HSC 物理中的牛顿第二定律：合力与加速度

一辆手推车正在向右运动。你停止推它后，它仍会继续滚动一段时间。这是否意味着一定还有一个力在向前推它？

人们很容易回答“是”。毕竟，它仍在向右运动。但牛顿第二定律告诉我们一个更有用的结论：合力决定的是加速度，而不是物体的运动本身。物体可以在向右运动的同时合力为零，甚至可以在合力向左时仍然向右运动。

理解这个区别，是正确使用

\[
F_{\text{net}} = ma
\]

的关键。

01先从力真正改变的量说起

想象一辆空的购物手推车，以及一辆装有 40 kg 杂货的手推车。

你对两辆手推车施加相同的推力。哪一辆的运动状态改变得更快？

空手推车改变得更快。相同的推力会产生更大的加速度，因为需要加速的质量更小。

现在保持手推车不变，但把推力增大到原来的两倍。会发生什么？

如果其他力保持不变，它的加速度也会变为原来的两倍。

这两个观察结果体现了牛顿第二定律背后的基本规律：

• 合力越大，加速度越大
• 在合力相同时，质量越大，加速度越小

这里的“合”字非常重要。

02合力是把各个力合成后剩下的结果

假设你用 \(40\text{ N}\) 的力向前推一辆手推车，同时摩擦力以 \(15\text{ N}\) 的大小向后作用。

你不应该直接把 \(40\text{ N}\) 代入 \(F = ma\)。

你需要先把所有力结合起来，并考虑它们的方向：

\[
F_{\text{net}} = 40 – 15 = 25\text{ N}
\]

因此，手推车的运动效果就像受到一个没有其他力抵消的 \(25\text{ N}\) 向前力一样。

这并不意味着其他力消失了。它的意思是，这些力对手推车加速度的综合作用，等效于一个 \(25\text{ N}\) 的单一力。

一个有用的想象方式是拔河。一边以 \(500\text{ N}\) 的力拉，另一边以 \(450\text{ N}\) 的力拉。虽然双方总共有 \(950\text{ N}\) 的拉力在作用，但绳子不会像有 \(950\text{ N}\) 的力朝同一个方向作用那样加速。真正相关的力是二者之差，即 \(50\text{ N}\)。

如果你把合力想成另一个独立存在的物理力，这个类比就不再成立。合力并不是一个额外的力。合力是作用在物体上的所有实际力的矢量和。

03牛顿第二定律

对于 HSC 力学中所涉及的恒定质量情况，

\[
\vec{F}_{\text{net}} = m\vec{a}
\]

其中：

• \(\vec{F}_{\text{net}}\) 是物体所受的合力，单位为牛顿（\(\text{N}\)）
• \(m\) 是物体的质量，单位为千克（\(\text{kg}\)）
• \(\vec{a}\) 是物体的加速度，单位为米每二次方秒（\(\text{m s}^{-2}\)）

箭头提醒我们，力和加速度都是矢量。它们既有大小，也有方向。

一牛顿的定义满足

\[
1\text{ N} = 1\text{ kg m s}^{-2}.
\]

因此，如果 \(1\text{ N}\) 的合力作用在 \(1\text{ kg}\) 的物体上，它的加速度就是 \(1\text{ m s}^{-2}\)。

这个方程真正表达的意思

把牛顿第二定律变形，可以得到

\[
a = \frac{F_{\text{net}}}{m}.
\]

这样更容易看出各物理量之间的关系。

最后一行会导致力学中最常见的错误之一。

04合力为零并不意味着速度为零

假设一个冰球正以 \(6\text{ m s}^{-1}\) 的速度向右滑动。设想一个没有摩擦力的理想表面。

如果合力变为零，接下来会发生什么？

一个常见的预测是，冰球会减速，因为“已经没有力继续推它了”。

牛顿第二定律给出了不同的答案：

\[
F_{\text{net}} = 0
\]

所以

\[
a = 0.
\]

