全内反射：条件与临界角
学习发生全内反射所需的两个条件、如何计算临界角，以及如何在 HSC 物理题目中运用这两个概念。
玻璃内的一束光射到玻璃与空气的交界面。有时它会射入空气。有时它会刚好沿著交界面传播。再把角度增大一点，突然之间，光完全不再射出。
有甚么改变了？玻璃没有改变。空气也没有改变。唯一改变的是光线的方向。
继续阅读之前，先作一个预测：如果光沿相反方向传播，也就是从空气进入玻璃，会不会出现同样的现象？
不会。光沿这个方向传播时，不可能发生全内反射。明白其中原因，是处理几乎所有 HSC 全内反射题目的最清晰方法。
01全内反射要解释甚么
当光到达两种透明材料之间的交界面时，通常会分成两部分。一部分光会反射，另一部分则会折射进入第二种材料。
假设光正从玻璃进入空气。
玻璃的折射率比空气高。当光线进入折射率较低的材料时，它会偏离法线折射。
现在想像逐渐增大入射角。
折射光线会愈来愈偏离法线。最终，它会到达一个极限情况：折射光线刚好沿著交界面传播。
再增大角度后，折射光线已经没有更远的方向可以偏折。光会留在原本的材料内，并反射回去。
这就是全内反射，英文简称 TIR。
02全内反射的两个条件
有两个条件，而且两个都必须符合。
| 条件 | 意思 |
|---|---|
| 方向条件 | 光必须由折射率较高的材料射向折射率较低的材料。 |
| 角度条件 | 入射角必须大于临界角。 |
以符号表示，如果光由材料 1 传到材料 2：
\[ n_1 > n_2 \]
以及
\[ \theta_i > \theta_c \]
其中，\(n_1\) 是入射光线所在材料的折射率，\(n_2\) 是第二种材料的折射率，\(\theta_i\) 是入射角，而 \(\theta_c\) 是临界角。
一个实用的判断方法是：
- 先检查方向。
- 再检查角度。
这个次序很重要。如果光由折射率较低的材料射向折射率较高的材料，那么无论入射角是多少，都不可能发生 TIR。此时根本没有必要计算临界角。
03为甚么方向很重要
想像一束光从空气射入玻璃。
空气的 \(n \approx 1.00\)，而普通玻璃的 \(n\) 可能约为 \(1.50\)。光线进入玻璃时会向法线偏折。
增大入射角并不会使折射光线逐渐靠近表面。折射光线仍然位于法线靠玻璃的一侧。
现在把传播方向反过来。
当光由玻璃射入空气时，它会偏离法线折射。随著入射角增加，折射角增加得更快。最终，折射角会达到 \(90^\circ\)。
这个极限情况就产生了临界角。
一个常见的简化说法是，光必须由「光学较密」的材料射向「光学较疏」的材料。如果这里的光学密度是指折射率，这个说法是可以接受的。它并不表示该材料的质量密度一定较大。
04临界角
临界角是令折射角刚好等于 \(90^\circ\) 的入射角。
要特别留意这个定义。临界角是一个入射角，所以它是由法线量起。
在临界角时：
\[ \theta_i = \theta_c \]
而且
\[ \theta_r = 90^\circ \]
因此，折射光线会沿著交界面传播。
这时候还未发生全内反射。
只有当：
\[ \theta_i > \theta_c \]
才会发生 TIR。
这个严格的不等式很容易令人失分。
推导临界角
斯涅尔定律是
\[ n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \]
其中 \(n_1\) 和 \(n_2\) 是两种材料的折射率，而 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\) 是相应由法线量起的角度。
在临界角时，折射角为 \(90^\circ\)。因此：
\[ n_1\sin\theta_c = n_2\sin90^\circ \]
由于 \(\sin90^\circ = 1\)：
\[ n_1\sin\theta_c = n_2 \]
所以
\[ \sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} \]
因此：
\[ \theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) \]
只有当 \(n_1 > n_2\) 时，这条公式才会给出一个实际存在的临界角。
