碰撞中的封闭系统：动量何时守恒

两辆动力学小车在轨道上发生碰撞。在碰撞过程中，每辆小车都受到另一辆小车施加的很大作用力。那么，为什么我们经常还能说总动量保持不变？

答案取决于你选择把什么定义为系统。

如果你的系统只包含一辆小车，那么另一辆小车施加的力就是外力，因此这辆小车的动量会改变。如果你的系统包含两辆小车，那么碰撞力就是内力。它们可以在两辆小车之间传递动量，而不会改变两车系统的总动量。

因此，在碰撞问题中，我们真正应该问的是：

系统边界内包含什么？是否有显著的外冲量跨越这个边界作用于系统？

01先画出系统边界

想象两辆小车 A 和 B 沿水平轨道运动。

在考虑方程之前，先在脑中画一个环，把两辆小车都圈起来。

这个环内的一切都属于该系统。系统内部物体之间的力是内力。由系统外部物体产生的力是外力。

假设小车 A 撞上小车 B。在接触过程中：

• A 推 B。
• B 推 A。
• 根据牛顿第三定律，这两个力大小相等、方向相反。

这时，学生可能会说：“这两个力相互抵消，所以两辆小车的动量都不会改变。”

这是一个很容易犯的错误。

对于每一辆单独的小车来说，这两个力并不会抵消。小车 A 受到 B 的力，因此 A 的动量会改变。小车 B 受到 A 的力，因此 B 的动量也会改变。

只有当我们考虑A + B 组合系统的总动量变化时，这两个力的作用才会相互抵消。

这正是为什么必须谨慎选择系统边界。

02内力可以重新分配动量

动量为

\[
p = mv
\]

其中：

• \(p\) 是动量，单位为 \(\text{kg m s}^{-1}\)，
• \(m\) 是质量，单位为 \(\text{kg}\)，
• \(v\) 是速度，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)。

动量是矢量，因此方向很重要。在一维问题中，我们通常规定一个方向为正方向，并用负速度表示沿相反方向的运动。

对于由两个物体组成的系统，总动量为

\[
p_{\text{total}} = m_Av_A + m_Bv_B
\]

在碰撞过程中，小车 A 可能失去一些动量，而小车 B 得到一些动量。动量守恒并不意味着每个物体的动量都保持不变。

它意味着在适当条件下，

\[
\Delta p_A + \Delta p_B = 0
\]

因此

\[
p_{\text{total, initial}} = p_{\text{total, final}}
\]

动量只是在系统内部重新分配，而不是被产生或消失。

可以把它想成两个人在各自的银行账户之间转账。一个账户的余额减少，另一个账户的余额增加。如果没有钱进入或离开这两个账户，那么它们的总余额保持不变。

在这个类比中，每个账户的余额代表各个物体的动量，而两者的总余额代表系统的总动量。

不过，这个类比有局限性：动量是矢量，而金钱不是，因此正负号和方向都很重要。

03到底是什么决定动量是否守恒？

我们经常听到这样一条规则：

封闭系统中的动量守恒。

对于碰撞计算，我们需要一个更精确的表述。

系统的冲量-动量关系为

\[
\Delta p_{\text{system}} = J_{\text{external}}
\]

其中 \(J_{\text{external}}\) 是作用在系统上的合外冲量。

对于恒定的合力，冲量为

\[
J = F_{\text{net}}\Delta t
\]

其中：

• \(J\) 是冲量，单位为 \(\text{N s}\)，等价于 \(\text{kg m s}^{-1}\)，
• \(F_{\text{net}}\) 是合力，单位为 \(\text{N}\)，
• \(\Delta t\) 是时间间隔，单位为 \(\text{s}\)。

因此，在碰撞问题中最实用的规则是：

\[
J_{\text{external}} \approx 0
\quad \Rightarrow \quad
\Delta p_{\text{system}} \approx 0
\]

于是

\[
p_{\text{initial}} \approx p_{\text{final}}
\]

