HSC 物理：圆形轨道中的重力作为向心力

了解重力如何为圆形轨道提供向心力，并运用相关关系计算轨道速度与周期。

卫星在轨道上运行时，始终受到朝向地球的引力。那么，为什么它不会直接垂直坠落地面呢？

想像一下，给卫星一个侧向速度。重力将它向下拉，但它在下落的同时，也会向侧面移动。如果它的速度恰到好处，地球弯曲的表面就会以相同的速率从它下方逐渐远离。卫星便能持续下落，却始终不会碰到地面。

现在试著预测：如果我们将卫星移至较低的圆形轨道，它的运行速度应该会变快还是变慢？

较小的轨道距离较短，因此直觉上可能会认为速度应该比较慢。然而，越靠近地球，重力就越强。当我们把重力与圆周运动连结起来后，就会发现较低轨道上的卫星实际上必须运行得更快。

01重力使轨道弯曲

先从一个比较容易想像的情境开始：用绳子牵著球，在水平面上绕圈摆动。

如果绳子突然断裂，球就不会继续沿著弯曲的路径运动，而是沿著断裂瞬间的运动方向飞出，也就是沿圆的切线方向运动。绳子的张力一直在改变球的速度方向。

卫星的运动方式也类似，只是它没有绳子。提供向内作用力的是重力。

这里需要回顾一个关于圆周运动的重要观念：物体即使速率保持不变，仍然可能具有加速度。速度是具有方向的向量，因此，只要速度方向持续改变，就代表物体具有加速度。

对于等速圆周运动，加速度指向圆心，其大小为

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

其中：

• \(a_c\) 是向心加速度，单位为 \(\text{m s}^{-2}\)；
• \(v\) 是物体的速率，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)；以及
• \(r\) 是圆形路径的半径，单位为公尺。

因此，所需的合向内作用力为

\[ F_c=ma_c=\frac{mv^2}{r} \]

其中，\(m\) 是绕轨道运行物体的质量，单位为公斤。

02向心力并不是一种额外的力

这是本主题中最重要的概念。

「向心力」并不是一种与重力并列的新力。它是我们用来描述指向圆形路径圆心的合力的名称。

可以把「向心力」想成一种职务名称。如果 Alex 是某个团队的队长，你不会把「Alex」和「队长」算作两个不同的人。在简单的卫星轨道中，实际作用的力是重力，而「向心力」描述的是重力所发挥的作用。

当然，这个比喻到此为止。力是向量，不是那些在 LinkedIn 上挂著看似重要职称的人。

对于在圆形轨道上运行的卫星，重力就是合向内力。因此，我们可以写成

\[ F_g=F_c \]

这并不表示有两个方向相反的力互相平衡，使合力等于零。这两个符号只是对同一个向内作用力的不同描述。

03将重力与向心力相等

牛顿万有引力定律给出质量为 \(M\) 的中心天体与质量为 \(m\) 的绕轨道物体之间的引力：

\[ F_g=\frac{GMm}{r^2} \]

其中：

• \(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\) 是万有引力常数；
• \(M\) 是中心天体的质量，单位为公斤；
• \(m\) 是卫星的质量，单位为公斤；以及
• \(r\) 是两者中心之间的距离，单位为公尺。

如果你对这个方程式还不熟悉，建议先复习牛顿万有引力定律。

对于圆形轨道，重力恰好提供使卫星持续转向所需的力：

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

将等式两边的 \(m\) 约去，再将一个 \(r\) 因子约去：

\[ \frac{GM}{r}=v^2 \]

因此，

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

这就是圆形轨道速度。

在进行计算之前，值得先注意三个推论。

第一，卫星的质量消失了。质量为 \(500\ \text{kg}\) 的卫星与质量为 \(1000\ \text{kg}\) 的卫星，如果在同一颗行星周围、相同的轨道半径上运行，就需要相同的圆形轨道速度。

这并不表示重力对两颗卫星施加相同的力。较重的卫星受到的引力是另一颗的两倍，但它的惯性也恰好是另一颗的两倍。这两种效应都与 \(m\) 成正比，因此所需速度不变。

第二，中心天体的质量 \(M\) 增加时，轨道速度会增加。

第三，轨道半径 \(r\) 增加时，轨道速度会降低。

这就解答了开头的预测。较低的圆形轨道需要较大的速度：

\[ v\propto\frac{1}{\sqrt r} \]

