考试指示

这是一份由 tutorgum 原创的 12 年级物理「光的本质」练习试卷，涵盖所提供的 2025 年课纲内容范围。试卷结合计算、数据分析、实验证据与解释，涉及波动行为、量子物理、电磁波及狭义相对论。这是一份原创的复习资源，并非 NESA 官方试卷、经官方认可的试卷，亦非对正式考试内容的预测。

01考试指示

• **总分：**90 分
• **建议作答时间：**110 分钟
• **阅读时间：**5 分钟
• **允许使用的器材：**科学计算机、直尺及方格纸。不得使用笔记。
• **作答要求：**列出计算过程、代入数值、单位及适当的有效数字。书面作答时，请解释你的推理。

本试卷所建议的作答时间及考试条件仅供练习之用，并不代表正式考试的规定。

评核范围

本试卷评核所提供的 2025 年版物理课纲中，12 年级「光的本质」相关内容，包括光的波动模型与量子模型、电磁波的产生与测量，以及狭义相对论。本试卷不评核其他单元的内容，也不会混合不同版本课纲的内容。

常数与单位换算

需要时，请使用以下数据。

除非题目另有说明，假设光在空气中的传播速度约等于其在真空中的速度、使用理想偏振滤光片，并将数值答案合理地四舍五入。

02题目

第 1 题（8 分）

(a) 说出爱因斯坦狭义相对论的两项基本假设。本题所指的惯性参考系，是指没有加速的参考系。（2 分）

(b) 麦克斯韦方程组可利用以下公式预测电磁波在真空中的传播速度：

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \]

其中，\(c\) 是波速，\(\mu_0\) 是真空磁导率，而 \(\epsilon_0\) 是真空介电常数。

计算预测的波速。（2 分）

(c) 描述加速中的电荷如何产生电磁波。请说明电场、磁场与能量传播方向之间的相对方向。（2 分）

(d) 一项类似米歇尔逊－莫雷实验的实验发现，当地球移动时，沿互相垂直的方向传播的光，其传播时间没有可测量的差异。解释这项结果支持了甚么观点，并提出一个理由，说明为何这项结果是与狭义相对论有关的证据，而非整个理论的完整证明。（2 分）

第 2 题（6 分）

海因里希・赫兹使用一个火花隙发射器，以及一个包含小间隙的独立接收线圈。当发射器产生火花时，接收器也可以观察到火花，尽管两者之间没有导电线连接。

(a) 解释为何这项观察支持电磁波的存在。（2 分）

(b) 一个反射的电磁波产生驻波图样。相邻波节之间的距离为 \(0.30\ \mathrm{m}\)。计算该波的波长。（1 分）

(c) 发射器的振荡频率为 \(5.0 \times 10^8\ \mathrm{Hz}\)。利用你在 (b) 部分的答案计算波速。（2 分）

(d) 说出使用这种技术估算电磁波速度时，需要考虑的一项假设或限制。（1 分）

第 3 题（6 分）

(a) 一束脉冲雷射射向距离 \(1.50\ \mathrm{km}\) 的反射器。测得从发射脉冲到侦测到反射脉冲返回的时间为 \(10.0\ \mathrm{\mu s}\)。

利用这些测量数据计算光速。（2 分）

(b) 概述斐索的齿轮法如何利用返回的光束及齿轮的转动来估算光速。（2 分）

(c) 比较现代脉冲雷射法与斐索的历史方法。说出现代方法的一项优点，以及仍然需要处理的一项限制。（2 分）

第 4 题（10 分）

(a) 理想黑体会发射连续的电磁辐射光谱。描述其观测光谱与古典物理学在极短波长下的预测有何不同，并解释普朗克提出能量量子化如何解决这个问题。（3 分）

(b) 黑体光谱的峰值波长为 \(580\ \mathrm{nm}\)。使用维恩位移定律：

\[ \lambda_{\max}T=b \]

其中，\(\lambda_{\max}\) 是峰值波长，\(T\) 是以开尔文为单位的绝对温度，而 \(b\) 是维恩位移常数。

计算黑体的温度。（2 分）

(c) 一个光子的波长为 \(400\ \mathrm{nm}\)。使用以下公式：

\[ E=\frac{hc}{\lambda} \]

其中，\(E\) 是光子能量，\(h=6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}\) 是普朗克常数，\(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 是光速，而 \(\lambda\) 是波长。

