HSC 物理中的长度收缩：固有长度与计算

一艘太空船停在你旁边时，长度是 100 m。它加速离开，之后以 \(0.80c\) 的速度掠过地球。地球上的观察者应该量到多长：100 m、超过 100 m，还是更短？

地球上的观察者只会量到 60 m。

没有任何东西被压扁。船员量到的太空船仍然是 100 m 长。差异来自一条关于长度测量、出乎意料地重要的规则：要测量一个移动物体的长度，你必须在自己的参考系中，同一时间记录它前端和后端的位置。不同的惯性参考系对于相隔一段距离的事件是否同时发生，并不总是有相同的判断。

这就是长度收缩背后的概念。

01测量移动中的长度，实际上是甚么意思？

假设一艘 100 m 长的太空船飞过地球上的两个标记。

如果太空船是静止的，测量它的长度会很容易。把一个标记放在船尾旁，另一个放在船头旁，再量度两者之间的距离即可。

但对于移动中的太空船，你不能现在标记船尾的位置，然后一秒后才标记船头的位置。因为在这一秒内，太空船已经移动了。你需要的是，按照你所在参考系中的时钟，在同一瞬间记录太空船两端的位置。

可以用以下方式来想像。假设两位朋友站在一列高速行驶的火车旁，其中一人标记火车尾部所在的位置，另一人则标记火车前端的位置。若要让这个结果代表火车的长度，两个标记必须在他们的参考系中同时作出。

在日常速度下，大家对「同时」的判断实际上几乎一致，所以这个细节看起来没有甚么意义。但当速度接近光速时，情况就不同了。

而这也正是这个类比失效的地方：这不只是人类反应时间或秒表没有同步好的问题。狭义相对论指出，相对运动的观察者对于相隔一段空间距离的事件是否同时发生，确实可能有不同的判断。

02固有长度：找出端点保持静止的参考系

在 HSC 的长度收缩题目中，最重要的技巧往往不是套用公式，而是判断哪一个长度才是固有长度。

固有长度 \(L_0\) 是在所测量的两个端点都保持静止的参考系中量得的长度。

对太空船来说，它的固有长度由与太空船一同移动的观察者量得。

对地球与一颗遥远恒星之间的距离来说，固有长度则是在地球和该恒星都保持静止的参考系中量得。

第二种情况很容易令学生出错。固有长度并不代表「在地球上测得的长度」。它不属于某一个特定的观察者，而是取决于你正在测量哪一对端点。

一个可靠的判断方法是：

固有长度有时也称为静止长度。这个名称很有用，因为它提醒你应该寻找甚么。

03长度收缩公式

如果一个物体的固有长度为 \(L_0\)，并以速度 \(v\) 相对于某观察者沿著与其长度平行的方向运动，该观察者量得

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \]

其中：

• \(L\) 是物体在移动的参考系中量得的收缩后长度，
• \(L_0\) 是固有长度，
• \(v\) 是物体与观察者之间的相对速度，而
• \(c\) 是光速，约为 \(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}\)。

你也可以用洛伦兹因子来写这条公式：

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

因此

\[ L=\frac{L_0}{\gamma}. \]

由于 \(\gamma\geq1\)，移动中的长度 \(L\) 永远小于或等于固有长度 \(L_0\)。

同一个洛伦兹因子也会出现在时间膨胀中。这并不是巧合。长度收缩和时间膨胀都是空间与时间座标在不同惯性参考系之间转换所产生的结果。

04长度收缩既可应用于物体，也可应用于旅程距离

现在假设地球与一个遥远的太空站相距 8.0 光年，而且两者彼此相对静止。

一艘太空船以 \(0.80c\) 从地球飞往太空站。

在进行任何计算之前，先预测船员量得的地球-太空站距离。8.0 光年是固有长度，还是船员量得的距离才是固有长度？

地球和太空站在地球-太空站参考系中都保持静止。因此，8.0 光年是固有长度。在太空船参考系中，地球与太空站向后移动，所以两者之间的距离会收缩。

05实际上究竟是甚么在收缩？

一种常见的想像是，移动中的物体因为速度而被物理上压扁了。

这种理解会造成误导。

如果你坐在一艘相对地球以 \(0.80c\) 平稳航行的太空船内，你的尺并不会莫名其妙地在你看来变短。你的桌子、太空船、尺和身体在你的参考系中全都保持静止。本地测量一切如常。