04不要混淆轨道半径与高度

假设某颗卫星位于地球表面上方 \(400\ \text{km}\) 处。

你不能直接把 \(400\ \text{km}\) 代入 \(r\)。

引力方程式使用的是距离地球中心的距离，因此

\[ r=R_E+h \]

其中，\(R_E\) 是地球半径，而 \(h\) 是卫星高于地球表面的高度。

这是非常常见、但原本可以避免的错误来源。

计算范例：位于地球上方 400 km 的卫星

一颗卫星在地球表面上方 \(400\ \text{km}\) 的圆形轨道上运行。取地球半径为 \(6.37\times10^6\ \text{m}\)，地球质量为 \(5.97\times10^{24}\ \text{kg}\)。计算卫星的轨道速度与轨道周期。

步骤 1：求卫星距离地球中心的轨道半径。

先将高度换算成公尺：

\[ 400\ \text{km}=4.00\times10^5\ \text{m} \]

因此，

\[ r=6.37\times10^6+4.00\times10^5 =6.77\times10^6\ \text{m} \]

步骤 2：利用重力作为向心力，求出速度。

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

代入数值：

\[ v= \sqrt{ \frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})} {6.77\times10^6} } =7.67\times10^3\ \text{m s}^{-1} \]

因此，卫星的运行速度约为

\[ v=7.67\ \text{km s}^{-1} \]

步骤 3：利用轨道的圆周长求出周期。

完成一圈轨道所经过的距离为 \(2\pi r\)，因此

\[ T=\frac{2\pi r}{v} \]

所以，

\[ T= \frac{2\pi(6.77\times10^6)} {7.67\times10^3} =5.55\times10^3\ \text{s} \]

换算成分钟：

\[ T=\frac{5.55\times10^3}{60}=92.4\ \text{min} \]

结果表示，卫星以约 \(7.67\ \text{km s}^{-1}\) 的速度持续绕著地球自由下落，每约 92 分钟完成一次圆形轨道。

05轨道周期也能从相同的力方程式推导出来

卫星完成一圈圆形轨道时，所经过的距离等于圆周长：

\[ 2\pi r \]

若 \(T\) 是以秒为单位的轨道周期，则

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

但我们已经知道

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

将这两个式子相等，可得

\[ \frac{2\pi r}{T}=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

两边平方并重新整理，得到

\[ T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM} \]

或

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

对于绕同一个中心天体运行的物体，

\[ T^2\propto r^3 \]

这就是克卜勒行星运动三定律背后关系式的圆形轨道形式。

注意一个稍微违反直觉的现象。较高轨道上的卫星运行得比较慢，完成一圈所需的时间却长得多。原因在于有两个因素同时发挥作用：它们的速度较小，而且轨道圆周长较大。

以下是实用的摘要：

计算范例：利用轨道求行星质量

一颗卫星在某颗行星周围、半径为 \(2.40\times10^7\ \text{m}\) 的圆形轨道上运行。其轨道周期为 \(5.00\ \text{h}\)。计算该行星的质量，以及卫星轨道处的重力场强度。

步骤 1：将周期换算成秒。

\[ T=5.00\times3600=1.80\times10^4\ \text{s} \]

步骤 2：将轨道周期方程式重新整理，求出行星质量。

从

\[ T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM} \]

可得

\[ M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2} \]

步骤 3：代入轨道数据。

\[ M= \frac{ 4\pi^2(2.40\times10^7)^3 }{ (6.67\times10^{-11})(1.80\times10^4)^2 } =2.53\times10^{25}\ \text{kg} \]

因此，行星的质量为

\[ M=2.53\times10^{25}\ \text{kg} \]

步骤 4：利用这个质量求出重力场强度。

在半径 \(r\) 处，

\[ g=\frac{GM}{r^2} \]

因此，

\[ g= \frac{ (6.67\times10^{-11})(2.53\times10^{25}) }{ (2.40\times10^7)^2 } =2.92\ \text{m s}^{-2} \]