为甚么？如果 \(n_2 > n_1\)，那么 \(n_2/n_1\) 就会大于 1。但实数角的正弦值不可能大于 1。
数学正在告诉你与物理相同的事情：当光由较低折射率射向较高折射率时，并不存在临界角。
例题：光会从玻璃射出去吗？
光在折射率为 \(1.50\) 的玻璃中传播，并射向折射率为 \(1.00\) 的空气。它以 \(50.0^\circ\) 的入射角射到玻璃与空气的交界面。判断是否会发生全内反射。
步骤 1
光线由玻璃 \(n_1 = 1.50\) 射向空气 \(n_2 = 1.00\)。
由于
\[ 1.50 > 1.00 \]
所以符合方向条件。
步骤 2
\[ \theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{1.00}{1.50}\right) = 41.8^\circ \]
步骤 3
\[ 50.0^\circ > 41.8^\circ \]
因此，会发生全内反射。
光不会在空气中形成透射的折射光线，而是反射回玻璃内。
05角度由法线量起，而不是由表面量起
想像一束看起来几乎贴著交界面掠过的光线。学生可能会称它为「小角度」，因为光线与表面之间只有一个很小的夹角。
在折射题目中，这并不是正确的角度。
入射角、反射角和折射角都是由法线量起，而法线与表面垂直。
所以，如果一束光线与表面形成 \(20^\circ\)，那么它与法线形成：
\[ 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ \]
这个 \(70^\circ\) 才是入射角。
这一点很重要，因为由法线量起的角度愈大，愈有利于发生 TIR。
一个有点傻气的想像方法，是把光线想成正试图离开一个派对。几乎正面朝著门走，就像入射角很小。几乎横向掠过门口，就像入射角很大。当角度大到某个程度时，我们的光线就会被拒诸门外，只能留在里面。
这个比喻的局限在于，光并不是在交界面上「作决定」。它的行为遵循折射和反射所描述的波动条件。
例题：角度由表面量起
一束光在折射率为 \(1.60\) 的材料内传播，并射向空气。光线与表面形成 \(35.0^\circ\) 的夹角。判断是否会发生全内反射。
步骤 1
法线与表面成 \(90^\circ\)，所以：
\[ \theta_i = 90.0^\circ - 35.0^\circ = 55.0^\circ \]
步骤 2
光线由 \(n_1 = 1.60\) 射向 \(n_2 = 1.00\)。
由于 \(1.60 > 1.00\)，所以有可能发生 TIR。
步骤 3
\[ \theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{1.00}{1.60}\right) = 38.7^\circ \]
步骤 4
\[ 55.0^\circ > 38.7^\circ \]
因此，会发生全内反射。
关键并不在计算机上的运算，而在于留意到 \(35.0^\circ\) 是由表面量起，而不是由法线量起。
06低于、等于和高于临界角时会发生甚么？
对于沿正确方向传播，也就是由较高 \(n\) 射向较低 \(n\) 的光，有三种实用情况。
| 入射角 | 现象 |
|---|---|
| \(\theta_i < \theta_c\) | 折射光线进入第二种材料。 |
| \(\theta_i = \theta_c\) | 折射光线与法线成 \(90^\circ\)，沿著交界面传播。 |
| \(\theta_i > \theta_c\) | 发生全内反射。 |
假设临界角是 \(42^\circ\)。
在 \(40^\circ\) 时，不会发生 TIR。
在刚好 \(42^\circ\) 时，仍然不会发生 TIR。折射光线会沿著交界面传播。
在 \(43^\circ\) 时，会发生 TIR。
「大于」这个词在这里非常重要。
07一个较微妙的比较：玻璃射入水
学生有时会背熟「玻璃射向空气可以发生全内反射」，却不小心把这个例子当成规则。
其实并不一定要有空气。
考虑光从折射率 \(n = 1.52\) 的玻璃射入折射率 \(n = 1.33\) 的水。
因为：
\[ 1.52 > 1.33 \]
所以符合方向条件。
因此有可能发生 TIR。
临界角为：
