HSC 物理：牛顿万有引力定律

学习如何将牛顿万有引力定律应用于两个物体之间的相互作用，包括中心到中心的距离、反平方关系、作用力与加速度。

2026年10月24日 7 分钟阅读

一颗质量为 \(1000\ \mathrm{kg}\) 的卫星位于地球表面上方 \(400\ \mathrm{km}\)。如果牛顿万有引力定律中包含距离 \(r\)，你应该使用 \(400\ \mathrm{km}\)，还是地球中心到卫星的距离？

使用 \(400\ \mathrm{km}\) 会得到约 \(2.49\times10^6\ \mathrm{N}\) 的重力。这会使卫星产生接近 \(2500\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) 的加速度，显然与近地表的重力情况不符。公式没有问题，错的是距离。

在重力问题中，\(r\) 是两个质量中心之间的距离。一颗位于地球表面上方 \(400\ \mathrm{km}\) 的卫星，距离地球中心约为 \(6370+400=6770\ \mathrm{km}\)。只要掌握这个细节，就能避免套用这条定律时很大一部分的错误。

在开始计算之前，还有另一个值得先预测的结果。地球的质量远远大于卫星的质量。因此，地球对卫星的引力是否比卫星对地球的引力更大？

不是。两者所受的重力大小完全相同，真正不同的是各物体的加速度。

01重力是两个质量之间的相互作用

想像两个人各自坐在有轮子的办公椅上，分别拉住一条绳子的两端。绳子对两个人施加的力大小相同。较轻的人会产生较大的加速度，因此看起来可能像是他「被拉得更用力」，但实际上并非如此。相同的力会产生不同的加速度，是因为两人的质量不同。

重力的作用方式也很类似。两个质量会以大小相等、方向相反的力互相吸引。小型卫星会明显地朝地球加速。地球也会朝卫星加速，但由于地球的质量极大，其加速度非常微小。

这个类比有一个重要的限制：重力并不需要实体绳子，也不需要物体彼此接触。此外，重力的大小也会随著两个质量之间的距离而改变。

两个质量分别为 M 和 m 的球体，相距中心到中心的距离 r，并以大小相等、彼此相向的重力箭头表示。 — 每个质量都会对另一个质量施加重力，两个力的大小相等，方向沿著连接两者中心的直线，分别指向对方。

牛顿万有引力定律给出重力的大小：

\[ F_g=\frac{GMm}{r^2} \]

其中：

符号	意义	SI 单位
\(F_g\)	两个质量之间的重力大小	牛顿，\(\mathrm{N}\)
\(G\)	万有引力常数，\(6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\)	\(\mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\)
\(M\)	其中一个物体的质量	公斤，\(\mathrm{kg}\)
\(m\)	另一个物体的质量	公斤，\(\mathrm{kg}\)
\(r\)	两个物体中心之间的距离	公尺，\(\mathrm{m}\)

字母 \(M\) 和 \(m\) 并不是分别代表「施加拉力的物体」和「被拉动的物体」。重力是一种相互作用。交换 \(M\) 和 \(m\) 不会改变公式，因为乘积 \(Mm\) 保持不变。

这个公式给出的是力的大小。力的方向沿著连接两个中心的直线，指向另一个质量。

02在使用计算机之前，先正确找出 \(r\)

对于一颗位于半径为 \(R\) 的球形行星表面上方、高度为 \(h\) 的卫星，

\[ r=R+h \]

而不是 \(r=h\)。

地球与一颗卫星的示意图，地球半径为 R，卫星距离地球表面的高度为 h，而两者中心之间的距离 r 等于 R 加 h。 — 进行重力计算时，距离应从地球中心量起：r = R + h。

对于开头问题中的卫星，

\[ \begin{aligned} r&=6.37\times10^6+4.00\times10^5\\ &=6.77\times10^6\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

地球的半径也是两者之间距离的一部分。

从根本上说，牛顿的公式是一条适用于点质量的定律。不过，对于球对称的物体，以及位于其外部的另一个物体，前者的引力作用与假设其全部质量集中在中心时完全相同。这就是为什么 HSC 物理题目可以使用地球中心来套用这条定律。

对于彼此非常接近的不规则延展物体，将全部质量视为集中在一个点上，可能并不完全准确。HSC 题目通常会提供适合使用点质量模型或球形物体模型的情境。

03反平方关系才是最值得注意的部分

质量直接出现在分子中：

\[ F_g\propto Mm \]

