斜面上的力：分力、支持力与摩擦力

一个 \(10\text{ kg}\) 的木箱放在倾角为 \(30^\circ\) 的斜坡上。重力以 \(98\text{ N}\) 的力竖直向下拉它，但木箱不可能直接向下穿过斜坡加速。

那么，这 \(98\text{ N}\) 中究竟有多少力会使木箱沿斜坡向下滑动？

继续阅读之前先预测一下。是全部 \(98\text{ N}\)、一半，还是其他数值？

答案是 \(49\text{ N}\)。重力并没有改变，我们也没有引入新的力。我们只是把重力分解成了两个分力：一个平行于斜坡，另一个垂直于斜坡。

这就是解决斜面问题的核心步骤。

01选择与斜坡方向一致的坐标轴

在水平地面上，水平轴和竖直轴很方便。但在斜坡上，它们通常会让计算变得比必要的更复杂。

更好的做法是旋转坐标轴：

• 一个轴平行于斜坡
• 一个轴垂直于斜坡

力本身并没有旋转。重力仍然竖直向下。我们只是改变了测量各个力时所采用的方向。

可以把它想象成描述你在购物中心里走路。你可以说自己向东北方向走了 20 m，也可以把同一段位移分解成向北的部分和向东的部分。这两个分量描述的是同一次移动，并不是另外多走了两段路。

力的分量也是同样的道理。

02分解重力

质量为 \(m\) 的物体所受重力为

\[ W = mg \]

其中：

• \(W\) 是重力，单位为牛顿，\(\text{N}\)
• \(m\) 是质量，单位为千克，\(\text{kg}\)
• \(g\) 是重力加速度，约为 \(9.8\text{ m s}^{-2}\)

假设斜坡与水平面的夹角为 \(\theta\)。

重力可以分解成两个有用的分量：

\[ W_\parallel = mg\sin\theta \]

方向沿斜坡向下，以及

\[ W_\perp = mg\cos\theta \]

方向指向斜坡内部。

为什么平行于斜坡的分量对应正弦？

垂直指向斜面的方向与竖直方向之间的夹角同样是 \(\theta\)。在直角力三角形中，\(mg\) 是斜边。垂直于斜面的分量位于 \(\theta\) 的邻边，因此为 \(mg\cos\theta\)。平行于斜面的分量位于 \(\theta\) 的对边，因此为 \(mg\sin\theta\)。

如果你觉得靠记忆这个图不够可靠，可以改用极限情况来判断。

对于水平面，\(\theta=0^\circ\)：

\[ mg\sin 0^\circ = 0 \]

所以重力没有任何沿表面推动物体滑动的分量。这很合理。

同时，

\[ mg\cos 0^\circ = mg \]

因此整个重力都指向表面。

现在想象把角度逐渐增大到接近 \(90^\circ\)。沿表面向下的分量逐渐接近 \(mg\)，而指向表面的分量逐渐接近零。这同样完全符合我们的预期。

与其死记“这里用正弦，那里用余弦”，这种检验方法可靠得多。

03支持力并不总是 \(mg\cos\theta\)

支持力 \(N\) 是表面对物体施加的接触力，方向垂直于表面。

一个常见的快捷写法是

\[ N = mg\cos\theta \]

但这只在特定情况下成立：物体始终与斜面接触，并且没有其他力具有垂直于斜面的分量。

真正适用的规律是垂直方向上的牛顿第二定律：

\[ \sum F_\perp = ma_\perp \]

如果物体始终停留在一个直斜面上，它通常不会穿过表面或离开表面加速，因此

\[ a_\perp=0 \]

所以垂直方向上的力必须平衡。

例如，如果一根绳子有一部分拉力指向远离表面的方向，那么绳子会减小支持力。如果有人施加一个部分指向表面内部的推力，那么支持力就会增大。

表面会提供防止物体穿过它所需要的推力。表面无法把物体拉回自己，因此支持力不可能为负值。

04分解重力以外的力

假设一个力 \(F\) 与斜坡方向成 \(\phi\) 角，并位于斜坡上方。

在使用正弦或余弦之前，先问自己：哪个分量位于夹角 \(\phi\) 的邻边？

因为 \(\phi\) 是从斜坡方向开始测量的，所以平行分量是邻边：

\[ F_\parallel = F\cos\phi \]

垂直分量是对边：

\[ F_\perp = F\sin\phi \]

