HSC Physics 中的平均速度与瞬时速度
学习平均速度、瞬时速度、图像斜率、切线、光电门、打点计时器和运动传感器在 HSC Physics 中是如何相互联系的。
一辆汽车在 4.0 s 内行驶了 20 m。它的平均速度很容易计算。但是，它从出发开始恰好经过 2.0 s 时的速度是多少？
这个问题比看起来更难。速度的定义涉及位移除以时间，但一个瞬间并没有时间间隔。如果时间间隔为零，计算似乎就变成了 \(0/0\)，而这并不能告诉我们任何信息。
解决方法是运动学中最重要的思想之一：在一个较短的时间间隔内测量速度，然后让这个时间间隔越来越短，观察测量值趋近于什么数值。在位移-时间图像上，同样的思想在几何上表现为切线的斜率。
因此，平均速度、瞬时速度、图像斜率和实际测量并不是四个彼此独立的主题。它们都是在用不同方式回答同一个问题：位移随时间变化得有多快？
01从平均速度开始
假设一名学生在 6.0 s 内向东走了 12 m。
在进行任何计算之前，先预测一下平均速度。
你可能会认为答案是向东 \(2.0\text{ m s}^{-1}\)。这是正确的：
\[
v_{\text{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}
=\frac{12}{6.0}
=2.0\text{ m s}^{-1}\text{ 向东}
\]
这里：
- \(v_{\text{av}}\) 是平均速度，单位为米每秒，\(\text{m s}^{-1}\)
- \(\Delta x\) 是位移，单位为米，m
- \(\Delta t\) 是时间间隔，单位为秒，s
- \(\Delta\) 表示“变化量”
平均这个词很重要。这个计算告诉我们，在整个时间间隔内，位移变化得有多快。它并不能告诉我们这名学生是否在每一个瞬间都以 \(2.0\text{ m s}^{-1}\) 的速度运动。
他可能一开始走得很慢，后来加速，中途停下来系鞋带，然后在最后几米冲刺。
如果你仍然觉得位移和速度可以互换使用，请先复习路程和位移。速度取决于位移，而不是运动的总路程。
例题：自行车骑行者改变方向
一名自行车骑行者最初位于 \(x=5\text{ m}\)。三秒后，骑行者位于 \(x=-7\text{ m}\)。求骑行者的平均速度。
步骤 1：计算位移
位移等于末位置减去初位置：
\[
\Delta x=x_f-x_i=-7-5=-12\text{ m}
\]
步骤 2：用位移除以时间间隔
\[
v_{\text{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}
=\frac{-12}{3.0}
=-4.0\text{ m s}^{-1}
\]
步骤 3：解释正负号
平均速度为 \(-4.0\text{ m s}^{-1}\)。
如果规定正 \(x\) 方向为东，那么骑行者的平均速度就是向西 \(4.0\text{ m s}^{-1}\)。
负号并不表示“慢”。它表示速度相对于所选坐标系的方向。
检查你的理解
一名跑步者在 4.0 s 内从 \(x=-3\text{ m}\) 移动到 \(x=9\text{ m}\)。平均速度是多少？
答案
\[
\Delta x=9-(-3)=12\text{ m}
\]
\[
v_{\text{av}}=\frac{12}{4.0}=3.0\text{ m s}^{-1}
\]
跑步者的平均速度为 \(+3.0\text{ m s}^{-1}\)。
02为什么平均速度有时还不够
想象你正在观察汽车的仪表盘。
某一时刻，速度表显示 35 km/h。一秒后显示 42 km/h。之后又显示 57 km/h。
显然，这辆汽车在整个行程中并不是只有一个速度。它的速度正在变化。
那么，假设我们想知道恰好在 \(t=3.0\text{ s}\) 时的速度。
一种可能的方法是测量汽车从 \(2.0\text{ s}\) 到 \(4.0\text{ s}\) 之间的位移，然后计算这两秒内的平均速度。
这样可以得到 \(3.0\text{ s}\) 附近速度的一个估计值。
我们能让这个估计更准确吗？
可以。把测量的时间间隔缩短。
