方程 v = u + at：HSC 物理中的恒加速度

一辆汽车正以 \(12\ \text{m s}^{-1}\) 的速度行驶。三秒后，它的速度变为 \(21\ \text{m s}^{-1}\)。你可以把这看成两个互不相关的速度测量值。但如果在这段时间内加速度保持恒定，那么只用一个简短的方程，就可以预测中间任意时刻的速度：

\[
v = u + at
\]

先别急着考虑这些字母代表什么，先做一个预测。如果汽车的速度每秒增加 \(3\ \text{m s}^{-1}\)，那么 3 秒后应该发生什么？

它的速度应该增加 \(9\ \text{m s}^{-1}\)。从 \(12\ \text{m s}^{-1}\) 开始，就会得到 \(21\ \text{m s}^{-1}\)。

这就是 \(v = u + at\) 所做的全部事情。这个方程从一个初速度开始，再加上恒定加速度所产生的速度变化。

01从速度变化开始

加速度告诉你速度变化得有多快。

如果一个物体的加速度是 \(2\ \text{m s}^{-2}\)，那么它的速度每秒变化 \(2\ \text{m s}^{-1}\)。

所以，如果它从 \(5\ \text{m s}^{-1}\) 开始：

规律是：

\[
\text{新速度} = \text{初始速度} + \text{速度变化量}
\]

对于恒定加速度，速度变化量为：

\[
\Delta v = at
\]

其中：

• \(\Delta v\) 是速度变化量，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) 是恒定加速度，单位为 \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) 是经过的时间，单位为秒

如果初速度是 \(u\)，末速度是 \(v\)，那么：

\[
v = u + at
\]

这里：

• \(u\) 是初速度，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(v\) 是末速度，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) 是恒定加速度，单位为 \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) 是经过的时间，单位为秒

这些字母本身没有方程的结构重要：

\[
\boxed{\text{末速度} = \text{初速度} + \text{速度变化量}}
\]

02为什么 \(at\) 表示速度变化量？

单位可以告诉你答案。

加速度的单位是 \(\text{m s}^{-2}\)。乘以时间后得到：

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

所以 \(at\) 的单位就是速度单位。

例如，一个 \(4\ \text{m s}^{-2}\) 的加速度作用 \(2.5\ \text{s}\)，会产生：

\[
\Delta v = at = (4)(2.5) = 10\ \text{m s}^{-1}
\]

这并不表示末速度自动就是 \(10\ \text{m s}^{-1}\)。它表示速度变化了 \(10\ \text{m s}^{-1}\)。

如果物体的初速度是 \(6\ \text{m s}^{-1}\)，那么末速度就是 \(16\ \text{m s}^{-1}\)。

如果它的初速度是 \(-8\ \text{m s}^{-1}\)，那么末速度就是 \(2\ \text{m s}^{-1}\)。

区分速度本身和速度变化量，是学生最容易弄不清这个方程含义的地方之一。

03这个方程从哪里来

一个时间间隔内的平均加速度定义为：

\[
a = \frac{v-u}{t}
\]

如果加速度恒定，那么在整个时间间隔内，\(a\) 都保持同一个值。

两边同时乘以 \(t\)：

\[
at = v-u
\]

然后两边同时加上 \(u\)：

\[
v = u+at
\]

所以，\(v=u+at\) 并不是一条需要脱离含义单独死记的规则。它只是把恒定加速度的定义重新整理得到的形式。

这也告诉了你它的限制：只有当你所考虑的时间间隔内加速度恒定时，才能直接使用它。

如果加速度随时间变化，简单的乘积 \(at\) 就不一定等于速度变化量。在这种情况下，你需要考虑加速度-时间图像下方的面积。tutorgum 的加速度-时间图像指南对此有更深入的讲解。

04最重要的设定：选择正方向

假设一名骑自行车的人正向东行驶并逐渐减速。

一个常见错误是说：

“他在减速，所以他的速度一定是负的。”

不一定。

速度的正负号告诉你的是方向。它并不能告诉你物体是在加速还是减速。

在开始计算之前，你要先选择哪个方向为正方向。

例如，选择向东为正方向。那么向东行驶的骑车者速度为正。如果骑车者仍向东运动但正在减速，加速度就指向西，因此加速度为负。

你可能有：

\[
u = +14\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

经过 \(3.0\ \text{s}\) 后：

\[
v = 14 + (-2.0)(3.0) = 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

末速度为正，说明骑车者仍然向东运动。速度大小变小，说明骑车者已经减速。

如果你还不熟悉带正负号的速度，最好先弄清速率和速度之间的区别。参见速率与速度：HSC 物理清晰讲解。

05一套可靠的解题步骤

当你遇到涉及初速度、末速度、加速度和时间的恒加速度问题时，可以按照以下顺序进行。

1. 选择一个正方向。
2. 写出已知量，并标明正负号和单位。
3. 确定未知量。
4. 使用 \(v=u+at\)，如有需要先将其变形。
5. 先整理好方程，再代入数值。
6. 从物理意义上解释答案的正负号。

