盖革－马斯登实验：HSC 物理解说
了解阿尔法粒子散射如何挑战汤姆森的原子模型，并为微小、致密且带正电的原子核提供证据。
想像一下，把一个快速、沉重、带正电的粒子射向一片只有几百个原子厚的金箔。如果原子的正电荷均匀分散在整个体积中，应该会发生甚么事？
你会预期这个粒子大致直接穿过，最多只会稍微偏转。这大致就是汉斯・盖革（Hans Geiger）和欧内斯特・马斯登（Ernest Marsden）在 1909 年时可以作出的预测。然而，实际结果却是：极少部分的阿尔法粒子发生了非常大角度的偏转，有些甚至几乎原路返回。
这个出乎意料的结果迫使物理学家重新描绘原子的结构：原子的大部分体积相对空旷，而几乎全部的正电荷，以及大部分质量，都集中在一个极小的中央原子核内。
01旧原子模型的问题
到了 1909 年，电子已经透过阴极射线相关实验被发现。如果你需要重温这部分背景，可以参阅 电子的阴极射线证据。
负电子的发现立即带来另一个问题。一般原子在电性上是中性的，那么正电荷在哪里？
J. J. 汤姆森（J. J. Thomson）的模型认为，电子位于一个大得多、正电荷分散其中的区域内。这个模型通常称为葡萄干布丁模型（plum pudding model）。
重要的并不是「布丁」本身，而是以下几点：
- 负电子是原子内部的微小粒子，
- 正电荷分散在一个大得多的体积中，
- 并不存在一个微小而高度集中的正电中心。
对于一个射入的阿尔法粒子，这个模型会作出明确的预测。
阿尔法粒子带正电。如果它穿过一个正电荷分散的原子，就应该受到静电斥力。不过，由于正电荷是分散的，并不存在某一个位置能产生极强的排斥力。
因此，试著预测结果：一个阿尔法粒子在接近一个原子后，会不会突然反转方向？
按照正电荷分散的模型，这种情况会极难解释。小角度偏转是合理的，但几乎完全反向就不合理。
这正是盖革－马斯登实验结果如此重要的原因。
02实验如何进行
这项实验由汉斯・盖革和欧内斯特・马斯登进行，当时他们与欧内斯特・卢瑟福（Ernest Rutherford）一同在曼彻斯特大学工作。他们的重要大角度散射结果于 1909 年发表，而卢瑟福对此提出的核式结构解释则在 1911 年出现。
想像自己跟随一个阿尔法粒子穿过整套装置，会更容易理解这项实验。
从粒子源到金箔，再到探测器
首先，一个放射性来源会发射阿尔法粒子。阿尔法粒子就是氦原子核：每个包含两个质子和两个中子，不过以质子和中子描述原子核的现代观点是在更晚之后才形成的。
实验装置把粒子源安排成让一束狭窄的阿尔法粒子射向一片非常薄的金属箔。黄金成为最著名的例子，因为黄金可以制成极薄的薄片。
金属箔必须非常薄，这有一个重要原因。如果一个阿尔法粒子在被侦测之前穿过数十万个原子，就很难判断一次大的方向改变究竟来自一次强烈相互作用，还是许多次较小的相互作用。
阿尔法粒子穿过金属箔，或被金属箔散射后，可能撞上一个涂有硫化锌的萤光屏。
当阿尔法粒子撞击萤光屏时，萤光屏会产生一个微小闪光，称为闪烁（scintillation）。因此，盖革和马斯登可以计算到达不同角度位置的粒子数目。
这个探测器实际上是在问：
阿尔法粒子到达金属箔后，会沿哪个方向离开？
这样便把原子结构转化成可以测量的现象。
03葡萄干布丁模型应该会产生甚么结果？
假设一个阿尔法粒子进入原子。
它带正电，因此原子的正电荷会排斥它。电子会吸引它，但电子的质量远小于阿尔法粒子，所以很难令拥有较大动量的阿尔法粒子反向运动。
如果正电荷分散在整个原子之中，阿尔法粒子在穿过原子时，会受到来自正电荷分布不同部分、相对较弱的力。
它的路径可能稍微弯曲。
这个预测有点像让一颗沉重的保龄球滚过一群松散分布的乒乓球。这个类比的细节并不完全准确，但基本概念很有用：许多微弱的相互作用可以扰动保龄球的路径，却不容易把它直接弹回你所在的方向。