不要使用 \(2.0\text{ s}\) 到 \(4.0\text{ s}\)，而是使用 \(2.9\text{ s}\) 到 \(3.1\text{ s}\)。
然后也许使用 \(2.99\text{ s}\) 到 \(3.01\text{ s}\)。
随着时间间隔越来越小，平均速度描述的运动就越来越接近我们所关心的那个瞬间。
它所趋近的数值就是瞬时速度。
形式上，
\[
v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}
\]
在 HSC Physics 中，你通常不需要正式进行极限运算。更重要的物理思想其实更简单：
当测量的时间间隔变得极小时，平均速度所趋近的数值就是瞬时速度。
求瞬时速度并不是把 \(\Delta t=0\) 直接代入。我们研究的是当 \(\Delta t\) 趋近于零时会发生什么。
03同一个思想的图像表示
位移-时间图像把位移 \(x\) 放在纵轴上，把时间 \(t\) 放在横轴上。
假设我们在图像上选取两个点：
\[
(t_1,x_1)
\]
和
\[
(t_2,x_2)
\]
它们之间的斜率为
\[
\text{斜率}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}
\]
但这正是
\[
\frac{\Delta x}{\Delta t}
\]
所以，在位移-时间图像上，连接两个点的直线的斜率就是这两个时刻之间的平均速度。
这条直线称为割线。
你不需要对这个术语投入太多感情。割线只是连接曲线上两个点的一条直线。
04从割线到切线
假设位移-时间图像是弯曲的，因为物体正在加速。
选取 \(t=4.0\text{ s}\) 时的一个点。我们想知道该瞬间的速度。
首先，把 \(t=4.0\text{ s}\) 处的点与 \(t=6.0\text{ s}\) 处的点连接起来。计算它的斜率。
现在让第二个点靠近一些，比如移动到 \(t=5.0\text{ s}\)。
然后是 \(4.5\text{ s}\)。
然后是 \(4.1\text{ s}\)。
这条割线会逐渐转向某一条特定的直线。
在极限情况下，它会变成曲线在 \(t=4.0\text{ s}\) 处的切线。
因此：
位移-时间图像上某点切线的斜率就是该点的瞬时速度。
这就是把测量时间间隔逐渐缩小到趋近于零这一思想的图像表示。
一个有用的直观图像
想象一下，从高空拍摄一条弯曲道路的照片。
从远处看，道路显然是弯曲的。但是，如果你不断放大其中一个非常小的区域，这一小段道路就会开始看起来几乎是直的。
瞬时速度的思想与此类似。在较大的时间间隔内，运动状态可能发生明显变化。但在足够小的时间间隔内，某一瞬间附近的运动几乎可以看作匀速运动。
不过，这个类比也有局限。实际的位移-时间曲线并不会真的变成直线。我们研究的是它的局部斜率。
检查你的理解
随着时间增加，一条位移-时间图像变得越来越陡。你能对物体的速度作出什么判断？
05例题：由曲线运动求平均速度
某物体的位移满足
\[
x=2t^2
\]
其中 \(x\) 的单位为米，\(t\) 的单位为秒。
求 \(t=2.0\text{ s}\) 到 \(t=5.0\text{ s}\) 之间的平均速度。
步骤 1：求初始位移
当 \(t=2.0\text{ s}\) 时：
\[
x_1=2(2.0)^2=8.0\text{ m}
\]
步骤 2：求最终位移
当 \(t=5.0\text{ s}\) 时：
\[
x_2=2(5.0)^2=50\text{ m}
\]
步骤 3：求位移变化量和时间变化量
\[
\Delta x=50-8.0=42\text{ m}
\]
\[
\Delta t=5.0-2.0=3.0\text{ s}
\]
步骤 4：计算平均速度
\[
v_{\text{av}}
=\frac{42}{3.0}
=14\text{ m s}^{-1}
\]
物体在这三秒内的平均速度为 \(14\text{ m s}^{-1}\)。
注意，我们并没有证明物体在每一个瞬间都以 \(14\text{ m s}^{-1}\) 的速度运动。
实际上，由于 \(x=2t^2\) 对时间作图时是一条曲线，所以物体的速度正在变化。
06用短时间间隔估算瞬时速度
现在仍然使用同一个运动方程，
\[
