卫星改变轨道时的能量变化：HSC 物理

一次引擎点火把卫星提升到更高的圆形轨道。当卫星稳定在该轨道后，它的运动速度反而比之前慢。那么，引擎究竟是增加了能量，还是移除了能量？

在继续阅读前先预测一下。很容易会认为，既然卫星的动能下降，它就失去了能量。但事实正好相反。位于较高圆形轨道上的卫星，总轨道能量更大，即使它的动能较小。

要理解原因，就必须把三种能量清楚区分：重力势能、动能和总机械能。

01为甚么较高的轨道可以有较低的速度

想像地球位于一个重力势阱的底部。靠近地球的卫星处于这个势阱较深的位置。把卫星移得更远，它便爬到势阱较浅的位置，因此它的重力势能增加。

这个图像很有帮助，但地球周围并不真的存在一个碗状结构。质量为 \(m\) 的卫星，距离一个质量大得多的中心天体 \(M\) 的中心为 \(r\) 时，其精确重力势能为

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

其中：

• \(U\) 是重力势能，单位为焦耳 \(\mathrm{J}\)，
• \(G\) 是万有引力常数，\(6.67\times10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\)，
• \(M\) 是中心天体的质量，单位为公斤，
• \(m\) 是卫星的质量，单位为公斤，而
• \(r\) 是两者中心之间的距离，单位为米。

负号经常令人困惑。重力势能的零点定义在两个物体相距无限远的位置。因此，被地球束缚的卫星有 \(U<0\)。

可以把它想像成一个透支的银行户口。从 \(-100\) 元变成 \(-60\) 元，是增加了 \(40\) 元，即使余额仍然是负数。同样地，远离地球会使 \(U\) 变得较不负，也就是说 \(U\) 增加了。银行户口的比喻只用来帮助理解正负号；重力势能仍然严格遵循上面的反 \(r\) 方程。

如想更完整理解负号以及零点的选择，可参阅径向场中的重力势能。

现在考虑卫星的速度。

对于圆形轨道，重力提供所需的向心力：

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

约去 \(m\) 和一个 \(r\) 因子后，

\[ v^2=\frac{GM}{r} \]

因此

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

这在进行任何能量计算之前已告诉我们一件重要的事：当圆形轨道半径增加时，轨道速度会下降。

这个结果在轨道速度：推导与计算中有更详细的说明。

02圆形轨道的总能量

动能为

\[ K=\frac{1}{2}mv^2 \]

对圆形轨道代入 \(v^2=GM/r\)：

\[ K=\frac{GMm}{2r} \]

总轨道机械能为

\[ E=K+U \]

所以

\[ E=\frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r} =-\frac{GMm}{2r} \]

因此，任何圆形轨道都有以下三个有用关系：

\[ U=-\frac{GMm}{r},\qquad K=\frac{GMm}{2r},\qquad E=-\frac{GMm}{2r} \]

所以，

\[ U=-2K \]

以及

\[ E=-K=\frac{U}{2} \]

这些关系只保证适用于圆形轨道。不要在椭圆转移轨道上的任意一点自动套用它们。

圆形轨道的这个规律，最好作为一个互相关联的整体概念来理解，而不是死记四个彼此独立的事实。

那么，当卫星被提升到更高位置时，加入的能量去了哪里？

对两个圆形轨道而言，\(U=-2K\)。重力势能的增加量，是动能减少量的两倍。剩余的增加量就表现为总机械能的增加。

只看速度的论证，正正漏掉了这一点。

03计算两个圆形轨道之间的能量变化

假设卫星最初位于半径为 \(r_i\) 的圆形轨道，最后位于另一个半径为 \(r_f\) 的圆形轨道。

它的初始能量为

\[ E_i=-\frac{GMm}{2r_i} \]

最后能量为

\[ E_f=-\frac{GMm}{2r_f} \]

因此，

\[ \Delta E=E_f-E_i \]

得到

\[ \Delta E = \frac{GMm}{2} \left( \frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f} \right) \]

正负号会告诉你能量转移的方向。

• 如果 \(r_f>r_i\)，那么 \(\Delta E>0\)。轨道能量增加了。
• 如果 \(r_f<r_i\)，那么 \(\Delta E<0\)。轨道能量减少了。

这里所说的轨道「能级」，只是指与某条轨道相对应的机械能。这些并不是离散的量子能级。

不要把高度当成 \(r\)

