăng thêm \(3\ \text{m s}^{-1}\) mỗi giây, điều gì sẽ xảy ra sau 3 giây?

Vận tốc của nó phải tăng thêm \(9\ \text{m s}^{-1}\). Bắt đầu từ \(12\ \text{m s}^{-1}\), ta được \(21\ \text{m s}^{-1}\).

Đó là tất cả những gì \(v = u + at\) đang thể hiện. Phương trình theo dõi vận tốc ban đầu, rồi cộng thêm độ biến thiên vận tốc do một gia tốc không đổi tạo ra.

01Bắt đầu từ độ biến thiên vận tốc

Gia tốc cho biết vận tốc thay đổi nhanh đến mức nào.

Nếu một vật có gia tốc \(2\ \text{m s}^{-2}\), vận tốc của nó thay đổi \(2\ \text{m s}^{-1}\) mỗi giây.

Vì vậy, nếu nó bắt đầu với vận tốc \(5\ \text{m s}^{-1}\):

Quy luật là:

\[
\text{vận tốc mới} = \text{vận tốc ban đầu} + \text{độ biến thiên vận tốc}
\]

Với gia tốc không đổi, độ biến thiên vận tốc là:

\[
\Delta v = at
\]

trong đó:

• \(\Delta v\) là độ biến thiên vận tốc, đo bằng \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) là gia tốc không đổi, đo bằng \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) là thời gian đã trôi qua, đo bằng giây

Nếu vận tốc ban đầu là \(u\) và vận tốc cuối là \(v\), thì:

\[
v = u + at
\]

Ở đây:

• \(u\) là vận tốc ban đầu, tính bằng \(\text{m s}^{-1}\)
• \(v\) là vận tốc cuối, tính bằng \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) là gia tốc không đổi, tính bằng \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) là thời gian đã trôi qua, tính bằng giây

Các chữ cái ít quan trọng hơn cấu trúc:

\[
\boxed{\text{vận tốc cuối} = \text{vận tốc ban đầu} + \text{độ biến thiên vận tốc}}
\]

02Tại sao \(at\) lại cho độ biến thiên vận tốc?

Các đơn vị sẽ cho bạn câu trả lời.

Gia tốc có đơn vị \(\text{m s}^{-2}\). Nhân với thời gian ta được:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

Vì vậy, \(at\) có đơn vị của vận tốc.

Ví dụ, một gia tốc \(4\ \text{m s}^{-2}\) tác dụng trong \(2.5\ \text{s}\) tạo ra:

\[
\Delta v = at = (4)(2.5) = 10\ \text{m s}^{-1}
\]

Điều đó không có nghĩa là vận tốc cuối tự động bằng \(10\ \text{m s}^{-1}\). Nó có nghĩa là vận tốc đã thay đổi một lượng \(10\ \text{m s}^{-1}\).

Nếu vật bắt đầu với vận tốc \(6\ \text{m s}^{-1}\), vận tốc cuối của nó là \(16\ \text{m s}^{-1}\).

Nếu nó bắt đầu với vận tốc \(-8\ \text{m s}^{-1}\), vận tốc cuối của nó là \(2\ \text{m s}^{-1}\).

Sự khác biệt giữa vận tốc và độ biến thiên vận tốc là một trong những điểm chính khiến học sinh dễ mất dấu ý nghĩa thực sự của phương trình.

03Phương trình bắt nguồn từ đâu?

Gia tốc trung bình trong một khoảng thời gian được định nghĩa là:

\[
a = \frac{v-u}{t}
\]

Nếu gia tốc không đổi, cùng một giá trị \(a\) đó áp dụng trong suốt khoảng thời gian.

Nhân cả hai vế với \(t\):

\[
at = v-u
\]

Sau đó cộng \(u\) vào cả hai vế:

\[
v = u+at
\]

Vì vậy, \(v=u+at\) không phải là một quy tắc riêng biệt cần học thuộc mà không hiểu ý nghĩa. Nó chính là định nghĩa của gia tốc không đổi được biến đổi lại.

