动量还是动能？碰撞问题指南

一辆质量为 \(2.0\ \mathrm{kg}\)、以 \(+4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 运动的小车，与另一辆静止、质量为 \(1.0\ \mathrm{kg}\) 的小车发生碰撞。碰撞前，两车的总动量为 \(+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)。单凭这些资讯，你能算出两车碰撞后各自的速度吗？

在选择方程式之前，先考虑三种可能性：动量守恒、动能守恒，或两者皆守恒。正确的选择取决于你研究的系统、碰撞期间作用的外力，以及你对这次碰撞本身的了解。

关键是先从动量入手，前提是净外部冲量可以忽略。动能守恒是额外的条件，而不是每当物体发生碰撞时，就能自动假设成立的定律。

01选择方程式之前，先确定你的系统

系统 是指你正在分析其运动的一组物体。在碰撞问题中，决定哪些物体属于系统，会改变哪些力应被视为外力。

想像两辆小车在轨道上发生碰撞。

如果你的系统包含两辆小车，两车彼此施加的力就是内力。根据牛顿第三运动定律，这些力大小相等、方向相反。因此，当你考虑两车整体的总动量时，这些力所产生的冲量会互相抵销。

然而，如果你的系统只包含第一辆小车，那么第二辆小车施加的力，对你所选的系统而言就是外力。第一辆小车的动量会在碰撞期间改变。

外力存在，就代表动量一定不守恒吗？

不一定。你需要考虑碰撞期间的外部冲量。

冲量衡量力在一段时间内作用所产生的效果。对一个系统而言，净外部冲量等于系统总动量的改变：

\[ J_{\text{ext}}=\Delta p_{\text{系统}} =p_f-p_i \]

其中：

• \(J_{\text{ext}}\) 是净外部冲量，单位为牛顿秒（\(\mathrm{N\,s}\)）。
• \(p_i\) 是碰撞前系统的总动量。
• \(p_f\) 是碰撞后系统的总动量。

如果净外部冲量为零，或相较于你正在研究的动量变化可以忽略，则总动量守恒：

\[ p_i\approx p_f \]

如果外部冲量不可忽略，就应使用较一般的关系式：

\[ p_f=p_i+J_{\text{ext}} \]

这个区别在 HSC 考题中很有用。即使两个物体之间作用著很大的碰撞力，两者的总动量仍然可以守恒，因为对这个包含两个物体的系统而言，该碰撞力属于内力。另一方面，轨道施加的摩擦力属于外力，可能改变两车的总动量。

重要的问题不只是外力是否存在，而是碰撞期间的净外部冲量能否忽略。

02动量是解决碰撞问题的起点

动量同时描述物体的质量与速度：

\[ p=mv \]

其中，\(p\) 是动量，\(m\) 是以公斤为单位的质量，而 \(v\) 是以公尺每秒为单位的速度。动量是向量，因此方向十分重要。

对于两个物体在一维方向上的碰撞，动量守恒可写成：

\[ m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2 \]

其中：

• \(m_1\) 和 \(m_2\) 是两个物体的质量。
• \(u_1\) 和 \(u_2\) 是它们的初速度。
• \(v_1\) 和 \(v_2\) 是它们的末速度。

代入数值之前，先选定正方向。如果向右为正，向左运动的物体就具有负速度。

只要所选系统受到的净外部冲量可以忽略，这条方程式便适用于弹性碰撞和非弹性碰撞。

这是一个重要的区别。动量守恒并不要求物体必须完美反弹、保持原本的速率，或保留全部动能。它要求的是系统的总动量保持不变。

然而，单靠动量未必能找出所有未知数。如果两个物体的两个末速度都未知，动量方程式只能提供一个关系式。要确定两个末速度，你还需要另一个条件。

这时，碰撞过程中的能量变化就变得重要。

03动能是一个额外的条件

动能是物体因运动而具有的能量：

\[ E_k=\frac12mv^2 \]

与动量不同，动能是纯量。由于速度被平方，运动方向不会影响动能的数值。

对于包含两个物体的系统，碰撞前的总动能为：

\[ E_{k,i}=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2 \]