x=2t^2
\]
但估算 \(t=3.0\text{ s}\) 时的瞬时速度。
我们可以测量 \(2.9\text{ s}\) 到 \(3.1\text{ s}\) 之间的平均速度。
例题：估算某一瞬间的速度
步骤 1：求 \(2.9\text{ s}\) 时的位移
\[
x_1=2(2.9)^2=16.82\text{ m}
\]
步骤 2：求 \(3.1\text{ s}\) 时的位移
\[
x_2=2(3.1)^2=19.22\text{ m}
\]
步骤 3：计算变化量
\[
\Delta x=19.22-16.82=2.40\text{ m}
\]
\[
\Delta t=3.1-2.9=0.20\text{ s}
\]
步骤 4：计算这个短时间间隔内的平均速度
\[
v_{\text{av}}
=\frac{2.40}{0.20}
=12.0\text{ m s}^{-1}
\]
因此，\(3.0\text{ s}\) 时的瞬时速度约为 \(12.0\text{ m s}^{-1}\)。
对于这个特定方程，微积分可以给出精确的速度函数
\[
v=4t
\]
而在 \(t=3.0\text{ s}\) 时，
\[
v=4(3.0)=12.0\text{ m s}^{-1}
\]
我们的短时间间隔估计恰好与精确值一致，是因为对于这个特定的二次函数，我们选取了一个以 \(3.0\text{ s}\) 为中心的对称时间间隔。
HSC 中真正重要的并不是微积分，而是下面这个联系：
\[
\text{更短的时间间隔}
\rightarrow
\text{更准确的局部估计}
\rightarrow
\text{瞬时速度}
\]
07切线计算实际上是什么样的
学生经常被要求“画一条切线”，然后直接跳到斜率计算。把这个过程放慢一些会更有帮助。
假设你有一条弯曲的位移-时间图像，需要求 \(t=6\text{ s}\) 时的瞬时速度。
首先，画一条直线，使它在对应 \(6\text{ s}\) 的点处接触曲线，并沿着曲线在该点的方向延伸。
然后在切线上选取两个方便的点。
这两个点不必是原始数据曲线上的点。
例如，假设切线通过：
\[
(2\text{ s},4\text{ m})
\]
和
\[
(10\text{ s},28\text{ m})
\]
那么
\[
v=\text{斜率}
=\frac{28-4}{10-2}
=\frac{24}{8}
=3.0\text{ m s}^{-1}
\]
因此，\(t=6\text{ s}\) 时的瞬时速度约为 \(3.0\text{ m s}^{-1}\)。
为什么应该在切线上选取相距较远的点？
你可能会认为，最好的方法是在切点附近选取两个非常接近的点。
通常，这反而会使测量变得更差。
假设你的直尺位置存在约 \(1\text{ mm}\) 的不确定度。如果你选取的两个点只相距几毫米，那么这一小段不确定度就会占所测纵向变化量和横向变化量的很大比例。
在同一条切线上选取两个相距较远的点，可以减小读数不确定度所产生的百分比影响。
这并不意味着要在原始曲线上选取相距较远的两个点。那样得到的是平均速度。所选的点必须位于你画出的直切线上。
检查你的理解
一条位移-时间图像的切线通过 \((1.0\text{ s},2.0\text{ m})\) 和 \((7.0\text{ s},20.0\text{ m})\)。估算切线与曲线相切处的瞬时速度。
答案
\[
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}
=\frac{20.0-2.0}{7.0-1.0}
=\frac{18.0}{6.0}
=3.0\text{ m s}^{-1}
\]
瞬时速度约为 \(3.0\text{ m s}^{-1}\)。
08在真实实验中如何测量瞬时速度？
这里存在一个实验上的问题。
假设一辆小车正在沿斜面向下运动。你想知道它在某一个特定位置的速度。
你不可能在某一个瞬间放置秒表，然后测量“零秒”内的运动。真实的实验设备总是需要一个有限的距离或有限的时间间隔。
因此，实际实验通过让这个时间间隔尽可能小来近似测量瞬时速度。
09方法 1：光电门和遮光片
一种常见装置使用光电门。
想象一下从左到右排列的实验装置。
