Vận tốc góc trong Vật lý HSC: Từ chuyển động quay đến tốc độ tuyến tính

Một điểm ở mép của một bánh xe đang quay chuyển động nhanh hơn nhiều so với một điểm gần trục. Tuy nhiên, cả hai điểm đều hoàn thành mỗi vòng quay trong đúng cùng một khoảng thời gian. Vậy chúng có đang chuyển động với cùng một tốc độ hay không?

Trước khi đọc tiếp, hãy dự đoán điều này: một bánh răng lớn và một dấu nhỏ gần tâm của nó đều thuộc cùng một đĩa cứng. Sau \(0.50\text{ s}\), đĩa quay được \(90^\circ\). Dấu nào có vận tốc góc lớn hơn?

Chúng có cùng vận tốc góc. Chúng quay qua cùng một góc trong cùng một khoảng thời gian. Dấu ở phía ngoài đi được quãng đường lớn hơn, nên nó có tốc độ tuyến tính lớn hơn.

Sự khác biệt đó – cùng độ quay nhưng quãng đường đi được khác nhau – chính là lý do vận tốc góc rất hữu ích.

01Đo chuyển động quay bằng một góc

Đối với chuyển động thẳng, vận tốc cho chúng ta biết vị trí thay đổi nhanh đến mức nào.

Đối với chuyển động quay, thay vào đó chúng ta theo dõi góc thay đổi nhanh đến mức nào.

Hãy tưởng tượng vẽ một đường từ tâm của một bánh xe đến một điểm trên vành bánh xe. Khi bánh xe quay, đường đó quét qua một góc \(\Delta\theta\).

Nếu bánh xe quay qua một độ dời góc \(\Delta\theta\) trong khoảng thời gian \(\Delta t\), vận tốc góc trung bình của nó là

\[ \omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]

trong đó:

• \(\omega\) là vận tốc góc, đo bằng radian trên giây (\(\text{rad s}^{-1}\))
• \(\Delta\theta\) là độ dời góc, đo bằng radian (\(\text{rad}\))
• \(\Delta t\) là khoảng thời gian, đo bằng giây (\(\text{s}\))

Ký hiệu \(\omega\) là chữ cái Hy Lạp omega.

Ý tưởng rất đơn giản: vận tốc góc cho biết mỗi giây xảy ra bao nhiêu radian quay.

02Vì sao góc cần được đo bằng radian

Bạn có thể đã quen với việc đo góc bằng độ. Một vòng quay hoàn chỉnh là \(360^\circ\).

Trong các phương trình chuyển động tròn, radian hữu ích hơn nhiều. Một vòng quay hoàn chỉnh là

\[ 2\pi \text{ rad} \]

nên

\[ 360^\circ = 2\pi \text{ rad} \]

và do đó

\[ 180^\circ = \pi \text{ rad} \]

Ví dụ,

\[ 90^\circ = \frac{\pi}{2}\text{ rad} \]

và

\[ 60^\circ = \frac{\pi}{3}\text{ rad} \]

Tại sao phải đổi đơn vị? Vì radian liên hệ trực tiếp góc với quãng đường đi được quanh một đường tròn.

Đối với một vật chuyển động qua góc \(\theta\) ở bán kính \(r\), độ dài cung \(s\) là

\[ s=r\theta \]

trong đó \(s\) và \(r\) được đo bằng mét, còn \(\theta\) được đo bằng radian.

Phương trình này có dạng đơn giản như vậy vì radian được định nghĩa dựa trên chính đường tròn.

03Vận tốc góc và vận tốc tuyến tính không phải là cùng một đại lượng

Bây giờ hãy quay lại với đĩa đang quay.

Đặt một chấm cách tâm \(0.10\text{ m}\) và một chấm khác cách tâm \(0.40\text{ m}\). Vì đĩa là vật rắn, cả hai chấm đều quay qua cùng một góc trong bất kỳ khoảng thời gian cho trước nào.

Vì vậy, chúng có cùng vận tốc góc.

Nhưng chúng có đi được cùng một quãng đường không?