最后一步并不是多余的。在速度问题中，正负号可以告诉你物体是否已经改变了运动方向。

06负加速度并不总是意味着减速

想象两个人在走廊里迎面走向对方。你规定向右为正方向。

其中一个人向右走，所以他的速度为正。另一个人向左走，所以他的速度为负。仅从这些正负号，你无法判断谁正在加速。

加速度也是同样的道理。

当物体的加速度与速度指向同一方向时，物体的速率增大。

当加速度与速度指向相反方向时，物体的速率减小。

所以，以下四种组合都可能出现：

第三行常常让人觉得不太直观。如果速度和加速度都为负，物体就在负方向上运动，同时还沿着同一个负方向加速。它的速度可能从 \(-3\ \text{m s}^{-1}\) 变为 \(-7\ \text{m s}^{-1}\)。这个数值变得“更负”了，但速率却从 \(3\ \text{m s}^{-1}\) 增加到了 \(7\ \text{m s}^{-1}\)。

负号表示的是方向，不是什么“不好的感觉”。

07变形 \(v=u+at\)

题目不一定总是要求你求 \(v\)。

只要知道其中三个量，同一个方程就可以求四个量中的任意一个。

从：

\[
v=u+at
\]

可以得到：

\[
u=v-at
\]

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

以及：

\[
t=\frac{v-u}{a}
\]

不要试图记住四个独立的方程。只要从 \(v=u+at\) 开始，再根据需要进行代数变形即可。

最后一种形式中还隐藏着一个很有用的物理检验：

\[
t=\frac{\text{速度变化量}}{\text{每秒的速度变化量}}
\]

这正符合我们对时间含义的直观理解。

08“静止下来”中隐藏的陷阱

假设题目说一个物体“静止下来”。

这说明：

\[
v=0
\]

但这并不自动意味着：

\[
a=0
\]

一个物体可以在某一瞬间速度为零，同时仍然具有加速度。

竖直向上抛出的球就是经典例子。在运动到最高点时，它的竖直速度瞬间为零，但重力加速度仍然指向下方。

同样，在前面的例子中，小车在 \(2.5\ \text{s}\) 后有 \(v=0\)，但它的加速度仍然是 \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\)。

速度描述的是某一瞬间物体如何运动。加速度描述的是该瞬间速度如何变化。它们是不同的物理量。

09什么时候不应该使用 \(v=u+at\)

这个方程假设加速度恒定。

考虑一辆汽车，它的加速度为：

• 第 1 秒内为 \(1\ \text{m s}^{-2}\)，
• 第 2 秒内为 \(4\ \text{m s}^{-2}\)，
• 第 3 秒内为 \(0\ \text{m s}^{-2}\)。

不存在一个单一的恒定 \(a\) 值可以描述完整的三秒时间间隔。

因此，如果从这些加速度中任选一个，然后对整个时间间隔写：

\[
v=u+at
\]

那就是错误的。

那么，能不能在每一个加速度恒定的时间段内分别使用这个方程？可以。你可以逐段计算速度变化量。

另一种方法是利用加速度-时间图像下方的面积求总速度变化量。

这揭示了 \(v=u+at\) 更深一层的含义。在加速度恒定的加速度-时间图像上，图线是一条水平线。它下方的面积是一个矩形：

\[
\text{面积}=a\times t
\]

而这个面积就是：

\[
\Delta v=at
\]

所以，这个方程其实是一个关于累积量的更广泛概念的特殊情况。

10问题与解答

问题 1

一名滑板运动者以 \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) 向东运动。她以 \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) 的恒定加速度向东加速 \(6.0\ \text{s}\)。求她的末速度。

解答 1

滑板运动者的末速度为 \(\boxed{13\ \text{m s}^{-1}\text{，向东}}\)。

选择向东为正方向：

\[
u=+4.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=+1.5\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=6.0\ \text{s}
\]

使用：

\[
v=u+at
\]

得到：

\[
v=4.0+(1.5)(6.0)
=4.0+9.0
=13\ \text{m s}^{-1}
\]

正号意味着滑板运动者向东运动。在这六秒内，她的速度增加了 \(9.0\ \text{m s}^{-1}\)。

问题 2

一个机器人沿直线轨道以 \(11\ \text{m s}^{-1}\) 向右运动。它受到一个大小为 \(2.5\ \text{m s}^{-2}\)、方向向左的恒定加速度。

机器人需要多长时间才会瞬间静止？

解答 2

机器人在 \(\boxed{4.4\ \text{s}}\) 后静止。

选择向右为正方向。那么：

\[
u=+11\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.5\ \text{m s}^{-2}
\]

“静止下来”意味着在那一瞬间，末速度为：

\[
v=0
\]

使用：

\[
v=u+at
\]

得到：

\[
0=11+(-2.5)t
\]

\[
2.5t=11
\]

\[
t=\frac{11}{2.5}=4.4\ \text{s}
\]

