Vận tốc góc, tốc độ dài, chu kỳ và tần số: Đề luyện tập

Đây là đề luyện tập nguyên bản của tutorgum về mối liên hệ giữa các mô tả góc và tuyến tính của chuyển động tròn đều. Đề đánh giá phạm vi kiến thức Vật lí theo phiên bản năm 2017 được cung cấp, tập trung vào vận tốc góc, tốc độ dài, chu kỳ và tần số. Đây là đề luyện tập tập trung vào một chủ đề, không phải đề thi thử toàn bộ khóa học và không phải đề thi NESA chính thức, được NESA xác nhận, đã sử dụng trong các kỳ thi trước đây hoặc được dự đoán sẽ xuất hiện.

01Hướng dẫn làm bài

• Thời gian làm bài đề xuất: 50 phút.
• Thời gian đọc đề: 5 phút.
• Tổng điểm: 36 điểm.
• Dụng cụ được phép sử dụng: Máy tính khoa học, bút mực và bút chì. Không được sử dụng tài liệu ghi chép.
• Điều kiện: Đây là các điều kiện của đề luyện tập, không phải tuyên bố về các quy định thi chính thức của NESA.

Phạm vi kiến thức được đánh giá

Đề này bao gồm:

• Chuyển đổi giữa số vòng quay, radian, tần số và chu kỳ.
• Tính vận tốc góc từ độ dịch chuyển góc và thời gian đã trôi qua.
• Liên hệ vận tốc góc với tần số, chu kỳ và tốc độ dài.
• So sánh các điểm nằm ở những bán kính khác nhau trên cùng một vật đang quay.
• Phân biệt trường hợp có vận tốc góc bằng nhau với trường hợp có tốc độ dài bằng nhau.
• Diễn giải dữ liệu số về chuyển động tròn đều.

Đề không bao gồm gia tốc hướng tâm và lực hướng tâm, mômen xoắn, gia tốc góc, chuyển động tròn không đều hoặc nội dung thuộc các phiên bản chương trình học khác.

Ký hiệu và đơn vị

Sử dụng các ký hiệu sau trong toàn bộ đề.

• Độ dịch chuyển góc, \(\Delta\theta\), là sự thay đổi vị trí góc, được đo bằng radian (rad).
• Vận tốc góc, \(\omega\), mô tả tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển góc, được đo bằng radian trên giây (\(\text{rad s}^{-1}\)).
• Bán kính, \(r\), được đo bằng mét (m).
• Tốc độ dài, \(v\), được đo bằng mét trên giây (\(\text{m s}^{-1}\)).
• Thời gian đã trôi qua, \(t\), được đo bằng giây (s).
• Chu kỳ, \(T\), là thời gian cần để hoàn thành một vòng quay, được đo bằng giây (s).
• Tần số, \(f\), là số vòng quay mỗi giây, được đo bằng hertz (Hz).

Giả sử vật thực hiện chuyển động tròn đều ở mọi nơi mà chuyển động quay được mô tả là đều. Sử dụng \(\pi\) hoặc giá trị của \(\pi\) trên máy tính, ghi kèm đơn vị và đưa ra đáp án với ba chữ số có nghĩa, trừ khi dữ liệu đã cho chỉ hỗ trợ số chữ số có nghĩa ít hơn.

Tất cả các câu hỏi được trình bày trước phần lời giải chi tiết. Hãy làm bài theo đúng thời gian quy định trước khi tham khảo hướng dẫn chấm điểm.

02Câu hỏi

Câu 1 (4 điểm)

Một bàn quay hoàn thành 15 vòng quay trong 10.0 s.

(a) Xác định tần số và chu kỳ của bàn quay. (2 điểm)

(b) Xác định độ dịch chuyển góc của bàn quay trong khoảng thời gian 10.0 s, tính bằng radian. (1 điểm)

(c) Tính vận tốc góc trung bình trong khoảng thời gian này. (1 điểm)

Câu 2 (5 điểm)

Một trục truyền động quay đều với tốc độ 120.0 vòng/phút (rpm).

(a) Chuyển đổi tốc độ quay này thành tần số tính bằng hertz. (1 điểm)

(b) Tính vận tốc góc của trục, tính bằng radian trên giây. (2 điểm)

(c) Tính độ dịch chuyển góc của trục trong khoảng thời gian 3.50 s. (2 điểm)

Câu 3 (5 điểm)

Một điểm đánh dấu trên bệ quay thực hiện chuyển động tròn đều theo quỹ đạo có bán kính 0.400 m. Điểm này hoàn thành một vòng quay sau mỗi 1.60 s.