如果这个力向斜坡上方拉，那么它的垂直分量指向远离表面的方向。

如果同一个力的方向位于斜坡方向线的下方，那么它的垂直分量就会指向表面内部。

注意，表格中没有包含正负号。你需要先决定哪个方向取正，然后再确定各分量的符号。

例如，你可以规定沿斜坡向上为正方向。那么沿斜坡向下的力，其平行分量就是负值。

05解决斜面问题的可靠方法

对于大多数 HSC 斜面题，可以始终使用同样的步骤。

1. 画出物体实际受到的力。
2. 选择平行于斜坡和垂直于斜坡的坐标轴。
3. 分解任何不沿这两个坐标轴方向的力。
4. 应用 \(\sum F_\perp=ma_\perp\)。如果物体始终位于表面上，通常有 \(\sum F_\perp=0\)。
5. 应用 \(\sum F_\parallel=ma_\parallel\)。

如果坐标轴已经与斜坡对齐，就不要再分解支持力。支持力已经完全位于垂直轴方向上。

摩擦力也是如此。摩擦力沿接触表面作用，因此已经完全位于平行轴方向上。

06位于斜坡上方的力会改变支持力

现在想象一下，你用一个略微向上倾斜、与斜坡表面成一定角度的把手，把行李箱沿斜坡向上拉。

预测一下支持力会发生什么变化。拉力增大时，支持力会增大、减小，还是保持不变？

它会减小。

拉力的一部分指向远离表面的方向。因此，地面不需要再用同样大的力向外推物体。

当存在摩擦力时，这一点非常重要，因为动摩擦力为

\[ f_k=\mu_kN \]

其中 \(\mu_k\) 是动摩擦因数。

因此，一个倾斜的拉力可以通过两种方式影响运动：它既提供沿斜坡向上的分量，又减小 \(N\)，从而可能减小摩擦力。

07三个容易犯的错误

错误 1：把 \(mg\sin\theta\) 当成另一个力

实际的重力仍然是 \(mg\)，方向竖直向下。

\(mg\sin\theta\) 和 \(mg\cos\theta\) 是这一个力的两个分量。不要在同一张受力图上把 \(mg\)、\(mg\sin\theta\) 和 \(mg\cos\theta\) 画成三个独立的力。

错误 2：每次都假设 \(N=mg\cos\theta\)

只有在其他垂直方向上的力不会影响平衡时，这个关系才成立。

绳子向远离斜坡的方向拉会减小 \(N\)。向斜坡内部的推力会增大 \(N\)。

应始终从

\[ \sum F_\perp=ma_\perp \]

开始，而不是把 \(N=mg\cos\theta\) 当作一个定义。

错误 3：认为摩擦力总是沿斜坡向上

摩擦力会阻碍两个表面之间的相对运动，或相对运动的趋势。

物体沿斜坡向下滑动时，摩擦力沿斜坡向上。

物体被沿斜坡向上拖动时，摩擦力沿斜坡向下。

对于静摩擦力，不要自动写成

\[ f_s=\mu_sN \]

正确关系是

\[ f_s\leq\mu_sN \]

静摩擦力会根据需要自动调整，直到达到其最大值。

08问题与解答

问题 1

一个 \(5.0\text{ kg}\) 的物块在一个与水平面成 \(35^\circ\) 的无摩擦斜坡上释放。计算：

• 重力沿斜坡向下的分量
• 重力指向斜面内部的分量
• 物块的加速度

取 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)。

解答 1

重力分量分别为沿斜坡向下 \(28.1\text{ N}\) 和指向斜面内部 \(40.1\text{ N}\)，加速度为沿斜坡向下 \(5.62\text{ m s}^{-2}\)。

总重力为

\[ W=mg=(5.0)(9.8)=49.0\text{ N} \]

平行分量为

\[ \begin{aligned} W_\parallel&=mg\sin35^\circ\\ &=(49.0)\sin35^\circ\\ &=28.1\text{ N} \end{aligned} \]

垂直分量为

\[ \begin{aligned} W_\perp&=mg\cos35^\circ\\ &=(49.0)\cos35^\circ\\ &=40.1\text{ N} \end{aligned} \]

没有摩擦力，所以平行方向上的合力为 \(28.1\text{ N}\)。

\[ \begin{aligned} F_{\text{net}}&=ma\\ 28.1&=(5.0)a\\ a&=5.62\text{ m s}^{-2} \end{aligned} \]

垂直分量不会使物块加速进入表面，因为支持力会与它平衡。

问题 2

一个 \(10\text{ kg}\) 的物块位于一个无摩擦的 \(30^\circ\) 斜坡上。一个 \(50\text{ N}\) 的力沿斜坡向上施加，并与斜坡方向线下方成 \(20^\circ\) 角，因此这个力有一部分指向表面内部。

