非弹性碰撞：HSC物理中的动量与动能

设想两辆动力学小车沿着轨道运动。一辆追上另一辆，它们发生碰撞，一条魔术贴使它们粘在一起。碰撞前，两辆小车以不同的速度运动。碰撞后，只剩下一个组合物体，以一个共同速度运动。

这里有一个重要的预测问题：如果动量守恒，那么动能也守恒吗？

很容易让人觉得答案是肯定的。毕竟，动量和动能都是与运动有关的物理量。但这种预测是错误的。在非弹性碰撞中，总动量可以保持完全不变，而动能却会减少。

这种差别正是我们需要理解的核心。

01从动量开始

假设一辆运动的小车撞上一辆静止的小车，并且两辆小车粘在一起。

碰撞前，只有第一辆小车具有动量。碰撞过程中，两辆小车彼此施加很大的力。这些力会改变每辆小车各自的动量。

但是，把两辆小车看作一个系统。

小车 A 对小车 B 施加的力，与小车 B 对小车 A 施加的大小相等、方向相反的力相对应。这些内力会在物体之间传递动量，但不会改变系统的总动量。

如果碰撞过程中系统受到的净外冲量可以忽略，那么：

\[
p_{\text{碰撞前}} = p_{\text{碰撞后}}
\]

动量的定义为：

\[
p = mv
\]

其中：

• \(p\) 是动量，单位为 \(\text{kg m s}^{-1}\)
• \(m\) 是质量，单位为 \(\text{kg}\)
• \(v\) 是速度，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)

这里重要的是速度，而不仅仅是速率。动量具有方向，因此需要使用正号和负号。

如果两个物体在碰撞后粘在一起，那么它们最终的总动量为：

\[
m_1u_1 + m_2u_2 = (m_1+m_2)v
\]

其中，\(m_1\) 和 \(m_2\) 是两个物体的质量，\(u_1\) 和 \(u_2\) 是它们碰撞前的速度，而 \(v\) 是它们碰撞后共同的速度。

物体碰撞后粘在一起的碰撞称为完全非弹性碰撞。

02那么动能去了哪里？

现在计算同一次碰撞中的动能。

动能为：

\[
E_k=\frac{1}{2}mv^2
\]

其中，\(E_k\) 是动能，单位为焦耳；\(m\) 是质量，单位为千克；\(v\) 是速率，单位为米每秒。

碰撞前：

\[
E_{k,\text{碰撞前}}
=\frac{1}{2}(2.0)(4.0)^2
=16\ \text{J}
\]

碰撞后：

\[
E_{k,\text{碰撞后}}
=\frac{1}{2}(5.0)(1.6)^2
=6.4\ \text{J}
\]

因此，动能的变化为：

\[
\Delta E_k
=E_{k,\text{碰撞后}}-E_{k,\text{碰撞前}}
=6.4-16
=-9.6\ \text{J}
\]

碰撞后，系统的动能减少了 \(9.6\ \text{J}\)。

能量守恒失效了吗？

没有。总能量仍然守恒。动能并不守恒。

碰撞过程中，小车会发生轻微形变。它们可能会振动、升温，并产生声音。一部分初始动能会转化为内能以及其他形式的能量。

可以想象两个人沿走廊奔跑，然后一起撞进一个巨大的豆袋椅。他们和豆袋椅的总动量仍可以使整个组合继续向前移动，但挤压、晃动、升温和噪声意味着原来的动能并没有全部保留为宏观运动。

这个类比也有局限。真实碰撞在微观层面涉及复杂的形变，因此豆袋椅只是帮助我们理解部分动能可能转化到哪里的一个形象化方式。

03动量和动能的表现不同

这是最容易导致错误的区别。

造成这种区别的一个特别重要的原因是：

动量与速度成正比：

\[
p\propto v
\]

动能与速率的平方成正比：

\[
E_k\propto v^2
\]

你不能因为动量守恒，就得出动能也一定守恒的结论。它们是两个不同的物理量，具有不同的守恒条件。

04容易产生的错误观念：“如果能量守恒，那么动能也一定守恒”