计算该光子的能量，分别以焦耳及电子伏特表示。（3 分）

(d) 解释光伏电池如何将光转换成电能。指出另一种依赖光子能量量子化的应用，并简要描述其运作原理。（2 分）

第 5 题（10 分）

当光照射金属并使电子逸出时，就会发生光电效应。功函数 \(\phi\) 是使电子脱离金属所需的最小能量。逸出电子的最大动能为 \(K_{\max}\)。

一名学生测量同一种金属在不同入射光频率下所发射的光电子之最大动能。

(a) 解释为何截止频率的存在，以及光电子立即逸出的现象，对古典光的波动模型构成挑战。（2 分）

(b) 使用方格纸绘制 \(K_{\max}\) 对频率的图像。将水平轴标记为 \(f/(10^{14}\ \mathrm{Hz})\)，绘出数据点，并画出合适的最佳拟合直线。

利用图像估算截止频率，并解释其物理意义。（3 分）

(c) 利用图像的斜率估算普朗克常数，单位为 \(\mathrm{J\,s}\)。请正确换算能量单位。（2 分）

(d) 使用光电效应方程式：

\[ K_{\max}=hf-\phi \]

计算：

• 金属的功函数，以电子伏特表示；
• 当入射频率为 \(8.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\) 时，逸出光电子的最大动能。

请使用从图像得出的普朗克常数数值。（3 分）

第 6 题（9 分）

(a) 解释热电子发射如何发生、为何发射材料通常置于真空中，以及热电子发射与光电发射之间的一项差异。（3 分）

(b) 强度为 \(I_0\) 的非偏振光依次通过一个理想偏振片及一个理想检偏器。两个滤光片的透光轴之间的夹角为 \(30^\circ\)。

对于入射至检偏器的平面偏振光，马吕斯定律为：

\[ I=I_{\max}\cos^2\theta \]

其中，\(I\) 是透射光强度，\(I_{\max}\) 是当检偏器的透光轴与入射光的偏振方向对齐时，入射至检偏器的光强度，而 \(\theta\) 是偏振方向与检偏器透光轴之间的夹角。

以 \(I_0\) 表示并计算最终的透射光强度。（3 分）

(c) 解释为何偏振现象支持光的横波模型。为何理想偏振片无法为纵波选择某个特定的侧向振荡方向？（2 分）

(d) 说出正确应用马吕斯定律所需的一项条件。（1 分）

第 7 题（8 分）

(a) 单色光通过一条狭窄的单缝。狭缝宽度由 \(5\lambda\) 减少至 \(\lambda\)，其中 \(\lambda\) 是光的波长。

描述绕射图样如何改变，并解释原因。（2 分）

(b) 在双缝实验中，两条狭缝之间的距离为 \(d=0.25\ \mathrm{mm}\)。波长为 \(\lambda=500\ \mathrm{nm}\) 的光照射狭缝。

亮纹的条件为：

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

其中，\(\theta\) 是亮纹相对中央轴的角度，而 \(m\) 是亮纹的整数级数。

计算第二级亮纹的角度，即 \(m=2\) 时的角度。（3 分）

(c) 萤幕放置在距离狭缝 \(2.0\ \mathrm{m}\) 的位置。利用小角度近似，计算第二级亮纹相对中央主亮纹的位移。（2 分）

(d) 解释明暗相间的条纹显示了光的哪种行为。（1 分）

第 8 题（6 分）

一个绕射光栅每毫米有 600 条刻线。波长为 \(500\ \mathrm{nm}\) 的单色光垂直入射光栅。

(a) 计算相邻光栅刻线之间的间距 \(d\)，以及第二级极大的角度。使用：

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

其中，\(m\) 是极大的级数，而 \(\theta\) 是极大相对于法线的角度。（3 分）

(b) 确定此波长所能产生的最高绕射级数。（1 分）

(c) 解释为何具有大量狭缝的光栅，比双缝排列更能分辨两个波长非常接近的光。（2 分）

第 9 题（10 分）

(a) 定义惯性参考系，并解释甚么是同时性的相对性。（2 分）

(b) 在月台参考系中，两个事件 A 和 B 分别发生于位置 \(x_A=0\) 及 \(x_B=+600\ \mathrm{m}\)。在该参考系中，两个事件同时发生，因此 \(\Delta t=t_B-t_A=0\)。

列车参考系相对于月台以 \(0.60c\) 的速度沿 \(+x\) 方向移动，其中 \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

使用洛伦兹变换：

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right) \]

其中，\(\Delta t'=t'_B-t'_A\)，\(\Delta x=x_B-x_A\)，\(v\) 是相对速度，而

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

是洛伦兹因子。

计算列车参考系中的 \(\Delta t'\)，并指出在该参考系中哪个事件先发生。（3 分）

(c) 一艘太空船上的静止时钟记录了两个事件之间的 \(2.00\ \mathrm{\mu s}\)，而这两个事件在太空船上的同一位置发生。地球观察者测得太空船的速度为 \(0.80c\)。

