向心加速度与合力：HSC 物理练习考卷

这份 tutorgum 原创练习考卷著重于 NSW HSC 物理科 2017 年版课程纲要中的向心加速度与合力。这是一份针对特定主题设计的复习考卷，并非涵盖整个课程的完整试卷，也不是官方考试或经 NESA 认可的考试。题目将测试你是否能将速度方向的改变与向内加速度连结起来、计算所需的合力、辨认提供该合力的实际作用力，以及预测向内作用力消失后会发生的情况。

01考试说明

• 建议阅读时间： 5 分钟。
• 建议作答时间： 50 分钟。
• 总分： 40 分。
• 允许使用的器材： 科学计算机、原子笔或铅笔，以及直尺。不得使用笔记或网际网路。
• 解题过程： 请写出方程式、代入过程及单位。适当情况下，最终答案请取至 2-3 位有效数字。
• 假设： 除非另有说明，否则假设物体进行等速圆周运动。题目有明确指示时，忽略空气阻力及其他阻力。

以上是这份 tutorgum 练习考卷的作答条件，并非对 NESA 官方考试规则的描述或声明。

考查主题

• 向心加速度，以及为什么向心加速度的方向指向圆周路径的圆心。
• 计算向心加速度及向内合力。
• 速率、质量及半径如何影响加速度与力。
• 区分向内合力与提供该合力的实际作用力。
• 预测向内作用力消失后的运动情况。

未涵盖的主题： 重力轨道、倾斜弯道、垂直平面圆周运动、角量，以及其他课程模组。

02试题

第 1 题（4 分）

一个圆盘在光滑的水平桌面上，以固定速率沿水平圆周运动。一条轻绳将圆盘连接至圆周中心的一个固定点。忽略空气阻力。

(a) 说明圆盘在该瞬间的瞬时速度相对于圆周的方向。（1 分）

(b) 说明圆盘在该瞬间的加速度方向。（1 分）

(c) 指出提供向内合力的实际水平作用力。（1 分）

(d) 解释为什么即使圆盘的速率保持不变，它仍然具有加速度。（1 分）

第 2 题（5 分）

一辆测试车辆以 \(v=6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率，沿著半径为 \(r=4.0\ \mathrm{m}\) 的圆形路径行驶。其向心加速度以 \(a_c\) 表示，单位为 \(\mathrm{m\,s^{-2}}\)。

(a) 计算向心加速度的大小。（2 分）

(b) 车辆的速率增加至 \(9.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，而半径保持不变。计算新的向心加速度。（2 分）

(c) 说明向心加速度相较于初始值改变了多少倍。（1 分）

第 3 题（5 分）

一辆质量为 \(m=1200\ \mathrm{kg}\) 的汽车，以 \(15\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率，沿著半径为 \(50\ \mathrm{m}\) 的水平圆形弯道行驶。以 \(F_c\) 表示所需向内合力的大小，单位为牛顿（N）。轮胎没有打滑。

(a) 计算汽车沿著弯道行驶所需的向内合力大小。（2 分）

(b) 一辆质量为 \(1800\ \mathrm{kg}\) 的厢型车，以相同速率通过同一弯道。计算所需的向内合力，并说明它与汽车所需的力有何比较结果。（2 分）

(c) 指出提供汽车向内合力的实际水平作用力。（1 分）

第 4 题（3 分）

一个物体沿著半径固定为 \(r\) 的圆周运动。改变其速率 \(v\)，并测量其向心加速度 \(a_c\)。图 1 绘出 \(a_c\)（单位为 \(\mathrm{m\,s^{-2}}\)）相对于 \(v^2\)（单位为 \(\mathrm{m^2\,s^{-2}}\)）的关系图。

• 向心加速度

(a) 求出图表的斜率，并写出其单位。（2 分）

(b) 利用斜率求出圆周路径的半径。（1 分）

第 5 题（5 分）

一辆机车与骑士的总质量为 \(250\ \mathrm{kg}\)。在第一个弯道上，他们的速率为 \(10\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，半径为 \(25\ \mathrm{m}\)。在第二个弯道上，他们的速率为 \(15\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，半径为 \(45\ \mathrm{m}\)。

