功-能定理：为什么合功会改变动能

汽车发动机做了 \(500\text{ J}\) 的功，而空气阻力和摩擦力做了 \(-200\text{ J}\) 的功。汽车的动能增加了多少？

你可能会很自然地回答 500 J，因为这是发动机提供的功。但汽车的动能实际上只增加了 300 J。发动机所做的一部分功被阻力所抵消。

这正是功-能定理要解决的问题。我们不必逐秒追踪加速度，而可以直接把所有力所做的总功与物体速度的变化联系起来。

01从合功的概念开始

想象你向前推一辆手推车，同时另一个人向后拉它。

你的力把能量传递给手推车。反方向的力则从手推车的运动中转移能量。对于手推车的动能来说，关键并不是其中任何一个力单独的作用，而是它们共同产生的效果。

这就是合功：

\[
W_{\text{净}} = W_1 + W_2 + W_3 + \cdots
\]

其中，\(W_{\text{净}}\) 是作用在物体上的合功，单位为焦耳（J）。

你可以把动能想象成物体的“运动账户”。正功相当于存入能量，负功相当于取出能量，零功则让账户余额保持不变。

这个类比很有用，但也有局限。动能并不是储存在物体内部的一种实际物质。它是由物体的质量和速度决定的物理量。

物体的动能为

\[
K = \frac{1}{2}mv^2
\]

其中：

• \(K\) 是动能，单位为焦耳（J）
• \(m\) 是质量，单位为千克（kg）
• \(v\) 是速率，单位为米每秒（\(\text{m s}^{-1}\)）

功-能定理指出

\[
W_{\text{净}} = \Delta K
\]

或者更完整地写成

\[
W_{\text{净}} = K_f-K_i
\]

其中，\(K_i\) 是初动能，\(K_f\) 是末动能。

因此：

• 合功为正，意味着动能增加
• 合功为负，意味着动能减小
• 合功为零，意味着动能保持不变

注意，这一定理指的是合功，而不是某一个选定的力所做的功。

02为什么合功等于动能的变化量？

如果不把它和牛顿第二定律联系起来，这个结果可能显得方便得有些可疑。

考虑一个质量为 \(m\) 的物体沿直线运动。假设合力恒定，并且方向与位移相同。

对于恒力，

\[
W_{\text{净}} = F_{\text{净}}s
\]

其中，\(s\) 是位移。

根据牛顿第二定律，

\[
F_{\text{净}} = ma
\]

所以

\[
W_{\text{净}} = mas
\]

现在回忆运动学公式

\[
v^2=u^2+2as
\]

其中，\(u\) 是初速率，\(v\) 是末速率。

整理得

\[
as=\frac{v^2-u^2}{2}
\]

把它代入 \(W_{\text{净}}=mas\)：

\[
\begin{aligned}
W_{\text{净}}
&=m\left(\frac{v^2-u^2}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mu^2
\end{aligned}
\]

而 \(\frac{1}{2}mv^2\) 是末动能，\(\frac{1}{2}mu^2\) 是初动能。因此，

\[
\boxed{W_{\text{净}}=\Delta K}
\]

所以，功-能定理并不是一条碰巧有效的独立规则。它与牛顿第二定律和运动方程来自同一套物理原理。

上面的推导假设物体在一维情况下受到恒定合力。不过，功-能定理本身更加一般。即使力在运动过程中发生变化，只要正确计算合功，这一定理仍然成立。

03功可以为正、为负或为零

对于恒力，该力所做的功为

\[
W=Fs\cos\theta
\]

其中：

• \(F\) 是力的大小，单位为牛顿（N）
• \(s\) 是位移的大小，单位为米（m）
• \(\theta\) 是力与位移之间的夹角

功的正负非常重要。

最后一行经常导致一个常见错误。

假设一颗卫星沿圆形轨道运行。引力持续指向地球，因此显然存在合力。那么，这是否自动意味着引力正在做功？

不是。在圆形轨道中，瞬时位移沿切线方向，而引力沿半径方向。两个方向互相垂直，因此在该瞬间，引力做功为零。

所以，即使卫星受到非零合力，它的动能仍然可以保持不变。

合功为零并不意味着合力为零。

04各个力所做的功与合功

假设一个 \(20\text{ N}\) 的外力把箱子向前推 \(5\text{ m}\)，同时摩擦力以 \(8\text{ N}\) 的大小向后作用。

推力做功为

\[
W_{\text{推力}}=(20)(5)=100\text{ J}
\]