这个类比的限制是，阿尔法粒子散射来自远距离作用的电力，而不是机械碰撞。
关键预测仍然相同：如果正电荷是分散的，那么非常大的单次偏转应该极为罕见。
04盖革和马斯登实际观察到甚么？
大多数阿尔法粒子的表现相当正常。
它们穿过薄金属箔时几乎没有偏转，甚至完全没有偏转。
有些粒子发生小角度偏转。
然而，有极少部分粒子被散射到很大的角度，包括大于 \(90^\circ\) 的角度。因此，有些粒子会朝它们原本射入金属箔的那一侧返回。
这几项观察合在一起，比任何一项单独的观察都更加重要。
| 观察结果 | 所暗示的意义 |
|---|---|
| 大多数阿尔法粒子几乎直线穿过 | 原子的大部分体积中，并没有足够集中的物质或电荷去强烈扰动阿尔法粒子 |
| 有些粒子发生小角度偏转 | 阿尔法粒子确实会与原子产生电相互作用 |
| 极少部分粒子发生非常大的偏转 | 正电荷有时必须能在非常短的距离内施加极强的排斥力 |
| 有些粒子向后散射 | 阿尔法粒子有时可能以接近正面碰撞的方式靠近一个非常小、质量大而带正电的区域 |
注意这里的推理方式。卢瑟福并没有直接「看见」原子核。
他是根据靠近原子核的粒子所发生的现象来推断原子核的存在。
这种推理方式直到今天仍然是粒子物理和核物理的核心：把已知性质的粒子射向目标，测量射出来的是甚么，再推断内部必然发生了甚么。
05为甚么「大多数粒子直线穿过」很重要？
学生往往只集中注意那些戏剧性地向后反弹的粒子。
不要忽略那些看似平凡的粒子。
如果原子的大部分体积都充满致密、会强烈相互作用的物质，那么大量阿尔法粒子都应该受到明显扰动。然而，实际上大多数粒子几乎沿直线穿过。
因此，原子不可能是一颗实心的小球。
原子的半径所涵盖的范围，大部分都是没有高度集中的正电荷或质量、因而不足以强烈偏转阿尔法粒子的空间。
把原子称为「大部分是空间」很有用，但需要加上一项限定。现代量子物理并不把电子描述成微小行星，并不认为电子之间存在字面上完全空白的区域。电子的机率分布会占据原子的空间。
不过，在解释盖革－马斯登实验时，「大部分是空间」确实抓住了最重要的对比：原子核只占原子体积中极小的一部分。
06为甚么罕见的大角度偏转更加重要？
现在考虑一个非常接近金原子中心的阿尔法粒子。
阿尔法粒子的电荷为 \(+2e\)。以现代观点来说，金原子核的电荷为 \(+79e\)，其中 \(e\) 是基本电荷。
同号电荷互相排斥。
两个点电荷之间的静电力大小为
\[ F=\frac{kq_1q_2}{r^2} \]
其中：
- \(F\) 是以牛顿为单位的静电力，
- \(k=8.99\times10^9\ \mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}\) 是库仑常数，
- \(q_1\) 和 \(q_2\) 是以库仑为单位的电荷，
- \(r\) 是它们之间以米为单位的距离。
最重要的是 \(1/r^2\) 这一项。
如果距离减半，力就会变成原来的四倍。
如果距离变成原来的十分之一，力就会变成原来的一百倍。
因此，一个高度集中的正电荷可以对从极近距离掠过的阿尔法粒子产生极大的力。
这自然地解释了证据中的两个部分：
- 大多数阿尔法粒子从未足够接近原子核，因此几乎不会偏转，
- 极少部分粒子从非常接近原子核的位置通过，因此受到强烈排斥力并急剧转向。
所以，大角度散射十分罕见这一点，本身也是原子核非常微小的证据之一。
07例题：当阿尔法粒子更接近时，排斥力会增强多少？
一个阿尔法粒子正在接近金原子核。比较距离为 \(2.0\times10^{-13}\ \mathrm{m}\) 时的静电力，与距离为 \(1.0\times10^{-13}\ \mathrm{m}\) 时的静电力。
步骤 1
电荷没有改变。只有距离改变，因此
\[ F\propto\frac{1}{r^2}. \]