\[ \theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{1.33}{1.52}\right) = 61.0^\circ \]
现在比较两束光线。
入射角为 \(58^\circ\) 的光线不会发生全内反射，因为：
\[ 58^\circ < 61.0^\circ \]
入射角为 \(65^\circ\) 的光线会发生全内反射，因为：
\[ 65^\circ > 61.0^\circ \]
关键在于两个折射率之间的关系，而不是其中一种材料是否刚好是空气。
08最容易令人误解的一点
学生看到一个非常大的入射角，便立即写下「TIR」。
这看起来很合理。大角度的确有助于产生 TIR。
但只有角度大并不足够。
假设光从水 \(n = 1.33\) 射入玻璃 \(n = 1.50\)，而入射角为 \(85^\circ\)。
这是一个非常大的入射角，但：
\[ 1.33 < 1.50 \]
光正由较低折射率射向较高折射率。
因此，不可能发生全内反射。
这就是为甚么在拿起计算机之前先检查方向，是一个非常实用的习惯。
09为甚么全内反射很有用
TIR 可以让光即使沿弯曲路径传播，仍然被限制在透明材料内。
这就是光纤背后的基本概念。光纤有一个折射率略高于外围包层的核心。当光线以足够大的入射角射到核心与包层的交界面时，会反复发生全内反射，使光持续被导引在光纤内传播。
两者的折射率可以非常接近。TIR 并不要求两者之间有很大的差异。它要求的是正确的传播方向，以及大于相应临界角的入射角。
这也解释了为甚么改变透明物体外面的材料，可能会改变是否发生 TIR。临界角取决于两个折射率：
\[ \theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) \]
例如，把空气换成水后，\(n_2\) 会增加。临界角亦会增加，因此在相同入射角下，要达到 TIR 会变得更困难。
10问题与解答
问题 1
一束光由折射率为 \(1.33\) 的水射入折射率为 \(1.00\) 的空气。临界角为 \(48.8^\circ\)。光线以相对法线 \(53.0^\circ\) 的角度射到交界面。
会发生全内反射吗？
解答 1
会，会发生全内反射。
因为光由折射率较高的材料–水–射向折射率较低的材料–空气，所以符合方向条件：
\[ 1.33 > 1.00 \]
入射角亦大于临界角：
\[ 53.0^\circ > 48.8^\circ \]
因此两个条件都符合，所以光线会发生全内反射。
陷阱在于只检查角度。只有在方向条件已经符合之后，角度是否足够大才有意义。
问题 2
一个透明物块的折射率为 \(1.70\)。物块内的光到达与空气的交界面。
计算临界角。然后说明当入射角为以下各值时会发生甚么：
a. \(30.0^\circ\)
b. 等于临界角
c. \(40.0^\circ\)
解答 2
临界角为 \(36.0^\circ\)。在 \(30.0^\circ\) 时，光会折射进入空气；在 \(36.0^\circ\) 时，折射光线会沿著交界面传播；在 \(40.0^\circ\) 时，会发生全内反射。
因为光由 \(n_1 = 1.70\) 射向 \(n_2 = 1.00\)，所以符合方向条件。
计算临界角：
\[ \theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{1.00}{1.70}\right) = 36.0^\circ \]
对于 a：
\[ 30.0^\circ < 36.0^\circ \]
所以光线可以折射进入空气。
对于 b：
\[ \theta_i = \theta_c = 36.0^\circ \]
所以折射角为 \(90^\circ\)。折射光线会沿著交界面传播。这是极限情况，而不是 TIR。
对于 c：
\[ 40.0^\circ > 36.0^\circ \]
所以会发生全内反射。
关键区别在于入射角是等于临界角，还是大于临界角。
问题 3
一条光纤的核心折射率为 \(1.480\)，包层折射率为 \(1.460\)。
一束在核心中传播的光，以相对法线 \(82.0^\circ\) 的角度射到核心与包层的交界面。
判断这束光是否会发生全内反射。
解答 3
会，这束光会发生全内反射。
先检查方向：