假设两个弯道上的总质量保持不变，而且机车在两个弯道上均进行等速圆周运动。

(a) 计算第一个弯道上的向心加速度。（1 分）

(b) 计算第二个弯道上的向心加速度。（2 分）

(c) 计算通过第二个弯道所需的向内合力大小。（1 分）

(d) 计算从第一个弯道到第二个弯道，向心加速度的百分比变化。说明这是增加还是减少。（1 分）

第 6 题（4 分）

一个圆盘在光滑的水平桌面上沿圆周运动，并由一条绳子提供向内作用力。在某一瞬间，绳子突然断裂。忽略任何残余的水平作用力。

(a) 描述绳子断裂后圆盘立即发生的运动，包括它最初行进的方向。（2 分）

(b) 解释为什么圆盘不会继续沿圆周运动，也不会直接朝远离圆心的方向移动。（2 分）

第 7 题（6 分）

一个质量为 \(m=0.30\ \mathrm{kg}\) 的物体，以固定速率 \(v=5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，沿著半径为 \(r=1.2\ \mathrm{m}\) 的水平圆周运动。绳子的张力 \(T\)（单位为牛顿）是唯一提供水平作用力的力。

(a) 计算物体的向心加速度。（2 分）

(b) 计算绳子的张力。（2 分）

(c) 物体的速率与质量保持不变，但半径增加至 \(1.8\ \mathrm{m}\)。计算新的张力。（2 分）

第 8 题（8 分）

一个质量为 \(m=2.0\ \mathrm{kg}\) 的物体，以 \(v=10\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率，沿著半径为 \(r=5.0\ \mathrm{m}\) 的圆周运动。以 \(a_c\) 表示其向心加速度，以 \(F_c\) 表示其向内合力的大小。

(a) 计算物体最初的向心加速度。（2 分）

(b) 计算最初的向内合力大小。（1 分）

(c) 将质量加倍至 \(4.0\ \mathrm{kg}\)，将速率减半至 \(5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，并将半径减半至 \(2.5\ \mathrm{m}\)。计算新的向心加速度及新的向内合力。（3 分）

(d) 一名学生声称，质量加倍必定会使向心力加倍。解释新的条件是否支持这项说法。在解释中，请运用质量、速率及半径之间的关系。（2 分）

03详细解答与评分标准

第 1 题解答

(a) 瞬时速度的方向沿著圆盘所在位置的圆周切线方向。

评分标准：指出切线方向得 1 分。

(b) 加速度直接指向圆周的圆心。

评分标准：指出向内的方向得 1 分。

(c) 绳子的张力提供向内的水平合力。

评分标准：指出张力得 1 分。

(d) 速率描述圆盘移动的快慢，而速度则同时描述其速率与方向。即使速率保持不变，当圆盘沿著圆周运动时，其速度方向仍会持续改变。速度发生改变就代表存在加速度。

评分标准：解释即使速率保持不变，速度方向的改变仍会产生加速度，得 1 分。

总分：4 分。

第 2 题解答

(a) 向心加速度使用以下公式计算：

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

代入初始速率及半径：

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{(6.0)^2}{4.0}\\ &=\frac{36}{4.0}\\ &=9.0\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

初始向心加速度为 \(9.0\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

评分标准（2 分）：

• 正确写出关系式并代入数值，得 1 分。
• 答案正确且附上单位，得 1 分。

(b) 新速率为 \(9.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，半径仍保持为 \(4.0\ \mathrm{m}\)。

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{(9.0)^2}{4.0}\\ &=\frac{81}{4.0}\\ &=20.25\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

取至三位有效数字，新的加速度为 \(20.3\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

评分标准（2 分）：

• 正确代入数值，得 1 分。
• 答案正确且附上单位，得 1 分。

(c) 变化倍数为：

\[ \frac{20.25}{9.0}=2.25 \]

向心加速度增加至原来的 \(2.25\) 倍。

评分标准（1 分）：正确求出变化倍数 \(2.25\)。

请注意，速率增加了 \(1.5\) 倍，但加速度增加了 \(1.5^2=2.25\) 倍。速率的平方这一点非常重要。

总分：5 分。

第 3 题解答

(a) 所需向内合力的大小为：

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

代入汽车的质量、速率及半径：

\[ \begin{aligned} F_c&=\frac{1200(15)^2}{50}\\ &=\frac{1200(225)}{50}\\ &=5400\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