步骤 2
令 \(F_1\) 为距离 \(2.0\times10^{-13}\ \mathrm{m}\) 时的力，\(F_2\) 为距离 \(1.0\times10^{-13}\ \mathrm{m}\) 时的力。
\[ \frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{2.0\times10^{-13}}{1.0\times10^{-13}}\right)^2 =4 \]
步骤 3
当距离减半时，静电排斥力变成四倍。
这就是为甚么一次非常接近的掠过，可以产生与一般穿过原子时截然不同的运动轨迹。
08为甚么电子不能解释向后散射？
这里很容易出现一个误解。
阿尔法粒子带正电，而电子带负电，那么阿尔法粒子是否可能与电子发生强烈相互作用，然后被拉到向后运动？
电荷的正负告诉我们两者之间存在吸引力，但并不能直接告诉我们它们的运动会如何改变。
阿尔法粒子的质量比电子大数千倍。轻质量的电子比阿尔法粒子容易加速得多。阿尔法粒子与电子相遇时，电子无法轻易让质量庞大的阿尔法粒子获得实验中所观察到的巨大向后动量变化。
可以把它想像成一辆行驶中的 ute 撞上一颗乒乓球。乒乓球可能会经历一个相当刺激的下午，但那辆 ute 不太可能因此反向沿街倒退。
同样地，这个类比只是用来说明质量差异。原子尺度的相互作用属于电磁作用，而不是微小物体之间的机械碰撞。
大角度阿尔法散射反而显示，阿尔法粒子与某个既带有高度集中的正电荷，又能承受大量动量转移的物体发生相互作用：也就是原子核。
09卢瑟福修正后的模型
卢瑟福提出，原子的正电荷并不是分散在整个原子体积中。
正电荷集中在一个非常小的中央区域。
我们现在把这个区域称为原子核。
这个模型用一幅整体图像解释了所有观察结果：
- 原子核与整个原子相比极为细小，因此大多数射入的阿尔法粒子都会从距离原子核很远的位置通过。
- 原子的正电荷集中在原子核内，因此从原子核附近通过的阿尔法粒子会受到强烈的静电排斥。
- 大部分原子质量集中在原子核，因此阿尔法粒子的动量可以发生很大改变，而不会像撞上轻质量电子那样，只把目标粒子轻易推走。
- 电子占据原子核周围大得多的区域。
要小心历史事件的先后顺序。1909 年的实验产生了令人意外的散射证据。卢瑟福在 1911 年发表的核式原子模型，则是对这些证据作出合理解释的模型。
这项实验并没有立即建立完整的现代原子模型。
10例题：估算阿尔法粒子的最近接距离
假设一个动能为 \(5.0\ \mathrm{MeV}\) 的阿尔法粒子正面朝一个金原子核前进。假设它在掉头之前，全部动能都转化为静电势能，估算它与原子核的最近接距离。
使用：
- 阿尔法粒子电荷 \(q_\alpha=+2e\)，
- 金原子核电荷 \(q_{\mathrm{Au}}=+79e\)，
- \(e=1.60\times10^{-19}\ \mathrm C\)，
- \(k=8.99\times10^9\ \mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}\)，
- \(1\ \mathrm{eV}=1.60\times10^{-19}\ \mathrm J\)。
忽略核力，并把两个电荷都视为点电荷。
步骤 1
在远离原子核时，阿尔法粒子具有动能。
当它接近带正电的原子核时，静电排斥会使它减速。对于完全正面的接近，粒子到达最近点时，其速率会暂时降至零。
因此
\[ E_k=E_{\mathrm{electric}}. \]
对两个点电荷而言，
\[ E_{\mathrm{electric}}=\frac{kq_\alpha q_{\mathrm{Au}}}{r}. \]
步骤 2