\[ n_{\text{核心}} = 1.480 > n_{\text{包层}} = 1.460 \]
所以有可能发生 TIR。
临界角为：
\[ \theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{1.460}{1.480}\right) = 80.6^\circ \]
入射角为：
\[ \theta_i = 82.0^\circ \]
因此：
\[ 82.0^\circ > 80.6^\circ \]
所以会发生全内反射。
两个折射率非常接近，因此临界角相当大。这表示只有那些以相对法线足够大的角度射到交界面的光线，才会被限制在光纤内。
问题 4
一个玻璃物块的折射率为 \(1.50\)。它被一种未知的透明液体包围。
在玻璃内传播的光，当入射角为 \(58^\circ\) 时会发生全内反射，但当入射角为 \(52^\circ\) 时则不会发生全内反射。
利用这些资料，求液体折射率 \(n_L\) 的一个可能范围。
解答 4
液体的折射率必须约满足 \(1.18 \leq n_L < 1.27\)。
由于在 \(58^\circ\) 时会发生 TIR，所以临界角必须小于 \(58^\circ\)：
\[ \theta_c < 58^\circ \]
对于玻璃射入液体：
\[ \sin\theta_c = \frac{n_L}{1.50} \]
因此：
\[ \frac{n_L}{1.50} < \sin58^\circ \]
所以：
\[ n_L < 1.50\sin58^\circ \]
\[ n_L < 1.27 \]
现在使用在 \(52^\circ\) 时的观察结果。
在 \(52^\circ\) 时没有发生 TIR，所以临界角必须至少为 \(52^\circ\)：
\[ \theta_c \geq 52^\circ \]
因此：
\[ \frac{n_L}{1.50} \geq \sin52^\circ \]
而：
\[ n_L \geq 1.50\sin52^\circ \]
\[ n_L \geq 1.18 \]
把两个限制合并：
\[ 1.18 \leq n_L < 1.27 \]
不等号是否包含等号很重要。如果临界角刚好是 \(52^\circ\)，那么在刚好 \(52^\circ\) 的入射角下，折射光线会沿著交界面传播，因此仍然不会发生全内反射。然而，在 \(58^\circ\) 时已经观察到 TIR，所以临界角必须严格小于 \(58^\circ\)。
问题 5
一束光在折射率为 \(1.50\) 的玻璃内传播，并以 \(50.0^\circ\) 的入射角射到交界面。
交界面另一侧的材料可以换成不同的透明液体。
求第二种材料在这个入射角下仍然可以发生全内反射时所允许的最大折射率。并解释在刚好等于极限值时会发生甚么。
解答 5
要发生全内反射，第二种材料必须约满足 \(n_2 < 1.15\)。在刚好等于极限值时，折射光线会沿著交界面传播，因此不会发生 TIR。
在极限情况下，入射角等于临界角：
\[ \theta_c = 50.0^\circ \]
使用：
\[ \sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} \]
而 \(n_1 = 1.50\)：
\[ \sin50.0^\circ = \frac{n_2}{1.50} \]
因此：
\[ n_2 = 1.50\sin50.0^\circ \]
\[ n_2 = 1.15 \]
约为此值。
当 \(n_2 = 1.15\) 时，临界角刚好是 \(50.0^\circ\)。因此光线正处于临界条件，折射光线与法线成 \(90^\circ\)，沿著交界面传播。
要发生 TIR，入射角必须大于临界角。当入射角固定为 \(50.0^\circ\) 时，这要求临界角低于 \(50.0^\circ\)，因此：
\[ n_2 < 1.15 \]
这道题把一般的计算方向反过来。你不是利用两个折射率去求角度，而是利用所需的角度，去判断第二种材料所允许的折射率。
11这个概念接下来会带你到哪里
当你能够分别检查方向条件和角度条件后，分析光纤就会容易得多。下一个实用步骤，是把 TIR 与光纤的几何结构连结起来：哪些入射光线进入光纤后，最终会以高于临界角的角度射到核心与包层的交界面，以及哪些光线反而会逸出。