加速度为零意味着速度不会改变。冰球会继续以 \(6\text{ m s}^{-1}\) 的速度向右运动。

需要合力的是改变速度，而不是维持恒定速度。

因此，我们得到三种重要情况：

• 速度为零且合力为零：物体可以保持静止
• 速度不为零且合力为零：物体可以做匀速运动
• 合力不为零：物体的速度发生改变

这种改变可能表现为加速、减速、改变方向，或这些情况的组合。

05力与加速度方向相同，但不一定与速度方向相同

这里还有一个值得思考的情况。

一辆汽车正在向东行驶，但正在刹车。它的加速度指向哪里？

汽车的速度向东，但速率正在减小。因此，它的加速度指向西方。

根据牛顿第二定律，合力也必须指向西方。

所以，下面这句话是正确的：

合力和加速度始终指向同一个方向。

而下面这句话则不正确：

合力始终指向物体运动的方向。

一个物体可以朝一个方向运动，同时朝相反方向加速。

物体在直线上减速时，发生的正是这种情况。

06如何使用 \(F_{\text{net}} = ma\) 而不把自己绕晕

如果你始终按照同样的步骤处理，大多数牛顿第二定律题都会容易得多。

1. 选择研究对象

明确你分析的系统究竟是什么。

如果问题问的是一个箱子的加速度，就画出作用在箱子上的力，而不是箱子对其他物体施加的力。

2. 找出作用在它上面的力

根据具体情况，这些力可能包括：

• 重力
• 支持力
• 张力
• 摩擦力
• 阻力
• 推力
• 外加的推力或拉力

3. 选择正方向

对于一维运动，你可以规定向右为正方向，或规定向上为正方向。

然后根据各个力的方向给它们加上正负号。

4. 把各个力相加，求出 \(F_{\text{net}}\)

在使用牛顿第二定律之前先完成这一步。

例如，如果规定向右为正方向，

\[
F_{\text{net}} = F_{\text{push}} – F_{\text{friction}}.
\]

5. 使用 \(F_{\text{net}} = ma\)

然后求解未知量。

这个顺序很重要。题目中给出的某一个力，并不一定就是合力。

07例题：手推车的加速度

一辆质量为 \(10.0\text{ kg}\) 的手推车受到一个水平向右、大小为 \(42\text{ N}\) 的推力。摩擦力大小为 \(12\text{ N}\)，方向向左。求手推车的加速度。

步骤 1

规定向右为正方向。

步骤 2

外加推力和摩擦力方向相反：

\[
F_{\text{net}} = 42 – 12 = 30\text{ N}.
\]

合力为 \(30\text{ N}\)，方向向右。

竖直方向的力不会影响水平方向的加速度。在水平面上，如果没有竖直加速度，向上的支持力与向下的重力平衡。

步骤 3

\[
F_{\text{net}} = ma
\]

所以

\[
a = \frac{F_{\text{net}}}{m}
= \frac{30}{10.0}
= 3.0\text{ m s}^{-2}.
\]

手推车的加速度为

\[
\boxed{3.0\text{ m s}^{-2}\text{，向右}}.
\]

这意味着它的速度每秒都向右改变 \(3.0\text{ m s}^{-1}\)。

注意，我们使用的是 \(30\text{ N}\)，而不是 \(42\text{ N}\) 的外加推力。牛顿第二定律使用的是合力。

08有时需要先求加速度，再求力

牛顿第二定律题经常会与运动学结合。

如果题目给出了速度变化量以及所用时间，你可能需要先使用

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t},
\]

其中，\(\Delta v\) 是速度的变化量，\(\Delta t\) 是时间间隔。

然后再使用 \(F_{\text{net}} = ma\)。

09竖直方向的力平衡，并不意味着所有方向的力都平衡

再来看第一个例题中的手推车。

它受到向下的重力。地面对它的支持力向上。如果这两个力大小相等，竖直方向的合力就是零。

与此同时，手推车在水平方向仍然可以受到非零合力。

因此，你应该分别在各个方向上应用牛顿第二定律：

\[
\sum F_x = ma_x
\]

以及

\[
\sum F_y = ma_y.
\]

一个物体并不需要在所有方向上同时处于“平衡”或“不平衡”状态。

例如，对于一辆在平坦道路上加速的汽车：

• 竖直方向的合力可以为零
• 水平方向的合力可以向前

因此，汽车的竖直加速度为零，但水平加速度不为零。

10质量表示物体对加速的抗拒程度

在这里，质量表示改变一个物体速度的难易程度。

假设一个 \(20\text{ N}\) 的合力分别作用在两个物体上。

对于一个 \(2.0\text{ kg}\) 的物体，

\[
a = \frac{20}{2.0} = 10\text{ m s}^{-2}.
\]

对于一个 \(10.0\text{ kg}\) 的物体，

\[
a = \frac{20}{10.0} = 2.0\text{ m s}^{-2}.
\]

所受的力完全相同，但质量较大的物体加速度更小。

这种性质称为惯性。质量越大，物体越抗拒速度的改变。

注意措辞。质量更大的物体并不会以某种方式“消耗掉”力。同样的合力只是会产生更小的加速度。

11最容易犯的错误：把每一个力都当成 \(ma\)

假设一个 \(5.0\text{ kg}\) 的箱子受到 \(30\text{ N}\) 的向右推力，同时受到 \(10\text{ N}\) 的向左摩擦力。

一名学生写道

\[
30 = 5a.
\]

为什么这是错误的？

因为 \(30\text{ N}\) 的推力只是作用在箱子上的其中一个力。

正确的方程是

\[
30 – 10 = 5a,
\]