Điều này cũng cho bạn biết giới hạn của phương trình: bạn chỉ có thể sử dụng trực tiếp phương trình này khi gia tốc không đổi trong khoảng thời gian đang xét.

Nếu gia tốc thay đổi theo thời gian, tích đơn giản \(at\) không còn nhất thiết cho độ biến thiên vận tốc. Trong trường hợp đó, bạn cần xét diện tích dưới đồ thị gia tốc-thời gian. Nội dung này được phát triển thêm trong hướng dẫn của tutorgum về đồ thị gia tốc-thời gian.

04Quyết định quan trọng nhất khi thiết lập bài toán: chọn chiều dương

Giả sử một người đi xe đạp đang di chuyển về phía đông và chậm dần.

Một lỗi thường gặp là nói:

“Nó đang chậm lại, nên vận tốc của nó phải âm.”

Không nhất thiết.

Dấu của vận tốc cho bạn biết hướng chuyển động. Nó không cho biết vật đang nhanh dần hay chậm dần.

Bạn phải chọn hướng nào là hướng dương trước khi tính toán.

Ví dụ, chọn hướng đông là hướng dương. Khi đó, người đi xe đạp chuyển động về phía đông có vận tốc dương. Nếu người đó đang chậm dần nhưng vẫn chuyển động về phía đông, gia tốc hướng về phía tây, nên gia tốc là âm.

Bạn có thể có:

\[
u = +14\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

Sau \(3.0\ \text{s}\):

\[
v = 14 + (-2.0)(3.0) = 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Vận tốc cuối dương cho biết người đi xe đạp vẫn đang chuyển động về phía đông. Độ lớn nhỏ hơn cho biết người đó đã chậm lại.

Nếu bạn chưa quen với vận tốc có dấu, trước tiên nên nắm chắc sự khác biệt giữa tốc độ và vận tốc. Xem Tốc độ và vận tốc: Giải thích rõ ràng cho Vật lý HSC.

05Một quy trình thiết lập đáng tin cậy

Khi gặp một câu hỏi về gia tốc không đổi có liên quan đến vận tốc ban đầu, vận tốc cuối, gia tốc và thời gian, hãy làm theo trình tự này.

1. Chọn một chiều dương.
2. Viết các đại lượng đã biết kèm dấu và đơn vị.
3. Xác định đại lượng chưa biết.
4. Dùng \(v=u+at\), hoặc biến đổi phương trình nếu cần.
5. Chỉ thay số sau khi đã sắp xếp phương trình đúng dạng.
6. Giải thích ý nghĩa vật lý của dấu trong đáp án.

Bước cuối không chỉ để trình bày đẹp hơn. Trong các bài toán về vận tốc, dấu có thể cho biết vật đã đổi hướng hay chưa.

06Gia tốc âm không phải lúc nào cũng có nghĩa là chậm dần

Hãy tưởng tượng hai người đang đi bộ về phía nhau trong một hành lang. Bạn chọn hướng sang phải là chiều dương.

Một người đang đi sang phải, nên vận tốc của họ là dương. Người còn lại đang đi sang trái, nên vận tốc của họ là âm. Chỉ từ các dấu đó, bạn không thể biết ai đang nhanh dần.

Gia tốc cũng hoạt động theo cách tương tự.

Một vật nhanh dần khi gia tốc hướng cùng chiều với vận tốc.

Nó chậm dần khi gia tốc hướng ngược chiều với vận tốc.

Vì vậy, cả bốn trường hợp kết hợp đều có thể xảy ra:

Hàng thứ ba thường có vẻ lạ. Nếu cả vận tốc và gia tốc đều âm, vật đang chuyển động theo chiều âm và tiếp tục gia tốc theo chính chiều đó. Vận tốc của nó có thể thay đổi từ \(-3\ \text{m s}^{-1}\) thành \(-7\ \text{m s}^{-1}\). Con số trở nên “âm hơn”, nhưng tốc độ lại tăng từ \(3\ \text{m s}^{-1}\) lên \(7\ \text{m s}^{-1}\).