汽车需要 \(5400\ \mathrm{N}\) 的向内合力。

评分标准（2 分）：

• 正确写出关系式并代入数值，得 1 分。
• 力的答案正确且附上单位，得 1 分。

(b) 厢型车的质量为 \(1800\ \mathrm{kg}\)，其速率及半径保持不变。

\[ \begin{aligned} F_c&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{1800(15)^2}{50}\\ &=8100\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

比较两者所需的力：

\[ \frac{8100}{5400}=1.5 \]

厢型车需要 \(8100\ \mathrm{N}\) 的向内合力，是汽车所需力的 \(1.5\) 倍。

当速率及半径相同时，所需的向内合力与质量成正比。厢型车的质量是汽车的 \(1.5\) 倍，因此它需要 \(1.5\) 倍的向内合力。

评分标准（2 分）：

• 正确求出 \(8100\ \mathrm{N}\) 的力，得 1 分。
• 正确比较两个力，并指出它们与质量之间的关系，得 1 分。

(c) 实际的水平作用力是轮胎与路面之间的静摩擦力，其方向指向弯道的圆心。

即使轮胎没有在路面上滑动，静摩擦力仍然可以发挥作用。由于汽车没有打滑，因此提供向内合力的适当作用力就是静摩擦力。

评分标准（1 分）：指出轮胎与路面之间的静摩擦力。

总分：5 分。

第 4 题解答

(a) 斜率是纵轴数值的变化量除以横轴数值的变化量。

使用座标点 \((4,2)\) 及 \((36,18)\)：

\[ \begin{aligned} \text{斜率} &=\frac{\Delta a_c}{\Delta(v^2)}\\ &=\frac{18-2}{36-4}\\ &=\frac{16}{32}\\ &=0.50 \end{aligned} \]

纵轴的单位是 \(\mathrm{m\,s^{-2}}\)，而横轴的单位是 \(\mathrm{m^2\,s^{-2}}\)。因此，

\[ \text{斜率} =\frac{\mathrm{m\,s^{-2}}} {\mathrm{m^2\,s^{-2}}} =\mathrm{m^{-1}} \]

斜率为 \(0.50\ \mathrm{m^{-1}}\)。

评分标准（2 分）：

• 正确计算斜率，得 1 分。
• 正确写出单位，得 1 分。

(b) 向心加速度的关系式为：

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

将此关系式与图表比较可知，以 \(v^2\) 为横轴、\(a_c\) 为纵轴的图表，其斜率为 \(1/r\)。

因此，

\[ \begin{aligned} r&=\frac{1}{\text{斜率}}\\ &=\frac{1}{0.50}\\ &=2.0\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

半径为 \(2.0\ \mathrm{m}\)。

评分标准（1 分）：正确使用斜率的倒数，求得 \(2.0\ \mathrm{m}\)。

总分：3 分。

第 5 题解答

(a) 在第一个弯道上，速率为 \(10\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，半径为 \(25\ \mathrm{m}\)。

\[ \begin{aligned} a_{c,1}&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{10^2}{25}\\ &=4.0\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

评分标准（1 分）：加速度计算正确且附上单位。

(b) 在第二个弯道上，速率为 \(15\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，半径为 \(45\ \mathrm{m}\)。

\[ \begin{aligned} a_{c,2}&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{15^2}{45}\\ &=\frac{225}{45}\\ &=5.0\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

第二个弯道上的向心加速度为 \(5.0\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

评分标准（2 分）：

• 正确写出关系式并代入数值，得 1 分。
• 答案正确且附上单位，得 1 分。

(c) 向内合力与质量及加速度之间的关系为 \(F_c=ma_c\)。

\[ \begin{aligned} F_c&=250(5.0)\\ &=1250\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

所需的向内合力为 \(1250\ \mathrm{N}\)。

评分标准（1 分）：力的计算正确且附上单位。

(d) 百分比变化是相对于初始加速度计算的。

\[ \begin{aligned} \%\text{变化} &=\frac{5.0-4.0}{4.0}\times100\\ &=25\% \end{aligned} \]