如果要严格守恒，合外冲量必须为零。在真实实验中，我们通常可以把动量守恒看作非常好的近似，因为在短暂的碰撞过程中，外冲量与涉及的动量相比非常小。

这一区别很重要。

04有外力存在，并不一定会破坏碰撞模型

假设两辆小车在有少量摩擦的轨道上碰撞。

有摩擦是否意味着一定不能使用动量守恒？

不是。

关键并不只是有没有外力，而是在你所分析的时间区间内，外冲量有多大。

假设两车系统受到的摩擦力为 \(0.20\text{ N}\)，碰撞只持续 \(0.010\text{ s}\)。其冲量为

\[
J = F\Delta t = (0.20)(0.010) = 0.0020\text{ N s}
\]

如果两辆小车的动量大约为 \(1\text{ kg m s}^{-1}\)，那么 \(0.0020\text{ kg m s}^{-1}\) 的外冲量就非常小。

动量并非完全守恒，但在碰撞本身的这段时间内，把它视为守恒可能是非常好的近似。

现在看看，如果你分析的是十秒钟的运动，会发生什么。同样的摩擦力会产生大得多的冲量。

所以，动量守恒是否是一个有用的模型，同时取决于系统边界和时间区间。

05系统边界会改变答案

假设一辆质量为 \(0.80\text{ kg}\) 的小车 A 撞上一辆静止的、质量为 \(1.20\text{ kg}\) 的小车 B。

考虑两种可能的系统。

系统 1：只有小车 A

小车 B 施加在小车 A 上的力来自这个系统之外。

因此，接触力对于“小车 A”系统来说是外力，小车 A 的动量不守恒。

系统 2：小车 A 和 B 一起

现在，A 对 B 的力和 B 对 A 的力都发生在系统边界内部。

它们都是内力。

如果在碰撞期间，摩擦力、空气阻力以及其他周围环境产生的外冲量可以忽略，那么 A + B 系统的总动量守恒。

这就是为什么只写“动量守恒”而不说明所选系统是不完整的。

06快速判断规则

在使用动量守恒方程之前，先进行三项检查。

只有完成这些检查后，才应该写出

\[
\sum p_i = \sum p_f
\]

09最容易产生的误解：“有外力就不能用动量守恒”

下面这条规则过于粗略：

“只要有外力作用，动量就不守恒。”

更准确的说法是：

总动量的变化由合外冲量决定。

由此可以得到几种重要情况。

如果整个时间区间内合外力为零，那么外冲量为零，因此动量守恒。

如果存在外力，但这些外力相互抵消，使合外力为零，动量仍然可以守恒。

如果一个很小的外力只作用很短时间，那么动量可能近似守恒。

如果一个显著的外力持续足够长的时间，产生了不可忽略的冲量，那么对于所选系统和该时间区间，动量不守恒。

10不要把竖直方向的力与水平方向的动量混淆

考虑两辆小车在水平轨道上发生水平方向的碰撞。

重力向下作用。轨道的支持力向上作用。

这些力是否会妨碍我们使用水平方向的动量守恒？

通常不会。

竖直方向的力可能近似平衡，因此竖直方向的合冲量可以忽略。更重要的是，如果我们分析的是水平方向的动量，我们关心的是水平方向的外冲量。

因此，更精确的一维表述是

\[
\Delta p_x = J_{\text{external},x}
\]

如果水平方向的合外冲量可以忽略，

\[
p_{x,i} \approx p_{x,f}
\]

即使存在重力和支持力这样较大的竖直方向力，也是如此。

这就是为什么不应该把受力图和动量方程看成彼此无关的两个主题。

11碰撞力本身并不是外力

学生有时会看到很大的碰撞力，就因为“有一个巨大的力”而得出动量不能守恒的结论。

要问的是：这个巨大的力来自什么物体？

如果小车 A 和小车 B 都位于系统内部，那么 A 对 B 的力和 B 对 A 的力都是内力。

这些力可能比摩擦力大数千倍。这并不会妨碍系统总动量守恒。

事实上，正是这些巨大的内力使动量能够在物体之间快速转移。

只有来自系统边界外部的冲量，才会改变系统的总动量。

12问题与解答

问题 1

一辆质量为 \(2.0\text{ kg}\) 的手推车以 \(1.5\text{ m s}^{-1}\) 的速度向右运动，与一辆静止的、质量为 \(1.0\text{ kg}\) 的手推车发生碰撞。碰撞后两车粘在一起。碰撞期间的水平外冲量可以忽略。