学生可能会这样推理：

能量不能被创造或消灭，所以碰撞前后的动能一定相等。

第一部分是正确的，但结论并不正确。

总能量守恒。动能只是能量的一种形式。

在非弹性碰撞过程中，一部分动能会转化为其他形式。例如，如果汽车在碰撞时发生溃缩，就会有功用于使汽车结构发生永久形变。即使汽车的动能减少了，总能量也并没有消失。

因此，我们可以使用以下判断方法：

• 如果碰撞前后的动能相等，那么碰撞是弹性碰撞。
• 如果动能减少，那么碰撞是非弹性碰撞。
• 如果物体碰撞后粘在一起，那么碰撞是完全非弹性碰撞。

最后一点要特别注意。**并不是所有非弹性碰撞都会使物体粘在一起。**两个物体可以在碰撞后弹开，但碰撞后的总动能仍然比碰撞前小。

05方向对动量很重要，但对动能不重要

假设两辆完全相同的小车以相同速率相向运动。

它们碰撞前的总动量是多少？

如果取向右为正方向，那么一辆小车具有正动量，另一辆具有负动量。它们的动量相互抵消。

但是它们的动能呢？

动能不会相互抵消。动能是标量，因此两辆运动的小车都具有正的动能。

这就产生了碰撞物理中一个非常重要的特殊情况：一个系统可以在总动量为零的同时具有相当大的动能。

06处理粘连碰撞的可靠方法

当两个物体碰撞后粘在一起时，按以下顺序处理。

1. 选择正方向。 与正方向相反的速度取负号。
2. 写出动量守恒方程。

\[
m_1u_1+m_2u_2=(m_1+m_2)v
\]

1. 求共同的最终速度 \(v\)。
2. 分别计算碰撞前和碰撞后的动能。 不要假设动能守恒。
3. 比较两个动能。 它们的差值表示有多少动能转化成了其他形式。

这个顺序很重要。在非弹性碰撞中，通常不能利用动能守恒来求最终速度，因为动能恰恰就是不守恒的量。

07为什么动量守恒仍然需要满足条件

人们常把规律简化为“动量总是守恒的”。

这个说法还需要更加准确一些。

在所研究的时间间隔内，如果系统受到的净外冲量为零或可以忽略，那么系统的总动量守恒。

对于低摩擦轨道上小车之间发生的短暂碰撞，摩擦力等外力在很短的碰撞时间内通常只产生很小的冲量。因此，把两辆小车视为一个孤立系统通常是合理的近似。

但假设一辆小车撞上另一辆小车时，一个外部电动机仍在强力拉动这个系统。电动机可能会产生外冲量。在这种情况下，仅由两辆小车组成的系统在碰撞过程中动量可能发生变化。

因此，在应用动量守恒之前，可以先问自己：

我的系统是什么？在这段时间里，外力能否给这个系统提供不可忽略的冲量？

在更复杂的碰撞问题中，这个问题会越来越重要。

08问题与解答

问题 1

一辆质量为 \(0.80\ \text{kg}\) 的小车以 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速度运动，与一辆静止的 \(1.20\ \text{kg}\) 小车发生碰撞。两辆小车粘在一起。计算它们的最终速度。

解答 1

两辆小车以 \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速度一起沿原先运动小车的方向运动。

由于把此次碰撞视为发生在孤立系统中，因此动量守恒。

\[
m_1u_1+m_2u_2=(m_1+m_2)v
\]

代入：

\[
(0.80)(5.0)+(1.20)(0)=(0.80+1.20)v
\]

\[
4.0=2.00v
\]

\[
v=2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

组合后的质量比原来运动小车的质量更大，因此共同速率更低，而总动量仍为 \(4.0\ \text{kg m s}^{-1}\)。

问题 2

一辆质量为 \(1200\ \text{kg}\) 的车辆以 \(10.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向东行驶，与一辆静止的 \(800\ \text{kg}\) 车辆发生碰撞。两车碰撞后锁在一起。

计算：

1. 它们碰撞后瞬间的速度
2. 碰撞前的总动能
3. 碰撞后的总动能
4. 转化为其他形式的动能

解答 2

两辆粘在一起的车辆以 \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向东运动，并且有 \(48\,000\ \text{J}\) 的动能转化为其他形式。