一辆小车沿轨道运动。小车上安装了一块长度已知的矩形遮光片。轨道更前方放置一个包含光源和探测器的光电门。
当小车通过光电门时：
- 遮光片的前缘挡住光束
- 计时器开始计时
- 遮光片继续穿过光电门
- 遮光片的后缘离开光束
- 计时器停止计时
假设遮光片长度为 \(L\)，挡住光束的时间为 \(\Delta t\)。
测得的速度为
\[
v\approx\frac{L}{\Delta t}
\]
为什么这只是瞬时速度的近似值？
因为小车在这段时间内移动了一个很小但不为零的距离 \(L\)。因此，这个计算实际上给出的是遮光片通过光电门期间的平均速度。
如果 \(L\) 足够短，并且在遮光片通过光电门的过程中小车速度变化很小，那么这个平均速度就是光电门位置处速度的良好近似。
例题：光电门测量
一块安装在小车上的 \(4.00\text{ cm}\) 遮光片挡住光电门 \(0.0185\text{ s}\)。估算小车在光电门处的速度。
步骤 1：把遮光片长度换算为米
\[
4.00\text{ cm}=0.0400\text{ m}
\]
步骤 2：应用速度关系式
\[
v\approx\frac{L}{\Delta t}
=\frac{0.0400}{0.0185}
=2.16\text{ m s}^{-1}
\]
小车在光电门处的速度约为 \(2.16\text{ m s}^{-1}\)。
更准确地说，\(2.16\text{ m s}^{-1}\) 是 \(4.00\text{ cm}\) 长的遮光片通过光电门期间的平均速度。由于这一时间间隔很短，我们把它看作小车在光电门处的瞬时速度。
10为什么不把遮光片做得无限短？
如果较短的遮光片能得到更局部的测量结果，那么似乎应该把遮光片做得在物理上尽可能短。
但这里存在权衡。
非常短的遮光片会缩短时间间隔，这可以让对瞬时速度的近似更准确。但同时，计时不确定度的影响也会变得更重要。
假设计时器的不确定度为 \(0.001\text{ s}\)。
如果遮光片挡住光电门 \(0.100\text{ s}\)，那么计时不确定度约为所测时间间隔的 1%。
如果它只挡住光电门 \(0.005\text{ s}\)，那么同样的 \(0.001\text{ s}\) 不确定度就占测量值的 20%。
因此，实际实验设计需要在两个相互竞争的目标之间取得平衡：
- 让时间间隔足够短，使速度变化非常小
- 让时间间隔足够大，使其能够被准确测量
这是一个普遍的实验思想，并不只是测量速度时才会用到的技巧。
11方法 2：打点计时器测量
在电子运动传感器普及之前，打点计时器提供了另一种估算速度的方法。
一条窄纸带穿过打点计时器。纸带连接在运动的小车上。当小车拉着纸带穿过装置时，计时器会以相等的时间间隔在纸带上打点。
如果计时器以 \(50\text{ Hz}\) 工作，那么它每秒打 50 个点。
因此，相邻两点之间的时间间隔为
\[
\Delta t=\frac{1}{50}=0.020\text{ s}
\]
现在观察点之间的间距。
点之间距离较小说明小车在每个 \(0.020\text{ s}\) 的时间间隔内只移动了较短距离，因此它的速率相对较低。
点之间距离较大说明在相同时间内位移更大，因此速率更高。
如果各个间距逐渐增大，那么小车正在加速。
一个传统测量中的问题
困难在于，一个点间距仍然只能给出 \(0.020\text{ s}\) 内的平均速度，而不是数学意义上某一瞬间的速度。
一种有用的改进方法，是测量以所关注时刻为中心的几个相邻时间间隔。
例如，如果某一个点代表我们关心的时刻，我们可以从它前面的一个点测量到它后面的一个点。
这样得到的是一个以所需瞬间为近似中心的小时间间隔内的平均值。
这种方法并不能产生真正的零时间测量。相反，它使用的仍然是我们之前建立的同一个思想：短时间间隔内的平均值可以近似瞬时值。
例题：打点计时器估算
一台打点计时器以 \(50\text{ Hz}\) 工作。从某一个点到两个时间间隔后的点，距离为 \(6.8\text{ cm}\)。估算中间那个点附近的速度。
步骤 1：求每个时间间隔的时长
\[
\Delta t_{\text{一个间隔}}=\frac{1}{50}=0.020\text{ s}
\]
