点电荷周围的电场线：HSC 物理指南

一幅图显示一个正点电荷，箭头从它向外放射。一个测试电荷放在距离 2 cm 的位置，另一个放在距离 6 cm 的位置。两者都位于电场线上，而且两处的箭头都指向大致相同的方向。哪一个测试电荷受到较强的电作用？

你可能会以为箭头已经告诉你一切。它们告诉你的是方向，但不会直接告诉你强度。较接近的测试电荷位于较强的电场中。在点电荷周围，电场强度会随距离增加而迅速减小。

这正是这类图所要测试的两项能力：从箭头判断方向，以及根据电场线的疏密程度和与源电荷的距离判断相对强度。

01先了解电场图要表达甚么

带电物体可以在不接触另一个电荷的情况下，对它施加电力。与其在空间中每一个可能的位置都画出一个力的箭头，我们会用电场来描述电荷周围的区域。

想像把一个很小的正测试电荷放在正源电荷周围的不同位置。

在每一个位置，两个正电荷都会互相排斥。因此，测试电荷会被直接推离源电荷。

如果在数百个位置都这样做，你会得到一个箭头沿径向向外指的图案。

这就是电场线图背后的概念。

对于孤立的点电荷：

• 电场线由正电荷向外指出
• 电场线指向负电荷
• 电场线呈径向，也就是直接指向电荷或直接背离电荷
• 距离越远，电场越弱

前两条规则来自电场方向的定义。

02方向是指正测试电荷所受力的方向

电场方向定义为：如果在该点放置一个正测试电荷，它所受力的方向。

最后这一点很重要。

假设你在正源电荷附近放置一个很小的正电荷。它会受到排斥，因此电场方向背离源电荷。

现在，把同一个正测试电荷放在负源电荷附近。它会受到吸引，因此电场方向指向源电荷。

由此得到以下规则：

一个实用的记忆方法是：电场线从正电荷离开，进入负电荷。

不要把这当成神秘的绘图惯例。它直接来自这个问题：「正测试电荷会被推向哪个方向？」

如果测试电荷是负的呢？

这里有一个常见陷阱。

假设电场箭头指向右方，而一个负电荷放在该处。负电荷所受的力指向哪里？

你可能会很自然地回答向右，因为电场指向右方。

但电场方向是用正测试电荷来定义的。负电荷所受的力会指向相反方向。

两者的关系为

\[ \vec{F}=q\vec{E} \]

其中：

• \(\vec{F}\) 是电力，单位为牛顿（N）
• \(q\) 是处于电场中的电荷量，单位为库仑（C）
• \(\vec{E}\) 是电场强度，单位为牛顿每库仑（N C\(^{-1}\)）

如果 \(q\) 为正，\(\vec{F}\) 与 \(\vec{E}\) 指向相同方向。

如果 \(q\) 为负，乘上一个负值会令向量方向反转，因此 \(\vec{F}\) 与 \(\vec{E}\) 指向相反方向。

值得把这两个概念分开：

**电场方向：**始终以正测试电荷来定义。

**力的方向：**取决于实际放入电场中的电荷是正还是负。

03图中如何表示电场强度

现在回到开头提到的两个测试电荷。一个靠近点电荷，另一个距离较远。

为甚么较近处的电场较强？

想像径向电场线像一群人从演唱会场地出口走到一个开阔公园。靠近出口时，大家挤得很密。走得更远后，同一群人分散到更大的区域。

图中的电场线也有类似情况。随着距离增加，它们之间的间距会变大。

这个类比很有用，因为电场线越密集，代表电场越强。但这个类比也有限制：电场线并不是从电荷飞出的实体。它们只是用来表示电场的绘图工具。

对点电荷而言，电场大小的准确公式是

\[ E=\frac{k|Q|}{r^2} \]

其中：

• \(E\) 是电场强度，单位为 N C\(^{-1}\)
• \(k\) 是库仑常数，约为 \(8.99\times10^9\) N m\(^2\) C\(^{-2}\)
• \(Q\) 是源电荷的电荷量，单位为库仑
• \(r\) 是与源电荷的距离，单位为米

\(Q\) 外面的绝对值符号表示，这条公式给出的是电场的大小。源电荷的正负则另外决定方向。

注意 \(r^2\)。

电场强度遵循平方反比关系：

\[ E\propto\frac{1}{r^2} \]

因此，如果距离加倍，

\[ E_{\text{新}}=\frac{1}{2^2}E_{\text{原}}=\frac14E_{\text{原}} \]