因此，我们可以利用卫星的轨道测量行星的质量，而不必把行星放到一台极其不方便使用的浴室体重计上。

更重要的是，这个例子说明了轨道数据真正告诉我们什么。卫星的运行路径揭示了产生其向心加速度的重力场强度。

06为什么绕轨道运行的物体会感到失重？

一个常见的推测是，太空人在轨道上漂浮，是因为那里没有重力。

但如果没有重力，就不会有弯曲的轨道。若没有任何力作用在太空船上，它就会近似沿直线运动。

太空人会漂浮，是因为太空船及其内部的所有物体都一起朝地球加速。它们全都处于自由落体状态。

因此，地板不需要像支撑站在地球表面上的人那样，对太空人提供正向力。造成我们熟悉的失重感的，是缺少这个支撑接触力，而不是重力消失。

07\(F_g=F_c\) 何时不再适用？

方程式

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

非常有用，但其中隐含了一些假设。

轨道必须是圆形

在椭圆轨道上，卫星与中心天体之间的距离会改变，卫星的速度也会改变。

重力仍然控制著运动，但你不能直接使用

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

并将 \(r\) 设为行星与卫星之间的距离，就期待这个圆形轨道的结果在任何位置都成立。

在圆形轨道上，重力与瞬时速度垂直，只改变速度的方向而不改变速率。在椭圆轨道上，重力通常也具有沿著运动方向或与运动方向相反的分量，因此速率会改变。

通常将中心天体视为固定不动

对于绕著质量远大于自身的行星运行的小型卫星，这是非常好的近似。

然而，严格来说，重力也会将行星拉向卫星。两个天体都会绕著它们共同的质心运行。

当卫星的质量与行星相比小得多时，质心会非常接近行星的中心，因此将行星视为固定不动，几乎会得到相同的结果。

如果两个物体的质量相近，这个近似就不再成立。下方的问题 5 将探讨具体有哪些变化。

其他作用力必须可以忽略

大气阻力、推力，以及其他天体施加的引力，都可能干扰轨道。

这个简化模型假设，来自单一中心天体的重力几乎提供了全部向内作用力。

08问题与解答

问题 1

一颗质量为 \(500\ \text{kg}\) 的卫星，在质量为 \(6.00\times10^{24}\ \text{kg}\) 的行星周围、半径为 \(8.00\times10^6\ \text{m}\) 的圆形轨道上运行。

计算卫星的轨道速度。说明如果将这颗卫星换成质量为 \(1000\ \text{kg}\)、轨道半径相同的卫星，所需的轨道速度会有什么变化。

使用 \(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\)。

解答 1

轨道速度为 \(7.07\times10^3\ \text{m s}^{-1}\)。如果将卫星换成质量为 \(1000\ \text{kg}\) 的卫星，所需的圆形轨道速度不会改变。

重力提供向心力：

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

卫星质量 \(m\) 可以约去：

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

代入数值：

\[ v= \sqrt{ \frac{ (6.67\times10^{-11})(6.00\times10^{24}) }{ 8.00\times10^6 } } =7.07\times10^3\ \text{m s}^{-1} \]

一个很容易让人接受的错误推论是：较重的卫星受到较大的引力，因此一定要运行得更快。它确实受到较大的力，但它的惯性也恰好以相同的比例增加。因此，它的重力加速度，以及在这个半径所需的圆形轨道速度，都保持不变。

问题 2

一颗卫星在某颗行星周围、半径为 \(3.60\times10^8\ \text{m}\) 的圆形轨道上运行。其轨道周期为 \(2.40\times10^6\ \text{s}\)。

计算：

(a) 行星的质量；以及

(b) 卫星轨道半径处的重力场强度。

使用 \(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\)。

解答 2

行星的质量为 \(4.79\times10^{24}\ \text{kg}\)，而卫星所在位置的重力场强度为 \(2.47\times10^{-3}\ \text{m s}^{-2}\)。

对于圆形轨道，

\[ T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM} \]

因此，

\[ M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2} \]

代入数值：

\[ M= \frac{ 4\pi^2(3.60\times10^8)^3 }{ (6.67\times10^{-11})(2.40\times10^6)^2 } =4.79\times10^{24}\ \text{kg} \]

对于 (b)，

\[ g=\frac{GM}{r^2} \]

因此，

\[ g= \frac{ (6.67\times10^{-11})(4.79\times10^{24}) }{ (3.60\times10^8)^2 } =2.47\times10^{-3}\ \text{m s}^{-2} \]

即使行星本身的质量非常大，由于卫星距离行星很远，该处的重力场强度仍然很小。

一个常见的错误做法，是在计算行星质量之前，先去寻找卫星本身的质量。这并不需要。轨道数据可以告诉我们卫星所受的重力加速度，而卫星自身的质量会在圆周运动方程式中约去。

问题 3

卫星 A 和卫星 B 在同一颗行星周围的圆形轨道上运行。

卫星 B 的质量是卫星 A 的四倍。它的轨道周期是卫星 A 的八倍。

求出：

(a) 两者轨道半径之比 \(r_B/r_A\)；

(b) 两者轨道速度之比 \(v_B/v_A\)；以及

(c) 作用于两颗卫星的引力之比 \(F_B/F_A\)。

解答 3

各比值为

\[ \frac{r_B}{r_A}=4,\qquad \frac{v_B}{v_A}=\frac12,\qquad \frac{F_B}{F_A}=\frac14 \]