Không. Chấm ở phía ngoài đi theo một đường tròn lớn hơn nhiều.

Sử dụng

\[ s=r\theta \]

chia cả hai vế cho khoảng thời gian:

\[ \frac{s}{\Delta t} =r\frac{\theta}{\Delta t} \]

Đối với chuyển động tròn đều, \(s/\Delta t\) là tốc độ tuyến tính \(v\), còn \(\theta/\Delta t\) là tốc độ góc \(\omega\). Do đó,

\[ v=r\omega \]

trong đó:

• \(v\) là tốc độ tiếp tuyến hoặc tốc độ tuyến tính, đơn vị \(\text{m s}^{-1}\)
• \(r\) là khoảng cách từ trục quay, tính bằng mét
• \(\omega\) là tốc độ góc, đơn vị \(\text{rad s}^{-1}\)

Phương trình này là cầu nối giữa chuyển động quay và chuyển động tuyến tính.

Một mô hình hình dung hữu ích

Hãy tưởng tượng bốn người bạn đứng ở những vị trí khác nhau trên một bệ quay khổng lồ. Tất cả họ đều bị cố định vào sàn, nhờ đó chúng ta tránh được khá nhiều vấn đề về an toàn và sức khỏe tại nơi làm việc.

Mỗi giây, tất cả họ đều quay qua cùng một góc. Đó là vận tốc góc mà họ cùng chia sẻ.

Nhưng người ở gần mép ngoài phải đi được quãng đường lớn hơn nhiều trong giây đó. Vì vậy, tốc độ tuyến tính của người này lớn hơn.

Phép so sánh này có giới hạn: con người thật không phải là những bộ phận được gắn cứng vào một đĩa. Họ có thể đi bộ tương đối so với bệ. Phương trình \(v=r\omega\) áp dụng trực tiếp khi các điểm cùng tham gia một chuyển động quay quanh một trục.

04Ngộ nhận dễ mắc nhất

Giả sử hai điểm trên một bánh xe đang quay có cùng vận tốc góc.

Một học sinh có thể nghĩ: “Cùng vận tốc nghĩa là cùng tốc độ.”

Điều đó nghe có vẻ hợp lý vì trong chuyển động thẳng, chúng ta thường dùng một vận tốc cho một vật. Nhưng vận tốc góc và vận tốc tuyến tính đo những sự thay đổi khác nhau.

Vận tốc góc đặt câu hỏi:

Góc đang thay đổi nhanh đến mức nào?

Tốc độ tuyến tính đặt câu hỏi:

Quãng đường dọc theo quỹ đạo đang thay đổi nhanh đến mức nào?

Với cùng \(\omega\),

\[ v=r\omega \]

nên khi bán kính tăng, tốc độ tuyến tính cũng tăng.

Bán kính tăng gấp đôi thì tốc độ tuyến tính cũng tăng gấp đôi.

Tâm của bánh xe là một trường hợp biên hữu ích. Khi \(r=0\),

\[ v=r\omega=0 \]

mặc dù bản thân bánh xe có thể có vận tốc góc khác không. Điểm chính xác nằm trên trục quay không chuyển động theo một quỹ đạo tròn.

05Một vòng quay cho ta một dạng hữu ích khác

Giả sử một vật cần một chu kỳ \(T\) để hoàn thành một vòng quay.

Một vòng quay hoàn chỉnh tương ứng với độ dời góc \(2\pi\text{ rad}\), nên

\[ \omega=\frac{2\pi}{T} \]

trong đó \(T\) là chu kỳ tính bằng giây.

Vì tần số \(f\) là số vòng quay mỗi giây,

\[ f=\frac{1}{T} \]

ta cũng có thể viết

\[ \omega=2\pi f \]

Điều này có nghĩa là ba đại lượng mô tả cùng một tốc độ quay theo những cách khác nhau:

Nếu bạn cần luyện tập thêm về mối liên hệ giữa chu kỳ, bán kính và tốc độ, hãy xem Tốc độ, bán kính và chu kỳ trong chuyển động tròn đều.

06Vận tốc góc có hướng

Cho đến lúc này, chúng ta chủ yếu xét độ lớn của vận tốc góc.

