HSC 物理：机械能守恒

一名滑板运动员从光滑斜坡的顶端由静止开始运动。在顶端时，滑板没有运动；到了底端时，它的速度已经很快。没有任何电动机启动，那么这些动能是从哪里来的呢？

现在先做一个预测。假设斜坡的起始高度变为原来的两倍，滑板运动员到达底端时的速度也会变成两倍吗？

不会。起始高度加倍，会使可用的能量加倍，但动能取决于速度的平方。最终速度只会增大到原来的 \(\sqrt{2}\) 倍。

机械能守恒为我们提供了一种简洁的方法，可以预测这类变化，而不必逐一追踪运动路径上每一点的力和加速度。

01能量追踪的思路

想象一个物体沿着无摩擦的山坡向下运动。我们需要追踪两个量：

• 动能，因为物体正在运动
• 重力势能，因为物体具有高度

动能为

\[
K = \frac{1}{2}mv^2
\]

其中，\(K\) 是以焦耳（J）为单位的动能，\(m\) 是以千克（kg）为单位的质量，\(v\) 是以米每秒（m/s）为单位的速率。

在地球表面附近，重力势能可以写成

\[
U_g = mgh
\]

其中，\(U_g\) 是以焦耳为单位的重力势能，\(g\) 是重力场强度，约为 \(9.8\text{ m/s}^2\)，\(h\) 是物体相对于所选参考面的高度，单位为米。

如果你需要复习 \(mgh\)，请参阅 HSC 物理：地球附近的重力势能。

物体的机械能是其动能与势能的总和：

\[
E_{\text{mech}} = K + U_g
\]

暂时可以把它们想象成同一个能量预算中的两个账户。物体下坡时，能量从“高度账户”转移到“速度账户”；物体上坡时，能量又转移回来。

这个类比也有局限。能量并不是一种真的会在盒子之间移动的物质，而且更准确地说，重力势能与物体和地球之间的相互作用有关。不过，“两个账户”的模型对于追踪数值很有帮助。

02机械能什么时候守恒？

这里有一个重要条件。

如果系统中的能量只是在动能和势能之间转移，那么总机械能保持不变。

对于仅受重力作用、且没有摩擦和空气阻力的运动，

\[
E_{\text{mech,i}} = E_{\text{mech,f}}
\]

因此

\[
K_i + U_{g,i} = K_f + U_{g,f}
\]

下标 \(i\) 和 \(f\) 分别表示初始状态和最终状态。

代入动能和重力势能的公式，得到

\[
\frac{1}{2}mv_i^2 + mgh_i
=
\frac{1}{2}mv_f^2 + mgh_f
\]

还可以用另一种很有用的方式表达同一件事：

\[
\Delta K + \Delta U_g = 0
\]

或者

\[
\Delta K = -\Delta U_g
\]

如果重力势能减少了 40 J，那么动能就增加 40 J。

这就是这里“守恒”的含义。动能和势能各自的大小可以发生很大的变化，但它们的总和不变。

有力作用时，机械能仍然可能不变

学生有时会把规则记成：“没有其他力作用时，机械能才守恒。”

这种说法过于粗略。

考虑一辆小车沿光滑的弯曲轨道运动。轨道会对小车施加支持力，但这个支持力始终与小车瞬时运动方向垂直。因此，支持力对小车不做功。

所以，重力仍然可以在重力势能和动能之间转移能量，而总机械能保持不变。

更好的判断方法是：

所以，在写出能量守恒方程之前，先问：有哪些过程正在传递能量？

04为什么质量消失了？

再看一下这个方程：

\[
mgh_i = \frac{1}{2}mv_f^2
\]

质量 \(m\) 同时出现在等式两边，因此可以约去：

\[
gh_i = \frac{1}{2}v_f^2
\]

所以

\[
v_f = \sqrt{2gh_i}
\]

这会得到一个重要的预测。

忽略空气阻力，让一个 1 kg 的物体和一个 10 kg 的物体下降相同的竖直距离。哪一个最终速率更大？

都不是。它们的速率相同。

较重的物体一开始具有更多的重力势能，但它要达到某一给定速率，也需要更多的动能。这两个量都与质量有关，因此质量会约掉。

不要把这理解成“质量不会影响能量”。质量当然会影响能量。在相同速率下，10 kg 物体的动能是 1 kg 物体的十倍。质量只是在这种仅受重力作用的特定计算中，不影响最终速率。

