航空器与侧风问题：原创物理练习试卷

这份 tutorgum 原创练习试卷旨在测验学生对航空器与侧风问题的理解，包括航向与地面航迹的差异、空速与地速的差异、如何选择航向以补偿风的影响，以及如何根据指定的地面航程计算风速或空速。本试卷采用所提供、与 Physics 2017 和 Physics 2025 课纲版本相容的范围，不考查其他物理学主题。这是一份原创练习试卷，并非 NESA 官方试卷、经其认可的试卷、历届试卷或预测试卷。

01考试指示

• 建议阅读时间： 5 分钟。
• 建议作答时间： 50 分钟。
• 总分： 40 分。
• 允许使用的器材： 科学计算机、笔或铅笔，以及可选用的直尺。不得使用笔记。
• 作答要求： 展示计算过程、数值代入、单位和方向。只有数值答案而没有相关计算过程，可能无法获得满分。

以上是本练习试卷建议采用的考试条件，并非对官方考试规则的陈述。

惯例与公式

使用以下向量关系式：

\[ \vec v_g=\vec v_a+\vec v_w \]

其中：

• \(\vec v_g\) 是航空器相对地面的速度向量。
• \(\vec v_a\) 是航空器相对周围空气的速度向量。
• \(\vec v_w\) 是风相对地面的速度向量。

除非另有说明，所有速度均以 km/h 为单位。

以东方和北方作为分量的正方向。方位角以正北为起点，顺时针量度：\(000^\circ\) 表示北，\(090^\circ\) 表示东，\(180^\circ\) 表示南，而 \(270^\circ\) 表示西。

对于速率为 \(v\)、方位角为 \(\theta\) 的速度向量，其分量为：

\[ v_E=v\sin\theta \]

\[ v_N=v\cos\theta \]

若风被描述为从西方吹来，表示风向东方移动。假设每次飞行期间，所有给定的速度均保持不变。

除非另有指定，最终速率的答案须四舍五入至 3 位有效数字，方位角或角度则四舍五入至最接近的整数度。中间计算应保留未经四舍五入的数值。

02题目

题目 1（6 分）

一架航空器以 \(180\text{ km/h}\) 的空速飞行，航向正北。稳定的风从西方吹来，风速为 \(40\text{ km/h}\)。

(a) 说明航向与地面航迹之间，以及空速与地速之间的差异。（2 分）

(b) 计算航空器的地速及地面航迹方位角。（4 分）

题目 2（7 分）

一架小型飞机的空速为 \(200\text{ km/h}\)。风的速度为 \(50\text{ km/h}\)，方向正东。飞行员希望航空器维持正北的地面航迹。

(a) 求相对于正北的所需航向角，并说明航空器必须朝正北偏东还是偏西的方向。（3 分）

(b) 以三位数方位角表示所需航向，答案四舍五入至最接近的整数度。（1 分）

(c) 计算航空器沿所需航迹飞行的地速。（3 分）

题目 3（6 分）

在一次稳定飞行期间，一架航空器的航向正东，空速为 \(150\text{ km/h}\)。测得其地速为 \(130\text{ km/h}\)，地面航迹则为正东偏南 \(10.0^\circ\)。

(a) 计算航空器地面速度向量的东向分量和北向分量。（2 分）

(b) 求风的速度向量的东向分量和北向分量。（2 分）

(c) 计算风速，并以相对于正西的角度或方位角表示风的方向。（2 分）

题目 4（6 分）

一架航空器的空速为 \(220\text{ km/h}\)，航向方位角为 \(030^\circ\)。稳定的风正东吹，风速为 \(45\text{ km/h}\)。

(a) 计算航空器空气相对速度向量的东向分量和北向分量。（2 分）

(b) 求航空器地面速度向量的东向分量和北向分量。（2 分）

(c) 计算航空器的地速及地面航迹方位角。（2 分）

题目 5（7 分）

一架航空器必须维持方位角为 \(060^\circ\)、地速为 \(180\text{ km/h}\) 的地面航迹。

风包含两个分量：向西 \(25\text{ km/h}\)，以及向南 \(40\text{ km/h}\)。

(a) 计算所需地面速度向量的东向分量和北向分量。（2 分）

(b) 求航空器所需空气相对速度向量的东向分量和北向分量。（2 分）

(c) 计算所需空速。（1 分）

(d) 以三位数方位角求所需航向，答案四舍五入至最接近的整数度。（2 分）

题目 6（8 分）

一架航空器的空速为 \(200\text{ km/h}\)，而在以下各次观测期间，风均保持不变。

在第一段航程中，航空器的航向正北。测得其地面速度为 \(220\text{ km/h}\)，方位角为 \(010^\circ\)。

(a) 求风的东向分量和北向分量、风速，以及以方位角表示的风向。（5 分）

接著，航空器转向正东飞行，空速保持不变。风仍然不变。

(b) 预测航空器新的地速及地面航迹方位角。（3 分）

03详解与评分指引

以下解答采用本练习试卷建议的分数分配。若学生使用正确的物理原理，可给予方法分；若后续计算一致地沿用先前计算所得的数值，即使该数值有误，也可给予后续计算分。方向的等效描述及合理的四舍五入方式均可接受。