共有两个时间间隔，因此
\[
\Delta t=2(0.020)=0.040\text{ s}
\]
步骤 2：把位移换算为米
\[
6.8\text{ cm}=0.068\text{ m}
\]
步骤 3：计算这两个时间间隔内的平均速度
\[
v\approx\frac{0.068}{0.040}
=1.7\text{ m s}^{-1}
\]
小车在中间那个点附近的速度约为 \(1.7\text{ m s}^{-1}\)。
中间那个点附近这几个字很重要。设备测量的是 \(0.040\text{ s}\) 内的运动，而不是一个无限短的瞬间。
12现代运动传感器只是更快地做同一件事
运动传感器看起来可能会直接给出瞬时位置和瞬时速度。
但它并没有绕开最根本的测量问题。
传感器会在一系列离散时刻记录位置。然后，软件可以通过比较相邻的位置测量值来估算速度。
例如，假设传感器记录了：
| 时间，\(t\) (s) | 位置，\(x\) (m) |
|---|---|
| 1.98 | 3.42 |
| 2.00 | 3.48 |
| 2.02 | 3.54 |
为了估算 \(2.00\text{ s}\) 时的速度，可以使用它两侧的测量值：
\[
v\approx\frac{3.54-3.42}{2.02-1.98}
=\frac{0.12}{0.04}
=3.0\text{ m s}^{-1}
\]
同样，这是一个以所关注时刻为中心的短时间间隔估计。
绘图软件可能会自动完成这一计算，但其背后的物理原理并没有改变。
13学生在位移-时间图像上常犯的错误
这里有一个很容易产生的判断：
“如果位移很大，速度就一定很大。”
这听起来似乎很合理。一个离原点很远的物体，让人感觉它一定移动得很快。
但在位移-时间图像中，位移由图像的高度表示，而速度由图像的斜率表示。
这是两个不同的性质。
考虑一条位于 \(x=100\text{ m}\) 的水平直线。
物体的位移是 \(100\text{ m}\)，但
\[
\text{斜率}=0
\]
所以
\[
v=0
\]
物体距离原点 100 m，但完全静止。
现在考虑一条经过 \(x=0\text{ m}\) 且具有非常陡的正斜率的图像。
在那个瞬间，位移为零，但速度可能很大。
位置告诉你物体在哪里。
斜率告诉你物体的位置如何变化。
检查你的理解
在 \(t=5\text{ s}\) 时，一个物体的位移-时间图像以很陡的负斜率穿过时间轴。这说明了什么？
答案
穿过时间轴意味着
\[
x=0
\]
所以物体正在经过所选的原点。
负斜率意味着
\[
v<0
\]
所以物体正在沿负方向运动。
在这个瞬间，它的位移为零，但速度不一定为零。
14另一个常见错误：速率和速度并不相同
假设一条位移-时间图像的斜率为
\[
-6.0\text{ m s}^{-1}
\]
瞬时速度为
\[
-6.0\text{ m s}^{-1}
\]
但瞬时速率为
\[
6.0\text{ m s}^{-1}
\]
速率是速度的大小。速度包含方向。
当图像穿过零值或斜率符号发生改变时，这一区别尤其重要。完整的关系请参阅速率和速度。
15直接从位移-时间图像读取运动信息
一条位移-时间图像能告诉你的信息远不止一个速度值。
| 图像特征 | 物理意义 |
|---|---|
| 水平直线 | 物体静止 |
| 恒定的正斜率 | 恒定的正速度 |
| 恒定的负斜率 | 恒定的负速度 |
| 曲线在正方向上变得越来越陡 | 正速度正在增大 |
| 曲线仍然上升但逐渐变平 | 正速度正在减小 |
| 切线斜率为零 | 瞬时速度为零 |
| 斜率由正变负 | 物体改变运动方向 |
最后一种情况需要特别注意。
假设一个球向上运动。它的位移不断增大，但向上的速度不断减小。在最高点，位移-时间图像的切线是水平的。
因此在那个瞬间，
\[
v=0
\]
紧接着，图像开始向下倾斜，所以速度变成负值。
因此，瞬时速度为零并不意味着物体一定会继续保持静止。它可能只是处于一个转折点。
16平均速度可能掩盖大量运动细节
想象一下，你先向东走 20 m，然后向西走 20 m，最后回到出发点。
假设整个过程用了 40 s。
你的总位移为
\[
\Delta x=0
\]
所以
\[