地球上的观察者量得你的太空船发生长度收缩，是因为他们的测量采用地球参考系中的同时性。

另一方面，你也会量得地球参考系中的距离发生收缩。

任何一方都不能说：「我的才是真正的长度，因为我才是真的静止。」匀速运动是相对的。真正重要的是，对于正在测量的那一对特定端点，在哪一个参考系中它们保持静止。

还有一项限制：一般的长度收缩只发生在相对运动的方向上。太空船若水平运动，船上一根 2.0 m 高的垂直天线不会因为长度收缩而在垂直方向变短。

06最容易犯的错误：从题目措辞判断 \(L_0\)

考虑以下叙述：

一名观察者量得一艘移动中的太空船长 18 m。

18 m 是固有长度吗？

不是。关键在于「移动中」这个词。如果太空船相对于该观察者正在移动，该观察者量得的是收缩后的长度 \(L\)。

再考虑：

一艘太空船在自己的静止参考系中长 30 m。

这个 30 m 就是 \(L_0\)。

不要根据哪个数字先出现、哪一位观察者在地球上，或哪一个测量听起来比较「正式」来判断。你应该问：这两个端点在进行测量的参考系中是否静止？

07为甚么「同时性」隐藏在公式之中

假设地球上的观察者要测量一艘太空船的长度。

地球上的观察者必须找出：

• 船尾在某个地球参考系时间 \(t\) 的位置，以及
• 船头在同一个地球参考系时间 \(t\) 的位置。

这两个位置之间的距离，就是地球参考系中的长度。

太空船上的船员同样会同时测量船头和船尾，但此时「同时」指的是在相同的太空船参考系时间。

狭义相对论指出，这两种对「同时」的定义通常并不等价。

在涉及一艘很长的太空船和一条较短隧道的问题中，这一点会变得非常重要。一个参考系可以认为太空船在某一瞬间完全位于隧道内，而太空船参考系则可以认为从来没有任何一个瞬间整艘太空船都在隧道内。分歧并不在于物体位于哪里，而在于哪些彼此分隔的事件应算作同时发生。

这听起来很奇怪，因为它确实很违反直觉。但这是狭义相对论的一个精确结果，而不是长度收缩公式中的漏洞。

08题目与解答

问题 1

一个科学探测器的固有长度为 \(40.0\text{ m}\)。它以 \(0.60c\) 掠过地球上的一名观察者，运动方向与其长度平行。

计算地球上的观察者量得的探测器长度，并指出两个长度中哪一个是固有长度。

解答 1

地球上的观察者量得 \(32.0\text{ m}\)，而 \(40.0\text{ m}\) 是固有长度。

探测器在自己的参考系中保持静止，因此

\[ L_0=40.0\text{ m}. \]

对于 \(v=0.60c\)，

\[ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(0.60)^2}} =1.25. \]

因此，

\[ L=\frac{L_0}{\gamma} =\frac{40.0}{1.25} =32.0\text{ m}. \]

最容易犯的错误，是因为 32.0 m 是地球上的观察者「直接量得」的数值，就把它称为固有长度。固有长度的定义并不取决于某种测量感觉有多直接，而是在端点保持静止的参考系中量得的长度。

问题 2

一艘太空船的固有长度为 \(1.50\text{ km}\)。一名观察者量得其沿运动方向的长度为 \(0.900\text{ km}\)。

计算太空船的速度，以 \(c\) 的倍数表示。

一名学生认为 \(0.900\text{ km}\) 应称为固有长度，因为这是观察者的测量设备记录到的长度。解释这个说法的错误。

解答 2

太空船以 \(0.800c\) 运动，而 \(1.50\text{ km}\)，不是 \(0.900\text{ km}\)，才是它的固有长度。

使用

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}. \]

代入 \(L=0.900\text{ km}\) 和 \(L_0=1.50\text{ km}\)，

\[ 0.900 =1.50\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}. \]

两边除以 \(1.50\)：

\[ 0.600 =\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}. \]

两边平方得

\[ 0.360 =1-\frac{v^2}{c^2}. \]