Dấu trừ nói về hướng, không phải điều gì đó “xấu”.

07Biến đổi \(v=u+at\)

Bạn không phải lúc nào cũng được yêu cầu tìm \(v\).

Cùng một phương trình có thể dùng để tìm bất kỳ đại lượng nào trong bốn đại lượng nếu biết ba đại lượng còn lại.

Bắt đầu với:

\[
v=u+at
\]

bạn có thể suy ra:

\[
u=v-at
\]

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

và:

\[
t=\frac{v-u}{a}
\]

Đừng cố học thuộc bốn phương trình riêng biệt. Hãy bắt đầu từ \(v=u+at\) rồi biến đổi.

Dạng cuối còn chứa một cách kiểm tra ý nghĩa vật lý hữu ích:

\[
t=\frac{\text{độ biến thiên vận tốc}}{\text{độ biến thiên vận tốc mỗi giây}}
\]

Đó chính xác là điều bạn mong đợi về ý nghĩa của thời gian.

08Cái bẫy ẩn trong cụm từ “dừng lại”

Giả sử một câu hỏi nói rằng một vật “dừng lại”.

Điều đó cho bạn:

\[
v=0
\]

Nó không tự động có nghĩa là:

\[
a=0
\]

Một vật có thể có vận tốc bằng không tại một thời điểm nhưng vẫn đang có gia tốc.

Một quả bóng được ném thẳng đứng lên trên là ví dụ tiêu chuẩn. Ở đỉnh quỹ đạo, vận tốc thẳng đứng của nó bằng không trong một khoảnh khắc, nhưng gia tốc do trọng lực vẫn hướng xuống dưới.

Tương tự, xe đẩy trong ví dụ trước có \(v=0\) sau \(2.5\ \text{s}\), nhưng gia tốc của nó vẫn là \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\).

Vận tốc mô tả chuyển động tại một thời điểm. Gia tốc mô tả vận tốc đang thay đổi như thế nào tại thời điểm đó. Chúng là hai đại lượng khác nhau.

09Khi nào không nên dùng \(v=u+at\)

Phương trình giả định gia tốc không đổi.

Xét một ô tô có gia tốc:

• \(1\ \text{m s}^{-2}\) trong giây thứ nhất,
• \(4\ \text{m s}^{-2}\) trong giây thứ hai,
• \(0\ \text{m s}^{-2}\) trong giây thứ ba.

Không có một giá trị \(a\) không đổi duy nhất nào mô tả toàn bộ khoảng thời gian ba giây.

Vì vậy, sẽ là sai nếu chọn một trong các giá tốc đó và viết:

\[
v=u+at
\]

cho toàn bộ khoảng thời gian.

Bạn có thể dùng phương trình riêng cho từng khoảng mà gia tốc không đổi không? Có. Bạn có thể tính độ biến thiên vận tốc từng đoạn một.

Một cách khác là độ biến thiên vận tốc tổng cộng bằng diện tích dưới đồ thị gia tốc-thời gian.

Điều này cho thấy một ý nghĩa sâu hơn của \(v=u+at\). Trên đồ thị gia tốc-thời gian với gia tốc không đổi, đồ thị là một đường nằm ngang. Diện tích bên dưới là một hình chữ nhật:

\[
\text{diện tích}=a\times t
\]

và diện tích đó là:

\[
\Delta v=at
\]

Vì vậy, phương trình thực chất là một trường hợp đặc biệt của một ý tưởng rộng hơn về sự tích lũy.

10Câu hỏi và lời giải

Câu hỏi 1

Một người trượt ván đang chuyển động về phía đông với vận tốc \(4.0\ \text{m s}^{-1}\). Cô ấy tăng tốc đều về phía đông với gia tốc \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) trong \(6.0\ \text{s}\). Hãy tìm vận tốc cuối của cô ấy.