碰撞后的总动能则为：

\[ E_{k,f}=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2 \]

这两个数值是否相等，取决于碰撞的性质。

弹性碰撞

弹性碰撞 会使碰撞物体的总动能守恒：

\[ E_{k,i}=E_{k,f} \]

如果净外部冲量也可以忽略，你就可以同时使用动量守恒和动能守恒。

这两条方程式提供两个独立的关系式，可能足以求出两个未知的末速度。

非弹性碰撞

在非弹性碰撞中，总动能不守恒。部分动能会转化为其他形式的能量，例如形变能、声能、热能或内能。

与此同时，动量仍然可以守恒。

如果两个物体碰撞后黏在一起，这种碰撞称为完全非弹性碰撞。两个物体具有相同的末速度：

\[ v_1=v_2=v_f \]

这个共同的末速度为你提供了额外条件。你可以利用动量守恒计算它，而不必假设动能守恒。

两个物体黏在一起后，它们的动能通常会减少，即使整个系统的总能量仍然守恒。

对于较有挑战性的题目，还有一个值得记住的补充：如果弹簧或其他内部储能装置在碰撞期间释放能量，物体的总动能实际上可能增加。这仍然不代表碰撞是弹性的。判断碰撞是否具有弹性，要看总动能是否保持不变。

04实用的判断流程

每当碰撞题要求你计算末速度、能量变化，或两者都要计算时，都可以依照以下流程进行。

方程式选择表

计算之前，先问自己四个问题

• 我的系统包含哪些物体？
• 碰撞期间的净外部冲量可以忽略吗？
• 题目有没有指出碰撞是弹性的、物体会黏在一起，或提供其他条件？
• 写出所有有理据可以使用的方程式后，我是否有足够的独立关系式来求出每个未知数？

如果你无法合理地证明动能守恒，就不要使用动能守恒方程式。如果未知数比独立方程式多，你就需要更多物理资讯。无论如何重新排列方程式，都无法补上缺少的条件。

05解题范例：两辆小车黏在一起

一辆质量为 \(2.0\ \mathrm{kg}\) 的小车以 \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向右运动，并与一辆静止、质量为 \(1.0\ \mathrm{kg}\) 的小车发生碰撞。两车碰撞后黏在一起。作用于两车整体的净水平外部冲量可以忽略。

求两车共同的末速度，以及总动能的减少量。

步骤 1：确认系统与条件。

将两辆小车视为同一个系统。由于净水平外部冲量可以忽略，因此总动量守恒。

因为两车碰撞后会黏在一起，所以它们具有共同的末速度 \(v_f\)。我们不假设动能守恒。

步骤 2：应用动量守恒。

\[ m_1u_1+m_2u_2=(m_1+m_2)v_f \]

以向右为正方向，代入已知数值：

\[ (2.0)(+4.0)+(1.0)(0)=(3.0)v_f \]

因此，

\[ v_f=\frac{8.0}{3.0} =+2.67\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

两辆小车会以 \(2.67\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速度一起向右运动。

步骤 3：计算碰撞前后的动能。

碰撞前，只有第一辆小车在运动：

\[ E_{k,i}=\frac12(2.0)(4.0)^2 =16.0\ \mathrm J \]

碰撞后，合并的总质量为 \(3.0\ \mathrm{kg}\)：

\[ E_{k,f}=\frac12(3.0) \left(\frac83\right)^2 =10.67\ \mathrm J \]

动能的减少量为：

\[ \begin{aligned} E_{k,\text{减少量}} &=E_{k,i}-E_{k,f}\\ &=16.0-10.67\\ &=5.33\ \mathrm J \end{aligned} \]

步骤 4：解释结果。

两辆小车的总动量守恒，但它们的总动能减少了 \(5.33\ \mathrm J\)。

这些能量并没有消失，而是转化为其他形式，例如形变能、声能或内能。两车会黏在一起这个条件，告诉我们不应使用动能守恒方程式来求解它们的末速度。

06解题范例：相同的小车发生弹性碰撞

一辆质量为 \(2.0\ \mathrm{kg}\)、以 \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 运动的小车，与一辆静止、质量为 \(1.0\ \mathrm{kg}\) 的小车发生碰撞。这一次，题目明确指出碰撞是弹性的，而且两车在撞击后会分开。净水平外部冲量可以忽略。