关键在于，机器人停止时，它的加速度并不是零。它的速度只是在某一瞬间为零，但向左的加速度仍然存在，因此如果该加速度继续作用，机器人随后会开始向左运动。

问题 3

一个物体的初速度为 \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\)，恒定加速度为 \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)。

一名学生说：“负加速度意味着物体一定在减速。”

求该物体经过 \(2.0\ \text{s}\) 后的速度，并判断这名学生的说法是否正确。

解答 3

末速度为 \(\boxed{-13\ \text{m s}^{-1}}\)，这名学生的说法不正确，因为物体实际上正在加速。

使用：

\[
v=u+at
\]

得到：

\[
v=-7.0+(-3.0)(2.0)
\]

\[
v=-7.0-6.0=-13\ \text{m s}^{-1}
\]

初始速率为 \(7.0\ \text{m s}^{-1}\)。末速率为 \(13\ \text{m s}^{-1}\)。

速度和加速度都为负，因此它们指向同一个方向。所以，加速度增大了速度的大小。

一个很容易产生的误解，是把负加速度直接理解成“减速”。负号只表示相对于所选坐标系的方向。

问题 4

一辆小车以 \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) 向右运动。一个恒定加速度向左作用。经过 \(3.0\ \text{s}\) 后，小车以 \(1.0\ \text{m s}^{-1}\) 向左运动。

求小车的加速度。然后确定在这 \(3.0\ \text{s}\) 内，小车在什么时候改变了运动方向。

解答 4

小车的加速度为 \(\boxed{-3.0\ \text{m s}^{-2}}\)，并且它大约在 \(\boxed{2.7\ \text{s}}\) 后改变方向。

选择向右为正方向：

\[
u=+8.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad v=-1.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad t=3.0\ \text{s}
\]

先求加速度：

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

\[
a=\frac{-1.0-8.0}{3.0}
=\frac{-9.0}{3.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

负号表示加速度指向左。

为了求小车何时改变方向，要注意它必须先经过速度为零的状态。令 \(v=0\)：

\[
0=8.0+(-3.0)t
\]

\[
3.0t=8.0
\]

\[
t=\frac{8.0}{3.0}=2.67\ \text{s}
\]

所以，小车大约在：

\[
\boxed{2.7\ \text{s}}
\]

时瞬间静止。

随后，它在剩余的 \(0.33\ \text{s}\) 内向左运动。

这里隐藏的关键点是：末速度为负所告诉你的，不仅仅是“物体减速了”。只要速度是连续变化的，它就证明物体曾经过 \(v=0\)，并改变了运动方向。

问题 5

两辆完全相同的小车都以相同的初速度 \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) 向右运动。

小车 A 在 \(4.0\ \text{s}\) 内具有恒定加速度 \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\)。

小车 B 在前 \(2.0\ \text{s}\) 内的加速度为 \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\)，随后 \(2.0\ \text{s}\) 内的加速度为 \(-1.0\ \text{m s}^{-2}\)。

一名学生对两辆小车都使用 \(v=u+at\)，并令 \(t=4.0\ \text{s}\)。解释为什么这种方法可以直接用于小车 A，却不能直接用于小车 B。然后计算两辆小车的末速度。

解答 5

小车 A 的末速度为 \(\boxed{14\ \text{m s}^{-1}}\)，而小车 B 的末速度为 \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\)。对于小车 A，可以直接使用一次 \(v=u+at\)，因为在完整的 \(4.0\ \text{s}\) 内它的加速度保持恒定；但小车 B 的加速度发生了变化。

对于小车 A：

\[
u=6.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=2.0\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=4.0\ \text{s}
\]

因此：

\[
v=u+at
\]

\[
v=6.0+(2.0)(4.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

对于小车 B，需要分别计算每一个加速度恒定的时间段。

在前 \(2.0\ \text{s}\) 内：

\[
v_1=6.0+(4.0)(2.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

这个速度随后成为第二个时间段的初速度。

在接下来的 \(2.0\ \text{s}\) 内：

\[
v_2=14+(-1.0)(2.0)
=12\ \text{m s}^{-1}
\]

因此：

\[
\boxed{v_A=14\ \text{m s}^{-1}}, \qquad
\boxed{v_B=12\ \text{m s}^{-1}}
\]

这里的陷阱，是只要方程中出现符号 \(a\)，就把加速度当成一个始终不变的固定数值。方程 \(v=u+at\) 假设所选的 \(a\) 在整个时间间隔内都保持恒定。

对于小车 B，两个加速度阶段产生的速度变化量分别为：

\[
\Delta v_1=(4.0)(2.0)=8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

以及：

\[
\Delta v_2=(-1.0)(2.0)=-2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

因此，总速度变化量为：

\[
\Delta v=8.0-2.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

同样的推理会自然地引出加速度-时间图像：在这种图像中，速度变化量由图像下方的总有向面积求得，而不是通过单个矩形 \(at\) 来求。