求碰撞后两车立即具有的速度。

解答 1

粘在一起的两辆手推车以 \(1.0\text{ m s}^{-1}\) 的速度向右运动。

系统中包含两辆手推车，而且水平外冲量可以忽略，因此总动量守恒。

取向右为正方向，

\[
\begin{aligned}
p_i &= m_1v_1+m_2v_2 \\
&= (2.0)(1.5)+(1.0)(0) \\
&= 3.0\text{ kg m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

碰撞后，总质量为 \(3.0\text{ kg}\)。因此，

\[
\begin{aligned}
p_i &= p_f \\
3.0 &= (3.0)v \\
v &= 1.0\text{ m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

结果为正，说明两辆手推车组成的系统向右运动。

关键在于，每辆手推车各自的动量都不守恒。守恒的是两辆手推车合在一起的总动量。

问题 2

两名滑冰者最初静止在近乎无摩擦的冰面上，然后相互推开。滑冰者 A 的质量为 \(55\text{ kg}\)，推开后以 \(2.4\text{ m s}^{-1}\) 的速度向西运动。滑冰者 B 的质量为 \(75\text{ kg}\)。

求滑冰者 B 的速度。然后解释：为什么滑冰者 A 单独的动量并不守恒，而两名滑冰者组成的系统的动量却近似守恒。

解答 2

滑冰者 B 以 \(1.76\text{ m s}^{-1}\) 的速度向东运动；A 单独的动量不守恒，是因为对于只包含 A 的系统来说，B 施加的力是外力。

取向东为正方向。因此，滑冰者 A 的速度为 \(-2.4\text{ m s}^{-1}\)。

系统一开始处于静止状态，因此

\[
p_i=0
\]

对于两名滑冰者组成的系统，水平外冲量可以忽略。因此，

\[
\begin{aligned}
0 &= m_Av_A+m_Bv_B \\
0 &= (55)(-2.4)+(75)v_B \\
0 &= -132+75v_B \\
v_B &= \frac{132}{75} \\
&=1.76\text{ m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

速度为正，说明滑冰者 B 向东运动。

如果只把 A 选作系统，那么 B 位于系统边界之外。因此，B 对 A 的推力对于“仅 A”系统来说是外力，它对 A 产生冲量并改变 A 的动量。

如果把两名滑冰者都包括在系统中，那么他们相互作用的力就是内力。这些内力在两人之间传递大小相等、方向相反的动量，而系统总动量仍近似保持为零。

问题 3

两辆小车在水平轨道上发生碰撞。一名学生测得，它们在碰撞前一瞬间的总动量为 \(0.84\text{ kg m s}^{-1}\)，碰撞后一瞬间的总动量为 \(0.81\text{ kg m s}^{-1}\)。

碰撞持续 \(0.025\text{ s}\)。

这名学生说：“动量守恒失效了，所以牛顿定律在碰撞过程中一定不能完全适用。”

假设测量结果完全准确，求在测量时间区间内作用在两车系统上的平均合外力。并说明学生的结论有什么问题。

解答 3

平均合外力为 \(1.2\text{ N}\)，方向与原先规定的正方向相反；这些测量结果并没有显示牛顿定律失效。它们表明所选系统受到了外冲量。

动量变化为

\[
\begin{aligned}
\Delta p &= p_f-p_i \\
&=0.81-0.84 \\
&=-0.030\text{ kg m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

利用

\[
\Delta p=F_{\text{avg}}\Delta t
\]