因此，

\[ \frac{v^2}{c^2}=0.640 \]

以及

\[ \frac{v}{c}=0.800. \]

所以，

\[ v=0.800c. \]

这名学生的说法混淆了「测得的长度」和「固有长度」。两个长度在各自的参考系中都是有效的测量结果。固有长度特指在太空船的静止参考系中量得的长度；在这个参考系中，船头和船尾都是静止的。

问题 3

地球与一个中继站相距 \(12.0\) 光年，而且彼此相对静止。一艘固有长度为 \(50.0\text{ m}\) 的太空船以 \(0.80c\) 从地球飞向该中继站。

计算：

(a) 太空船船员量得的地球-中继站距离，

(b) 从地球量得的太空船长度，以及

(c) 解释为甚么在 (a) 中，固有长度属于地球-中继站参考系，而在 (b) 中，固有长度属于太空船参考系。

解答 3

船员量得的地球-中继站距离为 \(7.20\text{ ly}\)，地球量得太空船长 \(30.0\text{ m}\)，而这两个固有长度属于不同的参考系，因为它们所指的是不同的两对端点。

在 \(0.80c\) 时，

\[ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}} =\frac{1}{0.600} =1.67. \]

在 (a) 中，地球与中继站在它们共同的参考系中都保持静止。因此，两者之间 \(12.0\text{ ly}\) 的距离就是固有长度：

\[ L_0=12.0\text{ ly}. \]

太空船船员看见两个地点都在移动，因此

\[ L=\frac{12.0}{1.67}=7.20\text{ ly}. \]

在 (b) 中，太空船本身在船员的参考系中保持静止，所以其固有长度为

\[ L_0=50.0\text{ m}. \]

地球看见太空船正在移动：

\[ L=\frac{50.0}{1.67}=30.0\text{ m}. \]

这里的陷阱，是试图找出一个对整道题目而言都是「固有参考系」的参考系。并没有这样的规则。

对地球-中继站之间的距离来说，相关端点是地球和中继站。它们在地球-中继站参考系中保持静止。

对太空船的长度来说，相关端点是它的船头和船尾。它们在太空船参考系中保持静止。

固有长度属于某一对特定的端点，而不是自动属于某一位特定观察者。

问题 4

两艘小型太空船 A 和 B 一同以 \(0.60c\) 掠过地球。它们彼此相对静止。

在地球参考系中的某一瞬间，观察者记录到 A 和 B 上对应点之间的距离为 \(240\text{ m}\)。

每艘太空船还装有一根沿运动方向排列、长 \(20.0\text{ m}\) 的伸杆，其中 20.0 m 是伸杆的固有长度。

(a) \(240\text{ m}\) 是 A 与 B 之间的固有距离吗？

(b) 计算它们的固有距离。

(c) 计算从地球量得的伸杆长度。

(d) 解释为甚么地球上的观察者同时测量 A 和 B 的位置，并不代表他们量得的 \(240\text{ m}\) 就是固有长度。

解答 4

固有距离为 \(300\text{ m}\)，从地球量得每根伸杆的长度为 \(16.0\text{ m}\)，而 \(240\text{ m}\) 并不是固有距离，因为 A 和 B 在地球参考系中正在移动。

对于 \(v=0.60c\)，

\[ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(0.60)^2}} =1.25. \]

对于 (a) 和 (b)，A 和 B 彼此相对静止。因此，它们共享一个两个距离端点都静止的参考系。

这个共同的太空船参考系量得的就是固有距离。

地球看见这个距离发生收缩，因此

\[ L=\frac{L_0}{\gamma}. \]

所以，

\[ L_0=\gamma L =(1.25)(240) =300\text{ m}. \]

在 (c) 中，每根伸杆的固有长度为

\[ L_0=20.0\text{ m}. \]

因此，地球量得

\[ L=\frac{20.0}{1.25} =16.0\text{ m}. \]