v_{\text{av}}=\frac{0}{40}=0\text{ m s}^{-1}
\]
这是否意味着你在 40 s 内一直静止不动？
显然不是。
平均速度只比较所选时间间隔内的起点位置和终点位置。它并不能描述中间发生的一切。
这就是为什么你选择的时间间隔很重要。
在完整的 40 s 内，平均速度为零。
在前半段，平均速度为正。
在后半段，平均速度为负。
在各个不同的瞬间，速度可能具有许多不同的数值。
检查你的理解
一辆汽车绕圆形赛道完整行驶一圈，并恰好回到出发位置。它的平均速度是否为零？
答案
是的，前提是所选时间间隔覆盖完整的一圈。
它的最终位置等于初始位置，因此
\[
\Delta x=0
\]
所以
\[
v_{\text{av}}=0
\]
汽车的平均速率不为零，因为它行驶了非零的路程。
17一个更难的图像计算
假设一条位移-时间图像由下式描述：
\[
x=t^2+2t
\]
其中 \(x\) 的单位为米，\(t\) 的单位为秒。
利用 \(3.9\text{ s}\) 到 \(4.1\text{ s}\) 的时间间隔，估算 \(t=4.0\text{ s}\) 时的瞬时速度。
例题：短时间间隔估算
步骤 1：求 \(3.9\text{ s}\) 时的位移
\[
x_1=(3.9)^2+2(3.9)
=15.21+7.80
=23.01\text{ m}
\]
步骤 2：求 \(4.1\text{ s}\) 时的位移
\[
x_2=(4.1)^2+2(4.1)
=16.81+8.20
=25.01\text{ m}
\]
步骤 3：计算位移变化量
\[
\Delta x=25.01-23.01=2.00\text{ m}
\]
步骤 4：计算时间间隔
\[
\Delta t=4.1-3.9=0.20\text{ s}
\]
步骤 5：计算速度估计值
\[
v\approx\frac{2.00}{0.20}
=10.0\text{ m s}^{-1}
\]
因此，\(t=4.0\text{ s}\) 时的瞬时速度约为
\[
10.0\text{ m s}^{-1}
\]
这个时间间隔以 \(4.0\text{ s}\) 为中心对称选取，因此能够较好地估算中心位置的斜率。
18如果切线向下倾斜怎么办？
在数学上并没有什么特殊之处。
假设一条切线通过
\[
(3\text{ s},12\text{ m})
\]
和
\[
(8\text{ s},-3\text{ m})
\]
那么
\[
v=\frac{-3-12}{8-3}
=\frac{-15}{5}
=-3.0\text{ m s}^{-1}
\]
负值表示物体沿负方向运动。
学生有时会去掉负号，因为他们认为速度“不可能是负的”。这样做会把速度变成速率，并丢失方向信息。
19平均速度和瞬时速度如何联系起来
整理这个主题最简单的方法如下：
| 问题 | 方法 |
|---|---|
| 位移在一段时间内变化得有多快？ | 平均速度 |
| 位移-时间图像上两个点之间的斜率是什么？ | 平均速度 |
| 位移在某一个特定瞬间变化得有多快？ | 瞬时速度 |
| 位移-时间图像切线的斜率是什么？ | 瞬时速度 |
| 光电门使用一块较短的遮光片测量到什么？ | 用于估算瞬时速度的短时间间隔平均速度 |
| 运动传感器根据相邻的位置读数计算什么？ | 瞬时速度的短时间间隔估计值 |
同一个核心思想不断出现：
\[
\text{速度}=\text{位移的变化率}
\]
唯一的问题是：在哪一个时间间隔内？
对于平均速度，这个时间间隔是有限的。
对于瞬时速度，我们考虑当这个时间间隔变得极小时，平均速度趋近于什么数值。
20下一步：加速度
一旦速度可以从一个瞬间到下一个瞬间发生变化，就会自然出现另一个问题。
速度本身变化得有多快？
这个物理量就是加速度：
\[
a_{\text{av}}=\frac{\Delta v}{\Delta t}
\]
这个结构看起来很熟悉，是有意如此。
平均速度描述位移如何随时间变化。
加速度描述速度如何随时间变化。
这就是为什么一旦你不再把每个方程都看成彼此独立、需要死记硬背的公式，运动学就会变得容易得多。图像、时间间隔计算、切线、光电门、打点计时器和运动传感器，都在测量同一个思想的不同形式：一个物理量如何随另一个物理量变化。