计算地球观察者测得的时间间隔。（3 分）

(d) 一艘太空船的固有长度，即在其自身静止参考系中测得的长度，为 \(120\ \mathrm{m}\)。当太空船以 \(0.80c\) 的速度移动时，计算地球观察者测得的长度。（2 分）

第 10 题（5 分）

(a) 一个粒子的静止质量为 \(1.67 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}\)，其速度为 \(0.90c\)，其中 \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

使用相对论动量方程式：

\[ p=\gamma mv \]

其中，\(p\) 是动量，\(m\) 是静止质量，\(v\) 是速度，而 \(\gamma\) 是洛伦兹因子。

计算该粒子的相对论动量。（3 分）

(b) 解释为何无法透过提供有限的能量，将具有静止质量的粒子加速至光速。（2 分）

第 11 题（8 分）

(a) 宇宙 μ 子在地球高层大气中产生。μ 子在自身静止参考系中的平均寿命为 \(2.20\ \mathrm{\mu s}\)，并以 \(0.998c\) 的速度朝地球表面移动。

假设 μ 子以恒定速度垂直移动，并忽略能量损失及其他相互作用。μ 子的产生高度为 \(10.0\ \mathrm{km}\)。

计算：

• 洛伦兹因子；
• 在地球参考系中测得的平均寿命；
• μ 子衰变前移动的平均距离。

利用你的计算结果解释为何许多 μ 子能够到达地球表面。（5 分）

(b) 在一项类似哈费尔－基廷实验的实验中，原子钟搭乘飞机向东及向西环绕地球飞行。飞行结束后，研究人员将这些时钟的读数与一个留在地面的参考时钟进行比较。

解释这项实验测试甚么、为何预测的时钟偏差会因飞行方向及飞行条件而有所不同，以及实测偏差与预测偏差一致会支持甚么观点。请同时考虑与速度有关的效应及与高度有关的效应。（3 分）

第 12 题（4 分）

一名学生提出以下说法：

「绕射和干涉证明光是一种波，因此光电效应不可能由同一个光的物理模型解释。」

(a) 说明绕射或干涉揭示了光的哪种行为，以及为何纯粹的古典粒子模型不足以解释这种行为。（1 分）

(b) 说明光电效应中的截止频率及立即逸出现象，揭示了光如何传递能量。（1 分）

(c) 利用这两组证据评估该学生的说法。解释现代光模型如何同时解释这些观察结果。（2 分）

03详解与评分指引

使用等效的方法，以及经适当四舍五入的正确数值答案，均应获得相同分数。在计算题中，即使学生较早得出的数值结果有轻微错误，只要其后一致地使用该结果进行计算，仍应给予相应的延续作答分数。

第 1 题详解

(a) 爱因斯坦的基本假设

1. 物理定律在所有惯性参考系中都相同。不存在一个特殊的惯性参考系，使物理定律在其中呈现不同的形式。
2. 真空中的光速对所有惯性观察者而言都相同，不受光源或观察者运动状态的影响。

评分：

• 每项正确陈述的基本假设得 1 分。

(b) 麦克斯韦的预测

将题目提供的电磁常数代入波速公式。

\[ \begin{aligned} c&=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{(4\pi\times10^{-7})(8.85\times10^{-12})}}\\[4pt] &\approx 3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

预测所得的电磁波速度与公认的真空光速一致。

评分：

• 正确代入数值得 1 分。
• 得出正确速度及单位得 1 分。

(c) 电磁波的产生与传播

加速中的电荷会产生随时间变化的电场与磁场。这些场会以电磁波的形式向外传播。

电场与磁场互相垂直，而且两者都垂直于传播方向。电磁波能够将能量传送至空间中的其他位置。

评分：

• 说明加速电荷与变化中的电磁场之间的关系得 1 分。
• 正确说明电场、磁场与传播方向的横向排列，以及能量的传播得 1 分。

(d) 米歇尔逊－莫雷类型的实验证据

零结果支持以下结论：地球穿过假设中静止的以太时，光的传播时间没有出现可侦测的变化。这有助于削弱以太模型，并支持在受测的实验配置中，光速不会因测量方向不同而改变的观点。