(a) Tính tốc độ dài của điểm đánh dấu. (2 điểm)

(b) Tính vận tốc góc của điểm đánh dấu. (1 điểm)

(c) Tính quãng đường điểm đánh dấu đi được trong 12.0 s. (2 điểm)

Câu 4 (5 điểm)

Một bàn quay cứng quay với vận tốc góc không đổi \(0.80\ \text{rad s}^{-1}\).

Điểm A nằm cách tâm 0.10 m, trong khi điểm B nằm cách tâm 0.30 m.

(a) So sánh vận tốc góc của điểm A và điểm B. Giải thích câu trả lời của bạn. (2 điểm)

(b) Tính tốc độ dài của mỗi điểm. (2 điểm)

(c) Xác định tỉ số giữa tốc độ dài của điểm B và tốc độ dài của điểm A. (1 điểm)

Câu 5 (6 điểm)

Hai vật X và Y thực hiện chuyển động tròn đều. Vật X chuyển động trên đường tròn bán kính 0.200 m và hoàn thành một vòng quay sau mỗi 0.500 s. Vật Y chuyển động trên đường tròn bán kính 0.350 m.

Hai vật có cùng tốc độ dài.

(a) Tính tốc độ dài của vật X. (2 điểm)

(b) Xác định chu kỳ của vật Y. (2 điểm)

(c) Vật nào có vận tốc góc lớn hơn? Giải thích bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa tốc độ dài, bán kính và vận tốc góc. (2 điểm)

Câu 6 (5 điểm)

Một cảm biến quay ghi lại độ dịch chuyển góc so với vị trí ban đầu tại một số thời điểm. Chuyển động quay vẫn đều trong suốt quá trình đo.

(a) Tính vận tốc góc bằng các số đo từ 0.00 s đến 1.50 s. (2 điểm)

(b) Tính độ dịch chuyển góc sau 6.0 s. Biểu diễn độ dịch chuyển này dưới dạng số vòng quay. (2 điểm)

(c) Một điểm trên cảm biến nằm cách trục quay 0.250 m. Tính tốc độ dài của điểm đó. (1 điểm)

Câu 7 (6 điểm)

Một bệ kiểm tra quay hoạt động ở tốc độ 45.0 rpm. Cảm biến A được lắp cách tâm 0.120 m, còn cảm biến B được lắp cách tâm 0.280 m.

(a) Chuyển đổi tốc độ quay của bệ thành vận tốc góc, tính bằng radian trên giây. (2 điểm)

(b) Tính tốc độ dài của mỗi cảm biến. (2 điểm)

(c) Cảm biến B được di chuyển đến vị trí có bán kính 0.200 m. Tốc độ quay của bệ được điều chỉnh để tốc độ dài của cảm biến vẫn bằng giá trị ban đầu. Tính vận tốc góc mới, tính bằng radian trên giây, và biểu diễn tốc độ quay mới theo rpm. (2 điểm)

03Lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm

Chấm điểm theo các bước trình bày dưới đây. Chấp nhận các phương pháp tương đương về mặt toán học và cách làm tròn phù hợp. Vẫn cho điểm theo kết quả tiếp nối nếu học sinh sử dụng đúng một kết quả số ở bước trước, ngay cả khi kết quả đó có lỗi từ bước trước.

Lời giải 1

(a) Xác định tần số và chu kỳ. (2 điểm)

Tần số là số vòng quay hoàn thành trong mỗi giây. Bàn quay hoàn thành 15 vòng quay trong 10.0 s, do đó

\[ f=\frac{15}{10.0}=1.50\ \text{Hz} \]

Chu kỳ là thời gian cần để hoàn thành một vòng quay. Chu kỳ bằng nghịch đảo của tần số:

\[ T=\frac{1}{f}=\frac{1}{1.50}=0.667\ \text{s} \]

Đáp án: \(f=1.50\ \text{Hz}\) và \(T=0.667\ \text{s}\).

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho tần số chính xác.
• 1 điểm cho chu kỳ chính xác.

(b) Xác định độ dịch chuyển góc. (1 điểm)

Một vòng quay hoàn chỉnh tương ứng với \(2\pi\) radian. Do đó, 15 vòng quay tương ứng với

\[ \Delta\theta=15(2\pi)=30\pi \]

\[ \Delta\theta=94.2\ \text{rad} \]

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho độ dịch chuyển góc chính xác, có đơn vị radian.