所以

\[
a = 4.0\text{ m s}^{-2}.
\]

一个有用的习惯，是在脑中把牛顿第二定律理解为

作用在物体上的所有力之和 = 质量 × 加速度

而不仅仅是“力等于质量乘以加速度”。

在一维情况下，你经常会把它明确写成

\[
\sum F = ma.
\]

12正负号告诉你方向

假设你规定向右为正方向，并计算得到

\[
a = -2.5\text{ m s}^{-2}.
\]

负号并不意味着你的加速度在某种意义上“比没有加速度还小”。

它表示加速度的方向与你规定的正方向相反。在这种情况下，加速度大小为 \(2.5\text{ m s}^{-2}\)，方向向左。

合力也是如此。

如果

\[
F_{\text{net}} = -18\text{ N},
\]

那么合力大小为 \(18\text{ N}\)，方向为负方向。

即使题目只要求大小，也不要因为看到负号就把它直接丢掉。先解释它所代表的方向。

13问题与解答

问题 1

一个 \(6.0\text{ kg}\) 的箱子受到一个水平向右、大小为 \(25\text{ N}\) 的拉力。摩擦力大小为 \(7.0\text{ N}\)，方向向左。

求箱子加速度的大小和方向。

解答 1

加速度为 \(\boxed{3.0\text{ m s}^{-2}}\)，方向向右。

规定向右为正方向，合力为

\[
F_{\text{net}} = 25 – 7.0 = 18\text{ N}.
\]

使用牛顿第二定律，

\[
F_{\text{net}} = ma
\]

得到

\[
a = \frac{F_{\text{net}}}{m}
= \frac{18}{6.0}
= 3.0\text{ m s}^{-2}.
\]

箱子向右加速，因为向右的拉力大于向左的摩擦力。

最容易犯的错误是直接把 \(25\text{ N}\) 代入 \(F = ma\)。这样会忽略摩擦力。牛顿第二定律要求使用合力。

问题 2

一名骑自行车的人和自行车的总质量为 \(80\text{ kg}\)。他们以 \(1.5\text{ m s}^{-2}\) 的加速度向前加速。空气阻力和其他阻力合计为 \(40\text{ N}\)，方向向后。

求作用在骑车人和自行车上的向前推进力。

解答 2

向前的推进力为 \(\boxed{160\text{ N}}\)。

首先求所需的合力：

\[
F_{\text{net}} = ma
= 80(1.5)
= 120\text{ N}.
\]

因此，合力必须是 \(120\text{ N}\)，方向向前。

设 \(F_{\text{prop}}\) 为向前的推进力。规定向前为正方向，

\[
F_{\text{net}} = F_{\text{prop}} – F_{\text{resistive}}.
\]

代入数值，

\[
120 = F_{\text{prop}} – 40,
\]

所以

\[
F_{\text{prop}} = 160\text{ N}.
\]

推进力必须大于合力，因为其中一部分被阻力抵消了。

问题 3

两辆实验小车受到相同的合力。小车 A 的质量为 \(0.50\text{ kg}\)，而小车 B 的质量为 \(1.5\text{ kg}\)。

小车 A 的加速度为 \(6.0\text{ m s}^{-2}\)。

在没有先给出合力大小的情况下，求小车 B 的加速度。

解答 3

小车 B 的加速度为 \(\boxed{2.0\text{ m s}^{-2}}\)。

对于相同的合力，

\[
a = \frac{F_{\text{net}}}{m}.
\]

小车 B 的质量是小车 A 的三倍：

\[
\frac{1.5}{0.50} = 3.
\]

因此，它的加速度必须是小车 A 的三分之一：

\[
a_B = \frac{6.0}{3}
= 2.0\text{ m s}^{-2}.
\]

你也可以先由小车 A 求出共同的合力来验证：

\[
F_{\text{net}} = ma
= 0.50(6.0)
= 3.0\text{ N}.
\]

然后

\[
a_B = \frac{3.0}{1.5}
= 2.0\text{ m s}^{-2}.
\]

核心规律是：在合力不变时，加速度与质量成反比。质量变为三倍并不需要使用某种新的牛顿定律。它只会使加速度变为三分之一。

问题 4

一名滑板运动者正以 \(5.0\text{ m s}^{-1}\) 的速度向右运动。在某一瞬间，作用在滑板运动者和滑板上的水平力分别为：向右 \(100\text{ N}\)，向左 \(140\text{ N}\)。

滑板运动者和滑板的总质量为 \(50\text{ kg}\)。

计算加速度，并说明在该瞬间滑板运动者是在加速还是减速。

解答 4

加速度为 \(\boxed{0.80\text{ m s}^{-2}}\)，方向向左，并且滑板运动者正在减速。

规定向右为正方向，

\[
F_{\text{net}} = 100 – 140 = -40\text{ N}.
\]