Nói chính xác, vận tốc góc là một vectơ. Hướng của nó nằm dọc theo trục quay và được xác định bằng quy tắc bàn tay phải.

Cuộn các ngón tay phải theo chiều quay. Ngón cái sẽ chỉ theo hướng của vectơ vận tốc góc.

Trong nhiều phép tính HSC liên quan đến chuyển động trong một mặt phẳng, chiều quay kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ có thể được phân biệt bằng quy ước dấu. Ví dụ:

• ngược chiều kim đồng hồ: dương
• theo chiều kim đồng hồ: âm

Bạn cũng có thể chọn quy ước ngược lại, miễn là sử dụng nó một cách nhất quán.

Giả sử vận tốc góc của một bánh xe thay đổi từ \(+5.0\text{ rad s}^{-1}\) thành \(-3.0\text{ rad s}^{-1}\). Tốc độ góc cuối cùng của nó chỉ là \(3.0\text{ rad s}^{-1}\), nhưng độ biến thiên vận tốc góc là

\[ \Delta\omega=-3.0-(+5.0)=-8.0\text{ rad s}^{-1} \]

Dấu âm có ý nghĩa vì bánh xe đã đảo chiều quay.

Sự phân biệt này trở nên quan trọng khi sau này bạn học về gia tốc góc.

07\(v=r\omega\) cho bạn biết điều gì – và không cho bạn biết điều gì

Phương trình

\[ v=r\omega \]

cho độ lớn của vận tốc tiếp tuyến tức thời đối với một điểm chuyển động quanh một đường tròn.

Bản thân vectơ vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo tròn, chứ không hướng ra xa tâm.

Điều này dẫn đến một dự đoán khác đáng để suy nghĩ. Một vật chuyển động tròn đều có tốc độ không đổi. Điều đó có nghĩa là vận tốc của nó không đổi không?

Không. Hướng của nó thay đổi liên tục, nên vận tốc của nó cũng thay đổi liên tục ngay cả khi tốc độ không đổi.

Vận tốc thay đổi nghĩa là có gia tốc. Trong chuyển động tròn, gia tốc đó hướng về tâm. Điều này dẫn trực tiếp đến gia tốc hướng tâm.

08Một phương pháp ngắn gọn cho các bài toán vận tốc góc

Khi một câu hỏi về chuyển động tròn đề cập đến số vòng quay, chu kỳ, bán kính hoặc tốc độ, hãy làm theo trình tự sau:

1. Xác định xem thông tin đã cho mô tả một góc, thời gian cho một vòng quay hay một quãng đường tuyến tính.
2. Đổi góc sang radian nếu cần.
3. Tìm vận tốc góc bằng \(\omega=\Delta\theta/\Delta t\) hoặc \(\omega=2\pi/T\).
4. Nếu cần tốc độ tuyến tính, dùng \(v=r\omega\).
5. Kiểm tra kết quả về mặt vật lý. Một điểm xa trục hơn phải có tốc độ tuyến tính lớn hơn nếu \(\omega\) không đổi.
6. Giữ các đại lượng góc và tuyến tính tách biệt. Radian trên giây và mét trên giây không thể dùng thay thế cho nhau.

09Câu hỏi và lời giải

Câu hỏi 1

Một bánh xe quay đều qua \(4.8\text{ rad}\) trong \(1.6\text{ s}\).

Hãy tính:

a. vận tốc góc của bánh xe
b. tốc độ tuyến tính của một điểm cách trục \(0.25\text{ m}\)

Lời giải 1

Vận tốc góc là \(3.0\text{ rad s}^{-1}\), và điểm đó chuyển động với tốc độ \(0.75\text{ m s}^{-1}\).

Đối với phần a, sử dụng

\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]

Thay số,

\[ \omega=\frac{4.8}{1.6} =3.0\text{ rad s}^{-1} \]

Đối với phần b, sử dụng

\[ v=r\omega \]

nên

\[ v=(0.25)(3.0) =0.75\text{ m s}^{-1} \]

Điểm đó đi được \(0.75\text{ m}\) dọc theo quỹ đạo tròn mỗi giây.