然而，零结果受到实验灵敏度及实验配置的限制。单凭这项结果，无法确立狭义相对论的所有推论，也无法直接测试每一个惯性参考系。

评分：

• 正确解释零结果所支持的观点得 1 分。
• 提出有效的限制，或解释为何这不是整个理论的完整证明，得 1 分。

第 2 题详解

(a) 赫兹的实验证据

尽管接收器没有透过导电线与发射器连接，接收器仍然产生火花。这显示能量可以从发射器穿过空间传送至接收器，与电磁波的传播相符。

这项观察支持电磁波模型，不过，实验配置亦需要排除不希望出现的直接电磁耦合，才能将传播中的辐射与其他影响区分开来。

评分：

• 指出能量在没有导电连接的情况下仍然能够传递，得 1 分。
• 将这项观察与电磁波联系起来，得 1 分。

(b) 利用波节间距求波长

驻波中，相邻波节之间的距离等于半个波长。

\[ \begin{aligned} \frac{\lambda}{2}&=0.30\ \mathrm{m}\\ \lambda&=2(0.30)\\ &=0.60\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

评分：

• 正确求出波长得 1 分。

(c) 波速

波速 \(v\) 等于频率 \(f\) 与波长 \(\lambda\) 的乘积。

\[ \begin{aligned} v&=f\lambda\\ &=(5.0\times10^8)(0.60)\\ &=3.0\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

评分：

• 正确使用关系式并代入数值，得 1 分。
• 得出正确结果及单位，得 1 分。

(d) 假设或限制

其中一个有效答案是发射器的频率必须准确已知。另一个答案是必须准确测量驻波波节的位置。发射器与接收器之间的近场耦合亦可能令观察结果较难解释。

评分：

• 提出一项相关的假设或限制，得 1 分。

第 3 题详解

(a) 现代雷射飞行时间测量法

光需要先传至反射器，再返回，因此总路程是单程距离的两倍。

\[ \begin{aligned} s&=2(1.50\times10^3)\\ &=3.00\times10^3\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

往返时间为

\[ \Delta t=10.0\times10^{-6}\ \mathrm{s} \]

因此，

\[ \begin{aligned} c&=\frac{s}{\Delta t}\\ &=\frac{3.00\times10^3}{10.0\times10^{-6}}\\ &=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

评分：

• 正确使用往返总距离，得 1 分。
• 得出正确光速及单位，得 1 分。

(b) 斐索的齿轮法

光穿过旋转齿轮上的一个齿隙，传播至远处的镜子，然后反射返回。在齿轮以某个适当转速旋转时，一个齿会挡住返回的光束。

利用齿轮的转速及已知的镜子距离，可以估算光的传播时间。将往返总距离除以这段时间，即可求得光速。

评分：

• 描述齿轮、出射光束及返回光束，得 1 分。
• 说明如何利用齿轮转动及往返距离估算传播时间，进而求得光速，得 1 分。

(c) 比较

现代脉冲雷射法的一项优点是，电子计时器可以高精度地测量极短的传播时间，而无须使用旋转齿轮。

其中一项限制是传播时间可能极短，因此需要精确的计时电子设备及侦测器校准。距离测量的不确定性、大气效应及反射器对准情况亦可能影响测量结果。

评分：

• 提出一项有效的优点，得 1 分。
• 提出一项有效的限制，得 1 分。

第 4 题详解

(a) 黑体辐射与普朗克的能量量子化

观测到的黑体光谱会先上升至一个峰值，然后在波长更短时下降。古典物理学则预测，发射强度会在极短波长处无限制地增加，导致所谓的紫外灾难。

普朗克透过提出能量只能以离散的能量包，即量子，进行交换，而非以任意的连续数值交换，解决了这个问题。量子的能量与频率成正比：

\[ E=hf \]

其中，\(E\) 是量子的能量，\(h\) 是普朗克常数，而 \(f\) 是频率。这种能量量子化使观测到的光谱得以获得解释。

评分：

• 描述观测到的光谱，得 1 分。
• 指出古典物理学所预测的紫外灾难，得 1 分。
• 解释能量量子化的作用，得 1 分。

• Cooler
• Hotter

(b) 维恩位移定律

将峰值波长换算成米：

\[ \lambda_{\max}=580\times10^{-9}\ \mathrm{m} \]

重新整理维恩定律以求温度。

\[ \begin{aligned} T&=\frac{b}{\lambda_{\max}}\\[4pt] &=\frac{2.90\times10^{-3}}{580\times10^{-9}}\\[4pt] &=5.00\times10^3\ \mathrm{K} \end{aligned} \]

黑体的温度约为 \(5000\ \mathrm{K}\)。

评分：

• 正确换算单位并代入数值，得 1 分。
• 得出正确温度及单位，得 1 分。

(c) 光子能量

首先计算以焦耳表示的能量。

\[ \begin{aligned} E&=\frac{hc}{\lambda}\\[4pt] &=\frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {400\times10^{-9}}\\[4pt] &=4.97\times10^{-19}\ \mathrm{J} \end{aligned} \]