关键在于：卫星的质量不会影响特定轨道半径所需的轨道速度或周期，但会影响引力的大小。

对于绕同一颗行星运行的卫星，

\[ T^2\propto r^3 \]

因此，

\[ \left(\frac{T_B}{T_A}\right)^2 = \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^3 \]

由于 \(T_B/T_A=8\)，

\[ 8^2= \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^3 \]

所以，

\[ \frac{r_B}{r_A} =64^{1/3} =4 \]

对于轨道速度，

\[ v\propto r^{-1/2} \]

因此，

\[ \frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{r_B}} = \sqrt{\frac14} =\frac12 \]

对于引力，

\[ F=\frac{GMm}{r^2} \]

因此，

\[ \frac{F_B}{F_A} = \frac{m_B}{m_A} \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2 \]

代入 \(m_B/m_A=4\) 及 \(r_B/r_A=4\)，

\[ \frac{F_B}{F_A} = 4\left(\frac14\right)^2 = 4\left(\frac1{16}\right) =\frac14 \]

一个容易犯的错误是说：「卫星质量会约去，所以质量在任何地方都不重要。」计算加速度、轨道速度或周期时，质量会约去，但计算引力本身时，质量不会约去。

尽管 B 的质量是 A 的四倍，它距离行星也远了四倍。距离增加所产生的平方反比效应足够强，因此 B 受到的引力只有 A 的四分之一。

问题 4

行星 X 是一个半径为 \(R\)、平均密度为 \(\rho\) 的球体。一颗小型卫星在其表面正上方的圆形轨道上运行，因此可以将其轨道半径视为 \(R\)。

(a) 证明其轨道周期为

\[ T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}} \]

(b) 行星 Y 的半径是 X 的两倍，但平均密度完全相同。比较分别在 X 和 Y 表面正上方运行的卫星之周期。

(c) 比较两颗卫星的轨道速度，并解释为什么你在 (b) 和 (c) 得出的答案可以同时成立。

解答 4

两颗卫星的轨道周期相同，而在行星 Y 表面附近运行的卫星，其轨道速度是行星 X 表面附近卫星的两倍。

关键在于：对于密度相同的行星，当半径增加时，质量会按照 \(R^3\) 增加，而不只是按照 \(R\) 增加。

对于半径为 \(R\) 的球体，

\[ V=\frac43\pi R^3 \]

由于密度等于质量除以体积，

\[ M=\rho V =\frac43\pi R^3\rho \]

对于半径为 \(R\) 的圆形轨道，

\[ T^2=\frac{4\pi^2R^3}{GM} \]

代入 \(M=\frac43\pi R^3\rho\)，

\[ T^2 = \frac{ 4\pi^2R^3 }{ G\left(\frac43\pi R^3\rho\right) } \]

\(R^3\) 因子会约去：

\[ T^2=\frac{3\pi}{G\rho} \]

因此，

\[ T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}} \]

周期取决于密度，而不是半径。由于 X 和 Y 的密度相同，

\[ T_Y=T_X \]

接著考虑轨道速度：

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{R}} \]

代入 \(M=\frac43\pi R^3\rho\)，

\[ v= \sqrt{ \frac{ G\left(\frac43\pi R^3\rho\right) }{R} } \]

因此，

\[ v = R\sqrt{\frac43\pi G\rho} \]

在密度固定时，

\[ v\propto R \]

行星 Y 的半径是两倍，因此

\[ v_Y=2v_X \]

乍看之下，这似乎有些矛盾。卫星的速度明明是两倍，为什么完成一圈所需的时间却相同？

因为它的圆形路径也变成两倍长：

\[ 2\pi(2R)=2(2\pi R) \]

它以两倍速度走完两倍的距离，因此周期不变。

一个容易出错的捷径，是认为较大的行星具有较强的重力，所以它的周期必然较短。较强的重力确实会提高所需的轨道速度，但卫星也必须沿著比例更大的圆周运行。对于密度相同的行星，这两种效应恰好完全抵消。

问题 5

两颗恒星的质量分别为 \(M\) 和 \(3M\)，两者之间的距离保持为固定值 \(d\)，并且绕著共同的质心作圆周运动。

设它们到质心的距离分别为 \(r_M\) 和 \(r_{3M}\)。已知

\[ r_M+r_{3M}=d \]