在 (d) 中，一个很容易采取的错误推理是：有效的长度测量需要同时取得两个端点的位置，所以任何同时进行的测量都必定是固有长度。

前半部分是正确的，但结论并不正确。

地球上的观察者确实需要同时取得地球参考系中的位置，才能测量地球参考系中的距离。这使 \(240\text{ m}\) 成为地球参考系中的有效长度。

但固有长度还有一项额外要求：端点必须在进行测量的参考系中保持静止。A 和 B 相对地球正在移动，所以它们在地球参考系中的距离已经收缩。

在 A 和 B 的共同静止参考系中，它们之间的距离是 300 m。

问题 5

一条隧道的固有长度为 \(70.0\text{ m}\)。一艘太空船的固有长度为 \(100\text{ m}\)，并以 \(0.80c\) 穿过隧道。

在隧道参考系中，操作员安排入口门与出口门在太空船位于隧道中央时，同时关闭极短的一瞬间，然后立即重新打开。

假设两扇门都不会撞到太空船。

(a) 计算太空船在隧道参考系中的长度。它是否能在隧道参考系的某一瞬间完全位于隧道内？

(b) 计算隧道在太空船参考系中的长度。船员是否会在太空船参考系的某一瞬间，量得整艘 100 m 长的太空船都位于隧道内？

(c) 一名学生认为 (a) 和 (b) 彼此矛盾：「整艘太空船要么在同一时间位于隧道内，要么就不是。」指出这个说法中隐藏的假设。

(d) 在太空船参考系中，两次关门事件可以同时发生吗？解释两个参考系之间必须有甚么改变，才能令两种描述彼此一致。

解答 5

太空船在隧道参考系中长 \(60.0\text{ m}\)，因此可以在隧道参考系的某一瞬间完全位于 70.0 m 长的隧道内；但船员量得隧道只有 \(42.0\text{ m}\) 长，因此他们不会认为整艘 100 m 长的太空船曾在太空船参考系的某一瞬间完全位于隧道内。这并不矛盾，因为两个参考系对同时性的判断不同。

在 \(0.80c\) 时，

\[ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}} =1.67. \]

对于 (a)，太空船的固有长度为 \(100\text{ m}\)。隧道参考系看见它正在移动，因此

\[ L=\frac{100}{1.67} =60.0\text{ m}. \]

隧道在自己的静止参考系中长 70.0 m。因此，在所选定的隧道参考系瞬间，60.0 m 长的太空船可以完全位于隧道内，太空船两端与两扇门之间合共有 10.0 m 的空间。

在 (b) 中，改用相反的观点。

隧道的固有长度为

\[ L_0=70.0\text{ m}. \]

太空船船员看见隧道正在移动，因此船员量得

\[ L=\frac{70.0}{1.67} =42.0\text{ m}. \]

太空船在自己的参考系中仍然长 100 m。一条 42.0 m 长的隧道不可能在太空船参考系的同一瞬间容纳整艘 100 m 长的太空船。

在 (c) 中，很容易得出的错误结论是，「同一时间」这个说法在两个参考系中必须具有相同意义。

这就是隐藏的假设。

隧道观察者的叙述更精确地说是：

在某一个隧道参考系时间，太空船的两端都位于两扇门之间。

船员的叙述则涉及在某一个太空船参考系时间测量到的位置。这两者所对应的是不同的一组同时事件。

对于 (d)，两次关门事件在太空船参考系中不能也是同时发生的。如果它们同时发生，就代表尽管两个参考系彼此相对运动，却仍然对两个空间上分离事件的同时性达成一致，而狭义相对论正指出，在这种情况下并不会如此。

在太空船参考系中，出口门关闭事件先于入口门关闭事件发生。因此，船员不会描述成两扇门在同一个太空船参考系瞬间同时关上，把整艘太空船夹在中间。

这就是解决表面悖论的关键限制。如果只考虑长度收缩，两种描述似乎会互不相容。正是同时性的相对性使它们能够彼此一致。

09掌握长度收缩后，你可以进一步理解甚么？

当你不再把 \(L_0\) 当成「较大的那个数值」，而是改为问一个物理问题–哪一个参考系中两个端点都保持静止？–长度收缩就最容易运用。

一旦这一点确定，计算通常很简短。

更深入的一步，是理解为甚么不同的参考系可以一致地给出不同的长度。长度测量不只是关于空间，也同时包含一项关于哪些端点位置是在同一时间测量的判断。

长度与同时性之间的这种关系，直接通向狭义相对论更完整的架构。它也解释了为甚么长度收缩与时间膨胀必须一同出现，而不是两条互不相关的公式。