向心加速度增加了 \(25\%\)。

评分标准（1 分）：百分比及变化方向均正确。

总分：5 分。

第 6 题解答

(a) 绳子断裂后，圆盘立即沿著断裂位置的圆周切线方向，进行直线运动。其最初的行进方向，就是绳子断裂瞬间的瞬时速度方向。

评分标准（2 分）：

• 指出圆盘会沿著圆周切线方向作直线运动，得 1 分。
• 指出其方向与瞬时速度方向一致，得 1 分。

(b) 绳子断裂之前，绳子的张力提供向内合力。这个力持续改变圆盘速度的方向，使它能够沿著圆周路径运动。

当绳子断裂时，这个向内作用力便消失。假设没有其他水平作用力，就不再有向心加速度来持续改变速度的方向。因此，圆盘会沿著该瞬间原本的行进方向继续运动。

圆盘不会直接朝远离圆心的方向移动，因为并没有任何向外的力突然出现。它也无法继续沿著圆周运动，因为维持圆周运动所需的向内合力已经消失。

评分标准（2 分）：

• 解释移除向内合力会使向心加速度消失，得 1 分。
• 解释圆盘会沿著瞬时速度方向继续运动，而不是沿径向向外移动或继续沿曲线运动，得 1 分。

总分：4 分。

第 7 题解答

(a) 向心加速度为：

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{(5.0)^2}{1.2}\\ &=20.8\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

取至两位有效数字，结果为 \(21\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

评分标准（2 分）：

• 正确写出关系式并代入数值，得 1 分。
• 答案正确且附上单位，得 1 分。

(b) 绳子的张力 \(T\) 提供向内合力，因此其大小等于所需的向心合力。

\[ \begin{aligned} T&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{0.30(5.0)^2}{1.2}\\ &=6.25\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

取至两位有效数字，张力为 \(6.3\ \mathrm{N}\)。

评分标准（2 分）：

• 正确写出关系式并代入数值，得 1 分。
• 张力计算正确且附上单位，得 1 分。

(c) 质量及速率保持不变，但半径增加至 \(1.8\ \mathrm{m}\)。

\[ \begin{aligned} T_{\text{新}}&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{0.30(5.0)^2}{1.8}\\ &=4.17\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

取至两位有效数字，新的张力为 \(4.2\ \mathrm{N}\)。

张力会减小，因为当物体以相同速率沿著半径较大的圆周运动时，维持其圆周运动所需的向内作用力较小。

评分标准（2 分）：

• 正确代入数值，得 1 分。
• 新的张力计算正确且附上单位，得 1 分。

总分：6 分。

第 8 题解答

(a) 初始向心加速度为：

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{10^2}{5.0}\\ &=20\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

初始向心加速度为 \(20\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

评分标准（2 分）：

• 正确写出关系式并代入数值，得 1 分。
• 答案正确且附上单位，得 1 分。

(b) 初始向内合力为：

\[ \begin{aligned} F_c&=ma_c\\ &=2.0(20)\\ &=40\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

初始向内合力为 \(40\ \mathrm{N}\)。

评分标准（1 分）：力的计算正确且附上单位。

(c) 新的质量为 \(4.0\ \mathrm{kg}\)，新的速率为 \(5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，新的半径为 \(2.5\ \mathrm{m}\)。

首先，计算新的向心加速度：

\[ \begin{aligned} a_{c,\text{新}}&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{5.0^2}{2.5}\\ &=10\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

接著，计算新的向内合力：

\[ \begin{aligned} F_{c,\text{新}}&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{4.0(5.0)^2}{2.5}\\ &=40\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

新的向心加速度为 \(10\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)，新的向内合力为 \(40\ \mathrm{N}\)。

评分标准（3 分）：

• 新的加速度计算正确，得 1 分。
• 正确写出合力关系式并代入数值，得 1 分。
• 新的合力计算正确且附上单位，得 1 分。

(d) 在这些条件下，学生的说法并不正确。虽然质量加倍，但速率减半，因此 \(v^2\) 会变成原来的四分之一。半径减半，则 \(1/r\) 所代表的因子会加倍。

向内合力的整体变化倍数为：

\[ 2\times\frac{1}{4}\times2=1 \]

因此，合力维持不变，仍然是 \(40\ \mathrm{N}\)，而不是增加至 \(80\ \mathrm{N}\)。

评分标准（2 分）：

• 正确解释质量、速率平方及半径所造成的综合影响，得 1 分。
• 得出合力维持在 \(40\ \mathrm{N}\) 的结论，并指出这不支持学生的说法，得 1 分。

总分：8 分。

试卷结束。总分：40 分。