Lời giải 1

Vận tốc cuối của người trượt ván là \(\boxed{13\ \text{m s}^{-1}\text{ về phía đông}}\).

Chọn hướng đông là chiều dương:

\[
u=+4.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=+1.5\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=6.0\ \text{s}
\]

Sử dụng:

\[
v=u+at
\]

ta được:

\[
v=4.0+(1.5)(6.0)
=4.0+9.0
=13\ \text{m s}^{-1}
\]

Dấu dương có nghĩa là người trượt ván đang chuyển động về phía đông. Vận tốc của cô ấy tăng thêm \(9.0\ \text{m s}^{-1}\) trong sáu giây.

Câu hỏi 2

Một robot chuyển động dọc theo một đường ray thẳng với vận tốc \(11\ \text{m s}^{-1}\) sang phải. Nó chịu một gia tốc không đổi \(2.5\ \text{m s}^{-2}\) hướng sang trái.

Robot mất bao lâu để dừng lại trong một khoảnh khắc?

Lời giải 2

Robot dừng lại sau \(\boxed{4.4\ \text{s}}\).

Chọn hướng sang phải là chiều dương. Khi đó:

\[
u=+11\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.5\ \text{m s}^{-2}
\]

“Dừng lại” có nghĩa là vận tốc cuối tại thời điểm đó là:

\[
v=0
\]

Sử dụng:

\[
v=u+at
\]

ta có:

\[
0=11+(-2.5)t
\]

\[
2.5t=11
\]

\[
t=\frac{11}{2.5}=4.4\ \text{s}
\]

Điểm quan trọng là gia tốc của robot không bằng không khi nó dừng lại. Vận tốc của nó bằng không trong một khoảnh khắc, nhưng gia tốc hướng sang trái vẫn còn, vì vậy sau đó nó sẽ bắt đầu chuyển động sang trái nếu gia tốc tiếp tục tác dụng.

Câu hỏi 3

Một vật có vận tốc ban đầu \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\) và gia tốc không đổi \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\).

Một học sinh nói: “Gia tốc âm có nghĩa là vật chắc chắn đang chậm dần.”

Hãy xác định vận tốc của vật sau \(2.0\ \text{s}\), và đánh giá nhận định của học sinh.

Lời giải 3

Vận tốc cuối là \(\boxed{-13\ \text{m s}^{-1}}\), và học sinh đã sai vì vật đang nhanh dần.

Sử dụng:

\[
v=u+at
\]

ta được:

\[
v=-7.0+(-3.0)(2.0)
\]

\[
v=-7.0-6.0=-13\ \text{m s}^{-1}
\]

Tốc độ ban đầu là \(7.0\ \text{m s}^{-1}\). Tốc độ cuối là \(13\ \text{m s}^{-1}\).

Cả vận tốc và gia tốc đều âm, nên chúng cùng hướng. Vì vậy, gia tốc làm tăng độ lớn của vận tốc.

Quan niệm sai dễ mắc phải là đọc gia tốc âm như thể nó đồng nghĩa với “giảm tốc”. Dấu âm chỉ xác định hướng so với hệ tọa độ đã chọn.

Câu hỏi 4

Một xe đẩy chuyển động sang phải với vận tốc \(8.0\ \text{m s}^{-1}\). Một gia tốc không đổi tác dụng sang trái. Sau \(3.0\ \text{s}\), xe đang chuyển động sang trái với vận tốc \(1.0\ \text{m s}^{-1}\).

Hãy tìm gia tốc của xe. Sau đó xác định thời điểm, trong khoảng \(3.0\ \text{s}\), mà xe đổi hướng.

Lời giải 4

Gia tốc của xe là \(\boxed{-3.0\ \text{m s}^{-2}}\), và xe đổi hướng sau khoảng \(\boxed{2.7\ \text{s}}\).