可得

\[
\begin{aligned}
F_{\text{avg}}
&=\frac{\Delta p}{\Delta t}\\
&=\frac{-0.030}{0.025}\\
&=-1.2\text{ N}
\end{aligned}
\]

负号说明平均外力的方向与所选正方向相反。

学生的错误在于认为每一次碰撞中总动量都必须保持不变。只有当系统的合外冲量为零时，动量才严格守恒；如果合外冲量可以忽略，则动量近似守恒。

如果系统受到 \(-0.030\text{ N s}\) 的外冲量，那么 \(0.030\text{ kg m s}^{-1}\) 的动量变化完全符合牛顿定律。

问题 4

一辆小车朝一面刚性墙壁滚去，并在碰撞后反弹。一名学生想利用动量守恒来求碰撞后小车的速率。

他把系统定义为只有小车，并认为：

“墙对小车施加一个力，但小车也对墙施加一个大小相等、方向相反的力。这两个力相互抵消，所以小车的动量一定守恒。”

解释为什么这种说法不正确。然后说明一个更大的系统；假设这个更大系统受到的外冲量可以忽略，那么该系统可以满足动量守恒。

解答 4

这种说法不正确，因为小车施加在墙上的力并不作用于只包含小车的系统。对于小车本身来说，墙施加的力是外力，因此小车受到冲量，其动量会改变。

牛顿第三定律中的一对作用力和反作用力作用在不同的物体上：

• 墙推小车，
• 小车推墙。

如果系统只包含小车，那么这两个力中只有第一个作用在系统边界内的物体上。因此，在只包含小车的系统内部并不存在这两个力的相互抵消。

小车反向运动，所以它的动量显然发生了改变。例如，如果碰撞前它的动量为 \(+p\)，碰撞后变为 \(-p\)，那么

\[
\Delta p=-p-(+p)=-2p
\]

这个冲量必然是由墙施加给小车的。

一个更大的系统可以包含小车、墙和地球。这样，小车与墙之间的力就成为所选系统的内力。墙与地球相连，因此从小车传给墙的动量最终会使地球的速度发生极其微小、几乎无法想象的变化，因为地球的质量非常大。

如果作用在这个更大系统上的合外冲量可以忽略，那么整个更大系统的总动量守恒。

这里的陷阱是认为牛顿第三定律的一对力在动量计算中总会相互抵消。只有当受到这一对力作用的两个物体都位于所选系统内部时，它们才会作为内力在系统总动量变化中相互抵消。

问题 5

两辆小车在轨道上发生碰撞。在持续 \(0.015\text{ s}\) 的碰撞过程中，作用于两车系统的总外部水平力随时间变化，但其平均值为零。

一名学生说：“我们不能使用动量守恒，因为碰撞过程中有一些时刻外力并不为零。”

这名学生说得对吗？请利用冲量解释，而不要只依赖背诵的规则。

解答 5

不对。如果整个碰撞时间区间内的合外冲量为零，那么该时间区间末的总动量就等于初始总动量，即使外力并不是在每一时刻都等于零。

对于随时间变化的力，动量变化由总冲量决定：

\[
\Delta p_{\text{system}}=J_{\text{external}}
\]

冲量取决于力随时间累积产生的作用。如果正、负外冲量相互抵消，使得

\[
J_{\text{external}}=0
\]

那么

\[
\Delta p_{\text{system}}=0
\]

因此

\[
p_f=p_i
\]

这名学生隐含地假设外力必须在每一时刻都等于零。这个条件确实足以保证动量守恒，但它比实际所需的条件更严格。

在所选的初始时刻和最终时刻之间，真正重要的是合外冲量。

13掌握这些之后你可以做什么

一旦你能够定义系统边界，碰撞方程就不再是需要机械套用的公式。

你可以判断为什么动量应该守恒、动量方程中必须包含哪些物体，以及什么时候外力小到可以忽略。

当你进一步学习二维碰撞、爆炸、反冲以及冲量-时间图像时，这种系统思维会变得尤其有用。在每一种情况下，核心问题始终相同：有什么跨越了系统边界？它传递了多少动量？