这是最容易失分的错误之一。

如果一颗卫星位于地球表面上方 \(400\,\mathrm{km}\)，它的轨道半径并不是 \(400\,\mathrm{km}\)。你需要的是从地心量起的距离：

\[ r=R_E+h \]

其中 \(R_E\) 是地球半径，而 \(h\) 是卫星的高度。

以下例子会使用

\[ R_E=6.37\times10^6\,\mathrm{m} \]

以及

\[ GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}} \]

其中 \(M_E\) 是地球的质量。

04轨道改变期间实际发生了甚么？

\(\Delta E\) 的方程比较的是初始和最终的圆形轨道状态。它并不表示卫星会以某种方式直接从一个圆形轨道「跳」到另一个圆形轨道。

考虑一种常见的两次点火转移：从较低的圆形轨道转移到较高的圆形轨道。

在较低轨道上，卫星首先沿着原本的运动方向点燃引擎。这称为顺行点火。

在一次短暂点火期间，我们通常近似认为卫星的位置不变。这表示 \(r\)，因此 \(U\)，在点火期间几乎没有改变。即时效果是速度、动能和总机械能增加。

这时，卫星移动得太快，无法继续停留在原本的圆形路径上。它进入一条转移轨道，并开始远离地球。

引擎关闭后会发生甚么？

继续之前先预测一下。卫星愈升愈高，它的总能量会不会因此继续增加？

不会。在引擎关闭的滑行阶段，重力是保守力，因此总机械能保持不变。当卫星向外移动时：

• \(U\) 增加，
• \(K\) 减少，
• \(E\) 保持不变，而
• 卫星减速。

在转移轨道的最高点，另一次顺行点火可以把卫星的速度提高到足以使轨道圆化。第二次点火再次增加 \(K\) 和 \(E\)。

这里有一个看似矛盾的现象：

卫星在两次点火时都会加速，但它最终在较高圆形轨道上的速度，仍然可能低于它原先在较低圆形轨道上的速度。

这并不矛盾。点火期间的比较，和初末状态之间的比较，是两种不同的比较。

05降低轨道会产生看似相反的悖论

假设卫星由较高的圆形轨道移到较低的圆形轨道。

它最后的圆形轨道速度会较大：

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

较小的 \(r\) 意味着较大的 \(v\)。

然而，卫星的总机械能必须下降，因为

\[ E=-\frac{GMm}{2r} \]

会随着 \(r\) 减少而变得更负。

典型的转移会先进行一次逆行点火，也就是引擎降低卫星的速度。这会降低它的动能和总机械能。

卫星接着向内坠落。在这段引擎关闭的过程中，总能量保持不变，但重力势能下降，而动能增加。重力使卫星加速。

之后可再进行一次逆行点火，使较低的轨道圆化。

因此，一颗卫星最后可以移动得更快，即使它的引擎整体上移除了轨道机械能。

06圆形轨道能量公式并不适用于轨道上的每一点

方程

\[ E=-\frac{GMm}{2r} \]

含有 \(r\)，但这并不表示只要卫星恰好位于距离 \(r\) 的位置，你就可以使用它。

它是利用圆形轨道条件

\[ v^2=\frac{GM}{r} \]

推导出来的，所以只有当卫星确实位于半径为 \(r\) 的圆形轨道时才适用。

在椭圆转移轨道上，如果你知道卫星的速度和位置，就应使用一般机械能公式：

\[ E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r} \]

这个区别在转移轨道的最高点和最低点尤其重要。卫星可以在某一瞬间位于与某条圆形轨道完全相同的半径，但它的速度却不符合该圆形轨道所需的速度。

单凭半径并不能确定轨道。

07实用判断规则

遇到轨道能量问题时，首先判断卫星实际处于甚么状态。

还有一个值得区分的概念。卫星轨道机械能的改变，并不等同于火箭所消耗的化学能。

例如，如果

\[ \Delta E=+3.0\times10^9\,\mathrm{J} \]

那么卫星-地球轨道系统增加了 \(3.0\,\mathrm{GJ}\) 的机械能。真实的推进系统也会把能量传给废气、热以及其他形式。因此，你不能直接由 \(\Delta E\) 推断燃料消耗量。

一般的 HSC 模型亦假设中心天体的质量远大于卫星，忽略大气阻力和其他天体的影响，并把短暂点火视为实际上瞬时完成。

08问题与解答

问题 1

一颗 \(600\,\mathrm{kg}\) 的卫星，由地球表面上方 \(400\,\mathrm{km}\) 的圆形轨道提升到另一条位于地球表面上方 \(1000\,\mathrm{km}\) 的圆形轨道。