Một lỗi rất dễ mắc là coi \(3.0\text{ rad s}^{-1}\) và \(0.75\text{ m s}^{-1}\) là hai cách mô tả khác nhau của chính xác cùng một đại lượng. Chúng có liên hệ với nhau, nhưng đo những thứ khác nhau: một đại lượng là tốc độ thay đổi góc, còn đại lượng kia là tốc độ quãng đường đi được thay đổi.

Câu hỏi 2

Hai điểm A và B được cố định trên cùng một đĩa cứng đang quay. A cách tâm \(0.15\text{ m}\), còn B cách tâm \(0.45\text{ m}\).

Đĩa quay qua \(120^\circ\) trong \(0.40\text{ s}\).

Hãy tính:

a. vận tốc góc của A và B
b. tốc độ tuyến tính của mỗi điểm
c. tỉ số \(v_B:v_A\)

Lời giải 2

Cả hai điểm đều có vận tốc góc \(5.24\text{ rad s}^{-1}\); A chuyển động với tốc độ \(0.785\text{ m s}^{-1}\), B chuyển động với tốc độ \(2.36\text{ m s}^{-1}\), và \(v_B:v_A=3:1\).

Trước tiên, đổi góc:

\[ 120^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ} =\frac{2\pi}{3}\text{ rad} \]

Đối với cả hai điểm,

\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} =\frac{2\pi/3}{0.40} =5.24\text{ rad s}^{-1} \]

Chúng có cùng \(\omega\) vì chúng được cố định trên cùng một đĩa cứng và do đó quét qua cùng một góc trong cùng một khoảng thời gian.

Đối với A,

\[ v_A=r_A\omega =(0.15)(5.24) =0.785\text{ m s}^{-1} \]

Đối với B,

\[ v_B=r_B\omega =(0.45)(5.24) =2.36\text{ m s}^{-1} \]

Do đó,

\[ \frac{v_B}{v_A} =\frac{2.36}{0.785} \approx3.00 \]

nên

\[ v_B:v_A=3:1 \]

Cách suy luận dễ mắc sai lầm là cho rằng B cũng phải có vận tốc góc lớn gấp ba lần vì nó chuyển động nhanh gấp ba lần. Điều đó không đúng. Tốc độ lớn hơn của B hoàn toàn xuất phát từ việc bán kính của nó lớn gấp ba lần:

\[ v=r\omega \]

Vận tốc góc vẫn giữ nguyên.

Câu hỏi 3

Một bệ tròn có bán kính \(2.0\text{ m}\) hoàn thành một vòng quay sau mỗi \(8.0\text{ s}\).

Một học sinh đứng cách tâm \(0.50\text{ m}\), sau đó đi theo phương bán kính ra phía ngoài cho đến khi cách tâm \(1.5\text{ m}\), đồng thời vẫn đứng yên tương đối so với bệ.

Bệ tiếp tục quay với cùng chu kỳ.

Hãy so sánh tốc độ góc và tốc độ tuyến tính của học sinh trước và sau khi di chuyển ra ngoài.

Lời giải 3

Tốc độ góc của học sinh vẫn là \(0.785\text{ rad s}^{-1}\), trong khi tốc độ tuyến tính tăng từ \(0.393\text{ m s}^{-1}\) lên \(1.18\text{ m s}^{-1}\).

Tốc độ góc của bệ là

\[ \omega=\frac{2\pi}{T} =\frac{2\pi}{8.0} =0.785\text{ rad s}^{-1} \]

Vì học sinh đứng yên tương đối so với bệ, trong mỗi khoảng thời gian họ quay qua cùng một góc như bệ. Việc thay đổi bán kính tự nó không làm thay đổi tốc độ góc của họ.

Ban đầu,

\[ v_i=r_i\omega =(0.50)(0.785) =0.393\text{ m s}^{-1} \]

Cuối cùng,

\[ v_f=r_f\omega =(1.5)(0.785) =1.18\text{ m s}^{-1} \]

Bán kính đã tăng gấp ba, nên tốc độ tuyến tính cũng tăng gấp ba.