牛顿第二定律给出

\[
a = \frac{F_{\text{net}}}{m}
= \frac{-40}{50}
= -0.80\text{ m s}^{-2}.
\]

负号表示加速度方向向左。

滑板运动者当前的速度向右，而加速度向左。由于加速度与速度方向相反，滑板运动者的速率减小。

容易掉入的陷阱是认为，因为滑板运动者正在向右运动，所以力也必须向右。牛顿第二定律把合力与加速度联系起来，而不是直接与速度联系起来。

问题 5

一名质量为 \(70\text{ kg}\) 的乘客站在电梯内的体重秤上。在某一瞬间，体重秤对乘客施加一个大小为 \(720\text{ N}\)、方向向上的支持力。

取 \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\)。

求乘客的加速度，包括其方向。仅根据这些信息，你能判断电梯正在向上还是向下运动吗？

解答 5

乘客的加速度约为 \(\boxed{0.49\text{ m s}^{-2}}\)，方向向上，但仅凭这些信息无法判断电梯的运动方向。

乘客的重力为

\[
F_g = mg
= 70(9.8)
= 686\text{ N}.
\]

体重秤的支持力为 \(720\text{ N}\)，方向向上。

规定向上为正方向，

\[
F_{\text{net}} = 720 – 686
= 34\text{ N}.
\]

牛顿第二定律给出

\[
a = \frac{F_{\text{net}}}{m}
= \frac{34}{70}
\approx 0.49\text{ m s}^{-2}.
\]

因此，加速度方向向上。

但是，向上的加速度并不能证明电梯正在向上运动。它可能是：

• 正在向上运动并加速
• 正在向下运动并减速

加速度告诉我们速度正在怎样变化，却不一定告诉我们物体此刻正朝哪个方向运动。

这就是为什么，仅通过力判断出加速度方向，还不足以确定速度方向。

问题 6

一个 \(4.0\text{ kg}\) 的物体具有大小为 \(2.0\text{ m s}^{-2}\)、方向正东的加速度。

作用在它上面的三个力为：

• \(12\text{ N}\)，向东
• \(8.0\text{ N}\)，向西
• \(5.0\text{ N}\)，向北

物体还受到第四个力。

求第四个力的大小和方向。

解答 6

第四个力的大小为 \(\boxed{6.4\text{ N}}\)，方向约为 \(\boxed{\text{东偏南 }51^\circ}\)。

所需的合力可以由牛顿第二定律求出。

由于加速度为 \(2.0\text{ m s}^{-2}\)，方向向东，

\[
\vec{F}_{\text{net}} = m\vec{a}.
\]

因此，

\[
F_{\text{net}} = 4.0(2.0)
= 8.0\text{ N，向东}.
\]

现在把三个已知的力合成。

在水平方向，

\[
F_x = 12 – 8.0 = 4.0\text{ N，向东}.
\]

在竖直方向，

\[
F_y = 5.0\text{ N，向北}.
\]

但是，最终合力必须是 \(8.0\text{ N}\)、方向向东，并且没有南北方向的分量。

因此，第四个力必须再提供 \(4.0\text{ N}\) 的向东分量，同时抵消 \(5.0\text{ N}\) 的向北力。它的分量为

\[
F_{4x} = 4.0\text{ N，向东}
\]

以及

\[
F_{4y} = 5.0\text{ N，向南}.
\]

它的大小为

\[
F_4
= \sqrt{(4.0)^2 + (5.0)^2}
= \sqrt{41}
\approx 6.4\text{ N}.
\]

相对于正东方向，它的夹角为

\[
\theta
= \tan^{-1}\left(\frac{5.0}{4.0}\right)
\approx 51^\circ.
\]

因此，第四个力约为

\[
\boxed{6.4\text{ N，方向为东偏南 }51^\circ}.
\]

困难之处在于意识到牛顿第二定律是一个矢量方程。仅仅让各个力的大小相加等于 \(ma\) 是不够的。它们的矢量和必须与加速度具有相同的方向。

14掌握牛顿第二定律后，下一步是什么

一旦你真正掌握了 \(F_{\text{net}} = ma\)，许多力学问题就不再像彼此独立的主题。

摩擦问题会变成判断哪些力对合力有贡献的问题。电梯问题会变成同一个方程在竖直方向上的应用。圆周运动则增加了一个新的情况：即使速率保持不变，也可以存在加速度，因为速度的方向正在改变。引力场和电场问题涉及的力可能会随位置改变，但要判断物体在某一瞬间会怎样运动，仍然可以通过同一个问题来分析：

物体所受的合力是多少，因此它必然具有怎样的加速度？

这才是值得养成的思维习惯。不要一开始就急着寻找公式。先确定研究对象，找出所有力，把它们按矢量相加，然后把所得合力与加速度联系起来。