解答 1

(a) 航向是航空器机头所指的方向，而地面航迹是航空器相对地面实际移动的方向。空速是航空器相对周围空气的速率，而地速是航空器相对地面的速率。

风可以改变地面航迹和地速，但不会因此改变航空器的航向或空速。

评分指引（2 分）：

• 1 分：正确区分航向与地面航迹。
• 1 分：正确区分空速与地速。

(b) 地速为 \(184\text{ km/h}\)，地面航迹方位角为 \(013^\circ\)。

航空器的空气相对速度方向正北，而风则提供一个向东的分量。

以东为正方向 \(E\)，以北为正方向 \(N\)：

\[ \begin{aligned} v_{g,E}&=0+40=40\text{ km/h}\\ v_{g,N}&=180+0=180\text{ km/h} \end{aligned} \]

地速是地面速度向量的大小：

\[ \begin{aligned} v_g&=\sqrt{40^2+180^2}\\ &=\sqrt{34000}\\ &=184.39\text{ km/h}\\ &\approx184\text{ km/h} \end{aligned} \]

地面航迹相对于正北向东偏转的角度为：

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{40}{180}\right)\\ &=12.5^\circ \end{aligned} \]

四舍五入至最接近的整数度后，航迹为正北偏东 \(13^\circ\)，因此方位角为 \(013^\circ\)。

评分指引（4 分）：

• 1 分：正确相加速度分量。
• 1 分：正确计算地速。
• 1 分：正确计算航迹角度。
• 1 分：正确指出方向及方位角。

解答 2

(a) 航空器必须朝正北偏西 \(14^\circ\) 的方向飞行；在四舍五入之前，角度约为正北偏西 \(14.5^\circ\)。

风会将航空器向东推移。为了维持正北的地面航迹，航空器的空气相对速度必须具有大小相等、方向相反的向西分量。

令 \(\delta\) 为相对于正北向西偏转的角度。空气相对速度的向西分量，其大小必须为 \(50\text{ km/h}\)。

\[ \begin{aligned} 200\sin\delta&=50\\ \sin\delta&=\frac{50}{200}\\ \delta&=\sin^{-1}(0.25)\\ &=14.48^\circ \end{aligned} \]

因此，所需航向约为正北偏西 \(14.5^\circ\)。

评分指引（3 分）：

• 1 分：指出所需的向西空气相对速度分量为 \(50\text{ km/h}\)。
• 1 分：正确建立正弦关系式。
• 1 分：求出角度，并指出方向为正北偏西。

(b) 所需航向方位角为 \(346^\circ\)。

方位角是从正北开始顺时针量度。因此：

\[ \begin{aligned} \text{方位角}&=360^\circ-14.48^\circ\\ &=345.52^\circ\\ &\approx346^\circ \end{aligned} \]

评分指引（1 分）：

• 1 分：正确写出三位数方位角。

(c) 地速为 \(194\text{ km/h}\)。

由于航空器空气相对速度的向西分量抵消了风的向东分量，地面速度便没有向东分量。其向北分量决定地速。

利用空气相对速度的大小：

\[ \begin{aligned} v_{a,N}&=\sqrt{200^2-50^2}\\ &=\sqrt{37500}\\ &=193.65\text{ km/h} \end{aligned} \]

向东分量互相抵消，因此地速等于向北分量：

\[ v_g=193.65\text{ km/h}\approx194\text{ km/h} \]

评分指引（3 分）：

• 1 分：正确计算空气相对速度的向北分量。
• 1 分：指出向东分量互相抵消。
• 1 分：正确求出地速。

解答 3

(a) 地面速度向量的分量为向东 \(128\text{ km/h}\) 及向南 \(22.6\text{ km/h}\)。

地面航迹为正东偏南 \(10.0^\circ\)，因此东向分量为正，而北向分量为负。

\[ \begin{aligned} v_{g,E}&=130\cos10.0^\circ\\ &=128.025\text{ km/h}\\ v_{g,N}&=-130\sin10.0^\circ\\ &=-22.573\text{ km/h} \end{aligned} \]