求每辆小车的末速度。

步骤 1：确认系统与条件。

将两辆小车都纳入系统，而且外部冲量可以忽略。因此，我们可以使用总动量守恒。

由于题目明确指出碰撞是弹性的，我们也可以使用动能守恒。这两条方程式可以用来求出两车的末速度。

步骤 2：写出动量方程式。

令 \(v_1\) 和 \(v_2\) 分别表示质量为 \(2.0\ \mathrm{kg}\) 和 \(1.0\ \mathrm{kg}\) 的小车的末速度。

\[ (2.0)(4.0)+(1.0)(0) =2.0v_1+1.0v_2 \]

以 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) 为速度单位，简化后得到：

\[ 2v_1+v_2=8 \]

重新整理，将其中一个未知数表示为另一个未知数的函数：

\[ v_2=8-2v_1 \]

步骤 3：写出动能方程式。

碰撞前的总动能为 \(16.0\ \mathrm J\)。由于碰撞是弹性的，碰撞后的总动能也必须是 \(16.0\ \mathrm J\)。

\[ \frac12(2.0)v_1^2+ \frac12(1.0)v_2^2=16 \]

简化数值系数，并以 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) 为速度单位：

\[ v_1^2+\frac12v_2^2=16 \]

步骤 4：代入并求解。

将 \(v_2=8-2v_1\) 代入动能方程式：

\[ v_1^2+\frac12(8-2v_1)^2=16 \]

展开并简化后得到：

\[ 3v_1^2-16v_1+16=0 \]

因式分解：

\[ (3v_1-4)(v_1-4)=0 \]

因此，

\[ v_1=\frac43 \quad\text{或}\quad v_1=4 \]

当 \(v_1=4\) 时，会得到 \(v_2=0\)。这代表系统维持原本的状态，并不是题目所描述的两车互相作用、碰撞后分开的情况。因此，我们舍弃这个解。

符合实际碰撞情况的解为：

\[ v_1=\frac43=+1.33\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

接著，

\[ v_2=8-2\left(\frac43\right) =\frac{16}{3} =+5.33\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

步骤 5：检查结果。

碰撞后的总动量为：

\[ \begin{aligned} p_f &=(2.0)\left(\frac43\right) +(1.0)\left(\frac{16}{3}\right)\\ &=8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

碰撞后的总动能为：

\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(2.0)\left(\frac43\right)^2\\ &\quad+\frac12(1.0)\left(\frac{16}{3}\right)^2\\ &=16.0\ \mathrm J \end{aligned} \]

两者都与初始数值相同，符合这次孤立弹性碰撞的要求。

请注意，两个解题范例的初始条件完全相同。第一种碰撞使两车具有共同的末速度，且动能减少；第二种碰撞则使两车具有不同的末速度，同时保持动量与动能守恒。

决定哪些方程式可以合理使用的，是碰撞本身的条件。

• 总动能

07练习题与解答

问题 1

一辆质量为 \(1.5\ \mathrm{kg}\) 的小车以 \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向右运动，并与一辆静止、质量为 \(2.5\ \mathrm{kg}\) 的小车发生碰撞。两车碰撞后连结在一起，且净水平外部冲量可以忽略。

计算两车共同的末速度，以及总动能的减少量。

解答 1

两车会以 \(+2.25\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速度一起运动，总动能则减少约 \(16.9\ \mathrm J\)。

由于两车碰撞后黏在一起，因此它们只有一个共同的末速度。根据动量守恒：

\[ \begin{aligned} (1.5)(6.0)+(2.5)(0)&=(1.5+2.5)v_f\\ 9.0&=4.0v_f\\ v_f&=+2.25\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

接著计算初动能：

\[ E_{k,i}=\frac12(1.5)(6.0)^2 =27.0\ \mathrm J \]

末动能为：

\[ E_{k,f}=\frac12(4.0)(2.25)^2 =10.125\ \mathrm J \]

