影响 HSC Physics 静电力的变量
了解电荷大小、距离及周围介质如何改变静电力，并透过清晰推理、例题与 HSC 风格练习巩固概念。
两个带微小电荷的小球互相排斥，作用力为 \(0.40\ \text{N}\)。你把其中一个小球的电荷量加倍，把两球之间的距离增加至原来的两倍，并把它们放入绝缘液体中。
作用力会变大还是变小？
你可能会想立即套用库仑定律。但在 HSC Physics 中，更快的方法是先判断各变量的影响。一项改变会使作用力增强，另一项会使它减弱，而介质又可能令它进一步减弱。如果你在使用计算机之前，就能先预测这些改变的方向和大概幅度，那么静电学就会更不容易出错。
01先建立物理图像
想像两个带正电的小球彼此靠近。
每个小球都会因另一个小球而受到排斥力。如果你增加其中任何一个电荷的大小，电力相互作用便会增强。如果你把两球移得更远，相互作用便会减弱。
在精确讨论之前，先预测一下：
如果两个电荷之间的距离加倍，你会预期作用力减半吗？
这听起来很合理。距离变成两倍，作用力变成一半。但静电力随距离减弱得比这更快。当距离加倍时，作用力会减少至四分之一。
这种平方反比关系是本课题中最重要的概念之一。
02计算前要检查的三件事
对两个点电荷而言，静电力的大小主要取决于：
| 改变 | 对作用力大小的影响 |
|---|---|
| 增加任一电荷的大小 | 作用力增大 |
| 同时增加两个电荷的大小 | 作用力按两者的乘积增大 |
| 增加距离 | 作用力按距离的平方而减小 |
| 使用介电率较大的介质 | 作用力减小 |
还有另一个问题，它与作用力的大小是分开考虑的：
- 同号电荷互相排斥
- 异号电荷互相吸引
因此，电荷的正负号决定作用力的方向，而电荷量的大小则有助决定作用力有多大。
03电荷大小：电荷越多，相互作用越强
假设两个物体的电荷大小分别为 \(q_1\) 和 \(q_2\)。
静电力与两者的乘积成正比：
\[ F \propto |q_1q_2| \]
其中：
- \(F\) 是静电力的大小，单位为牛顿（\(\text{N}\)）
- \(q_1\) 和 \(q_2\) 是电荷，单位为库仑（\(\text{C}\)）
绝对值符号提醒我们，这里讨论的是作用力的大小，而作用力大小不可能是负数。
如果其中一个电荷加倍，而其他条件保持不变，
\[ F_{\text{new}} = 2F_{\text{old}} \]
如果两个电荷都加倍，
\[ F_{\text{new}} = 2 \times 2F_{\text{old}} = 4F_{\text{old}} \]
这一点值得特别留意。有些学生听到「把电荷加倍」，便会自动回答「作用力加倍」。但库仑定律中有两个电荷因子。如果两者都改变，两者的影响都必须计算。
例题：两个电荷都变成三倍时会怎样？
两个点电荷互相产生 \(0.60\ \text{N}\) 的静电力。它们之间的距离和周围介质保持不变。每个电荷的大小都变成原来的三倍。求新的作用力。
步骤 1
\(q_1\) 和 \(q_2\) 都乘以 3。距离和介质没有改变。
步骤 2
因为 \(F \propto |q_1q_2|\)，
\[ F_{\text{new}} = 3 \times 3 \times F_{\text{old}} = 9(0.60\ \text{N}) = 5.4\ \text{N} \]
步骤 3
作用力变成 \(5.4\ \text{N}\)，即原来的九倍。把两个电荷都变成三倍，不会只令作用力变成三倍，因为两个电荷的影响会相乘。
04距离：为甚么距离的影响如此强烈
对点电荷而言，静电力与两者之间距离的平方成反比：
\[ F \propto \frac{1}{r^2} \]
其中 \(r\) 是两个电荷之间的距离，由中心到中心量度。
这表示：
- \(r \rightarrow 2r\) 会使 \(F \rightarrow \frac{1}{4}F\)
- \(r \rightarrow 3r\) 会使 \(F \rightarrow \frac{1}{9}F\)
- \(r \rightarrow \frac{1}{2}r\) 会使 \(F \rightarrow 4F\)
一种有用的理解方式，是想像点电荷的影响向三维空间扩散。距离越大，这种影响便分布在一个大得多的球面面积上。由于球面的面积按 \(r^2\) 增长，所以孤立点电荷的电场会按 \(1/r^2\) 减弱。