因此，如果其中一个质量加倍，而其他条件保持不变，重力就会加倍。如果两个质量都加倍，重力就会变成原来的四倍。

距离的影响则不同：

\[ F_g\propto\frac{1}{r^2} \]

继续阅读之前，先预测一下：如果两者之间的距离加倍，会发生什么事？

重力不会减半，而是变成原来的四分之一，因为

\[ \frac{1}{(2r)^2}=\frac{1}{4r^2} \]

以下是一些有用的变化关系：

变化	新的重力大小
其中一个质量加倍	\(2F\)
两个质量都加倍	\(4F\)
距离加倍	\(F/4\)
距离变成三倍	\(F/9\)
距离减半	\(4F\)

比较两种情况时，使用比值通常比各自计算两个很大的力更简洁。

如果 \(F_1\) 是原来的力，而 \(F_2\) 是新的力，

\[ \frac{F_2}{F_1} = \frac{M_2m_2}{M_1m_1} \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \]

这里的下标 1 和 2 分别代表第一种和第二种情况。由于两种情况中的常数 \(G\) 相同，因此在比值中会消去。

计算示例：卫星所受的重力

一颗质量为 \(1000\ \mathrm{kg}\) 的卫星在地球表面上方 \(400\ \mathrm{km}\) 处运行。取地球质量为 \(5.97\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)，半径为 \(6.37\times10^6\ \mathrm{m}\)。计算卫星所受的重力。

步骤 1

首先，必须将高度换算成公尺：

\[ 400\ \mathrm{km}=4.00\times10^5\ \mathrm{m} \]

因此，

\[ \begin{aligned} r&=6.37\times10^6+4.00\times10^5\\ &=6.77\times10^6\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

步骤 2

\[ \begin{aligned} F_g &=\frac{GMm}{r^2}\\ &=\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(1000)} {(6.77\times10^6)^2}\\ &=8.69\times10^3\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

步骤 3

卫星所受的重力约为

\[ F_g=8.69\times10^3\ \mathrm{N} \]

方向指向地球中心。

将这个力除以卫星的质量，可得约 \(8.69\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) 的加速度。这比地球表面常见的 \(9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) 小，因为卫星距离地球中心更远。

计算示例：两颗小行星都会加速

小行星 A 的质量为 \(2.0\times10^{12}\ \mathrm{kg}\)，小行星 B 的质量为 \(8.0\times10^{12}\ \mathrm{kg}\)。两者的中心相距 \(10.0\ \mathrm{km}\)。计算它们之间的重力，以及每颗小行星的加速度。

步骤 1

\[ r=10.0\ \mathrm{km}=1.00\times10^4\ \mathrm{m} \]

步骤 2

\[ \begin{aligned} F_g &=\frac{GM_Am_B}{r^2}\\ &=\frac{(6.67\times10^{-11})(2.0\times10^{12})(8.0\times10^{12})} {(1.00\times10^4)^2}\\ &=1.07\times10^7\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

每颗小行星所受的力都是 \(1.07\times10^7\ \mathrm{N}\)，方向均指向另一颗小行星。

步骤 3

\[ \begin{aligned} a_A &=\frac{F_g}{m_A}\\ &=\frac{1.07\times10^7}{2.0\times10^{12}}\\ &=5.34\times10^{-6}\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

步骤 4

\[ \begin{aligned} a_B &=\frac{F_g}{m_B}\\ &=\frac{1.07\times10^7}{8.0\times10^{12}}\\ &=1.33\times10^{-6}\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

两颗小行星所受的力大小相等，但加速度并不相等。

小行星 A 的质量只有小行星 B 的四分之一，因此相同的力会使 A 产生四倍大的加速度。

04最容易产生的误解：质量较大的物体会受到较大的力

假设有一个质量为 \(1\ \mathrm{kg}\) 的物体受到地球吸引。

人们很容易认为，地球的质量极大，因此地球对这个物体施加的力很大，而这个物体对地球施加的力却很小。这种想法听起来合理，因为我们看得到小物体下落，却看不出地球在移动。

然而，牛顿第三定律要求相互作用中的两个力大小相等：

\[ F_{\text{地球对物体的作用力}} = F_{\text{物体对地球的作用力}} \]