将能量除以一电子伏特所对应的能量，即可换算成电子伏特。

\[ \begin{aligned} E&=\frac{4.97\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}\\[4pt] &=3.11\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

该光子的能量为 \(4.97\times10^{-19}\ \mathrm{J}\)，约等于 \(3.11\ \mathrm{eV}\)。

评分：

• 正确写出公式并代入数值，得 1 分。
• 正确求出以焦耳表示的能量，得 1 分。
• 正确求出以电子伏特表示的能量，得 1 分。

(d) 光伏效应与另一种量子应用

在光伏电池中，具有足够能量的光子可以将半导体中的电子激发至较高能量的状态，同时留下电洞。电池内部的电场会分离这些电荷，使电流能够流经外部电路。

另一个例子是发光二极体（LED）。当电子与电洞重新结合时，能量可以以光子的形式释放。光子的能量与这些能态之间的能量差有关。

评分：

• 正确解释光子吸收及光伏电池中的电荷分离，得 1 分。
• 指出另一种量子应用并解释其运作原理，得 1 分。

第 5 题详解

(a) 截止频率与立即逸出

截止频率 \(f_0\) 是能够使光电子逸出的最低入射光频率。低于此频率时，即使提高光强度也不会造成电子逸出，因为个别光子的能量不足以克服金属的功函数。

当频率高于截止频率时，电子会在没有可测量延迟的情况下逸出。这与古典波动理论的预测相矛盾，因为古典理论认为电子应逐渐从入射波吸收能量，累积足够能量后才能逸出。

评分：

• 从光子能量的角度解释截止频率，得 1 分。
• 解释立即逸出现象及其与古典理论预测的矛盾，得 1 分。

(b) 图像与截止频率

图像应显示五个数据点，并且这些点大致落在一条直线附近。

水平轴的截距约为

\[ f_0=5.0\times10^{14}\ \mathrm{Hz} \]

在此频率下，最大动能为零。入射光子的能量刚好足以克服功函数，因此

\[ hf_0=\phi \]

所以，截止频率代表使特定金属中的电子逸出所需的最低入射光频率。

评分：

• 正确绘制并标记数据，且画出合适的最佳拟合直线，得 1 分。
• 正确估算水平轴截距，得 1 分。
• 解释截止频率的物理意义，得 1 分。

• Measured data
• Best-fit line
• Threshold frequency: 5.0 × 10^14 Hz

(c) 利用斜率求普朗克常数

使用数据的端点，斜率约为

\[ \begin{aligned} \text{gradient} &=\frac{\Delta K_{\max}}{\Delta f}\\[4pt] &=\frac{1.66-0.00}{(9.0-5.0)\times10^{14}}\\[4pt] &=4.15\times10^{-15}\ \mathrm{eV\,s} \end{aligned} \]

当动能以电子伏特表示时，这个斜率代表以 \(\mathrm{eV\,s}\) 表示的普朗克常数。将其换算为 \(\mathrm{J\,s}\)：

\[ \begin{aligned} h&=(4.15\times10^{-15})(1.60\times10^{-19})\\ &=6.64\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s} \end{aligned} \]

评分：

• 正确估算斜率并使用适当单位，得 1 分。
• 正确换算成焦耳并得出正确的普朗克常数估算值，得 1 分。

(d) 功函数与最大动能

在截止频率下，最大动能为零。因此，

\[ \phi=hf_0 \]

使用从图像得出的 \(h\) 值：

\[ \begin{aligned} \phi&=(6.64\times10^{-34})(5.0\times10^{14})\\ &=3.32\times10^{-19}\ \mathrm{J}\\[4pt] &=\frac{3.32\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}\ \mathrm{eV}\\ &=2.08\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

当入射频率为 \(f=8.0\times10^{14}\ \mathrm{Hz}\) 时，

\[ K_{\max}=hf-\phi \]

\[ \begin{aligned} K_{\max} &=(6.64\times10^{-34})(8.0\times10^{14}) -3.32\times10^{-19}\\[4pt] &=1.99\times10^{-19}\ \mathrm{J}\\[4pt] &\approx1.24\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