(c) Tính vận tốc góc trung bình. (1 điểm)

Vận tốc góc bằng độ dịch chuyển góc chia cho thời gian đã trôi qua:

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\\ &=\frac{30\pi}{10.0}\\ &=9.42\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho vận tốc góc chính xác, có đơn vị.

Tổng: 4 điểm.

Lời giải 2

(a) Chuyển đổi rpm thành tần số. (1 điểm)

Một phút có 60 giây. Chia tốc độ quay cho 60 để thu được số vòng quay mỗi giây:

\[ f=\frac{120.0}{60}=2.00\ \text{Hz} \]

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho tần số chính xác, có đơn vị hertz.

(b) Tính vận tốc góc. (2 điểm)

Mỗi vòng quay tương ứng với độ dịch chuyển góc \(2\pi\) radian. Vì trục hoàn thành \(f\) vòng quay mỗi giây nên vận tốc góc của trục là

\[ \omega=2\pi f \]

Thay tần số vào công thức:

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi(2.00)\\ &=4\pi\\ &=12.6\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho mối liên hệ chính xác giữa vận tốc góc và tần số.
• 1 điểm cho kết quả số chính xác, có đơn vị.

(c) Tính độ dịch chuyển góc trong 3.50 s. (2 điểm)

Đối với chuyển động quay đều, độ dịch chuyển góc bằng vận tốc góc nhân với thời gian đã trôi qua:

\[ \begin{aligned} \Delta\theta&=\omega t\\ &=(4\pi)(3.50)\\ &=14\pi\\ &=44.0\ \text{rad} \end{aligned} \]

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho việc sử dụng đúng công thức tính độ dịch chuyển góc.
• 1 điểm cho kết quả số chính xác, có đơn vị.

Tổng: 5 điểm.

Lời giải 3

(a) Tính tốc độ dài. (2 điểm)

Trong mỗi chu kỳ \(T\), điểm đánh dấu đi được một vòng tròn có chu vi \(2\pi r\). Tốc độ dài bằng quãng đường đi được chia cho thời gian, do đó

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

Thay \(r=0.400\ \text{m}\) và \(T=1.60\ \text{s}\) vào công thức:

\[ \begin{aligned} v&=\frac{2\pi(0.400)}{1.60}\\ &=1.57\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

Đáp án: \(1.57\ \text{m s}^{-1}\).

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho công thức chính xác.
• 1 điểm cho kết quả số chính xác, có đơn vị.

(b) Tính vận tốc góc. (1 điểm)

Một vòng quay tương ứng với \(2\pi\) radian, do đó vận tốc góc là

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{2\pi}{T}\\ &=\frac{2\pi}{1.60}\\ &=3.93\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho vận tốc góc chính xác, có đơn vị.

(c) Tính quãng đường đi được trong 12.0 s. (2 điểm)

Điểm đánh dấu chuyển động với tốc độ dài không đổi. Vì vậy, quãng đường bằng tốc độ dài nhân với thời gian đã trôi qua:

\[ \begin{aligned} d&=vt\\ &=(1.5708)(12.0)\\ &=18.8\ \text{m} \end{aligned} \]

Đáp án: \(18.8\ \text{m}\).

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho việc sử dụng \(d=vt\).
• 1 điểm cho quãng đường chính xác, có đơn vị.

Tổng: 5 điểm.

Lời giải 4

(a) So sánh vận tốc góc. (2 điểm)

Cả hai điểm đều thuộc cùng một bàn quay cứng. Trong bất kỳ khoảng thời gian xác định nào, bàn quay đều quay qua cùng một độ dịch chuyển góc tại mọi điểm.

Do đó,

\[ \omega_A=\omega_B=0.80\ \text{rad s}^{-1} \]

Hai điểm có vận tốc góc bằng nhau mặc dù chúng nằm ở các bán kính khác nhau.

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho việc khẳng định hai vận tốc góc bằng nhau.
• 1 điểm cho lời giải thích rằng cả hai điểm đều có cùng độ dịch chuyển góc trong cùng một khoảng thời gian.

(b) Tính tốc độ dài. (2 điểm)

Vận tốc góc và tốc độ dài có mối liên hệ

\[ v=\omega r \]

Đối với điểm A:

\[ \begin{aligned} v_A&=(0.80)(0.10)\\ &=0.080\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

Đối với điểm B:

\[ \begin{aligned} v_B&=(0.80)(0.30)\\ &=0.24\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

Điểm B chuyển động nhanh hơn vì nằm xa trục quay hơn. Trong cùng một khoảng thời gian, điểm B đi được một cung tròn dài hơn trong khi cả hai điểm đều trải qua cùng một độ dịch chuyển góc.