06高度零点可以自行选择

假设一个球位于距地面 \(12\text{ m}\) 高的阳台上。

你可以把地面定义为 \(h = 0\)，这样球就具有正的重力势能。

你也可以把阳台定义为 \(h = 0\)。这样，地面的高度就是 \(h = -12\text{ m}\)。

两种选择都可以。

这是因为，在物理上通常真正有用的是重力势能的变化量：

\[
\Delta U_g = mg\Delta h
\]

其中

\[
\Delta h = h_f – h_i
\]

如果物体向下运动，\(\Delta h\) 为负，因此 \(\Delta U_g\) 也为负。

零高度的选择会改变各个位置的 \(U_g\) 数值，但不会改变两个位置之间的能量差。

一个好习惯是把 \(h = 0\) 选在能让计算最简单的位置，通常可以选在题目中的最低点。

07一个很诱人的错误：“能量损失了”

现在在轨道上加入摩擦。

假设一个物体开始时有 \(100\text{ J}\) 的机械能，后来只剩下 \(74\text{ J}\)。

很容易让人说有 26 J 的能量消失了。

其实并没有。

总能量仍然守恒，只是机械能不守恒。

“少掉”的 \(26\text{ J}\) 已经转化为其他形式的能量，例如接触表面和周围环境的热能。

这个区别很重要：

• 总能量守恒
• 机械能只有在适当条件下才守恒

当摩擦等非保守力做功时，一个很有用的方程是

\[
W_{\text{nc}} = \Delta E_{\text{mech}}
\]

其中，\(W_{\text{nc}}\) 是非保守力所做的功。

等价地，

\[
W_{\text{nc}}
=
(K_f + U_f) – (K_i + U_i)
\]

如果摩擦使系统的机械能减少，那么 \(W_{\text{nc}}\) 为负。

例如，如果机械能从 \(100\text{ J}\) 变为 \(74\text{ J}\)，

\[
W_{\text{nc}} = 74 – 100 = -26\text{ J}
\]

负号说明非保守力使系统的机械能减少了。

08解决机械能问题的可靠方法

在拿起计算器之前，按下面的顺序思考。

1. 选择两个位置

清楚标出初始位置和最终位置。

通常不需要分析它们之间的每一个点。

2. 判断机械能是否守恒

注意是否存在摩擦、空气阻力、外加推力、电动机，或其他把能量输入机械系统或从机械系统中转移出去的过程。

如果这些影响不存在，或题目明确说可以忽略，那么通常适合使用机械能守恒。

3. 列出每个位置具有的能量

问自己：

• 物体是否在运动？
• 相对于我选择的零高度，它是否具有高度？
• 其中某个量是否为零？

只有在有物理依据时，才能删去某一项。

例如，“由静止释放”意味着 \(v_i = 0\)，所以 \(K_i = 0\)。

4. 先写能量方程，再代入数值

对于仅受重力作用的运动，

\[
\frac{1}{2}mv_i^2 + mgh_i
=
\frac{1}{2}mv_f^2 + mgh_f
\]

然后再化简。

这比尝试为每一种斜坡、下落、山丘或轨道分别记一个专门公式更可靠。

09为什么能量法有时比受力分析更简单

假设一辆小车沿着形状很不规则的无摩擦弯曲轨道运动。

如果尝试计算它在每一点的加速度，很快就会变得很麻烦。支持力的方向不断变化，重力沿轨道方向的分量也不断变化。

能量法问的是一个更简单的问题：竖直高度改变了多少？

如果小车在相同的初始高度和最终高度之间运动，并且初速度相同，那么无论无摩擦轨道的具体形状如何，机械能守恒都会给出相同的最终速率。

这并不意味着不同路径在所有方面都相同。运动时间、加速度方向和支持力都可能不同。

能量告诉你的是一个特定关系：初始能量状态与最终能量状态之间的关系。

10问题与解答

问题 1

一个球从距地面 \(1.8\text{ m}\) 高处由静止释放。忽略空气阻力。

计算它即将到达地面前的速率。取 \(g = 9.8\text{ m/s}^2\)。

解答 1

球到达地面时的速率约为 \(5.9\text{ m/s}\)。

忽略空气阻力时，机械能守恒。选择地面为 \(h = 0\)。

初始时，

\[
K_i = 0
\]

重力势能为

\[
U_{g,i} = mgh
\]

在地面处，重力势能为零，能量表现为动能：

\[
mgh = \frac{1}{2}mv^2
\]

质量约去：

\[
gh = \frac{1}{2}v^2
\]