摩擦力做功为

\[
W_{\text{摩擦}}=(-8)(5)=-40\text{ J}
\]

因此，合功为

\[
W_{\text{净}}=100-40=60\text{ J}
\]

所以，

\[
\Delta K=60\text{ J}
\]

箱子的动能增加了 60 J，而不是 100 J。

在涉及发动机、摩擦力、空气阻力、重力，或者多个力同时作用的问题中，这一区别尤其重要。

05在这一定理中，重力只是另一个力

使用功-能定理时，不需要对重力进行特殊处理。如果重力做功，就把重力所做的功计入合功。

对于沿斜面向下运动的物体，其重力沿斜面的分量为

\[
F_{\parallel}=mg\sin\theta
\]

其中，\(g\) 是重力场强度，\(\theta\) 是斜面与水平方向的夹角。

如果物体沿斜面向下运动，重力的这个分量与位移方向相同，因此重力做正功。

如果物体沿斜面向上运动，重力做负功。

06最容易出现的误解：混用两种能量方法

许多力学问题都可以用两种密切相关的方法来解决。

其中一种是功-能定理：

\[
W_{\text{净}}=\Delta K
\]

在这种方法中，要计入每一个力所做的功，包括重力。

另一种方法使用重力势能：

\[
U_g=mgh
\]

在这种方法中，通常通过重力势能的变化来考虑重力，而不是通过 \(W_g\) 来计算重力做功。

两种方法都是正确的。问题出现在你把重力重复计算两次时。

例如，假设物体下落时受到空气阻力。你可以写出合功方程

\[
W_g+W_{\text{空气}}=\Delta K
\]

或者，你可以使用机械能方法，写成

\[
W_{\text{空气}}=\Delta K+\Delta U_g
\]

这两个方程描述的是相同的能量变化。

但是，如果在同一个能量核算方程中既写入重力做功，又写入重力势能的变化，却没有相应调整所用的方法，就相当于把重力计算了两次。

一个实用的判断规则是：

• 使用 \(W_{\text{净}}=\Delta K\) 时：计入重力做功
• 使用 \(K+U_g\) 的变化时：通过 \(U_g\) 表示重力的作用，而不要再次加入 \(W_g\)

07为什么重要的是位移，而不是时间

假设相同的恒定合力分别作用在两个完全相同的物体上。

物体 A 受力时间很长，但几乎没有移动。物体 B 受力时间较短，但移动得远得多。

哪一个物体一定受到更多的功？

仅凭时间无法判断。功取决于力和位移：

\[
W=Fs\cos\theta
\]

因此，功-能定理把力通过一段位移所产生的作用与动能的变化联系起来。

这与冲量不同。冲量把力在一段时间内的作用与动量的变化联系起来：

\[
J=\Delta p
\]

这个区别之后会很有用。功-能方法和冲量-动量方法可以描述同一个运动过程，但它们适合回答不同类型的问题。

08解决 HSC 题目的可靠方法

当一道功-能问题中包含多个力时，可以按以下顺序处理：

1. 确定初始状态和最终状态。
2. 确定这两个状态之间的位移。
3. 列出在这段位移过程中作用的所有力。
4. 判断每个力做正功、负功还是零功。
5. 计算每个相关力所做的功。
6. 将它们相加，得到 \(W_{\text{净}}\)。
7. 使用 \(W_{\text{净}}=K_f-K_i\)。
8. 检查 \(\Delta K\) 的正负是否与实际运动情况一致。

最后这一步能发现数量惊人的错误。如果你的计算结果表明合功为正，却又声称物体的速率减小，那么其中一定存在矛盾。

09问题与解答

问题 1

一个 \(3.0\text{ kg}\) 的手推车以 \(2.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率运动。在接下来的一段轨道上，作用于它的合功为 \(24\text{ J}\)。求它的末速率。

解答 1

末速率约为 \(\boxed{4.5\text{ m s}^{-1}}\)。

合功等于动能的变化量：

\[
W_{\text{净}}=K_f-K_i
\]

先计算初动能：

\[
K_i=\frac{1}{2}(3.0)(2.0)^2=6.0\text{ J}
\]

合功为正，因此动能增加 \(24\text{ J}\)：

\[
K_f=6.0+24=30\text{ J}
\]