\[ \begin{aligned} E_k &=5.0\times10^6\ \mathrm{eV} \times1.60\times10^{-19}\ \mathrm{J/eV}\\ &=8.0\times10^{-13}\ \mathrm J \end{aligned} \]
步骤 3
\[ q_\alpha=2(1.60\times10^{-19})=3.20\times10^{-19}\ \mathrm C \]
以及
\[ q_{\mathrm{Au}}=79(1.60\times10^{-19}) =1.264\times10^{-17}\ \mathrm C. \]
现在求解
\[ \begin{aligned} r &=\frac{kq_\alpha q_{\mathrm{Au}}}{E_k}\\ &=\frac{(8.99\times10^9)(3.20\times10^{-19})(1.264\times10^{-17})} {8.0\times10^{-13}}\\ &\approx4.5\times10^{-14}\ \mathrm m. \end{aligned} \]
步骤 4
在这些假设下，阿尔法粒子会在大约 \(4.5\times10^{-14}\ \mathrm m\)，即 \(45\ \mathrm{fm}\) 的位置掉头。
这远小于典型原子半径约 \(10^{-10}\ \mathrm m\) 的尺度。因此，阿尔法粒子可以深入原子内部，直到高度集中的正电荷产生足够大的排斥力使它反向运动。
这项计算并不是说金原子核的半径是 \(45\ \mathrm{fm}\)。它给出的是在这个简化的正面库仑相互作用模型中，阿尔法粒子的最近接距离。这项区分十分重要。
11证据、解释与现代知识
在考试答案中，这三者很容易混在一起。
直接观察到的是甚么？
盖革和马斯登观察的是阿尔法粒子与薄金属箔相互作用后射出的方向。
关键的分布模式是：
- 大多数粒子只有很小的偏转，
- 较少粒子发生中等程度的偏转，
- 极少粒子发生大角度或向后散射。
卢瑟福推断出甚么？
卢瑟福把这个分布解释为以下各点的证据：
- 正电荷集中在一个微小的中央区域，
- 这个中央区域包含原子的大部分质量，
- 原子的其余体积中，集中存在的物质相对很少。
后来的物理学告诉我们甚么？
现代物理加入了一些原本实验本身并未单独确立的细节：
- 原子核包含质子和中子，
- 金的原子序为 \(79\)，因此一个中性金原子有 79 个质子，
- 电子用量子力学描述，而不是用简单的行星式轨道描述，
- 原子核本身也具有内部结构。
在 HSC 作答时，分清这些层次很有用。不要把后来成为原子模型一部分的所有事实，都归功于同一项实验。
12为甚么许多次小偏转仍不足以解释结果？
一个粒子会不会在金属箔中经历许多次微小偏转，然后因为碰巧累积出某种结果，最后向后运动？
这是一个合理的替代解释，也值得检验。
如果偏转是随机发生的，大量细小的方向改变确实可以产生净方向变化。不过，如果不存在一个强而集中的散射中心，要让粒子穿过薄金属箔后产生非常大的偏转，就需要极不寻常地累积大量微小作用。
更重要的是，散射角度的分布可以由一个模型描述：带正电的阿尔法粒子受到集中正电荷的排斥。
因此，那些罕见的大角度事件并不只是「奇怪的粒子」。它们出现的频率如何随角度改变，本身就包含了原子内部电荷分布的资讯。
后来的散射测量对卢瑟福模型提供了更强的定量检验。
13一个实用的考试判断规则
当 HSC 题目给你一项盖革－马斯登实验的观察结果时，要把那一项具体观察连接到它所支持的模型特征。
| 如果题目提到…… | 就把它连接到…… |
|---|---|
| 大多数阿尔法粒子直线穿过 | 原子核只占原子体积中的极小部分 |
| 小角度偏转 | 与带正电原子核之间的静电相互作用 |
| 罕见的大角度偏转 | 正电荷高度集中 |
