电场中电荷所受的力：HSC 物理指南
学习如何应用 F = qE、计算电力，并判断正电荷与负电荷在电场中的受力方向。掌握电场方向、电荷正负与力的大小之间的关系。
两个粒子位于同一个均匀电场中。一个带有 \(+q\) 电荷，另一个带有 \(-q\) 电荷。电场方向向右。
每个粒子所受的力分别指向哪个方向？
很容易会以为电场本身所指的方向，就是所有电荷运动的方向。其实不是。电场方向告诉你的是正电荷所受力的方向。负电荷所受的力则指向相反方向。
只要掌握这一点，
\[ \vec F = q\vec E \]
就会容易得多，也更不容易用错。
01先了解电场告诉你甚么
想像把一个很小的正电荷放在其他电荷附近的某一点。它会受到电力作用。
该点的电场告诉你两件事：
- 正电荷会被推向哪个方向
- 每放置一库仑正电荷时所受到的力
所以，如果电场向右，正电荷就会被推向右方。
现在把这个正电荷换成负电荷。电的相互作用方向会反转，因此力会指向左方。
这一点直接包含在方程式中，因为当 \(q\) 是负值时，力向量的方向会反转。
02方程式 \(F = qE\)
向量关系为
\[ \vec F = q\vec E \]
其中：
- \(\vec F\) 是电荷所受的电力，单位是牛顿（N）
- \(q\) 是电荷量，单位是库仑（C）
- \(\vec E\) 是电场强度，单位是牛顿每库仑（N/C）
\(F\) 和 \(E\) 上方的箭号提醒我们，力和电场都是有方向的物理量。
要计算力的大小，使用
\[ F = |q|E \]
因为力的大小不可能是负数。
然后再利用电荷的正负号判断方向。
| 电荷 | 力的方向 |
|---|---|
| \(q>0\) | 与 \(\vec E\) 方向相同 |
| \(q<0\) | 与 \(\vec E\) 方向相反 |
| \(q=0\) | 没有电力 |
有一个方法可以帮助你理解这一点，而不用再死记另一条规则。 \(\vec E\) 的方向本来就是以正试验电荷来定义的。因此，正电荷所受的力沿着电场方向，而负电荷则相反。
03为甚么乘上负电荷会令力的方向反转
假设我们选择向右为正 \(x\) 方向。
一个向右的电场可以写成
\[ E_x = +400\text{ N/C} \]
对于电荷量为 \(+2.0\times10^{-6}\text{ C}\) 的电荷，
\[ F_x=qE_x=(+2.0\times10^{-6})(+400) =+8.0\times10^{-4}\text{ N} \]
结果为正，表示力沿正方向，即向右。
现在改用电荷量为 \(-2.0\times10^{-6}\text{ C}\) 的电荷：
\[ F_x=qE_x=(-2.0\times10^{-6})(+400) =-8.0\times10^{-4}\text{ N} \]
力的大小仍然是 \(8.0\times10^{-4}\text{ N}\)，但负号告诉我们力指向左方。
这并不代表这个力变成了某种「负的力」。负号只是用来表示相对于我们所选坐标系的方向。
解题示例：正电荷所受的力
一个 \(+3.0\,\mu\text{C}\) 的电荷被放在强度为 \(2.5\times10^4\text{ N/C}\)、方向向东的均匀电场中。求电荷所受的电力。
步骤 1
前缀 \(\mu\) 代表 \(10^{-6}\)，因此
\[ q=+3.0\times10^{-6}\text{ C} \]
步骤 2
\[ \begin{aligned} F&=|q|E\\ &=(3.0\times10^{-6})(2.5\times10^4)\\ &=7.5\times10^{-2}\text{ N} \end{aligned} \]
步骤 3
电荷是正的，所以力的方向与电场方向相同。
因此，
\[ \boxed{F=7.5\times10^{-2}\text{ N，向东}} \]
电场以 \(0.075\text{ N}\) 的力把这个正电荷推向东方。
04最常见的错误：不论电荷正负都跟着电场箭号判断
假设一个电子被放在向上的电场中。
电力指向哪里？
学生可能会选择向上，因为电场箭号就是指向那里。如果你把电场线想像成风向箭号，这种想法看似合理。树叶在风中通常会被推向风流动的方向。
但电场并不一样。它的方向是根据正电荷会受到甚么作用来定义的。
电子带负电，因此它所受的力向下。
所以，风的类比正是在这一点失效。风会把一般物体沿气流方向推动，而电场则可以根据电荷的正负，使电荷受到方向相反的力。
对电子而言，
\[ q=-1.602\times10^{-19}\text{ C} \]
因此 \(\vec F=q\vec E\) 会自动令力的方向与电场方向相反。