Chọn hướng sang phải là chiều dương:

\[
u=+8.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad v=-1.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad t=3.0\ \text{s}
\]

Trước tiên, tìm gia tốc:

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

\[
a=\frac{-1.0-8.0}{3.0}
=\frac{-9.0}{3.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

Dấu âm có nghĩa là gia tốc hướng sang trái.

Để tìm thời điểm xe đổi hướng, lưu ý rằng trước tiên vận tốc của nó phải đi qua giá trị bằng không. Đặt \(v=0\):

\[
0=8.0+(-3.0)t
\]

\[
3.0t=8.0
\]

\[
t=\frac{8.0}{3.0}=2.67\ \text{s}
\]

Vì vậy, xe dừng lại trong một khoảnh khắc vào khoảng:

\[
\boxed{2.7\ \text{s}}
\]

Sau đó, nó dành \(0.33\ \text{s}\) còn lại để chuyển động sang trái.

Điểm ẩn ở đây là vận tốc cuối âm cho bạn biết nhiều hơn việc “vật đã chậm lại”. Nó chứng minh rằng vật đã đi qua \(v=0\) và đổi hướng, với điều kiện vận tốc thay đổi liên tục.

Câu hỏi 5

Hai xe đẩy giống hệt nhau bắt đầu với cùng vận tốc \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) sang phải.

Xe A có gia tốc không đổi \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) trong \(4.0\ \text{s}\).

Xe B có gia tốc \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\) trong \(2.0\ \text{s}\) đầu tiên, sau đó là \(-1.0\ \text{m s}^{-2}\) trong \(2.0\ \text{s}\) tiếp theo.

Một học sinh áp dụng \(v=u+at\) cho cả hai xe với \(t=4.0\ \text{s}\). Hãy giải thích tại sao cách làm đó áp dụng trực tiếp được cho xe A nhưng không áp dụng trực tiếp được cho xe B. Sau đó tính vận tốc cuối của mỗi xe.

Lời giải 5

Xe A kết thúc với vận tốc \(\boxed{14\ \text{m s}^{-1}}\), trong khi xe B kết thúc với vận tốc \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\). Chỉ cần sử dụng \(v=u+at\) một lần là áp dụng trực tiếp được cho xe A vì gia tốc của nó không đổi trong toàn bộ \(4.0\ \text{s}\), nhưng gia tốc của xe B thay đổi.

Đối với xe A:

\[
u=6.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=2.0\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=4.0\ \text{s}
\]

nên:

\[
v=u+at
\]

\[
v=6.0+(2.0)(4.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

Đối với xe B, hãy tính riêng từng khoảng có gia tốc không đổi.

Trong \(2.0\ \text{s}\) đầu tiên:

\[
v_1=6.0+(4.0)(2.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

Giá trị đó trở thành vận tốc ban đầu cho khoảng thứ hai.

Trong \(2.0\ \text{s}\) tiếp theo:

\[
v_2=14+(-1.0)(2.0)
=12\ \text{m s}^{-1}
\]

Do đó:

\[
\boxed{v_A=14\ \text{m s}^{-1}}, \qquad
\boxed{v_B=12\ \text{m s}^{-1}}
\]

Cái bẫy là coi gia tốc như thể nó luôn là một con số cố định mỗi khi trong phương trình có ký hiệu \(a\). Phương trình \(v=u+at\) giả định rằng giá trị \(a\) được chọn giữ không đổi trong suốt khoảng thời gian.

Đối với xe B, hai giai đoạn gia tốc tạo ra các độ biến thiên vận tốc:

\[
\Delta v_1=(4.0)(2.0)=8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

và:

\[
\Delta v_2=(-1.0)(2.0)=-2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

tạo ra độ biến thiên vận tốc tổng cộng:

\[
\Delta v=8.0-2.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Cách lập luận tương tự dẫn một cách tự nhiên đến đồ thị gia tốc-thời gian, trong đó độ biến thiên vận tốc được xác định từ tổng diện tích có dấu dưới đồ thị thay vì từ một hình chữ nhật duy nhất \(at\).