Một lập luận nghe có vẻ hợp lý nhưng không đúng là việc đi xa tâm hơn phải khiến mỗi vòng quay mất nhiều thời gian hơn vì quỹ đạo tròn dài hơn. Điều đó sẽ đúng nếu tốc độ tuyến tính của học sinh bằng cách nào đó được giữ không đổi. Ở đây, đại lượng được giữ cố định là chu kỳ của bệ. Vì vậy, học sinh phải chuyển động nhanh hơn dọc theo quỹ đạo tròn lớn hơn để hoàn thành mỗi vòng quay trong cùng một khoảng thời gian.

Câu hỏi 4

Hai đĩa nằm ngang riêng biệt quay quanh các trục cố định đi qua tâm.

Đĩa X có bán kính \(0.20\text{ m}\) và tốc độ góc \(8.0\text{ rad s}^{-1}\). Đĩa Y có bán kính \(0.40\text{ m}\) và tốc độ góc \(4.0\text{ rad s}^{-1}\).

Tại một thời điểm, một điểm trên vành của mỗi đĩa đang chuyển động về phía đông.

Một học sinh đưa ra ba nhận định:

1. Hai điểm trên vành có cùng vận tốc tuyến tính tức thời.
2. Chúng sẽ mất cùng một khoảng thời gian để hoàn thành một vòng quay.
3. Gia tốc hướng tâm của chúng có cùng độ lớn.

Hãy xác định những nhận định nào đúng và biện minh cho từng quyết định bằng tính toán định lượng.

Lời giải 4

Chỉ nhận định 1 là đúng. Hai điểm có cùng vận tốc tuyến tính tức thời tại thời điểm được nêu, nhưng Đĩa X có chu kỳ bằng một nửa Đĩa Y và gia tốc hướng tâm tại vành lớn gấp đôi.

Đối với nhận định 1,

\[ v=r\omega \]

Đối với X,

\[ v_X=(0.20)(8.0) =1.6\text{ m s}^{-1} \]

Đối với Y,

\[ v_Y=(0.40)(4.0) =1.6\text{ m s}^{-1} \]

Đề bài cũng cho biết cả hai điểm trên vành đều đang chuyển động về phía đông tại thời điểm đó. Vì vậy, độ lớn và hướng vận tốc của chúng giống hệt nhau, nên nhận định 1 là đúng.

Đối với nhận định 2, sử dụng

\[ T=\frac{2\pi}{\omega} \]

Đối với X,

\[ T_X=\frac{2\pi}{8.0} =0.785\text{ s} \]

Đối với Y,

\[ T_Y=\frac{2\pi}{4.0} =1.57\text{ s} \]

Vì vậy, nhận định 2 là sai.

Đối với nhận định 3, gia tốc hướng tâm có thể được viết là

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

Hai điểm có cùng \(v\), nhưng bán kính của chúng khác nhau.

Đối với X,

\[ a_{cX}=\frac{(1.6)^2}{0.20} =12.8\text{ m s}^{-2} \]

Đối với Y,

\[ a_{cY}=\frac{(1.6)^2}{0.40} =6.4\text{ m s}^{-2} \]

Do đó, nhận định 3 cũng sai.

Lối tắt dễ mắc sai lầm là nhận thấy hai tốc độ tuyến tính bằng nhau rồi cho rằng hai chuyển động phải tương đương. Không phải vậy. Cùng một tốc độ tiếp tuyến có thể được tạo ra bởi những tổ hợp bán kính và tốc độ góc khác nhau.

Đĩa X có bán kính nhỏ hơn nhưng tốc độ góc lớn hơn. Nó làm hướng của vận tốc thay đổi nhanh hơn, khiến gia tốc hướng tâm của nó lớn hơn.

Câu hỏi 5

Hai hạt nhỏ A và B được gắn tại những điểm khác nhau trên cùng một thanh cứng đang quay. A cách trục \(0.20\text{ m}\), còn B cách trục \(0.50\text{ m}\).

Tại một thời điểm cụ thể, thanh có tốc độ góc \(6.0\text{ rad s}^{-1}\).