这种图像有助理解，但它本身并不是库仑定律的数学证明。它只是帮助我们理解，为甚么平方反比的行为在物理上是合理的。
常见的距离错误
假设距离增加 \(50\%\)。
学生可能会计算
\[ F_{\text{new}} = \frac{F_{\text{old}}}{1.5} \]
因为两个物体的距离变成原来的 1.5 倍。
但平方不能忽略：
\[ F_{\text{new}} = \frac{F_{\text{old}}}{(1.5)^2} = \frac{F_{\text{old}}}{2.25} \]
所以作用力约为原来的 \(44\%\)，而不是 \(67\%\)。
每当距离改变时，一个有用的习惯是提醒自己：把距离倍数平方。
05介质：为甚么电荷之间的材料会有影响
到目前为止，我们一直把电荷想像成位于真空中，或近似位于空气中。
如果把电荷放入另一种材料中，便会出现另一种效应。材料中的分子可以对电场作出反应。在很多绝缘材料中，分子内的正电荷和负电荷会略为向相反方向移动。这称为极化。
由此产生的极化会形成一种电效应，部分抵消原有电荷所产生的电场。因此，电荷之间的作用力会比在真空中时更小。
你可以把介电质想像成一位朋友走到两个正激烈互相凝视的人之间，使彼此的互动稍微没那么强烈。这位朋友并没有令任何一个人消失，而原来的电荷也没有改变。材料只是改变了该区域内的电场。
这个比喻有其限制。真实的介电质行为来自原子和分子对电的反应，而不是人际间的尴尬。
06库仑定律把各个变量结合起来
对真空中的两个点电荷，静电力的大小为
\[ F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \]
其中：
- \(F\) 是作用力大小，单位为牛顿（\(\text{N}\)）
- \(q_1\) 和 \(q_2\) 是电荷，单位为库仑（\(\text{C}\)）
- \(r\) 是两个电荷之间的距离，单位为米（\(\text{m}\)）
- \(k\) 是库仑常数，约为 \(8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}\)
对空气而言，在 HSC 程度下使用真空中的 \(k\) 值通常是非常好的近似。
更一般的形式为
\[ F = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{|q_1q_2|}{r^2} \]
其中 \(\varepsilon\) 是介质的介电率。
对很多材料而言，
\[ \varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0 \]
其中：
- \(\varepsilon_0\) 是真空介电率
- \(\varepsilon_r\) 是材料的相对介电率
由于
\[ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}, \]
在简单的介电质模型中，作用力也可写成
\[ F = \frac{k}{\varepsilon_r}\frac{|q_1q_2|}{r^2} \]
因此，如果 \(\varepsilon_r = 4\)，而其他变量保持不变，静电力会是真空中数值的四分之一。
这个模型假设电荷可有效视为点电荷，并且位于均匀材料中，而该材料的电响应可用单一介电率描述。真实材料和电荷分布可能更加复杂。
07先预测，再计算
假设一道 HSC 题目同时改变了几个变量。
不要立即代入数值。先把作用力写成一组比例因子：
\[ F \propto \frac{|q_1q_2|}{\varepsilon_r r^2} \]
然后比较新情况和原来的情况。
如果
\[ q_1 \rightarrow aq_1,\qquad q_2 \rightarrow bq_2,\qquad r \rightarrow cr,\qquad \varepsilon_r \rightarrow d\varepsilon_r, \]
那么
\[ \frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}} = \frac{ab}{dc^2} \]
这种比值方法通常比进行两次完整的库仑定律计算更快。
它也能帮助你发现错误。如果你的推理预测作用力应该变小，但计算机却得出更大的数值，那么很可能有某处出错。
例题：电荷、距离和介质全都改变