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho tốc độ dài chính xác của điểm A.
• 1 điểm cho tốc độ dài chính xác của điểm B.

(c) Xác định tỉ số tốc độ. (1 điểm)

\[ \frac{v_B}{v_A}=\frac{0.24}{0.080}=3.0 \]

Do đó,

\[ v_B:v_A=3:1 \]

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho tỉ số chính xác.

Tổng: 5 điểm.

Lời giải 5

(a) Tính tốc độ dài của vật X. (2 điểm)

Vật X có bán kính \(r_X=0.200\ \text{m}\) và chu kỳ \(T_X=0.500\ \text{s}\).

Sử dụng chu vi quỹ đạo mà vật đi được trong một vòng quay,

\[ v_X=\frac{2\pi r_X}{T_X} \]

Thay các giá trị vào công thức:

\[ \begin{aligned} v_X&=\frac{2\pi(0.200)}{0.500}\\ &=2.51\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho công thức và phép thay số chính xác.
• 1 điểm cho tốc độ dài chính xác, có đơn vị.

(b) Xác định chu kỳ của vật Y. (2 điểm)

Hai vật có tốc độ dài bằng nhau, do đó

\[ v_Y=v_X=2.513\ \text{m s}^{-1} \]

Tốc độ dài của vật Y bằng chu vi quỹ đạo chia cho chu kỳ:

\[ v_Y=\frac{2\pi r_Y}{T_Y} \]

Biến đổi công thức để biểu diễn chu kỳ theo các đại lượng còn lại:

\[ T_Y=\frac{2\pi r_Y}{v_Y} \]

Thay các giá trị vào công thức:

\[ \begin{aligned} T_Y&=\frac{2\pi(0.350)}{2.513}\\ &=0.875\ \text{s} \end{aligned} \]

Đáp án: \(T_Y=0.875\ \text{s}\).

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho phép biến đổi công thức và thay số chính xác.
• 1 điểm cho chu kỳ chính xác, có đơn vị.

(c) So sánh vận tốc góc. (2 điểm)

Mối liên hệ giữa tốc độ dài và vận tốc góc là

\[ \omega=\frac{v}{r} \]

Đối với vật X:

\[ \omega_X=\frac{2.513}{0.200}=12.6\ \text{rad s}^{-1} \]

Đối với vật Y:

\[ \omega_Y=\frac{2.513}{0.350}=7.18\ \text{rad s}^{-1} \]

Vật X có vận tốc góc lớn hơn. Hai vật có cùng tốc độ dài, nhưng X có bán kính nhỏ hơn. Vì vậy, vật X phải có vận tốc góc lớn hơn để tạo ra cùng tốc độ dài.

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho việc áp dụng chính xác mối liên hệ giữa tốc độ dài, bán kính và vận tốc góc.
• 1 điểm cho việc xác định vật X có vận tốc góc lớn hơn.

Tổng: 6 điểm.

Lời giải 6

(a) Tính vận tốc góc từ các số đo. (2 điểm)

Vận tốc góc bằng độ thay đổi của độ dịch chuyển góc chia cho thời gian đã trôi qua:

\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]

Sử dụng các số đo tại 0.00 s và 1.50 s,

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{3.60-0.00}{1.50-0.00}\\ &=2.40\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

Đáp án: \(2.40\ \text{rad s}^{-1}\).

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho công thức chính xác và việc sử dụng dữ liệu.
• 1 điểm cho vận tốc góc chính xác, có đơn vị.

(b) Tính độ dịch chuyển góc và chuyển đổi thành số vòng quay. (2 điểm)

Chuyển động quay là đều, do đó độ dịch chuyển góc sau 6.0 s là

\[ \begin{aligned} \Delta\theta&=\omega t\\ &=(2.40)(6.0)\\ &=14.4\ \text{rad} \end{aligned} \]

Một vòng quay bằng \(2\pi\) radian. Do đó, số vòng quay là

\[ \begin{aligned} N&=\frac{\Delta\theta}{2\pi}\\ &=\frac{14.4}{2\pi}\\ &=2.29\ \text{vòng} \end{aligned} \]

Ở đây, \(N\) biểu thị số vòng quay.