求支持力和物块的加速度。

取 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)。

解答 2

支持力约为 \(102\text{ N}\)，物块以 \(0.202\text{ m s}^{-2}\) 的加速度沿斜坡向下运动。

重力分量为

\[ \begin{aligned} W_\parallel&=(10)(9.8)\sin30^\circ=49.0\text{ N}\\ W_\perp&=(10)(9.8)\cos30^\circ=84.9\text{ N} \end{aligned} \]

分解所施加的力。它沿斜坡向上的分量为

\[ F_\parallel=50\cos20^\circ=47.0\text{ N} \]

它的垂直分量为

\[ F_\perp=50\sin20^\circ=17.1\text{ N} \]

因为这个力的方向位于斜坡方向线的下方，所以这个 \(17.1\text{ N}\) 的分量会把物块推向表面内部。

垂直方向没有加速度，因此

\[ N-W_\perp-F_\perp=0 \]

所以

\[ \begin{aligned} N&=84.9+17.1\\ &=102\text{ N} \end{aligned} \]

现在取沿斜坡向上为正方向。平行方向上的合力为

\[ \begin{aligned} F_{\text{net},\parallel} &=47.0-49.0\\ &=-2.02\text{ N} \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} a&=\frac{-2.02}{10}\\ &=-0.202\text{ m s}^{-2} \end{aligned} \]

负号表示加速度沿斜坡向下。

容易出错的地方在于：施加的力指向斜坡上方，并不能保证物体一定向上加速。它的平行分量必须足够大，才能克服沿斜坡向下作用的力。

问题 3

一个 \(6.0\text{ kg}\) 的物块由于静摩擦力而静止在 \(32^\circ\) 的斜坡上。没有其他外力作用。

求静摩擦力、支持力，以及防止物块滑动所需的最小静摩擦因数。

取 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)。

解答 3

静摩擦力为沿斜坡向上 \(31.2\text{ N}\)，支持力为 \(49.9\text{ N}\)，所需的最小静摩擦因数约为 \(0.625\)。

因为物块保持静止，

\[ \sum F_\parallel=0 \]

重力沿斜坡向下的分量为

\[ \begin{aligned} W_\parallel &=mg\sin32^\circ\\ &=(6.0)(9.8)\sin32^\circ\\ &=31.2\text{ N} \end{aligned} \]

因此，静摩擦力必须提供沿斜坡向上的 \(31.2\text{ N}\)。

支持力由垂直方向上的受力求得：

\[ \begin{aligned} N&=mg\cos32^\circ\\ &=(6.0)(9.8)\cos32^\circ\\ &=49.9\text{ N} \end{aligned} \]

当摩擦因数刚好达到能够防止滑动的最小值时，静摩擦力达到其最大值：

\[ f_{s,\max}=\mu_sN \]

因此，

\[ \begin{aligned} \mu_s &=\frac{f_s}{N}\\ &=\frac{31.2}{49.9}\\ &=0.625 \end{aligned} \]

等价地，

\[ \mu_s=\tan32^\circ \]

需要特别注意的是，只有因为这里要求的是最小摩擦因数，\(f_s=\mu_sN\) 才成立。在这个临界条件下，静摩擦力已经达到其最大可能值。

问题 4

一个 \(4.0\text{ kg}\) 的物块位于一个无摩擦的 \(25^\circ\) 斜坡上。一根绳索以与表面上方成 \(40^\circ\) 的方向沿斜坡向上拉物块。

一名学生声称，无论绳索拉力多大，支持力都一定保持为 \(mg\cos25^\circ\)。

求物块刚好将要失去与斜坡接触时的绳索拉力。同时求此时物块平行于斜坡方向的加速度。

取 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)。

解答 4

当绳索拉力达到约 \(55.3\text{ N}\) 时，物块失去接触；此时它沿斜坡向上的加速度约为 \(6.44\text{ m s}^{-2}\)。这名学生的说法不正确，因为绳索有一个把物块拉离斜坡的分量。

在失去接触之前，垂直方向的加速度为零。

重力指向表面内部的分量为

\[ mg\cos25^\circ \]

绳索向外的分量为

\[ T\sin40^\circ \]

因此，垂直方向上的受力方程为

\[ N+T\sin40^\circ-mg\cos25^\circ=0 \]

在物块刚好将要失去接触的瞬间，

\[ N=0 \]