牛顿万有引力定律也给出相同的结论。无论考虑哪一个方向，力的大小都是

\[ F_g=\frac{GM_{\text{地球}}m}{r^2} \]

真正改变的是加速度：

\[ a=\frac{F}{m} \]

小物体的质量与地球相比非常小，因此它的加速度大得多。

一个实用的判断原则是：

比较力时，使用牛顿第三定律：两个力的大小相等。
比较加速度时，使用 \(a=F/m\)：质量较小的物体加速度较大。

不要将这两个问题混为一谈。

05解答重力问题的可靠方法

在代入数值之前，先做出四个判断。

确认互相作用的两个质量。
找出两者中心之间的距离 \(r\)，并以公尺表示。
判断你需要求出重力的实际大小，还是只需要比较两种情况。若只是比较，使用比值可能更快。
求出力之后，说明它的方向，并检查结果是否符合物理直觉。

即使计算机输入完全正确，计算结果在物理上仍然可能是错的。以高度取代中心到中心的距离，就是最典型的例子。

其他常见的错误也值得及早避免：

容易犯的错误	实际上应该怎么做
将高度当作 \(r\)	使用中心到中心的距离
距离仍以公里表示	使用 \(G\) 之前，先将距离换算成公尺
将 \(r\) 加倍，便把 \(F\) 减半	将 \(r\) 加倍，会使 \(F\) 变成原来的四分之一
认为较重的物体所受的力较大	两个相互作用力的大小相等
将 \(F_g\) 当作加速度	若要求加速度，应使用 \(a=F_g/m\)
忘记 \(r\) 要平方	输入数值之前，先写出 \(r^2\)

06题目与解答

题目 1

一颗质量为 \(750\ \mathrm{kg}\) 的卫星位于地球表面上方 \(500\ \mathrm{km}\)。使用 \(M_E=5.97\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)、\(R_E=6.37\times10^6\ \mathrm{m}\) 和 \(G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\)。

计算地球对卫星施加的重力。

解答 1

重力大小为 \(6.33\times10^3\ \mathrm{N}\)，方向指向地球中心。

关键步骤是使用卫星到地球中心的距离，而不是卫星的高度。

将高度换算成公尺：

\[ 500\ \mathrm{km}=5.00\times10^5\ \mathrm{m} \]

因此，

\[ \begin{aligned} r&=6.37\times10^6+5.00\times10^5\\ &=6.87\times10^6\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

接著套用牛顿定律：

\[ \begin{aligned} F_g &=\frac{GM_Em}{r^2}\\ &=\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(750)} {(6.87\times10^6)^2}\\ &=6.33\times10^3\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

最容易犯的错误，是将 \(5.00\times10^5\ \mathrm{m}\) 代入 \(r\)。这个数值只是距离地球表面的高度。重力取决于中心到中心的距离。

题目 2

一颗质量为 \(1200\ \mathrm{kg}\) 的卫星，最初位于地球表面上方 \(2.00\times10^6\ \mathrm{m}\)。现在将它沿著远离地球的方向直接移动，直到它所受的重力恰好变成原来的一半。

使用 \(R_E=6.37\times10^6\ \mathrm{m}\)：

计算最初的重力。
求出卫星到地球中心的新距离。
求出卫星距离地球表面的新高度。

使用 \(M_E=5.97\times10^{24}\ \mathrm{kg}\) 和 \(G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\)。

解答 2

最初的重力为 \(6.82\times10^3\ \mathrm{N}\)。要使重力减半，新的中心到中心距离必须为 \(1.18\times10^7\ \mathrm{m}\)，相当于距离地球表面 \(5.47\times10^6\ \mathrm{m}\) 的高度。

最初，

\[ \begin{aligned} r_1&=6.37\times10^6+2.00\times10^6\\ &=8.37\times10^6\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} F_1 &=\frac{GM_Em}{r_1^2}\\ &=\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(1200)} {(8.37\times10^6)^2}\\ &=6.82\times10^3\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

最后的重力是这个数值的一半：

\[ F_2=3.41\times10^3\ \mathrm{N} \]

由于两个质量都没有改变，

\[ \frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \]

代入 \(F_2/F_1=1/2\)：

\[ \begin{aligned} \frac{1}{2} &=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\\ r_2 &=\sqrt{2}\,r_1\\ &=\sqrt{2}(8.37\times10^6)\\ &=1.18\times10^7\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