| 向后散射 | 非常接近原子核时，可以产生极强的排斥力 |
| 整体而言阿尔法粒子大多不受影响 | 原子并不是均匀充满致密物质 |
| 汤姆森模型失败 | 分散的正电荷无法自然解释观察到的大角度散射 |
避免只写：「这项实验证明原子有原子核。」
这样只给出了结论，却跳过了物理推理。更好的回答应该连接「观察结果 → 力 → 结构」。
14问题与解答
问题 1
在盖革－马斯登实验中，大多数阿尔法粒子穿过薄金箔时，方向几乎没有改变或完全没有改变。
这项观察支持关于原子结构的甚么结论？
解答 1
原子的大部分体积中，并没有高度集中的物质或正电荷足以强烈偏转阿尔法粒子，因此原子核必定只占原子体积中的极小部分。
阿尔法粒子的质量相对较大，而且带正电。如果致密物质或强烈的正电荷分布在整个原子内，粒子出现大幅度扰动的频率应该高得多。
一个很直觉的答案是直接说「原子是空的」。这是一种有用的简写，但不够精确。这项实验具体显示的是，高度集中的正电荷和质量只占据一个与整个原子尺寸相比非常小的区域。
问题 2
一名学生写道：
「那些少数向后运动的阿尔法粒子显示，电子有时一定会强烈吸引阿尔法粒子，把它拉到转身。」
评价这项陈述。
解答 2
这项陈述不正确。向后散射是受到微小、带正电原子核强烈静电排斥的证据，而不是受到电子吸引的证据。
阿尔法粒子带正电，因此电子的确会吸引它。然而，电子的质量与阿尔法粒子相比非常小。电子无法轻易解释使高速阿尔法粒子向后运动所需要的巨大动量变化。
原子核同时具有证据所要求的两项特征：高度集中的正电荷能在近距离接近时产生强烈排斥力，而原子核相对较大的质量则能容许大量动量转移，而不会使散射中心像轻质量电子那样被轻易甩走。
一个很容易走上的错误思路，是注意到两者带有异号电荷，然后认为电子的吸引必然非常强。这里漏掉的限制条件是动量：电荷决定相互作用的性质，而质量则有助于决定物体会如何对这种相互作用作出运动反应。
问题 3
一个阿尔法粒子从金原子核附近通过。在某一时刻，它与原子核之间的距离为 \(3.0\times10^{-13}\ \mathrm m\)。之后，在同一次接近过程中，它与原子核之间的距离减小至 \(1.0\times10^{-13}\ \mathrm m\)。
假设库仑定律适用，静电力的大小增加了多少倍？解释这种行为如何帮助说明大角度散射。
解答 3
静电力增加了 \(9\) 倍。
库仑定律为
\[ F=\frac{kq_1q_2}{r^2}. \]
由于电荷没有改变，
\[ F\propto\frac{1}{r^2}. \]
因此，
\[ \begin{aligned} \frac{F_2}{F_1} &=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\\ &=\left(\frac{3.0\times10^{-13}} {1.0\times10^{-13}}\right)^2\\ &=9. \end{aligned} \]
所以，当距离缩小至原来的三分之一时，力会变成九倍。
这有助于解释为甚么大多数阿尔法粒子只受到很小影响，而极少部分粒子却会发生剧烈偏转。若一个阿尔法粒子一直离原子核较远，它所受到的力会弱得多。若某个粒子异常接近原子核，它会受到迅速增强的排斥力，从而产生很大的动量和方向改变。
一个常见的错误是说，由于距离缩小三倍，所以力就增大三倍。真正限制答案的是反平方关系。
问题 4
考虑两个假想的原子模型。
模型 A： 原子的正电荷均匀分布在一个具有原子尺度大小的球体内。
模型 B： 相同的总正电荷集中在一个微小的中央原子核内。
一项实验得到以下三项结果：
- \(99.9\%\) 的阿尔法粒子离开时，与原本方向之间的夹角很小。
- 少部分粒子发生中等角度散射。
- 有一个可重复观察到、但比例极低的粒子群，会散射至大于 \(90^\circ\) 的角度。