光子提供的能量为 \(hf\)。其中一部分能量用于克服功函数，其余能量则转化为逸出电子的动能。这是能量守恒定律在光电效应中的应用。

评分：

• 正确计算功函数，得 1 分。
• 正确代入光电效应方程式，计算指定频率下的最大动能，得 1 分。
• 得出最大动能及适当单位，得 1 分。

延续作答：如果学生使用图像斜率计算出稍有不同、但计算方法正确的数值，应接受以该数值为基础的计算。

第 6 题详解

(a) 热电子发射

当材料受热，使其中的电子获得足够能量而逃离表面时，就会发生热电子发射。发射材料通常置于真空中，让逸出的电子在移动时较少与气体分子碰撞。

在光电发射中，电子从光子吸收能量，而光子的频率决定其能量是否足以克服功函数。在热电子发射中，能量则由加热提供。

评分：

• 解释加热如何使电子逸出，得 1 分。
• 解释真空的作用，得 1 分。
• 说明热电子发射与光电发射之间的差异，得 1 分。

(b) 马吕斯定律

理想偏振片会透射原本非偏振光一半的强度。

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

这就是入射至检偏器的光强度。将 \(\theta=30^\circ\) 代入马吕斯定律：

\[ \begin{aligned} I&=I_1\cos^2 30^\circ\\[4pt] &=\frac{I_0}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\[4pt] &=\frac{I_0}{2}\times\frac{3}{4}\\[4pt] &=\frac{3I_0}{8} \end{aligned} \]

最终透射光强度为 \(3I_0/8\)。

评分：

• 正确求出通过第一个偏振片后的光强度，得 1 分。
• 正确应用马吕斯定律，得 1 分。
• 得出最终表达式，得 1 分。

(c) 偏振与横波

横波的振荡方向垂直于其传播方向。偏振片可以选择电场的特定方向，这显示光具有横向振荡方向。

纵波的振荡方向平行于其传播方向，因此不存在可供偏振片选择的等效侧向振荡方向。

评分：

• 将偏振与横向振荡联系起来，得 1 分。
• 解释纵波为何无法以这种方式偏振，得 1 分。

(d) 马吕斯定律的适用条件

入射至检偏器的光必须是平面偏振光。此时，马吕斯定律才能描述透射光强度与光的偏振方向和检偏器透光轴之间夹角的关系。

评分：

• 说出一项有效的条件，得 1 分。

第 7 题详解

(a) 狭缝中的绕射

绕射是波通过开口时向外扩散的现象。在波长固定的情况下，狭缝宽度相对于波长越小，绕射的角度范围就越大。

因此，将狭缝宽度由 \(5\lambda\) 减少至 \(\lambda\)，会使光的扩散程度增加。

评分：

• 描述绕射现象，得 1 分。
• 将扩散程度增加与狭缝宽度相对于波长减小联系起来，得 1 分。

(b) 第二级亮纹

将狭缝间距及波长换算成米：

\[ d=0.25\times10^{-3}=2.5\times10^{-4}\ \mathrm{m} \]

\[ \lambda=500\times10^{-9}=5.0\times10^{-7}\ \mathrm{m} \]

使用亮纹条件：

\[ \begin{aligned} d\sin\theta&=m\lambda\\[4pt] \sin\theta&=\frac{m\lambda}{d}\\[4pt] &=\frac{2(5.0\times10^{-7})}{2.5\times10^{-4}}\\[4pt] &=0.0040 \end{aligned} \]

因此，

\[ \theta=\sin^{-1}(0.0040)\approx0.229^\circ \]

评分：

• 正确写出关系式，得 1 分。
• 正确代入数值，得 1 分。
• 得出角度及适当单位，得 1 分。

(c) 条纹位移

当角度以弧度表示且角度很小时，

\[ \tan\theta\approx\sin\theta \]

中央主亮纹与其他亮纹之间的位移 \(y\) 可近似表示为

\[ y=L\tan\theta\approx L\sin\theta \]

代入萤幕距离 \(L=2.0\ \mathrm{m}\)：

\[ \begin{aligned} y&\approx2.0(0.0040)\\ &=0.0080\ \mathrm{m}\\ &=8.0\ \mathrm{mm} \end{aligned} \]

第二级亮纹距离中央主亮纹约 \(8.0\ \mathrm{mm}\)。

评分：

• 正确使用小角度近似法，得 1 分。
• 得出位移及单位，得 1 分。

(d) 波动行为的证据

亮纹及暗纹分别由相长干涉及相消干涉形成。这种规律的图样提供了光具有波动行为的证据。

评分：

• 将条纹图样与干涉及波动行为联系起来，得 1 分。

第 8 题详解

(a) 光栅间距与第二级角度

光栅每毫米有 600 条刻线。换算成每米的刻线数：

\[ 600\ \mathrm{lines\,mm^{-1}} =6.00\times10^5\ \mathrm{lines\,m^{-1}} \]