05电荷量既影响大小，也影响方向
现在比较同一电场中的两个正电荷：
- 电荷 A 为 \(+1.0\,\mu\text{C}\)
- 电荷 B 为 \(+4.0\,\mu\text{C}\)
在计算之前，先预测 B 所受的力与 A 相比会如何。
因为
\[ F=|q|E \]
所以力的大小与电荷量的大小成正比。只要电场不变，电荷量变成四倍，力的大小也会变成四倍。
同一规则也适用于负电荷。在相同电场中，\(-4.0\,\mu\text{C}\) 的电荷所受的力的大小与 \(+4.0\,\mu\text{C}\) 相同，但方向相反。
务必要清楚区分大小和方向：
- \(|q|\) 决定力有多大
- \(q\) 的正负号决定力是沿着还是逆着 \(\vec E\)
解题示例：以电力抵抗重力而保持静止的带电粒子
一个微小粒子的质量为 \(4.0\times10^{-7}\text{ kg}\)。它在强度为 \(2.0\times10^5\text{ N/C}\)、方向向下的垂直电场中保持静止。忽略空气阻力。求粒子的电荷量。
步骤 1
粒子保持静止，因此加速度为零。所以合力必须为零。
重力向下，因此电力必须向上，而且大小与重力相同。
电场向下，但电力向上。因此，粒子必须带有负电荷。
步骤 2
使用 \(F_g=mg\)，其中 \(g=9.8\text{ m/s}^2\)，
\[ \begin{aligned} F_g&=mg\\ &=(4.0\times10^{-7})(9.8)\\ &=3.92\times10^{-6}\text{ N} \end{aligned} \]
在平衡状态下，
\[ F_E=F_g=3.92\times10^{-6}\text{ N} \]
步骤 3
\[ \begin{aligned} |q|&=\frac{F_E}{E}\\ &=\frac{3.92\times10^{-6}}{2.0\times10^5}\\ &=1.96\times10^{-11}\text{ C} \end{aligned} \]
步骤 4
我们已经确定电荷必须是负的。
\[ \boxed{q=-2.0\times10^{-11}\text{ C}} \]
这个负号并不是最后才额外加上的装饰。它是解释为甚么电场向下时，电力却向上的必要部分。
06判断方向问题的可靠方法
当题目给你一个电场和一个电荷时，可以按照以下次序处理。
- 找出电场方向。
- 使用 \(F=|q|E\) 求力的大小。
- 检查电荷的正负号。
- 如果 \(q>0\)，力沿着电场方向。
- 如果 \(q<0\)，力指向与电场相反的方向。
这个次序通常比直接把负电荷代入计算机，再尝试解释最后得到的负数结果更稳妥。
不过，如果题目使用坐标轴，带正负号的分量会很有用。例如，
\[ F_x=qE_x \]
可以同时给出沿 \(x\) 轴方向的力的大小和方向。
07电场方向不一定就是运动方向
还有一个常见陷阱。
如果一个正电荷受到向右的力，是否代表它一定向右运动？
不是。
力决定的是加速度，而不一定是速度。
一个正电荷最初可以向左运动，同时受到向右的电力。它会减速，可能停下来，然后再开始向右运动。
同样地，处于向右电场中的负电荷会向左加速，但它在一段时间内仍可能继续向右运动。
这与你在力学中已经用过的概念相同。一个向上抛出的球具有向上的速度，同时重力却令它具有向下的加速度。
对带电粒子而言，
\[ \vec F=q\vec E \]
而牛顿第二定律给出
\[ \vec F=m\vec a \]
所以
\[ \vec a=\frac{q\vec E}{m} \]
加速度的方向跟随电力的方向，而不一定与当前速度方向相同。
08问题与解答
问题 1
一个电荷量为 \(-6.0\times10^{-6}\text{ C}\) 的电荷被放在强度为 \(3.0\times10^3\text{ N/C}\)、方向向北的均匀电场中。
计算该电荷所受的电力，包括其方向。
解答 1
电力为 \(\boxed{1.8\times10^{-2}\text{ N，向南}}\)。
使用
\[ F=|q|E \]
代入数值，
\[ \begin{aligned} F&=(6.0\times10^{-6})(3.0\times10^3)\\ &=1.8\times10^{-2}\text{ N} \end{aligned} \]
电荷是负的，所以其受力方向与电场相反。电场向北，因此力向南。
一个常见错误是回答向北，因为那是电场方向。对正电荷来说这才是正确的，但对负电荷并不是。
问题 2
两个粒子被放在均匀电场中的同一位置。
粒子 A 的电荷量为 \(+2.0\,\mu\text{C}\)。粒子 B 的电荷量为 \(-5.0\,\mu\text{C}\)。