Một học sinh lập luận:

“B có tốc độ tuyến tính lớn hơn A. Vì vậy, vận tốc của B đang thay đổi nhanh hơn. Do đó, B cũng phải có vận tốc góc lớn hơn.”

Một học sinh khác đáp:

“Không. Vì cả hai hạt đều nằm trên cùng một thanh, mọi đặc điểm trong chuyển động của chúng đều giống nhau ngoại trừ bán kính.”

Hãy đánh giá cả hai lập luận. Xác định những đại lượng nào bắt buộc phải giống nhau đối với A và B, những đại lượng nào phải khác nhau, và giải thích vì sao phát biểu của cả hai học sinh đều không hoàn toàn đúng.

Giả sử tại thời điểm này thanh đang quay đều.

Lời giải 5

A và B có cùng vận tốc góc, nhưng B có tốc độ tuyến tính lớn hơn và gia tốc hướng tâm lớn hơn. Lập luận đầy đủ của cả hai học sinh đều không đúng vì chuyển động góc có thể được dùng chung trong khi chuyển động tuyến tính phụ thuộc vào bán kính.

Vì A và B được cố định trên cùng một thanh cứng, chúng quét qua cùng một độ dời góc trong mọi khoảng thời gian. Do đó,

\[ \omega_A=\omega_B=6.0\text{ rad s}^{-1} \]

Tốc độ tuyến tính của chúng được tìm từ

\[ v=r\omega \]

Đối với A,

\[ v_A=(0.20)(6.0) =1.2\text{ m s}^{-1} \]

Đối với B,

\[ v_B=(0.50)(6.0) =3.0\text{ m s}^{-1} \]

Vì vậy, học sinh thứ nhất đúng khi nói rằng B có tốc độ tuyến tính lớn hơn.

Tuy nhiên, bước tiếp theo trong lập luận của học sinh đó là sai. Tốc độ tuyến tính lớn hơn không đồng nghĩa với vận tốc góc lớn hơn. Ở đây, vận tốc góc hoàn toàn bằng nhau vì hai hạt cùng tham gia một chuyển động quay của vật rắn.

Bây giờ hãy xét vận tốc của mỗi hạt thay đổi nhanh đến mức nào. Trong chuyển động tròn đều, mỗi hạt có gia tốc hướng tâm

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

Đối với A,

\[ a_{cA} =\frac{(1.2)^2}{0.20} =7.2\text{ m s}^{-2} \]

Đối với B,

\[ a_{cB} =\frac{(3.0)^2}{0.50} =18\text{ m s}^{-2} \]

Vì vậy, vận tốc của B thực sự thay đổi nhanh hơn nếu xét độ lớn thay đổi trên mỗi giây, mặc dù A và B có cùng vận tốc góc.

Do đó, học sinh thứ hai cũng chỉ đúng một phần. Việc cùng nằm trên một thanh cứng đảm bảo cùng độ dời góc, vận tốc góc và chu kỳ. Điều đó không có nghĩa là “mọi thứ” khác đều giống nhau.

Bán kính làm thay đổi một số đại lượng tuyến tính:

\[ v=r\omega \]

và, vì

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

thay \(v=r\omega\) vào ta được

\[ a_c=r\omega^2 \]

Ở một tốc độ góc cố định, cả tốc độ tuyến tính và gia tốc hướng tâm đều tăng theo bán kính.

Đó là ràng buộc then chốt. Một vật rắn đang quay có thể có chung một chuyển động góc tại tất cả các điểm của nó, trong khi các điểm đó trải qua những chuyển động tuyến tính rất khác nhau.

Khi sự phân biệt này đã rõ ràng, vận tốc góc không còn là một công thức tách biệt. Nó trở thành cầu nối giữa chuyển động quay và phần còn lại của chuyển động tròn: \(v=r\omega\) liên hệ nó với tốc độ tiếp tuyến, và từ đó \(a_c=v^2/r\) giải thích vì sao một vật chuyển động quanh đường tròn với tốc độ không đổi vẫn phải gia tốc hướng về tâm.