电场不是减半，而是变成原来的四分之一。

如果距离增至三倍，电场便变成原来的九分之一。

这种减弱速度比学生单靠图像通常预期的快得多。

04仔细判读电场线密度

你经常会听到以下规则：

电场线越密集，电场越强。

这条规则很有用，但需要精确理解。

电场线是由绘图的人设定的。点电荷并不是真的连着 8 条、12 条或 24 条看不见的线。

因此，你不能看到一幅图有 12 条线、另一幅有 6 条线，就自动认定第一幅图的电场强度是第二幅的两倍。这两幅图可能只是采用了不同的画法。

你可以做的是比较同一幅以一致方式绘制的电场图中的不同区域。

如果某个区域的电场线比另一区域更密集，该区域代表的电场大小较大。

对单一点电荷而言，这与平方反比定律一致。随着距离增加，相同的径向图案分布在更大的面积上，因此电场线密度下降。

05某一特定点的方向

当存在多于一个源电荷时，电场图往往会出现弯曲的线。本指南集中讨论点电荷，但有一条规则值得现在就学会，因为之后仍然适用：

在任何一点，电场方向都沿着该点电场线的切线方向。

「切线」是指沿着曲线在该确切位置的方向。

对单一孤立点电荷而言，电场线是笔直而呈径向的，因此很容易判断。电场会直接指向源电荷，或直接背离源电荷。

当你之后学习由多个电荷形成的电场时，这条规则会变得更重要。

06电场线不是电荷必须沿着行进的轨道

假设一个正粒子进入电场时，本身已经沿横向运动。

它会突然转到最近的电场线上，然后沿着那条线运动吗？

不会。

电场线表示每一点的力的方向，因此也表示加速度的方向。它不一定表示粒子的速度方向。

这与抛体运动相似。在整个运动过程中，重力都向下，但被抛出的球并不会垂直向下移动。它可以具有横向速度，同时向下加速。

电场中的情况也是一样。

带电粒子的运动路径取决于：

• 它的初速度
• 它的电荷
• 它的质量
• 它沿运动路径所经历的电场

对于在单一点电荷的电场中由静止释放的正电荷，它最初的加速度沿着电场线方向。对负电荷而言，最初的加速度则与电场线方向相反。

但一般来说，电场线并不等于粒子的运动轨迹。

07源电荷越大，电场越强

距离并不是控制电场大小的唯一因素。

由

\[ E=\frac{k|Q|}{r^2} \]

亦可看出，在距离固定时，

\[ E\propto |Q| \]

如果源电荷的大小加倍，而距离保持不变，电场大小也会加倍。

在相同距离下，对特定 \(|Q|\) 而言，正负号改变的是方向，而不是电场大小。

因此，一个 \(+4.0\ \mu\text{C}\) 电荷和一个 \(-4.0\ \mu\text{C}\) 电荷，在相同距离处产生的电场大小相等。它们的电场沿相反的径向方向。

08判读任何点电荷电场图的可靠方法

当你看到一幅点电荷图时，可以按以下顺序分析：

1. **找出源电荷。**它是正还是负？
2. **查看箭头方向。**背离表示正源电荷；指向表示负源电荷。
3. 找出题目所问的位置。
4. **判断该处的电场方向。**方向沿着电场线上的箭头。
5. **如果该处放置了实际电荷，检查它的正负。**正电荷所受的力沿电场方向；负电荷所受的力与电场方向相反。
6. **利用距离或电场线密度比较强度。**对点电荷而言，\(E\propto1/r^2\)。
7. **如果源电荷不同，要把 \(|Q|\) 也考虑在内。**使用 \(E=k|Q|/r^2\)，不要只比较距离。

按照这个顺序，就能避免把几种常见错误混在一起。

09值得留意的错误观念

一个特别有用的习惯，是把大小和方向分开处理。

先计算或比较电场有多强，再判断它指向哪个方向。

这比试图让 \(Q\) 的正负号在纯量公式中同时负责大小和方向安全得多。

10问题与解答

问题 1

一幅图显示径向电场线直接指向一个点电荷 \(Q\)。

\(Q\) 是正电荷还是负电荷？并说明在 \(Q\) 右方 5 cm 处，电场的方向。

解答 1

\(Q\) 是负电荷，而在它右方的该点，电场向左，指向 \(Q\)。

电场方向定义为正测试电荷所受力的方向。正测试电荷会受到负源电荷吸引，因此电场线终止于负电荷。

5 cm 的距离会影响电场大小，但不会改变这条方向规则。

问题 2

一个正点电荷在 \(A\) 点产生 \(3600\ \text{N C}^{-1}\) 的电场。点 \(B\) 与同一源电荷的距离是 \(A\) 点的两倍。

求 \(B\) 点的电场大小。

解答 2

\(B\) 点的电场为 \(900\ \text{N C}^{-1}\)。

对点电荷而言，

\[ E\propto\frac{1}{r^2} \]

点 \(B\) 的距离是两倍，因此

\[ \begin{aligned} E_B &=\frac{E_A}{2^2}\\ &=\frac{3600}{4}\\ &=900\ \text{N C}^{-1} \end{aligned} \]

陷阱在于看到距离加倍就把电场除以 2。点电荷的电场遵循平方反比关系，因此电场必须除以 \(4\)。

问题 3

在点 \(P\)，电场大小为 \(4.0\times10^3\ \text{N C}^{-1}\)，方向向东。

一个 \(-3.0\times10^{-6}\ \text{C}\) 的电荷放在 \(P\) 点。

求该电荷所受电力的大小和方向。

解答 3

力的大小为 \(1.2\times10^{-2}\ \text{N}\)，方向向西。

使用

\[ \vec{F}=q\vec{E} \]