间距 \(d\) 是刻线密度的倒数：

\[ \begin{aligned} d&=\frac{1}{6.00\times10^5}\\ &=1.67\times10^{-6}\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

对于第二级极大，\(m=2\)：

\[ \begin{aligned} d\sin\theta&=m\lambda\\[4pt] \sin\theta&=\frac{2(500\times10^{-9})}{1.67\times10^{-6}}\\[4pt] &\approx0.600 \end{aligned} \]

因此，

\[ \theta=\sin^{-1}(0.600)\approx36.9^\circ \]

评分：

• 正确求出光栅间距，得 1 分。
• 正确代入光栅方程式，得 1 分。
• 得出角度及单位，得 1 分。

(b) 最高可能级数

只有在下列条件成立时，才会出现极大：

\[ \sin\theta=\frac{m\lambda}{d}\leq1 \]

因此，

\[ m\leq\frac{d}{\lambda} =\frac{1.67\times10^{-6}}{5.00\times10^{-7}} \approx3.33 \]

由于级数必须是整数，因此最高可能级数为

\[ m_{\max}=3 \]

评分：

• 正确求出最高级数，得 1 分。

(c) 分辨能力

绕射光栅具有大量狭缝。这些狭缝产生的干涉会形成比双缝排列更狭窄的主极大。

当两个波长非常接近时，较狭窄的极大使它们各自的角位置更容易区分，从而提高光栅的波长分辨能力。

评分：

• 解释大量狭缝会形成较狭窄的极大，得 1 分。
• 将较狭窄的极大与分辨接近的波长联系起来，得 1 分。

第 9 题详解

(a) 惯性参考系与同时性

惯性参考系是没有加速的参考系。相对于另一个惯性参考系，它可以处于静止状态，或以恒定速度移动。

同时性的相对性是指，在一个惯性参考系中同时发生的两个空间分离事件，在另一个相对于它运动的参考系中，不一定会同时发生。

评分：

• 正确定义惯性参考系，得 1 分。
• 解释同时性的相对性，得 1 分。

(b) 事件之间的时间差

两个事件在月台参考系中同时发生，因此 \(\Delta t=0\)。它们之间的空间距离为

\[ \Delta x=x_B-x_A=600\ \mathrm{m} \]

当 \(v=0.60c\) 时，洛伦兹因子为

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\[4pt] &=1.25 \end{aligned} \]

代入题目提供的洛伦兹变换：

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\[4pt] &=1.25\left(0-\frac{(0.60c)(600)}{c^2}\right)\\[4pt] &=-1.50\times10^{-6}\ \mathrm{s} \end{aligned} \]

负号表示 \(t'_B-t'_A\) 为负值。在列车参考系中，事件 B 比事件 A 早 \(1.50\ \mathrm{\mu s}\) 发生。

评分：

• 正确求出洛伦兹因子，得 1 分。
• 正确代入及计算，得 1 分。
• 正确解释负号的意义，得 1 分。

(c) 时间膨胀

由于两个事件在太空船的静止参考系中发生于同一位置，因此时钟测得的是固有时间。

对于正在移动的时钟，地球参考系测得的时间间隔为

\[ \Delta t=\gamma\Delta\tau \]

其中，\(\Delta\tau=2.00\ \mathrm{\mu s}\) 是固有时间。

当 \(v=0.80c\) 时，

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.36}}\\ &=1.667 \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta t&=1.667(2.00\ \mathrm{\mu s})\\ &=3.33\ \mathrm{\mu s} \end{aligned} \]

地球观察者测得的时间间隔约为 \(3.33\ \mathrm{\mu s}\)。

评分：

• 正确求出洛伦兹因子，得 1 分。
• 正确使用时间膨胀关系式并代入数值，得 1 分。
• 得出最终时间间隔及单位，得 1 分。

(d) 长度收缩

固有长度 \(L_0=120\ \mathrm{m}\) 是在太空船的静止参考系中测得的。地球观察者测得的沿运动方向长度会较短。

\[ L=\frac{L_0}{\gamma} \]

使用 \(\gamma=1.667\)：

\[ \begin{aligned} L&=\frac{120}{1.667}\\ &\approx72.0\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

收缩后的长度约为 \(72.0\ \mathrm{m}\)。

评分：

• 正确使用长度收缩关系式，得 1 分。
• 得出正确答案及单位，得 1 分。

第 10 题详解

(a) 相对论动量

首先，计算速度为 \(v=0.90c\) 时的洛伦兹因子。

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.90^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.19}}\\ &\approx2.294 \end{aligned} \]

粒子的速度为

\[ v=0.90(3.00\times10^8) =2.70\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