现在使用 \(K_f=\frac{1}{2}mv^2\)：

\[
\begin{aligned}
30&=\frac{1}{2}(3.0)v^2\\
30&=1.5v^2\\
v^2&=20\\
v&\approx4.47\text{ m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

所以

\[
\boxed{v\approx4.5\text{ m s}^{-1}}
\]

正的合功使手推车的动能从 6 J 增加到 30 J。

问题 2

一辆 \(1200\text{ kg}\) 的汽车从 \(10\text{ m s}^{-1}\) 加速到 \(15\text{ m s}^{-1}\)。在这一过程中，空气阻力和滚动阻力对汽车所做的总功为 \(-45\text{ kJ}\)。路面对汽车的驱动力做了多少功？

解答 2

驱动力做了 \(\boxed{120\text{ kJ}}\) 的功。

先求动能的变化量：

\[
\begin{aligned}
\Delta K
&=\frac{1}{2}m(v^2-u^2)\\
&=\frac{1}{2}(1200)(15^2-10^2)\\
&=600(225-100)\\
&=75\,000\text{ J}\\
&=75\text{ kJ}
\end{aligned}
\]

根据功-能定理，合功必须为 \(75\text{ kJ}\)：

\[
W_{\text{净}}=75\text{ kJ}
\]

设 \(W_D\) 为驱动力所做的功。则

\[
\begin{aligned}
W_D+W_{\text{阻力}}&=W_{\text{净}}\\
W_D-45&=75\\
W_D&=120\text{ kJ}
\end{aligned}
\]

一个很容易犯的错误是认为，因为动能增加了 \(75\text{ kJ}\)，所以驱动力做功也是 \(75\text{ kJ}\)。这种说法忽略了阻力所做的 \(-45\text{ kJ}\) 负功。

问题 3

一艘航天器以恒定速率沿圆形轨道绕一颗行星运动。引力是作用在它上面的唯一显著力。

一名学生认为：“它的动能保持不变，所以航天器所受合力一定为零。”

利用功-能定理解释这个说法错在哪里。

解答 3

虽然合功和动能的变化量都为零，但合力并不为零。

引力提供指向圆形轨道中心的向心力。航天器的瞬时位移沿轨道的切线方向。

因此，力与位移互相垂直：

\[
W=Fs\cos90^\circ=0
\]

所以

\[
W_{\text{净}}=0
\]

根据功-能定理，

\[
\Delta K=0
\]

因此，航天器的速率保持不变。

这名学生的错误在于假设非零合力一定会改变动能。力可以改变速度的方向，而不改变速度的大小。当合力与运动方向垂直时，它可以产生加速度，同时做功为零。

问题 4

一个 \(10\text{ kg}\) 的木箱沿直线地面运动，初速率为 \(3.0\text{ m s}^{-1}\)。一个恒定的 \(50\text{ N}\) 向前的力在 \(4.0\text{ m}\) 的位移内持续作用。

在前 \(2.0\text{ m}\) 中，摩擦力为 \(20\text{ N}\)。在接下来的 \(2.0\text{ m}\) 中，摩擦力为 \(60\text{ N}\)。

求：

a) 经过前 \(2.0\text{ m}\) 后的速率

b) 经过完整 \(4.0\text{ m}\) 后的速率

c) 木箱的最大速率是否出现在 \(4.0\text{ m}\) 的终点

解答 4

木箱经过前 \(2.0\text{ m}\) 后的速率约为 \(\boxed{4.6\text{ m s}^{-1}}\)，到达终点时约为 \(\boxed{4.1\text{ m s}^{-1}}\)，并且它的最大速率出现在 \(2.0\text{ m}\) 处，而不是终点。

初动能为

\[
K_i=\frac{1}{2}(10)(3.0)^2=45\text{ J}
\]

在前 \(2.0\text{ m}\) 中，向前的力所做的功为

\[
W_F=(50)(2.0)=100\text{ J}
\]

摩擦力做功为

\[
W_f=(-20)(2.0)=-40\text{ J}
\]

因此，这一段的合功为

\[
W_{\text{净,1}}=100-40=60\text{ J}
\]

所以，

\[
K_1=45+60=105\text{ J}
\]

并且

\[
\begin{aligned}
105&=\frac{1}{2}(10)v_1^2\\
v_1^2&=21\\
v_1&\approx4.58\text{ m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

因此

\[
\boxed{v_1\approx4.6\text{ m s}^{-1}}
\]