使用 \(R_E=6.37\times10^6\,\mathrm{m}\) 以及 \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\)。

计算卫星总轨道机械能的变化，并指出能量是增加了还是减少了。

解答 1

卫星的总轨道机械能增加 \(1.44\times10^9\,\mathrm{J}\)，所以轨道能量增加了。

首先把高度转换成距离地心的距离：

\[ \begin{aligned} r_i&=6.37\times10^6+0.400\times10^6 =6.77\times10^6\,\mathrm{m}\\ r_f&=6.37\times10^6+1.00\times10^6 =7.37\times10^6\,\mathrm{m} \end{aligned} \]

对圆形轨道的初末状态，

\[ \Delta E = \frac{GM_Em}{2} \left( \frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f} \right) \]

代入数值，

\[ \begin{aligned} \Delta E &= \frac{(3.99\times10^{14})(600)}{2} \left( \frac{1}{6.77\times10^6} - \frac{1}{7.37\times10^6} \right)\\ &=1.44\times10^9\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

一个很容易犯的错误，是直接把 \(400\,\mathrm{km}\) 和 \(1000\,\mathrm{km}\) 当作 \(r\)。重力方程要求使用距离地心的距离，而不是离地表的高度。

最后的圆形轨道速度比初始速度低，但卫星重力势能的增加量大于动能的减少量。因此，它的总机械能增加。

问题 2

一颗 \(1000\,\mathrm{kg}\) 的卫星，最初位于半径 \(8.00\times10^6\,\mathrm{m}\) 的地球圆形轨道。一次短暂的顺行点火，使它的速度增加 \(5.0\%\)，而它距离地心的距离实际上保持不变。

使用 \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\)。

求：

• 点火前和刚点火后的速度，
• 点火期间轨道机械能的变化，
• 点火后一刻它是否仍受重力束缚，以及
• 之后引擎关闭并向外滑行时，\(K\)、\(U\) 和 \(E\) 如何变化。

解答 2

速度由 \(7.06\,\mathrm{km\,s^{-1}}\) 增加至 \(7.42\,\mathrm{km\,s^{-1}}\)，点火增加了 \(2.56\times10^9\,\mathrm{J}\) 的轨道机械能，而卫星仍然受重力束缚。在向外滑行期间，\(K\) 减少、\(U\) 增加，而 \(E\) 保持不变。

初始圆形轨道速度为

\[ \begin{aligned} v_i &=\sqrt{\frac{GM_E}{r}}\\ &=\sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{8.00\times10^6}}\\ &=7.06\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

增加 \(5.0\%\) 后，

\[ v_f=1.05v_i =7.42\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

由于点火时间很短，\(r\) 基本不变。因此重力势能在点火期间没有明显改变，所以

\[ \Delta E=\Delta K \]

而

\[ \begin{aligned} \Delta E &=\frac12m(v_f^2-v_i^2)\\ &=\frac12(1000) \left[ (7.415\times10^3)^2-(7.062\times10^3)^2 \right]\\ &=2.56\times10^9\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

点火前，圆形轨道能量为

\[ E_i = -\frac{GM_Em}{2r} = -\frac{(3.99\times10^{14})(1000)} {2(8.00\times10^6)} = -2.49\times10^{10}\,\mathrm{J} \]

因此，

\[ E_{\text{after}} = -2.49\times10^{10} + 2.56\times10^9 = -2.24\times10^{10}\,\mathrm{J} \]

总能量仍然是负数，所以卫星仍受重力束缚。

一个很容易出现的论证是：既然卫星上升时势能增加，它一定会继续增加总能量。被忽略的限制条件是，此时引擎已经关闭。重力是保守力，因此总机械能保持固定。\(U\) 的增加来自 \(K\) 的减少。

问题 3

一颗 \(900\,\mathrm{kg}\) 的卫星，由半径 \(1.20\times10^7\,\mathrm{m}\) 的地球圆形轨道移到半径 \(7.00\times10^6\,\mathrm{m}\) 的较低圆形轨道。