以 3 位有效数字表示，分量为向东 \(+128\text{ km/h}\)，以及向北 \(-22.6\text{ km/h}\)。

评分指引（2 分）：

• 1 分：正确求出东向分量。
• 1 分：正确求出北向分量，包括其正负号。

(b) 风的速度向量分量为向西 \(22.0\text{ km/h}\) 及向南 \(22.6\text{ km/h}\)。

重新整理速度关系式：

\[ \vec v_w=\vec v_g-\vec v_a \]

航空器的空气相对速度方向正东，因此其分量为 \(v_{a,E}=150\text{ km/h}\) 及 \(v_{a,N}=0\)。

因此：

\[ \begin{aligned} v_{w,E}&=128.025-150\\ &=-21.975\text{ km/h}\\ v_{w,N}&=-22.573-0\\ &=-22.573\text{ km/h} \end{aligned} \]

两个分量均为负值，证实风的方向为西南方。

评分指引（2 分）：

• 1 分：使用 \(\vec v_w=\vec v_g-\vec v_a\)。
• 1 分：正确求出风的速度分量。

(c) 风速为 \(31.5\text{ km/h}\)，方向为正西偏南 \(46^\circ\)，方位角为 \(224^\circ\)。

计算风的速度向量大小：

\[ \begin{aligned} v_w&=\sqrt{(-21.975)^2+(-22.573)^2}\\ &=31.5\text{ km/h} \end{aligned} \]

相对于正西向南偏转的角度为：

\[ \begin{aligned} \phi&=\tan^{-1}\left(\frac{22.573}{21.975}\right)\\ &=45.8^\circ \end{aligned} \]

因此，风的方向约为正西偏南 \(46^\circ\)。其方位角为 \(270^\circ-45.8^\circ\approx224^\circ\)。

评分指引（2 分）：

• 1 分：正确计算风速。
• 1 分：正确指出方向或方位角。

解答 4

(a) 空气相对速度向量的分量为向东 \(110\text{ km/h}\) 及向北 \(191\text{ km/h}\)。

航向方位角为 \(030^\circ\)，表示从正北开始顺时针量度 \(30^\circ\)。

\[ \begin{aligned} v_{a,E}&=220\sin30^\circ\\ &=110\text{ km/h}\\ v_{a,N}&=220\cos30^\circ\\ &=190.526\text{ km/h} \end{aligned} \]

评分指引（2 分）：

• 1 分：正确求出东向分量。
• 1 分：正确求出北向分量。

(b) 地面速度向量的分量为向东 \(155\text{ km/h}\) 及向北 \(191\text{ km/h}\)。

风的东向分量为 \(45\text{ km/h}\)，北向分量则为零。

\[ \begin{aligned} v_{g,E}&=110+45\\ &=155\text{ km/h}\\ v_{g,N}&=190.526+0\\ &=190.526\text{ km/h} \end{aligned} \]

评分指引（2 分）：

• 1 分：正确求出地面速度的东向分量。
• 1 分：正确求出地面速度的北向分量。

(c) 地速为 \(246\text{ km/h}\)，地面航迹方位角为 \(039^\circ\)。

首先，计算地面速度向量的大小：

\[ \begin{aligned} v_g&=\sqrt{155^2+190.526^2}\\ &=245.61\text{ km/h}\\ &\approx246\text{ km/h} \end{aligned} \]

地面航迹相对于正北顺时针量度的角度为：

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{155}{190.526}\right)\\ &=39.1^\circ \end{aligned} \]

因此，四舍五入至最接近的整数度后，方位角为 \(039^\circ\)。

评分指引（2 分）：

• 1 分：正确计算地速。
• 1 分：正确求出地面航迹方位角。

解答 5

(a) 所需地面速度向量的分量为向东 \(156\text{ km/h}\) 及向北 \(90.0\text{ km/h}\)。

地速为 \(180\text{ km/h}\)，地面航迹方位角为 \(060^\circ\)。

\[ \begin{aligned} v_{g,E}&=180\sin60^\circ\\ &=155.885\text{ km/h}\\ v_{g,N}&=180\cos60^\circ\\ &=90.0\text{ km/h} \end{aligned} \]

评分指引（2 分）：

• 1 分：正确求出东向分量。
• 1 分：正确求出北向分量。

(b) 所需空气相对速度向量的分量为向东 \(181\text{ km/h}\) 及向北 \(130\text{ km/h}\)。

风在两个方向上的分量均为负值：

\[ v_{w,E}=-25\text{ km/h},\qquad v_{w,N}=-40\text{ km/h} \]