代入 \(g = 9.8\text{ m/s}^2\) 和 \(h = 1.8\text{ m}\)：

\[
(9.8)(1.8) = \frac{1}{2}v^2
\]

\[
v^2 = 35.28
\]

\[
v = 5.94\text{ m/s}
\]

所以速率约为

\[
\boxed{5.9\text{ m/s}}
\]

下落过程中减少的重力势能转化为了动能。

问题 2

一名 \(55\text{ kg}\) 的滑板运动员在所选参考面上方 \(0.80\text{ m}\) 处以 \(5.0\text{ m/s}\) 的速率运动。随后，他们在无摩擦斜坡上依靠惯性向上滑行。

计算他们相对于该参考面能达到的最大高度。

解答 2

滑板运动员到达的最大高度约为参考面上方 \(2.08\text{ m}\)。

在最高点，滑板运动员的瞬时速率为零，所以 \(K_f = 0\)。

机械能守恒：

\[
\frac{1}{2}mv_i^2 + mgh_i = mgh_f
\]

质量出现在每一项中，因此可以约去：

\[
\frac{1}{2}v_i^2 + gh_i = gh_f
\]

代入 \(v_i = 5.0\text{ m/s}\)、\(h_i = 0.80\text{ m}\) 和 \(g = 9.8\text{ m/s}^2\)：

\[
\frac{1}{2}(5.0)^2 + (9.8)(0.80)
=
9.8h_f
\]

\[
12.5 + 7.84 = 9.8h_f
\]

\[
h_f = \frac{20.34}{9.8}
= 2.08\text{ m}
\]

所以

\[
\boxed{h_f = 2.08\text{ m}}
\]

滑板运动员最初的动能使他们能够在起始位置以上再上升 \(1.28\text{ m}\)。

一个常见错误是在方程中把起始高度设为零，却仍把最终答案解释为相对于原参考面的高度。你可以任意选择零高度，但必须始终一致地使用这个选择。

问题 3

两个完全相同的球从同一高度由静止开始运动。球 A 沿一条较短而陡峭的无摩擦轨道下滑。球 B 沿一条长得多、坡度较缓的无摩擦轨道下滑。两条轨道的终点高度相同。

一名学生认为，球 A 一定会以更大的速率到达底部，因为在更陡的轨道上，重力使它沿轨道方向获得更大的加速度。

比较两个球到达底部时的速率。

解答 3

只要两条轨道都无摩擦，并且两个球从同一高度由静止开始运动，它们到达底部时的速率就相同。

两个球的竖直高度变化相同，因此损失的重力势能也相同：

\[
\Delta U_g = mg\Delta h
\]

这些能量转化为动能。

对于任意一个球，

\[
mg\Delta h = \frac{1}{2}mv^2
\]

因此

\[
v = \sqrt{2g\Delta h}
\]

这个方程取决于竖直高度变化，而不是路径长度或坡度大小。

这名学生的推理中包含了一个很有诱惑力的“半真相”。轨道形状确实会影响沿路径方向的加速度分量，因此也会影响运动随时间发展的方式。它甚至可能影响哪个球先到达终点。

但当只有保守力改变机械能时，这并不会改变最终速率。

因此，两个球到达底部时的速率相同，即使它们的加速度和运动时间不一定相同。

问题 4

一辆 \(1.5\text{ kg}\) 的小车沿轨道运动。

在 A 点，小车位于参考面上方 \(4.0\text{ m}\)，并以 \(8.0\text{ m/s}\) 的速率运动。

在 B 点，它位于参考面上方 \(1.0\text{ m}\)，并以 \(9.0\text{ m/s}\) 的速率运动。

从 A 到 B 的路程为 \(5.0\text{ m}\)。

求：

• A 与 B 之间机械能是否守恒
• 从系统机械能中转移出去的能量大小
• 假设阻力方向与运动方向相反，平均阻力的大小

取 \(g = 9.8\text{ m/s}^2\)。

解答 4

机械能不守恒。约有 \(31\text{ J}\) 的机械能被转移出系统，对应的平均阻力约为 \(6.3\text{ N}\)。

首先计算 A 点的机械能：

\[
E_A
=
\frac{1}{2}mv_A^2 + mgh_A
\]

\[
E_A
=
\frac{1}{2}(1.5)(8.0)^2
+
(1.5)(9.8)(4.0)
\]

\[
E_A = 48.0 + 58.8 = 106.8\text{ J}
\]