以及

\[ Mr_M=3Mr_{3M} \]

两颗恒星的轨道周期相同，均为 \(T\)。

(a) 求出 \(r_M\) 和 \(r_{3M}\)。

(b) 推导以 \(M\)、\(d\) 和 \(G\) 表示的共同轨道周期公式。

(c) 比较两颗恒星的轨道速度与向心加速度。

(d) 一名学生将质量为 \(3M\) 的恒星视为固定不动，并使用 \(d\) 作为质量为 \(M\) 的恒星的圆形轨道半径。精确解释为什么这样做会得到错误的周期。

解答 5

较轻的恒星以 \(3d/4\) 为半径绕行，较重的恒星以 \(d/4\) 为半径绕行，而它们的共同周期为

\[ T=\pi\sqrt{\frac{d^3}{GM}} \]

较轻的恒星运动速度是较重恒星的三倍，其向心加速度也为较重恒星的三倍。

关键在于：决定引力大小的距离是两颗恒星之间的距离 \(d\)，而决定各恒星向心加速度的距离，则是各自绕质心运行的轨道半径。这两个距离并不相同。

由

\[ Mr_M=3Mr_{3M} \]

可得

\[ r_M=3r_{3M} \]

结合

\[ r_M+r_{3M}=d \]

可得

\[ 3r_{3M}+r_{3M}=d \]

因此，

\[ r_{3M}=\frac d4 \]

所以，

\[ r_M=\frac{3d}{4} \]

现在考虑两颗恒星之间的引力：

\[ F_g=\frac{G(M)(3M)}{d^2} =\frac{3GM^2}{d^2} \]

以 \(\omega\) 表示角速度，定义为

\[ \omega=\frac{2\pi}{T} \]

对于圆周运动，作用于较轻恒星的向心力为

\[ F_c=M\omega^2r_M \]

由于 \(r_M=3d/4\)，

\[ F_c = M\omega^2\left(\frac{3d}{4}\right) \]

重力提供这个向心力，因此

\[ \frac{3GM^2}{d^2} = M\omega^2\left(\frac{3d}{4}\right) \]

约去共同因子后，得到

\[ \omega^2=\frac{4GM}{d^3} \]

由于

\[ T=\frac{2\pi}{\omega} \]

可得

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{d^3}{4GM}} = \pi\sqrt{\frac{d^3}{GM}} \]

两颗恒星具有相同的角速度，因为它们始终位于同一条旋转连线的两端。

它们的切向速度为

\[ v=\omega r \]

因此，

\[ \frac{v_M}{v_{3M}} = \frac{r_M}{r_{3M}} = 3 \]

所以，

\[ v_M=3v_{3M} \]

它们的向心加速度为

\[ a_c=\omega^2r \]

因此，同样可得

\[ \frac{a_M}{a_{3M}}=3 \]

这也符合牛顿第二运动定律。两颗恒星受到的引力大小相同，但较轻恒星的质量只有另一颗的三分之一，因此它的加速度是另一颗的三倍。

学生的计算之所以失败，是因为它在不知不觉中假设了质量为 \(3M\) 的恒星不会移动。

如果它真的固定不动，较轻恒星的圆形路径半径就会是 \(d\)。但在实际的双星系统中，两个天体都会移动。较轻恒星的向心运动半径其实只有

\[ \frac{3d}{4} \]

即使两颗恒星之间的引力作用距离仍然是 \(d\)。

将同一个 \(d\) 同时用于这两种用途，就是混淆了两个不同的几何距离。

这也解释了为什么当其中一个物体的质量远小于另一个物体时，简单的卫星公式

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

会非常准确；但当两个物体的质量相近时，就需要进一步修正。在这种情况下，不能合理地将其中任何一个物体视为系统中完全静止的中心。

09这个概念接下来能帮助我们理解什么？

简单圆形轨道的核心方程式是

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

但其背后的重要概念比方程式本身更深刻：重力产生向内的加速度，使速度向量持续改变方向，从而形成圆形路径。

透过这个关系，你可以求出轨道速度、周期、中心天体的质量，以及克卜勒第三定律的圆形轨道形式。你也能清楚看出，为什么卫星的质量会在描述运动时约去，却仍然会影响引力的大小。

接下来值得探讨的问题是：当轨道不是圆形时，会发生什么变化？重力仍然指向中心天体，但物体的速率不再保持不变，而决定重力大小的距离也不再是固定的轨道半径。这正是圆形轨道的力学模型逐渐延伸至克卜勒定律与轨道能量的地方。