首先应用动量守恒：

\[
(1200)(10.0)+(800)(0)=(1200+800)v
\]

\[
12\,000=2000v
\]

\[
v=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

初始动能为：

\[
E_{k,\text{碰撞前}}
=
\frac{1}{2}(1200)(10.0)^2
=
60\,000\ \text{J}
\]

最终动能为：

\[
E_{k,\text{碰撞后}}
=
\frac{1}{2}(2000)(6.0)^2
=
36\,000\ \text{J}
\]

因此：

\[
E_{\text{转化}}
=
60\,000-36\,000
=
24\,000\ \text{J}
\]

所以，正确的转化能量是 \(24\,000\ \text{J}\)。

前面所述的 \(48\,000\ \text{J}\) 是错误的，因为它与计算得到的动能变化不一致。关键原理是，初始动能与最终动能之差会转化为形变、内能、声音以及其他形式的能量。

问题 3

两辆完全相同、质量均为 \(2.0\ \text{kg}\) 的小车相向运动。其中一辆以 \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向右运动，另一辆以 \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向左运动。它们发生碰撞并粘在一起。

一名学生说：“它们的总动量为零，所以没有能量可以使小车发生形变。”

这名学生说得对吗？计算最终速度以及转化为其他形式的动能。

解答 3

这名学生是错误的。最终速度为 \(0\ \text{m s}^{-1}\)，但有 \(32\ \text{J}\) 的动能转化为其他形式。

取向右为正方向。

初始动量为：

\[
p_{\text{碰撞前}}
=
(2.0)(4.0)+(2.0)(-4.0)
=0
\]

因此，根据动量守恒：

\[
(2.0+2.0)v=0
\]

\[
v=0\ \text{m s}^{-1}
\]

两辆小车粘在一起后停止运动。

然而，它们的初始动能不会相互抵消：

\[
E_{k,\text{碰撞前}}
=
\frac{1}{2}(2.0)(4.0)^2
+
\frac{1}{2}(2.0)(4.0)^2
\]

\[
E_{k,\text{碰撞前}}
=16+16
=32\ \text{J}
\]

碰撞后：

\[
E_{k,\text{碰撞后}}=0\ \text{J}
\]

因此：

\[
E_{\text{转化}}
=
32-0
=
32\ \text{J}
\]

这个问题的陷阱在于把能量当成了具有方向的量。动量是矢量，因此可以相互抵消。动能是标量，对于两辆运动的小车来说都保持为正值。

问题 4

一辆质量为 \(3.0\ \text{kg}\) 的小车以 \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向右运动，与一辆质量为 \(1.0\ \text{kg}\)、以 \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向右运动的小车发生碰撞。它们粘在一起。

在进行计算之前，一名学生预测，粘在一起的小车一定会以低于 \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速度运动，因为“非弹性碰撞总会让物体减速”。

求实际的最终速度，并解释这一预测的问题所在。

解答 4

粘在一起的小车以 \(3.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向右运动，因此该预测是错误的。

初始总动量为：

\[
p_{\text{碰撞前}}
=
(3.0)(2.0)+(1.0)(6.0)
\]

\[
p_{\text{碰撞前}}
=
6.0+6.0
=
12\ \text{kg m s}^{-1}
\]

粘在一起后的总质量为：

\[
m_{\text{总}}=4.0\ \text{kg}
\]

因此：

\[
12=(4.0)v
\]

\[
v=3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

质量为 \(3.0\ \text{kg}\) 的小车从 \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) 加速到 \(3.0\ \text{m s}^{-1}\)，而质量为 \(1.0\ \text{kg}\) 的小车则从 \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) 减速到 \(3.0\ \text{m s}^{-1}\)。

“非弹性”并不意味着每个物体都会减速。它意味着系统的总动能减少。共同的最终速度由动量守恒决定。

作为验证，初始动能为：

\[
E_{k,\text{碰撞前}}
=
\frac{1}{2}(3.0)(2.0)^2
+
\frac{1}{2}(1.0)(6.0)^2
=
6.0+18
=
24\ \text{J}
\]

最终动能为：

\[
E_{k,\text{碰撞后}}
=
\frac{1}{2}(4.0)(3.0)^2
=
18\ \text{J}
\]