比较两个粒子所受电力的大小和方向。
解答 2
粒子 B 所受力的大小是粒子 A 的 \(\boxed{2.5}\) 倍，而且两个力的方向相反。
对粒子 A，
\[ F_A=|q_A|E=(2.0\times10^{-6})E \]
对粒子 B，
\[ F_B=|q_B|E=(5.0\times10^{-6})E \]
因此，
\[ \frac{F_B}{F_A} = \frac{5.0\times10^{-6}}{2.0\times10^{-6}} =2.5 \]
两个粒子处于同一电场中，因此电荷量大小较大的粒子会受到较大的力。
粒子 A 带正电，因此它所受的力沿着电场方向。粒子 B 带负电，因此它所受的力与电场方向相反。所以两者所受力的方向相反。
一个容易产生的错误观念是，负电荷的电荷值在数值上小于零，因此它应该受到「较小」的力。其实力的大小取决于 \(|q|\)，而不是电荷是正还是负。
问题 3
一个带正电的粒子正在向东运动，然后进入一个包含向西均匀电场的区域。
一名学生说：「因为电场向西，所以粒子会立即开始向西运动。」
解释实际上会发生甚么。假设电场产生的力是唯一作用于粒子的力。
解答 3
粒子起初仍然会继续向东运动，但它会向西加速，因此逐渐减速。
因为粒子带正电，所以电力与电场方向相同：
\[ \vec F=q\vec E \]
因此力向西。
牛顿第二定律给出
\[ \vec a=\frac{\vec F}{m} \]
所以加速度也向西。
但是，加速度和速度是不同的物理量。在粒子刚进入电场的一刻，它的速度仍然向东。向西的加速度会逐渐减小这个向东的速度。
如果电场持续作用足够长的时间，粒子的速度可能减至零，然后开始向西运动。
这名学生的错误在于假设力会决定运动方向。其实力决定的是加速度的方向。
问题 4
一个带电粒子静止悬浮在两块水平平板之间。平板之间的电场垂直向上。
粒子的质量为 \(7.5\times10^{-8}\text{ kg}\)，电场强度为 \(4.0\times10^4\text{ N/C}\)。
判断粒子电荷的正负，并求其大小。取 \(g=9.8\text{ m/s}^2\)。
解答 4
粒子带有 \(\boxed{\text{大小为 }1.8\times10^{-11}\text{ C 的正电荷}}\)。
因为粒子保持静止，所以它所受的合力为零。
重力向下：
\[ \begin{aligned} F_g&=mg\\ &=(7.5\times10^{-8})(9.8)\\ &=7.35\times10^{-7}\text{ N} \end{aligned} \]
因此，电力必须向上，而且大小相同：
\[ F_E=7.35\times10^{-7}\text{ N} \]
电场也向上。由于电力与电场方向相同，所以电荷必须是正的。
现在使用
\[ F_E=|q|E \]
因此
\[ \begin{aligned} |q| &=\frac{F_E}{E}\\ &=\frac{7.35\times10^{-7}}{4.0\times10^4}\\ &=1.84\times10^{-11}\text{ C} \end{aligned} \]
取两位有效数字，
\[ \boxed{q=+1.8\times10^{-11}\text{ C}} \]
最重要的推理其实发生在计算之前。如果电场向上，而电力也必须向上，那么电荷就不可能是负的。
问题 5
一个电荷量未知的粒子正在一个同样向右的均匀电场中向右运动。测量结果显示，粒子正在减速。
一名学生因此认为测量结果一定有错，因为「电场应该令粒子加速」。
假设电场产生的力是唯一作用于粒子的力，判断可以对粒子的电荷正负作出甚么结论，并解释原因。
解答 5
粒子必须带有 \(\boxed{\text{负电荷}}\)。
粒子向右运动但正在减速，因此它的加速度必须向左。
由于电场是唯一的力源，所以根据
\[ \vec F=m\vec a \]
电力也必须向左。
可是，电场本身向右。
由
\[ \vec F=q\vec E \]
可知，要使力的方向与电场相反，就必须有 \(q<0\)。
所以测量结果并不存在矛盾。负电荷在向右的电场中会受到向左的力。如果它最初正在向右运动，这个力就会使它减速。
这名学生的推理中隐藏的假设是：电场方向必须与运动方向相同。其实，只有对正电荷而言，电场方向才与力的方向相同。即使如此，力所控制的也是加速度，而不是直接决定速度。
当你能够熟练地在 \(\vec E\)、\(q\) 的正负和 \(\vec F\) 之间建立关系后，下一步就是把电力与牛顿定律结合起来。这样你就能预测带电粒子在电场中如何加速、弯曲运动、停止，或保持平衡。