使用 \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\)。

计算：

• \(\Delta U\)，
• \(\Delta K\)，
• \(\Delta E\)，以及
• 初始和最终的圆形轨道速度。

任务报告指出，推进系统在机动过程中移除了轨道机械能，即使卫星最后的速度更高。解释为甚么这两个叙述可以同时正确。

解答 3

卫星失去 \(1.07\times10^{10}\,\mathrm{J}\) 的总轨道机械能，而其动能增加相同的数值。它的速度由 \(5.77\,\mathrm{km\,s^{-1}}\) 增加至 \(7.55\,\mathrm{km\,s^{-1}}\)，原因是重力势能下降了 \(2.14\times10^{10}\,\mathrm{J}\)。

对重力势能，

\[ \begin{aligned} \Delta U &= -\frac{GM_Em}{r_f} +\frac{GM_Em}{r_i}\\ &= (3.99\times10^{14})(900) \left( \frac{1}{1.20\times10^7} - \frac{1}{7.00\times10^6} \right)\\ &=-2.14\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

对圆形轨道，

\[ K=\frac{GMm}{2r} \]

所以

\[ \begin{aligned} \Delta K &= \frac{GM_Em}{2} \left( \frac{1}{r_f}-\frac{1}{r_i} \right)\\ &=+1.07\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta E &=\Delta K+\Delta U\\ &= 1.07\times10^{10} - 2.14\times10^{10}\\ &=-1.07\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

现在比较圆形轨道速度：

\[ \begin{aligned} v_i &= \sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{1.20\times10^7}} = 5.77\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\ v_f &= \sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{7.00\times10^6}} = 7.55\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

很容易误以为动能就代表卫星全部的能量。事实并非如此。

当卫星向内移动时，它的重力势能下降 \(2.14\times10^{10}\,\mathrm{J}\)。动能只增加 \(1.07\times10^{10}\,\mathrm{J}\)。余下的 \(1.07\times10^{10}\,\mathrm{J}\) 对应于总机械能的下降。

因此，较低的圆形轨道可以同时具有较大的动能和较小的总机械能。

问题 4

一颗 \(1000\,\mathrm{kg}\) 的卫星到达一条椭圆转移轨道的最高点，当时距离地心 \(1.40\times10^7\,\mathrm{m}\)。在那一瞬间，它的速度方向为切向，大小为 \(4.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)。

一名学生把 \(r=1.40\times10^7\,\mathrm{m}\) 代入

\[ E=-\frac{GMm}{2r} \]

并声称这就是卫星当前的总能量。

使用 \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\)：

• 计算卫星实际的总机械能，
• 计算相同半径下圆形轨道的总能量，
• 判断要在该位置把轨道圆化，所需点火的方向，以及
• 计算所需增加的轨道机械能。

解答 4

学生的方法无效：卫星的实际能量为 \(-2.05\times10^{10}\,\mathrm{J}\)，而在相同半径上的圆形轨道能量为 \(-1.43\times10^{10}\,\mathrm{J}\)。因此，顺行圆化点火必须增加 \(6.25\times10^9\,\mathrm{J}\) 的轨道机械能。

卫星尚未处于圆形轨道，因此使用一般公式

\[ E=\frac12mv^2-\frac{GMm}{r} \]

它的动能为

\[ \begin{aligned} K &=\frac12(1000)(4.00\times10^3)^2\\ &=8.00\times10^9\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

它的重力势能为

\[ \begin{aligned} U &= -\frac{(3.99\times10^{14})(1000)} {1.40\times10^7}\\ &=-2.85\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

因此，

\[ E_{\text{transfer}} = 8.00\times10^9-2.85\times10^{10} = -2.05\times10^{10}\,\mathrm{J} \]

在这个半径上，圆形轨道的能量为

\[ \begin{aligned} E_{\text{circ}} &= -\frac{GM_Em}{2r}\\ &= -\frac{(3.99\times10^{14})(1000)} {2(1.40\times10^7)}\\ &=-1.425\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

圆形轨道速度应为

\[ \begin{aligned} v_{\text{circ}} &= \sqrt{\frac{GM_E}{r}}\\ &= \sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{1.40\times10^7}}\\ &=5.34\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

卫星目前只有 \(4.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)，因此它必须加速。所需的是顺行点火。

所需增加的机械能为

\[ \begin{aligned} \Delta E &= E_{\text{circ}}-E_{\text{transfer}}\\ &= -1.425\times10^{10} - (-2.05\times10^{10})\\ &=6.25\times10^9\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

很容易误以为只要知道 \(r\)，就能自动决定轨道能量。只有在你同时知道轨道为圆形时才可以。圆形轨道能量公式包含一个隐含条件：速度必须满足 \(v^2=GM/r\)。