然后计算 B 点的机械能：

\[
E_B
=
\frac{1}{2}(1.5)(9.0)^2
+
(1.5)(9.8)(1.0)
\]

\[
E_B = 60.75 + 14.7 = 75.45\text{ J}
\]

机械能的变化量为

\[
\Delta E_{\text{mech}}
=
E_B-E_A
\]

\[
\Delta E_{\text{mech}}
=
75.45-106.8
=
-31.35\text{ J}
\]

负值说明机械能减少了。因此，约有

\[
\boxed{31\text{ J}}
\]

从机械能中转移了出去。如果阻力来自摩擦或流体阻力，这部分能量很可能转化为了热能。

对于一个与位移方向相反、大小为 \(F_r\) 的平均阻力，

\[
W_r = -F_rs
\]

阻力所做的功等于机械能的变化量：

\[
-31.35 = -F_r(5.0)
\]

所以

\[
F_r = \frac{31.35}{5.0}
= 6.27\text{ N}
\]

因此，

\[
\boxed{F_r \approx 6.3\text{ N}}
\]

一个很诱人的错误是看到小车的速率增加，就认为它的机械能一定增加了。其实并没有。它的动能增加了，但它的重力势能减少得更多。

问题 5

一辆小车从无摩擦轨道底部上方高度 \(H\) 处由静止开始运动，然后进入一个半径为 \(R\) 的竖直圆环轨道。

一名学生利用机械能守恒，认为只要起始高度略大于 \(2R\)，小车就足以完成整个圆环，因为它到达圆环顶部时仍然会有一些动能。

解释为什么这个论证并不完整，并求小车在整个圆环运动过程中始终保持与轨道接触所需的最小 \(H\) 值。

解答 5

这个论证并不完整，因为在圆环顶部具有动能，并不能保证小车仍与轨道保持接触。最小起始高度为 \(H = 2.5R\)。

能量守恒可以告诉我们小车在圆环顶部的速率，但要完成圆周运动，还必须满足一个受力条件。

把圆环底部取为 \(h = 0\)。那么圆环顶部的高度就是 \(2R\)。

小车从静止开始，因此其初始机械能为

\[
E_i = mgH
\]

在圆环顶部，

\[
E_f
=
\frac{1}{2}mv_{\text{top}}^2 + mg(2R)
\]

由机械能守恒，

\[
mgH
=
\frac{1}{2}mv_{\text{top}}^2
+
2mgR
\]

约去 \(m\)：

\[
gH
=
\frac{1}{2}v_{\text{top}}^2
+
2gR
\]

所以

\[
v_{\text{top}}^2
=
2g(H-2R)
\]

如果 \(H\) 只比 \(2R\) 略大，这个方程确实会给出一个较小的正速率。但这还不够。

在圆环顶部，所需的向心力方向竖直向下，指向圆心。重力和支持力可以共同提供这个力：

\[
mg + N = \frac{mv_{\text{top}}^2}{R}
\]

其中，\(N\) 是轨道对小车的支持力。

临界情况是小车刚好即将与轨道失去接触。在这一瞬间，

\[
N = 0
\]

因此

\[
mg = \frac{mv_{\text{top}}^2}{R}
\]

于是

\[
v_{\text{top}}^2 = gR
\]

为了让小车保持与轨道接触，

\[
2g(H-2R) \ge gR
\]

约去 \(g\)：

\[
2H-4R \ge R
\]

\[
2H \ge 5R
\]

\[
H \ge \frac{5}{2}R
\]

因此，最小起始高度为

\[
\boxed{H = 2.5R}
\]

关键思想是：能量守恒回答的是速率问题，但它不会自动回答接触力问题。

这也是解决较难力学题时一个很有用的提醒：能量计算本身可能完全正确，但仍然只是完整物理论证中的一个部分。

11接下来可以理解什么

当你把机械能守恒看作一种判断工具，而不是一个可以自动套用的方程时，它最有用。

如果重力只是让能量在高度和运动之间相互转移，那么比较两个位置的 \(K + U\) 即可。你通常不需要知道两个位置之间的详细路径。

如果摩擦、流体阻力或外力造成能量转移，那么机械能就不再保持不变。这会自然引出功-能定理，其中功用来描述动能或机械能的变化。

而在竖直圆周运动等问题中，能量可以给出物体在关键位置的速率，随后再利用牛顿定律判断该位置需要哪些力。把这两个思想结合起来，正是能量守恒在较难力学问题中特别强大的地方。