重新整理速度关系式，得出：

\[ \vec v_a=\vec v_g-\vec v_w \]

因此：

\[ \begin{aligned} v_{a,E}&=155.885-(-25)\\ &=180.885\text{ km/h}\\ v_{a,N}&=90.0-(-40)\\ &=130\text{ km/h} \end{aligned} \]

由于风会将航空器向西及向南推移，因此航空器所需的空气相对速度向东及向北的分量，必须分别大于所需地面速度的相应分量。

评分指引（2 分）：

• 1 分：正确重新整理速度关系式。
• 1 分：正确求出空气相对速度的分量。

(c) 所需空速为 \(223\text{ km/h}\)。

空速是空气相对速度向量的大小：

\[ \begin{aligned} v_a&=\sqrt{180.885^2+130^2}\\ &=222.75\text{ km/h}\\ &\approx223\text{ km/h} \end{aligned} \]

评分指引（1 分）：

• 1 分：正确计算空速并得出正确答案。

(d) 所需航向方位角为 \(054^\circ\)。

两个空气相对速度分量均为正值，因此航空器朝东北方向飞行。从正北开始顺时针量度的航向角为：

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{180.885}{130}\right)\\ &=54.3^\circ \end{aligned} \]

因此，四舍五入至最接近的整数度后，所需航向方位角为 \(054^\circ\)。

评分指引（2 分）：

• 1 分：正确使用反正切关系式。
• 1 分：正确求出航向方位角。

解答 6

(a) 风速为 \(41.7\text{ km/h}\)，方位角为 \(066^\circ\)。其分量为向东 \(38.2\text{ km/h}\) 及向北 \(16.7\text{ km/h}\)。

在第一段航程中，地速为 \(220\text{ km/h}\)，地面航迹方位角为 \(010^\circ\)。

计算地面速度向量的分量：

\[ \begin{aligned} v_{g,E}&=220\sin10^\circ\\ &=38.202\text{ km/h}\\ v_{g,N}&=220\cos10^\circ\\ &=216.658\text{ km/h} \end{aligned} \]

航空器的空气相对速度方向正北，其分量为向东 \(0\text{ km/h}\) 及向北 \(200\text{ km/h}\)。

从地面速度中减去空气相对速度，以求出风的速度向量：

\[ \begin{aligned} v_{w,E}&=38.202-0\\ &=38.202\text{ km/h}\\ v_{w,N}&=216.658-200\\ &=16.658\text{ km/h} \end{aligned} \]

风速为：

\[ \begin{aligned} v_w&=\sqrt{38.202^2+16.658^2}\\ &=41.7\text{ km/h} \end{aligned} \]

其方位角为：

\[ \begin{aligned} \theta_w&=\tan^{-1}\left(\frac{38.202}{16.658}\right)\\ &=66.4^\circ\\ &\approx066^\circ \end{aligned} \]

两个分量均为正值，因此风朝东北方向吹。

评分指引（5 分）：

• 2 分：正确求出地面速度向量的东向及北向分量。
• 1 分：正确减去空气相对速度，以求出风的速度分量。
• 1 分：正确计算风速。
• 1 分：正确指出风的方向或方位角。

(b) 新的地速为 \(239\text{ km/h}\)，新的地面航迹方位角为 \(086^\circ\)。

在第二段航程中，航空器的空气相对速度方向正东，因此其分量为向东 \(200\text{ km/h}\) 及向北 \(0\text{ km/h}\)。

风保持不变，其分量仍为向东 \(38.202\text{ km/h}\) 及向北 \(16.658\text{ km/h}\)。

新的地面速度向量分量为：

\[ \begin{aligned} v_{g,E}&=200+38.202\\ &=238.202\text{ km/h}\\ v_{g,N}&=0+16.658\\ &=16.658\text{ km/h} \end{aligned} \]

地速为：

\[ \begin{aligned} v_g&=\sqrt{238.202^2+16.658^2}\\ &=238.8\text{ km/h}\\ &\approx239\text{ km/h} \end{aligned} \]

地面航迹方位角为：

\[ \begin{aligned} \theta_g&=\tan^{-1}\left(\frac{238.202}{16.658}\right)\\ &=86.0^\circ\\ &\approx086^\circ \end{aligned} \]

航空器的机头指向正东，但由于风具有向北分量，因此其地面航迹会略微偏向正东以北。

评分指引（3 分）：

• 1 分：正确求出新的地面速度向量分量。
• 1 分：正确计算地速。
• 1 分：正确求出地面航迹方位角。

总分：40 分。