高度是距离地球表面的距离：

\[ \begin{aligned} h_2 &=r_2-R_E\\ &=1.1837\times10^7-6.37\times10^6\\ &=5.47\times10^6\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

一种容易想到的做法，是因为重力减半，就将距离加倍。如果两者是反比关系，这样做是正确的；但重力遵循的是反平方关系。因此，距离只需要增加至原来的 \(\sqrt{2}\) 倍。

题目 3

一个质量为 \(100\ \mathrm{kg}\) 的探测器，放置在地球与月球之间的某个位置，且位于连接两者中心的直线上。忽略地球和月球的运动，也忽略所有其他引力的影响。

使用以下数值：

地球质量 \(M_E=5.97\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)；
月球质量 \(M_M=7.35\times10^{22}\ \mathrm{kg}\)；
地球与月球中心之间的距离 \(d=3.84\times10^8\ \mathrm{m}\)。

找出地球对探测器的重力与月球对探测器的重力大小相等的位置。说明该位置距离地球中心多远，并解释为什么它不在地球与月球的中点。

解答 3

两个重力大小相等的位置距离地球中心 \(3.46\times10^8\ \mathrm{m}\)，因此探测器距离月球约 \(3.84\times10^7\ \mathrm{m}\)。在这个简化模型中，两个方向相反的重力会在该处互相抵消。

令 \(x\) 代表探测器距离地球中心的距离。那么，它距离月球的距离就是 \(d-x\)。

要使两个重力的大小相等，

\[ \frac{GM_Em}{x^2} = \frac{GM_Mm}{(d-x)^2} \]

常数 \(G\) 和探测器的质量 \(m\) 可以消去：

\[ \frac{M_E}{x^2} = \frac{M_M}{(d-x)^2} \]

两边取正平方根，得到

\[ \frac{x}{d-x} = \sqrt{\frac{M_E}{M_M}} \]

代入质量，

\[ \sqrt{\frac{5.97\times10^{24}}{7.35\times10^{22}}} =9.01 \]

因此，

\[ \begin{aligned} \frac{x}{d-x}&=9.01\\ x&=9.01(d-x)\\ 10.01x&=9.01d\\ x&=0.900d\\ &=3.46\times10^8\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

到月球的剩余距离为

\[ \begin{aligned} d-x &=3.84\times10^8-3.46\times10^8\\ &\approx3.84\times10^7\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

作为检查，每个重力的大小约为 \(0.333\ \mathrm{N}\)。

人们很容易想到中点，因为在中点，两个距离会相等。但两个天体的质量并不相等。地球的质量远大于月球，因此探测器必须更接近月球，月球较弱的引力才能与地球的引力相匹配。

题目 4

两个互相隔离的点质量物体从静止开始运动。物体 A 的质量为 \(M\)，物体 B 的质量为 \(4M\)，两者最初相距 \(d\)。它们受到的唯一作用力是彼此之间的重力。

在之后的某一时刻，两者的距离减少至 \(d/2\)。

重力改变了多少倍？
两个物体的加速度大小之比 \(a_A:a_B\) 是多少？
到达该时刻时，每个物体从起始位置移动了多远？

解答 4

重力变成原来的四倍，物体 A 的加速度是物体 B 的四倍，而 A 移动了 \(2d/5\)，B 移动了 \(d/10\)。

最初，

\[ F_1=\frac{G(M)(4M)}{d^2} \]

当距离减少至 \(d/2\) 时，

\[ \begin{aligned} F_2 &=\frac{G(M)(4M)}{(d/2)^2}\\ &=4F_1 \end{aligned} \]

因此，重力增加至原来的四倍。

在任何时刻，两个物体所受的重力大小都相等。因此，

\[ a_A=\frac{F}{M} \]

而

\[ a_B=\frac{F}{4M} \]

所以，

\[ a_A:a_B=4:1 \]

现在考虑它们的运动。由于系统从静止开始，而且没有外力作用，系统的总动量保持为零。因此，两者的动量大小必须满足

\[ Mv_A=4Mv_B \]

所以

\[ v_A=4v_B \]