在这条转移轨道的最高点，卫星位于正确的半径，但移动得太慢，不能维持圆形轨道。这就是为甚么需要再进行一次点火。

问题 5

在距离地心

\[ r=1.00\times10^7\,\mathrm{m} \]

的位置，一颗卫星被量得其总轨道机械能恰好等于该半径上圆形轨道的能量：

\[ E=-\frac{GM_Em}{2r} \]

然而，追踪数据显示它的速度具有一个向外的径向分量：

\[ v_r=2.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

使用 \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\)。

求：

• 卫星的总速度，
• 它的切向速度，
• 它是否真的处于圆形轨道，
• 要使它在相同半径上进入圆形轨道，理想瞬时速度改变的大小，以及
• 相应的轨道机械能变化。

解释为甚么即使轨道机械能没有改变，仍可以出现非零的速度改变。

解答 5

卫星并不处于圆形轨道。它的总速度为 \(6.32\,\mathrm{km\,s^{-1}}\)，切向分量为 \(5.99\,\mathrm{km\,s^{-1}}\)，而大小约 \(2.03\,\mathrm{km\,s^{-1}}\) 的理想速度改变，可以在轨道机械能净变化为零的情况下使轨道圆化。

由量得的能量开始：

\[ \frac12mv^2-\frac{GM_Em}{r} = -\frac{GM_Em}{2r} \]

把势能项移到等式另一边：

\[ \frac12mv^2 = \frac{GM_Em}{2r} \]

所以

\[ v^2=\frac{GM_E}{r} \]

因此，

\[ \begin{aligned} v &= \sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{1.00\times10^7}}\\ &=6.32\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

这正好等于该半径上的圆形轨道速度大小。

很容易在这里产生一个错误论证：半径正确、总能量正确，而且速度大小也正确，似乎就能保证这是一条圆形轨道。

其实不能。

圆形轨道还要求速度完全沿切向。这颗卫星有一个向外的径向速度分量 \(2.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)。

径向和切向分量互相垂直，所以

\[ v^2=v_r^2+v_t^2 \]

因此，

\[ \begin{aligned} v_t &= \sqrt{v^2-v_r^2}\\ &= \sqrt{ (6.316\times10^3)^2 - (2.00\times10^3)^2 }\\ &=5.99\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

若要在这个半径立即把轨道圆化，最终速度必须满足

\[ v_{r,f}=0 \]

以及

\[ v_{t,f}=6.316\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

因此，两个分量所需的改变分别为

\[ \Delta v_r=-2.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

以及

\[ \Delta v_t = 6.316\times10^3-5.992\times10^3 = 0.325\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

所需速度改变的大小为

\[ \begin{aligned} |\Delta\vec v| &= \sqrt{(\Delta v_r)^2+(\Delta v_t)^2}\\ &= \sqrt{ (2.00\times10^3)^2 + (0.325\times10^3)^2 }\\ &=2.03\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

然而，轨道机械能的变化为

\[ \Delta E=0 \]

为甚么？

在理想化点火的开始和结束时，卫星都位于相同半径，因此它的重力势能没有改变。它的初始和最终速度大小亦相同，所以动能没有改变。

点火改变的是速度向量的方向，而不是其整体大小。

这揭示了只使用能量的一项重要限制。机械能是标量。它可以告诉你某个状态具有多少能量，但不包含运动方向。两个轨道状态可以具有相同的 \(r\)、相同的速度大小以及相同的总能量，但速度方向不同，因此轨迹也不同。

真实的火箭仍然需要消耗推进剂来产生所需的冲量。卫星的轨道机械能变化为零，并不表示燃料消耗为零。

09掌握这个概念后可以进一步做甚么

当你能够清楚区分 \(K\)、\(U\) 和 \(E\) 后，轨道转移就会容易理解得多。

对圆形轨道而言，关键关系是

\[ E=-\frac{GMm}{2r} \]

较高的圆形轨道具有较大的总能量，但较小的动能。较低的圆形轨道具有较小的总能量，但较大的动能。在引擎关闭的转移阶段，总机械能保持不变，而动能和重力势能彼此转换。

下一个重要界线是 \(E=0\)。圆形轨道和椭圆形的束缚轨道都有负的总能量。加入足够的能量，使总能量达到零，卫星便到达逃离中心天体重力场的临界状态，而不是移到另一个受束缚的轨道能级。