即使其中一辆小车加速了，系统仍损失了 \(6.0\ \text{J}\) 的动能。

问题 5

两辆小车在轨道上发生碰撞并粘在一起。测量结果如下：

• 碰撞前瞬间的总动量：\(5.0\ \text{kg m s}^{-1}\)
• 碰撞后瞬间的总动量：\(4.7\ \text{kg m s}^{-1}\)
• 碰撞前瞬间的总动能：\(18\ \text{J}\)
• 碰撞后瞬间的总动能：\(7.0\ \text{J}\)

一名学生认为，因为测得的动量发生了变化，所以动量守恒定律已经被推翻。

给出一个物理上合理的解释，并说明对于此次碰撞的动能仍然可以得出什么结论。

解答 5

这些测量结果并不能推翻动量守恒。它们表明，所选择的两辆小车系统可能受到了不可忽略的外冲量，或者测量不确定度影响了结果。测得的动能减少了 \(11\ \text{J}\)。

对于孤立系统，总动量应满足：

\[
p_{\text{碰撞前}}=p_{\text{碰撞后}}
\]

这里测得的变化为：

\[
\Delta p
=
4.7-5.0
=
-0.3\ \text{kg m s}^{-1}
\]

如果存在外力，例如摩擦力，或者小车与实验装置某部分之间存在相互作用，并且该力作用了足够长的时间，从而产生了显著冲量，就可能出现这种变化。测量不确定度也是另一种可能的解释。

动能变化为：

\[
\Delta E_k
=
7.0-18
=
-11\ \text{J}
\]

因此，测得的动能减少了 \(11\ \text{J}\)。

这与非弹性碰撞相符，但在解释动量数据时，需要考虑系统边界和实验条件。守恒定律描述的是正确定义的系统，并不能保证每一组实验测量数据都完全一致。

问题 6

一辆质量为 \(1.0\ \text{kg}\) 的小车以速率 \(u\) 向右运动，与一辆静止的 \(3.0\ \text{kg}\) 小车发生碰撞，并且两辆小车粘在一起。

在不为 \(u\) 选择具体数值的情况下：

1. 用 \(u\) 表示最终速率
2. 求碰撞后仍作为动能保留下来的原始动能比例
3. 解释为什么你的答案与 \(u\) 的数值无关

解答 6

最终速率为 \(u/4\)，并且只有原始动能的四分之一保留下来。这个比例与 \(u\) 无关，因为初始动能和最终动能中都含有相同的 \(u^2\) 因子，在求比值时会约去。

根据动量守恒：

\[
(1.0)u+(3.0)(0)=(1.0+3.0)v
\]

因此：

\[
u=4v
\]

\[
v=\frac{u}{4}
\]

初始动能为：

\[
E_{k,\text{碰撞前}}
=
\frac{1}{2}(1.0)u^2
=
\frac{1}{2}u^2
\]

最终动能为：

\[
E_{k,\text{碰撞后}}
=
\frac{1}{2}(4.0)\left(\frac{u}{4}\right)^2
\]

\[
E_{k,\text{碰撞后}}
=
2\left(\frac{u^2}{16}\right)
=
\frac{u^2}{8}
\]

保留下来的比例为：

\[
\frac{E_{k,\text{碰撞后}}}{E_{k,\text{碰撞前}}}
=
\frac{u^2/8}{u^2/2}
=
\frac{1}{4}
\]

因此，原始动能的 \(25\%\) 保留下来，而 \(75\%\) 转化成了其他形式。

这一结果取决于物体的质量以及碰撞后粘在一起这一条件，而不是具体的初始速率。增大 \(u\) 会通过相同的 \(u^2\) 关系同时增大初始动能和最终动能，因此不会改变这一比例。

09这为接下来的分析提供了什么基础

需要保持的核心习惯很简单：把动量和动能分开考虑。

对于外冲量可以忽略的短暂碰撞，动量可以告诉你碰撞前后速度之间的关系。然后，动能可以告诉你发生的是哪一种碰撞，以及有多少能量仍保留为宏观运动。

当你进一步学习冲量以及力-时间关系时，这一区别会尤其有用。动量守恒描述的是整个相互作用系统，而冲量则解释了碰撞过程中每一个物体的动量如何发生变化。