这个关系在整个运动过程中都成立。因此，在相同的时间间隔内，物体 A 移动的距离是物体 B 的四倍。

令它们移动的距离分别为 \(x_A\) 和 \(x_B\)。两者之间的距离由 \(d\) 减少至 \(d/2\)，因此它们合计接近了

\[ x_A+x_B=\frac d2 \]

由于 \(x_A=4x_B\)，

\[ \begin{aligned} 4x_B+x_B&=\frac d2\\ 5x_B&=\frac d2\\ x_B&=\frac d{10} \end{aligned} \]

因此，

\[ x_A=\frac{2d}{5} \]

一个容易犯的错误，是认为重力大小相等，就代表两个物体移动的距离也相等。相同的力不代表相同的加速度。物体 A 的质量只有物体 B 的四分之一，因此它对相同大小的力会产生四倍的加速度。

题目 5

两个互相隔离的球形物体从静止释放。

物体 A 的质量为 \(M\)，半径为 \(R\)。物体 B 的质量为 \(8M\)，半径为 \(2R\)。两者的中心最初相距 \(4R\)。假设两个物体始终保持球形，而且在它们的表面首次接触之前，牛顿球形物体引力定律均适用。

一名学生提出以下说法：

当两个物体互相接近时，\(F_g\propto1/r^2\)，因此在碰撞之前，重力最终会变成初始值的两倍。

判断这个说法是否可能成立。接著：

找出首次接触之前能达到的最大重力，以初始重力的倍数表示。
求出接触之前每个物体的中心移动了多远。
比较接触时两个物体所受的重力，以及各自的加速度。

解答 5

这个说法不可能成立。两个物体在重力增至初始值的两倍之前，就会先接触。在首次接触时，重力只有初始值的 \(16/9\)，也就是约 \(1.78\) 倍。物体 A 移动了 \(8R/9\)，物体 B 移动了 \(R/9\)。两者所受的力大小相等，而 A 的加速度是 B 的八倍。

最初，两个物体的中心距离为

\[ r_i=4R \]

因此，重力为

\[ \begin{aligned} F_i &=\frac{G(M)(8M)}{(4R)^2}\\ &=\frac{8GM^2}{16R^2}\\ &=\frac12\frac{GM^2}{R^2} \end{aligned} \]

两个表面接触时，中心到中心的距离等于两个半径之和：

\[ r_c=R+2R=3R \]

因此，接触时的重力为

\[ F_c=\frac{G(M)(8M)}{(3R)^2} =\frac89\frac{GM^2}{R^2} \]

将它与初始重力比较，

\[ \begin{aligned} \frac{F_c}{F_i} &= \frac{\frac89GM^2/R^2} {\frac12GM^2/R^2}\\ &=\frac{16}{9}\\ &\approx1.78 \end{aligned} \]

因此，两个物体会在重力增至两倍之前碰撞。

我们也可以从另一个角度看出这名学生的错误。若重力要在两个质量保持不变的情况下加倍，

\[ 2=\left(\frac{r_i}{r}\right)^2 \]

可得

\[ r=\frac{4R}{\sqrt2}\approx2.83R \]

但两个物体在 \(r=3R\) 时就会接触。中心距离 \(2.83R\) 意味著两个球形物体必须彼此重叠。

反平方定律本身并没有错。错误在于忽略了物理系统的几何限制，让 \(r\) 取到两个物体碰撞前根本无法达到的数值。

现在求出每个物体中心的移动距离。两个中心之间的距离由 \(4R\) 减少至 \(3R\)，因此两个物体合计接近了

\[ R \]

由于相互作用力的大小相等，

\[ a_A=\frac{F}{M} \]

以及

\[ a_B=\frac{F}{8M} \]

因此，

\[ a_A=8a_B \]

两个物体都从静止开始，因此在接触之前，较轻的物体移动的距离是较重物体的八倍。

若两者移动的距离分别为 \(x_A\) 和 \(x_B\)，

\[ x_A=8x_B \]

而且

\[ x_A+x_B=R \]

因此，

\[ \begin{aligned} 9x_B&=R\\ x_B&=\frac R9 \end{aligned} \]

而

\[ x_A=\frac{8R}{9} \]

在接触时，牛顿第三定律仍然成立：

\[ F_{\text{A 作用于 B}}=F_{\text{B 作用于 A}} \]

两个力的大小相等。

但它们的加速度并不相等。由于物体 B 的质量是物体 A 的八倍，