在第二个 \(2.0\text{ m}\) 中，外力仍然做 \(100\text{ J}\) 的功，但摩擦力现在做功为

\[
W_f=(-60)(2.0)=-120\text{ J}
\]

因此，第二段的合功为

\[
W_{\text{净,2}}=100-120=-20\text{ J}
\]

动能从 \(105\text{ J}\) 减小到

\[
K_f=105-20=85\text{ J}
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
85&=\frac{1}{2}(10)v_f^2\\
v_f^2&=17\\
v_f&\approx4.12\text{ m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

所以末速率为

\[
\boxed{v_f\approx4.1\text{ m s}^{-1}}
\]

关键推理在于，运动进行到一半时，合功的正负发生了变化。在第一段中，合功为正，木箱加速。在第二段中，合功为负，木箱减速。

如果只看总位移，就会忽略这种变化。由于整个 \(4.0\text{ m}\) 内的总合功仍为正，所以末速率仍然大于初速率，但最大速率其实更早出现。

问题 5

一个 \(2.0\text{ kg}\) 的物块以 \(10\text{ m s}^{-1}\) 的速率沿粗糙斜面向上滑动。它沿斜面向上移动 \(6.0\text{ m}\)，瞬间停止，然后滑回起点。整个运动过程中，摩擦力的大小恒为 \(3.0\text{ N}\)。

当物块返回起始高度时：

a) 在完整往返过程中，重力所做的总功是多少？

b) 摩擦力所做的总功是多少？

c) 物块返回时的速率是多少？

一名学生认为，因为物块回到了原来的高度，所以它返回时一定具有原来的速率。解释这一推理的问题所在。

解答 5

在往返过程中，重力所做的合功为 \(\boxed{0\text{ J}}\)，摩擦力做功为 \(\boxed{-36\text{ J}}\)，物块返回时的速率为 \(\boxed{8.0\text{ m s}^{-1}}\)。

对于 a)，物块向上运动时，重力做负功；向下返回时，重力做正功。由于物块最终回到起始高度，这两部分重力功互相抵消：

\[
\boxed{W_g=0\text{ J}}
\]

对于 b)，摩擦力始终与运动方向相反。

物块向上移动 \(6.0\text{ m}\)，再向下移动 \(6.0\text{ m}\)，所以总路程为 \(12.0\text{ m}\)。

因此，

\[
\begin{aligned}
W_f&=-fs\\
&=-(3.0)(12.0)\\
&=-36\text{ J}
\end{aligned}
\]

所以

\[
\boxed{W_f=-36\text{ J}}
\]

支持力与运动方向垂直，因此做功为零。所以总合功为

\[
W_{\text{净}}=-36\text{ J}
\]

初动能为

\[
K_i=\frac{1}{2}(2.0)(10)^2=100\text{ J}
\]

使用功-能定理，

\[
\begin{aligned}
W_{\text{净}}&=K_f-K_i\\
-36&=K_f-100\\
K_f&=64\text{ J}
\end{aligned}
\]

现在求返回时的速率：

\[
\begin{aligned}
64&=\frac{1}{2}(2.0)v^2\\
v^2&=64\\
v&=8.0\text{ m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

因此，

\[
\boxed{v=8.0\text{ m s}^{-1}}
\]

只有在没有任何过程使机械能减少时，这名学生的推理才是正确的。回到相同高度意味着重力势能与初始时相同，但摩擦力在整个运动过程中一直做负功。因此，物块返回时的动能小于初始动能。

这个问题还体现了位移和路程之间的一个重要区别。重力所做的总功只取决于高度的变化，因此在这次闭合往返过程中为零。摩擦力在两个运动阶段都与运动方向相反，所以它所做的负功取决于完整的 \(12.0\text{ m}\) 路程。

10这一定理能帮助你进一步理解什么

功-能定理在力和能量之间建立了一座桥梁：

\[
\boxed{\text{各力所做的合功}=\text{动能的变化量}}
\]

当直接追踪加速度比较困难，而某个位移过程中所做的功却很容易计算时，这种联系尤其有用。

下一步是把这一定理与机械能联系起来。引入重力势能和弹性势能后，许多问题都可以围绕

\[
K+U
\]

来重新组织，而不必逐个计算保守力所做的功。物理规律并没有改变。你只是选择了另一种通常更快捷的方式来记录同一笔能量账。