Đáp án: \(14.4\ \text{rad}\), tương đương \(2.29\) vòng.

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho độ dịch chuyển góc chính xác.
• 1 điểm cho việc chuyển đổi chính xác sang số vòng quay.

(c) Tính tốc độ dài. (1 điểm)

Điểm nằm cách trục quay \(0.250\ \text{m}\). Sử dụng \(v=\omega r\),

\[ \begin{aligned} v&=(2.40)(0.250)\\ &=0.600\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho tốc độ dài chính xác, có đơn vị.

Tổng: 5 điểm.

• Độ dốc = ω = 2.40 rad s⁻¹

Lời giải 7

(a) Chuyển đổi tốc độ quay thành vận tốc góc. (2 điểm)

Bệ quay có tốc độ \(45.0\) vòng/phút. Chuyển đổi sang số vòng quay mỗi giây, ta có

\[ f=\frac{45.0}{60}=0.750\ \text{Hz} \]

Vì mỗi vòng quay tương ứng với \(2\pi\) radian,

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi f\\ &=2\pi(0.750)\\ &=4.71\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

Đáp án: \(4.71\ \text{rad s}^{-1}\).

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho việc chuyển đổi chính xác từ rpm sang tần số.
• 1 điểm cho vận tốc góc chính xác, có đơn vị.

(b) Tính tốc độ dài của cả hai cảm biến. (2 điểm)

Tốc độ dài của một điểm trên vật đang quay được tính bằng

\[ v=\omega r \]

Đối với cảm biến A:

\[ \begin{aligned} v_A&=(4.712)(0.120)\\ &=0.565\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

Đối với cảm biến B:

\[ \begin{aligned} v_B&=(4.712)(0.280)\\ &=1.32\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

Cảm biến B có tốc độ dài lớn hơn vì nằm xa trục quay hơn. Khi được lắp trên cùng một bệ cứng, cả hai cảm biến đều có cùng vận tốc góc.

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho tốc độ dài chính xác của cảm biến A.
• 1 điểm cho tốc độ dài chính xác của cảm biến B.

(c) Tính vận tốc góc và tốc độ quay mới. (2 điểm)

Cảm biến B phải duy trì tốc độ dài ban đầu, xấp xỉ \(1.319\ \text{m s}^{-1}\). Bán kính mới của cảm biến là \(0.200\ \text{m}\).

Biến đổi công thức \(v=\omega r\),

\[ \begin{aligned} \omega_{\text{new}}&=\frac{v}{r_{\text{new}}}\\ &=\frac{1.319}{0.200}\\ &=6.60\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

Để chuyển đổi vận tốc góc mới sang số vòng quay mỗi phút, trước tiên chuyển radian trên giây thành số vòng quay mỗi giây, sau đó nhân với 60:

\[ \begin{aligned} f_{\text{new}}&=\frac{\omega_{\text{new}}}{2\pi}\\ &=\frac{6.596}{2\pi}\\ &=1.05\ \text{Hz} \end{aligned} \]

\[ \text{Tốc độ quay}=1.05(60)=63.0\ \text{rpm} \]

Đáp án: \(\omega_{\text{new}}=6.60\ \text{rad s}^{-1}\) và tốc độ quay là \(63.0\ \text{rpm}\).

Tốc độ quay mới cao hơn vì cảm biến nằm gần trục quay hơn. Để duy trì cùng tốc độ dài tại một bán kính nhỏ hơn, bệ phải quay nhanh hơn.

Hướng dẫn chấm điểm:

• 1 điểm cho việc tính chính xác vận tốc góc mới bằng tốc độ dài không đổi.
• 1 điểm cho việc chuyển đổi chính xác vận tốc góc sang rpm.

Tổng: 6 điểm.

Kiểm tra tổng điểm cuối cùng

Mối liên hệ cốt lõi xuyên suốt đề này là vận tốc góc mô tả tốc độ thay đổi của vị trí góc, trong khi tốc độ dài mô tả tốc độ thay đổi của quãng đường dọc theo quỹ đạo tròn. Đối với chuyển động tròn đều, hai đại lượng này liên hệ với nhau qua công thức

\[ v=\omega r=\frac{2\pi r}{T} \]

Các điểm trên cùng một vật rắn đang quay có cùng vận tốc góc, nhưng tốc độ dài của chúng phụ thuộc vào khoảng cách đến trục quay. Ngược lại, khi hai vật có cùng tốc độ dài, vật có bán kính nhỏ hơn sẽ có vận tốc góc lớn hơn.