使用 \(p=\gamma mv\)：

\[ \begin{aligned} p&=(2.294)(1.67\times10^{-27})(2.70\times10^8)\\[4pt] &\approx1.03\times10^{-18}\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

评分：

• 正确求出洛伦兹因子，得 1 分。
• 正确代入动量方程式，得 1 分。
• 得出正确动量及单位，得 1 分。

(b) 为何具有静止质量的粒子无法达到光速

当具有静止质量的粒子的速度接近 \(c\) 时，以下公式的分母会趋近于零：

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

因此，洛伦兹因子会无限增大，而进一步加速粒子所需的能量亦会变得越来越大。

在极限情况下，要达到光速需要无限大的能量。因此，具有静止质量的粒子无法透过获得有限能量而达到 \(c\)。

评分：

• 解释洛伦兹因子或相对论能量如何增加，得 1 分。
• 将此结果与无法以有限能量达到 \(c\) 的结论联系起来，得 1 分。

第 11 题详解

(a) 宇宙 μ 子与时间膨胀

μ 子的固有平均寿命为

\[ \tau_0=2.20\ \mathrm{\mu s} \]

其速度为 \(v=0.998c\)。

首先，计算洛伦兹因子：

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.998^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.003996}}\\ &\approx15.8 \end{aligned} \]

由于时间膨胀，地球参考系测得的平均寿命较长：

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\tau_0\\ &=(15.8)(2.20\ \mathrm{\mu s})\\ &\approx34.8\ \mathrm{\mu s} \end{aligned} \]

计算平均移动距离：

\[ \begin{aligned} s&=v\Delta t\\ &=(0.998)(3.00\times10^8)(34.8\times10^{-6})\\ &\approx1.04\times10^4\ \mathrm{m}\\ &\approx10.4\ \mathrm{km} \end{aligned} \]

平均移动距离约为 \(10.4\ \mathrm{km}\)，与题目所给的 \(10.0\ \mathrm{km}\) 产生高度相近，且略大于该高度。因此，时间膨胀可以解释为何许多 μ 子能够在衰变前到达地球表面。

这项计算使用的是平均寿命，并不保证每个 μ 子都能存活至完成整段旅程。个别 μ 子的衰变时间各不相同。

评分：

• 正确求出洛伦兹因子，得 1 分。
• 正确求出地球参考系中的平均寿命，得 1 分。
• 正确使用距离的计算方法，得 1 分。
• 得出距离及单位，得 1 分。
• 将计算结果与 μ 子能到达地球表面的观测结果联系起来，得 1 分。

(b) 原子钟对相对论的测试

飞行结束后，研究人员比较各个时钟的读数，以测量它们所经历的时间差异。这项测试可检验沿不同时空路径运行的时钟，是否累积了相对论所预测的时间。

狭义相对论所预测的效应取决于时钟相对于地球的速度，因此，向东及向西飞行可能产生不同的结果。高度亦会影响时钟的运行速率，构成另一项相对论效应，因此计算预测的总偏差时，必须将其纳入考虑。

如果实测偏差与预测一致，便支持相对论对时间经过的描述。这种比较尤其有用，因为研究人员可以在时钟重新会合之前，先行计算出理论预测。

评分：

• 指出比较时钟读数是实际测量的量，得 1 分。
• 解释速度与高度对预测偏差的影响，得 1 分。
• 解释实测结果与预测一致如何支持相对论，得 1 分。

第 12 题详解

(a) 波动证据

绕射与干涉显示光具有波动行为。纯粹的古典粒子模型无法解释光波重叠时所产生的规律干涉图样。

评分：

• 正确将证据与波动行为联系起来，并指出古典粒子模型的局限，得 1 分。

(b) 光电效应的证据

截止频率显示，光子必须提供至少等于功函数的能量，才能使电子逸出。立即逸出则支持光以个别的量子化能量传递能量，而不是让电子逐渐从连续的古典波中累积能量。

评分：

• 将观察结果与光子能量量子化联系起来，得 1 分。

(c) 评估该说法

该学生的结论过于绝对。绕射与干涉显示光具有波动行为，而光电效应则提供证据，表明光以离散的量子传递能量。

现代量子描述能够同时解释这两组观察结果。光在传播及干涉过程中可以呈现波动行为，而光与物质相互作用时，则涉及量子化的能量传递。单纯的古典波动模型或纯粹的古典粒子模型，都无法完整解释所有证据。

评分：

• 解释现代模型如何同时解释两类证据，得 1 分。
• 得出古典波动模型与古典粒子模型各自都不足以完整解释观察结果的结论，得 1 分。