因为一旦失去接触，表面就无法继续施加推力。

因此，

\[ T\sin40^\circ=mg\cos25^\circ \]

所以

\[ \begin{aligned} T &=\frac{(4.0)(9.8)\cos25^\circ}{\sin40^\circ}\\ &=55.3\text{ N} \end{aligned} \]

现在分解平行于斜坡方向的力。

绳索提供

\[ T\cos40^\circ \]

的沿斜坡向上分量，而重力提供

\[ mg\sin25^\circ \]

的沿斜坡向下分量。

因此，

\[ \begin{aligned} F_{\text{net},\parallel} &=(55.3)\cos40^\circ-(4.0)(9.8)\sin25^\circ\\ &=25.8\text{ N} \end{aligned} \]

于是

\[ \begin{aligned} a_\parallel &=\frac{25.8}{4.0}\\ &=6.44\text{ m s}^{-2} \end{aligned} \]

支持力并不是固定为 \(mg\cos25^\circ\)。随着绳索拉力增大，支持力逐渐减小，最终降到零。

问题 5

一个 \(6.0\text{ kg}\) 的物块静止在一个倾角为 \(\theta\) 的无摩擦斜面上。一个水平力 \(P\) 把物块推向斜坡较高的一端，同时也把它推向表面内部。

推导使物块保持静止所需的 \(P\) 和支持力 \(N\) 的表达式。然后计算 \(\theta=60^\circ\) 时这两个力的大小。

最后，说明当 \(\theta\) 接近 \(90^\circ\) 时，你的方程会预测什么。

取 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)。

解答 5

要使物块保持静止，\(P=mg\tan\theta\)，且 \(N=mg\sec\theta\)。当 \(\theta=60^\circ\) 时，\(P\approx102\text{ N}\)，\(N\approx118\text{ N}\)。当 \(\theta\) 接近 \(90^\circ\) 时，这两个力都会无限增大。

水平力 \(P\) 并不平行于斜坡。

由于斜坡与水平面的夹角为 \(\theta\)，所以 \(P\) 平行于斜坡的分量为

\[ P_\parallel=P\cos\theta \]

而把物块推向斜坡内部的分量为

\[ P_\perp=P\sin\theta \]

为了使平行于斜坡方向保持平衡，

\[ P\cos\theta-mg\sin\theta=0 \]

所以

\[ \begin{aligned} P\cos\theta&=mg\sin\theta\\ P&=mg\tan\theta \end{aligned} \]

现在考虑垂直于斜坡的方向。

\(mg\cos\theta\) 和 \(P\sin\theta\) 都把物块推向表面内部，因此

\[ N=mg\cos\theta+P\sin\theta \]

代入 \(P=mg\tan\theta\)：

\[ N=mg\cos\theta+mg\tan\theta\sin\theta \]

由于

\[ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \]

可得

\[ \begin{aligned} N &=mg\cos\theta+mg\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\\ &=mg\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos\theta}\\ &=\frac{mg}{\cos\theta}\\ &=mg\sec\theta \end{aligned} \]

对于 \(m=6.0\text{ kg}\) 和 \(\theta=60^\circ\)，

\[ \begin{aligned} P &=(6.0)(9.8)\tan60^\circ\\ &\approx102\text{ N} \end{aligned} \]

以及

\[ \begin{aligned} N &=(6.0)(9.8)\sec60^\circ\\ &=117.6\text{ N}\\ &\approx118\text{ N} \end{aligned} \]

当 \(\theta\) 接近 \(90^\circ\) 时，\(\tan\theta\) 和 \(\sec\theta\) 都会无限增大。

这个极限情况告诉了我们一个物理事实。一个 \(90^\circ\) 的无摩擦表面就是一面竖直墙。水平推力可以把物块压在墙上，但它无法提供任何向上的力来平衡重力。无论水平推力多大，只要它是有限的，都不可能让物块静止在一面完全无摩擦的竖直墙上。

09这种方法接下来能解决什么

把力分解为平行于斜坡和垂直于斜坡的分量，可以把大多数斜面问题转化为两个普通的一维牛顿定律问题。

垂直方向上的方程通常可以用来求支持力。一旦出现摩擦力，这一点就非常重要，因为摩擦力取决于 \(N\)。然后，平行方向上的方程可以告诉你物体是保持平衡，还是发生加速。

因此，下一步最值得学习的并不是另一个斜坡公式，而是如何把这些分量与静摩擦力和动摩擦力结合起来。在这类问题中，判断物体是否真的会运动，与计算各个力同样重要。