求大小时，

\[ \begin{aligned} F &=|q|E\\ &=(3.0\times10^{-6})(4.0\times10^3)\\ &=1.2\times10^{-2}\ \text{N} \end{aligned} \]

由于电荷为负，它所受的力与电场方向相反。

电场向东，所以力向西。

重要的分别是，电场箭头并不会自动告诉你每一种电荷所受力的方向。它表示的是正电荷所受力的方向。

问题 4

分别考虑两个孤立的点电荷。

源电荷 \(X\) 的电荷量为 \(+Q\)。点 \(A\) 距离 \(X\) 为 \(r\)。

源电荷 \(Y\) 的电荷量为 \(-2Q\)。点 \(B\) 距离 \(Y\) 为 \(2r\)。

比较电场大小 \(E_A\) 和 \(E_B\)，并描述它们相对于各自源电荷的方向。

解答 4

\(B\) 点的电场大小是 \(A\) 点的一半。\(A\) 点的电场背离 \(X\)，而 \(B\) 点的电场指向 \(Y\)。

在 \(A\) 点，

\[ E_A=\frac{kQ}{r^2} \]

在 \(B\) 点，

\[ \begin{aligned} E_B &=\frac{k(2Q)}{(2r)^2}\\ &=\frac{2kQ}{4r^2}\\ &=\frac12\frac{kQ}{r^2}\\ &=\frac12E_A \end{aligned} \]

\(Y\) 的电荷较大，使它的电场较强，但距离较大则使电场较弱。\(|Q|\) 加倍带来 2 倍的因素，而 \(r\) 加倍则带来 \(1/4\) 的因素。两者合起来，

\[ 2\times\frac14=\frac12 \]

一个常见错误是只注意到 \(Y\) 的电荷大小是两倍，于是认为它的电场一定较强。距离的影响与 \(r^2\) 有关，因此它可以主导比较结果。

问题 5

一名学生看到一幅正点电荷的电场图。图中从电荷向外画了八条径向电场线。

学生提出两个说法：

1. 「距离电荷变成两倍时，仍然有八条电场线，所以电场强度没有改变。」
2. 「如果图中改为画十六条电场线，电场就一定会强两倍。」

评估这两个说法。

解答 5

两个说法都不正确。

对第一个说法而言，随着距离增加，完整画出的电场线数量虽然不变，但它们在局部并不会保持同样密集。径向电场线会逐渐分散。对点电荷而言，

\[ E=\frac{k|Q|}{r^2} \]

所以在两倍距离处，

\[ E_{\text{新}}=\frac14E_{\text{原}} \]

图中重要的特征是局部的电场线密度，而不只是页面上可见的电场线总数。

对第二个说法而言，电场线是一种表示方法，而不是实体。同一个物理电荷可以用八条、十六条或更多条线来表示，而不会改变所代表的实际电荷。

只有当两幅图明确采用相同的电场线惯例或比例时，才可以利用电场线的相对数量或密度，定量比较源电荷的强弱。

学生第二个说法中隐含的假设，是每一幅图都使用相同的「每单位电荷所对应的电场线数目」。除非题目有说明，或图中明确维持了这种惯例，否则不能作出这个假设。

问题 6

一个正粒子通过点 \(P\) 时向北运动。在 \(P\) 点，由附近一个正点电荷产生的电场向东。

一名学生说：「粒子一定会立即转向，然后沿电场线向东运动。」

解释粒子通过 \(P\) 点的那一瞬间实际会发生甚么。

解答 6

粒子在 \(P\) 点的加速度向东，但在那一瞬间它的速度仍然向北，因此它不会突然改为沿电场线运动。

由于粒子带正电，

\[ \vec{F}=q\vec{E} \]

表示它所受的电力与电场方向相同。因此，力和加速度都向东。

不过，加速度是随时间改变速度的。它不会瞬间消除粒子原有的向北速度。

粒子刚通过 \(P\) 点之后，仍然有向北的速度分量，同时逐渐获得向东的速度分量。因此，它的运动轨迹开始弯曲。

这显示了电场线图的一个重要限制：电场线表示电场方向，以及正电荷所受电力的方向，而不是每一个带电粒子都必须遵循的运动轨迹。

11这个概念接下来会延伸到甚么

当你能够判读单一点电荷周围的方向和相对强度后，下一个重要概念就是叠加原理。

当有两个或以上的电荷时，每一个源电荷都会在某一点产生自己的电场。这些电场必须以向量方式相加。这就是为甚么多个电荷周围的电场线可以弯曲、为甚么有时会存在合电场为零的点，以及为甚么只选择最近的电荷并不足够。

单一点电荷的电场是整个概念的基础：方向由源电荷的正负决定，大小遵循 \(E=k|Q|/r^2\)，而所有更复杂的电场图都是由这些相同概念组合而成。