因此，

\[ \begin{aligned} E_{k,\text{减少量}} &=27.0-10.125\\ &=16.875\ \mathrm J\\ &\approx16.9\ \mathrm J \end{aligned} \]

动能之所以减少，是因为这次碰撞属于完全非弹性碰撞。动量计算是正确的，但如果假设动能守恒，就会得到错误的结果。

问题 2

一颗质量为 \(0.40\ \mathrm{kg}\) 的球以 \(12\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向右运动，并与另一颗质量为 \(0.60\ \mathrm{kg}\)、以 \(2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向左运动的球发生碰撞。碰撞后，第一颗球以 \(3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向左运动。假设两球系统受到的净外部冲量可以忽略。

计算第二颗球的末速度，并判断这次碰撞是否为弹性碰撞。

解答 2

第二颗球会以 \(8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向右运动。由于总动能减少了 \(9.0\ \mathrm J\)，因此这次碰撞属于非弹性碰撞。

以向右为正方向。根据动量守恒：

\[ \begin{aligned} p_i&=(0.40)(+12)+(0.60)(-2.0)\\ &=3.6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

令 \(v_2\) 为第二颗球的末速度。则：

\[ \begin{aligned} 3.6&=(0.40)(-3.0)+(0.60)v_2\\ 3.6&=-1.2+0.60v_2\\ v_2&=\frac{4.8}{0.60}\\ &=+8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

现在比较碰撞前后的总动能。

碰撞前：

\[ \begin{aligned} E_{k,i} &=\frac12(0.40)(12)^2 +\frac12(0.60)(2.0)^2\\ &=28.8+1.2\\ &=30.0\ \mathrm J \end{aligned} \]

碰撞后：

\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(0.40)(3.0)^2 +\frac12(0.60)(8.0)^2\\ &=1.8+19.2\\ &=21.0\ \mathrm J \end{aligned} \]

动能的减少量为：

\[ 30.0-21.0=9.0\ \mathrm J \]

这次碰撞不是弹性碰撞，因为总动能发生了变化。由于净外部冲量可以忽略，动量仍然守恒。这是两个不同的条件，满足其中一个并不代表另一个也必然成立。

问题 3

一个质量为 \(1.0\ \mathrm{kg}\) 的滑盘以 \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向右运动，并与另一个静止、质量为 \(2.0\ \mathrm{kg}\) 的滑盘发生碰撞。两者碰撞后黏在一起。

在持续 \(0.20\ \mathrm s\) 的碰撞期间，作用于两个滑盘系统的平均净水平外力为 \(5.0\ \mathrm N\)，方向向左。

计算两个滑盘合并后的末速度。并解释假设总动量守恒的计算有何错误。

解答 3

两个滑盘合并后会以 \(1.67\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向右运动。如果假设动量守恒，就会错误地得到 \(2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，因为外部冲量不可忽略。

初始总动量为：

\[ p_i=(1.0)(6.0)+(2.0)(0) =6.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \]

外部冲量为：

\[ \begin{aligned} J_{\text{ext}} &=F_{\text{avg}}\Delta t\\ &=(-5.0)(0.20)\\ &=-1.0\ \mathrm{N\,s} \end{aligned} \]

使用冲量-动量关系式：

\[ \begin{aligned} p_f&=p_i+J_{\text{ext}}\\ &=6.0-1.0\\ &=5.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

两个滑盘的合并质量为 \(3.0\ \mathrm{kg}\)，因此：

\[ \begin{aligned} v_f&=\frac{p_f}{m_1+m_2}\\ &=\frac{5.0}{3.0}\\ &=+1.67\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

如果错误地令 \(p_f=p_i\)，就会得到：

\[ v_f=\frac{6.0}{3.0} =2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

这个结果忽略了周围环境施加的 \(-1.0\ \mathrm{N\,s}\) 冲量。内部碰撞力在总动量的计算中会互相抵销，但周围环境施加的外力会改变系统的动量。

问题 4

在一次碰撞期间，测量结果显示以下动量变化：

• 物体 A 的动量由 \(+10\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) 变为 \(+2\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)。
• 物体 B 的动量由 \(-4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) 变为 \(+4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)。