一名学生认为，观察结果 1 强烈支持模型 A，因为几乎所有阿尔法粒子都如分散正电荷模型所预期般直接穿过。
这名学生的结论合理吗？解释为甚么必须把三项观察结果一起考虑。
解答 4
不合理。把所有观察结果一起考虑时，它们强烈支持模型 B：正电荷集中在一个微小区域，而其周围是一个大得多、阿尔法粒子通常只会受到很弱净偏转的空间。
单独看观察结果 1，它其实同时与两个模型相容。分散的正电荷确实可以让大部分粒子只有小角度偏转，但微小原子核同样预测这种行为，因为大多数阿尔法粒子根本不会从原子核附近通过。
观察结果 2 显示，阿尔法粒子在穿过金属箔时确实受到电磁相互作用。不过，这项观察单独来看仍不能清楚区分两个模型。
观察结果 3 才是决定性的限制条件。一个被散射至超过 \(90^\circ\) 的粒子经历了非常大的动量变化。要在一次短暂相遇中产生这种改变，就需要非常强的力。把正电荷集中在一个微小区域内，就能在罕见的近距离接近时提供这种强力。
关键在于，模型 B 可以解释这个看似矛盾的组合：强烈相互作用确实可以发生，但非常罕见。原子核在短距离下可以产生极强作用，同时因为它的几何尺寸非常小，只会影响极少部分运动轨迹。
一个容易采取但错误的思路，是把观察结果当作投票来计算：既然大多数粒子直线前进，就选择分散正电荷模型。但实验模型必须受到完整证据模式的限制。如果某一个模型无法解释某项罕见观察，那项罕见观察反而可能比常见观察更有区辨力。
问题 5
想像一个改良版的盖革－马斯登实验，其中使用两种不同的假想原子 X 和 Y。
它们的原子具有相同的整体原子半径。它们的原子核带有相同的正电荷。阿尔法粒子以相同的动能射入。
对原子 X 而言，原子核的质量与阿尔法粒子相比极大。
对原子 Y 而言，假设正核电荷仍集中在相同的微小区域，但中央物体的质量与阿尔法粒子相若。
一名学生预测，X 和 Y 必定会产生完全相同的阿尔法散射分布，因为库仑定律取决于电荷与距离，而不是原子核质量。
这名学生正确吗？解释哪些部分会维持相似、哪些部分会改变，以及为甚么这对解读原本的实验很重要。
解答 5
这名学生并不完全正确。在给定距离下，X 和 Y 的静电力会相同，但最终运动不一定相同，因为两个相互作用的物体都必须遵守动量守恒和能量守恒。
对于给定距离，
\[ F=\frac{kq_\alpha q_N}{r^2}, \]
所以，如果电荷和几何关系相同，作用在阿尔法粒子上的瞬时静电力确实相同。根据牛顿第三定律，原子核会受到大小相等、方向相反的力。
差异在于目标原子核会产生多大的加速度。
对原子 X 而言，原子核质量极大。它的加速度
\[ a=\frac{F}{m}, \]
非常小。在相互作用期间，它可以近似视为一个固定的散射中心。因此，阿尔法粒子的方向可以发生很大改变，而原子核只会有很小的反冲。
对原子 Y 而言，中央物体的质量与阿尔法粒子相若，因此它会明显反冲。系统的一部分动能和动量会表现在中央物体的运动上，所以不能再把阿尔法粒子的轨迹视为由一个不会移动的中心所造成的散射。因此，即使静电相互作用具有相同的电荷依赖关系，Y 所产生的阿尔法粒子射出角度分布仍会与 X 不同。
这个看似合理但有缺陷的论证，正确使用了库仑定律，却把它当成整个力学问题的全部。库仑定律决定力；动量守恒、能量守恒以及物体的质量，则共同决定这个力会如何改变两个物体的运动。
这进一步厘清了原本实验的解释。大角度向后偏转不只表示正电荷高度集中。其力学行为也与阿尔法粒子遇到一个包含大量质量的中心相符。
这直接引出了原子模型发展的下一个阶段。卢瑟福的原子核解决了散射问题，但它立即产生了另一个问题：如果带负电的电子环绕带正电的原子核，为甚么按照经典物理，原子不会变得不稳定？正是卢瑟福模型的这项失败，把原子理论推向玻尔的量子化原子模型，并最终发展为电子状态的量子模型。