一名学生认为，动量没有守恒，因为物体 A 失去了动量。另一名学生则认为，动量有守恒，因为两个物体的总动量保持不变。

判断对于包含两个物体的系统，以及只包含物体 A 的系统，哪位学生的说法正确。计算两个物体整体受到的净外部冲量，并解释这些数据是否足以证明碰撞是弹性的。

解答 4

第二名学生对于包含两个物体的系统而言是正确的，但对于只包含物体 A 的系统而言，动量并不守恒。两个物体整体受到的净外部冲量为零，而这些测量结果无法证明碰撞是否具有弹性。

对于两个物体组成的系统，初始总动量为：

\[ \begin{aligned} p_i&=+10+(-4)\\ &=+6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

末总动量为：

\[ \begin{aligned} p_f&=+2+(+4)\\ &=+6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

因此，

\[ J_{\text{ext}}=p_f-p_i=0\ \mathrm{N\,s} \]

两个物体的总动量保持不变。物体 A 的动量减少了 \(8\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)，而物体 B 的动量增加了相同的数值。两者的动量变化互相抵销。

然而，对于只包含物体 A 的系统而言，物体 B 施加的力属于外力。因此，物体 A 的动量在碰撞期间并不守恒。

最后，单靠动量测量无法判断碰撞是否具有弹性。你需要足够的物体质量与速度资讯，才能比较碰撞前后的总动能。总动量相等并不代表总动能也相等。

问题 5

一辆质量为 \(2.0\ \mathrm{kg}\) 的小车 A 以 \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向右运动，并与一辆静止、质量为 \(1.0\ \mathrm{kg}\) 的小车 B 发生碰撞。作用于两车系统的净水平外部冲量可以忽略。

碰撞后立即测得：

• 小车 A：\(+1.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。
• 小车 B：\(+6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

两辆小车内含一个预先压缩的弹簧机构，会在接触期间释放储存的能量。假设该机构属于系统的一部分，而且所有其他储能形式都保持不变。

一名学生声称这些测量结果不可能成立：「如果系统是孤立的，动量和动能就必须同时守恒。」

评估这个说法。计算碰撞前后的总动量与总动能，然后求出弹簧储存能量的变化量。

解答 5

这些测量结果符合动量守恒，但总动能增加了 \(3.0\ \mathrm J\)。这次碰撞不是弹性碰撞：弹簧释放了 \(3.0\ \mathrm J\) 的储存能量，并将其转化为额外的动能。

首先，检查动量守恒。

碰撞前：

\[ \begin{aligned} p_i&=(2.0)(+4.0)+(1.0)(0)\\ &=+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

碰撞后：

\[ \begin{aligned} p_f&=(2.0)(+1.0)+(1.0)(+6.0)\\ &=+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

总动量保持不变。小车之间的内力，包括与弹簧机构有关的作用力，可以重新分配两辆小车的动量，而不会改变系统的总动量。

接著比较动能。

初始动能：

\[ E_{k,i}=\frac12(2.0)(4.0)^2 =16.0\ \mathrm J \]

末动能：

\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(2.0)(1.0)^2 +\frac12(1.0)(6.0)^2\\ &=1.0+18.0\\ &=19.0\ \mathrm J \end{aligned} \]

动能的增加量为：

\[ \Delta E_k=19.0-16.0=+3.0\ \mathrm J \]

由于弹簧是唯一发生变化的其他储能形式，因此其储存能量必须减少 \(3.0\ \mathrm J\)。额外增加的动能来自这个内部储能装置。

这名学生的错误，在于混淆了总能量守恒与动能守恒。孤立系统的总能量会守恒，但能量可以在动能、弹性位能、热能及其他形式之间转移。

这次碰撞不是弹性碰撞，因为总动能发生了变化。动量守恒并不会强制动能也必须守恒。

这就是更深一层的原则：动量守恒取决于系统受到的净外部冲量，而动能守恒则取决于交互作用的性质，以及系统内部的能量转移。

接下来值得学习的概念是冲量-动量关系。当碰撞题提供力-时间图时，图线下方的面积就是冲量，它能告诉你系统的总动量改变了多少。当净外部冲量不再能够忽略时，就应该使用这个方法。