两个位于空气中的小型带电物体互相产生 \(0.80\ \text{N}\) 的作用力。第一个电荷加倍，第二个电荷变成三倍，两者之间的距离加倍，并把它们放入相对介电率为 \(\varepsilon_r = 3\) 的介质中。求新的作用力。
步骤 1
把两个电荷分别加倍和变成三倍，会使作用力增强。
把距离加倍，会令作用力减弱 \(2^2 = 4\) 倍。
介电质又会令作用力再减弱 3 倍。
所以不能只因两个电荷都增加了，就假设作用力一定增大。
步骤 2
\[ \frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}} = \frac{2\times3}{3\times2^2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]
步骤 3
\[ F_{\text{new}} = \frac{1}{2}(0.80\ \text{N}) = 0.40\ \text{N} \]
步骤 4
新的作用力是 \(0.40\ \text{N}\)，即原来的一半。电荷造成的六倍增加，被距离和介质共同造成的十二倍减弱所超过。
08方向与大小并不是同一回事
考虑以下两组电荷：
- \(+2\ \mu\text{C}\) 和 \(+5\ \mu\text{C}\)
- \(+2\ \mu\text{C}\) 和 \(-5\ \mu\text{C}\)
如果两组电荷位于相同介质中，而且距离相同，两组的作用力大小相同，因为
\[ |(+2)(+5)| = |(+2)(-5)| \]
但它们的方向不同。
第一组互相排斥，因为两个电荷同号。第二组互相吸引，因为两个电荷异号。
\(q_1q_2\) 的负值并不表示存在「负的作用力大小」。当你使用带符号或向量形式处理问题时，它反映的是相互作用方向的资讯。
09相等的作用力并不要求电荷相等
还有另一个常见的直觉错误。
假设一个 \(+1\ \mu\text{C}\) 电荷与一个 \(+6\ \mu\text{C}\) 电荷互相作用。较大的电荷对较小的电荷所施加的作用力，会是六倍吗？
不会。
库仑定律给出的是一个相互作用的大小：
\[ F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \]
每个电荷所受的作用力大小相同，方向相反。
这与牛顿第三定律一致。
在相同距离下，\( +6\ \mu\text{C} \) 电荷产生的电场确实比 \( +1\ \mu\text{C} \) 电荷更强，但对这个较强电场作出反应的较小电荷，其电荷大小也较小。两种作用力计算最后会得到相同的大小。
10一个实用的判断规则
当题目问静电力如何改变时，按以下顺序检查各变量：
- 电荷： \(|q_1q_2|\) 有甚么变化？
- 距离： \(r^2\) 有甚么变化？
- 介质： 介电率是否改变？
- 方向： 电荷是同号还是异号？
- 模型： 这些物体能否合理地视为点电荷，或从外部观察的球形电荷？
完成这些判断后，才决定是否需要进行完整的库仑定律计算。
11问题与解答
问题 1
两个正点电荷保持在空气中。其中一个电荷的大小加倍，而另一个电荷及两者之间的距离保持不变。
静电力会变成原来的多少倍？相互作用仍然是吸引还是排斥？
解答 1
作用力加倍，而相互作用仍然是排斥。
库仑定律给出
\[ F \propto |q_1q_2| \]
所以把其中一个电荷加倍会得到
\[ F_{\text{new}} = 2F_{\text{old}}. \]
两个电荷仍然都是正电荷，所以它们的符号没有改变。同号电荷互相排斥。
重要的区别是：电荷的大小影响作用力有多大，而电荷的符号决定相互作用是吸引还是排斥。
问题 2
两个点电荷在空气中互相产生 \(1.8\ \text{N}\) 的作用力。它们之间的距离增加至原来的三倍，而电荷保持不变。
计算新的作用力。
解答 2
新的作用力为 \(0.20\ \text{N}\)。
静电力与距离的平方成反比：
\[ F \propto \frac{1}{r^2}. \]
因此，把距离变成三倍，会令作用力减少 \(3^2 = 9\) 倍：
\[ F_{\text{new}} = \frac{1.8\ \text{N}}{9} = 0.20\ \text{N}. \]
作用力变成原来的九分之一。一个常见错误是除以 3，而不是除以 \(3^2\)。
问题 3
两个位于空气中的小型带电球，其电荷分别为 \(+3.0\ \mu\text{C}\) 和 \(-8.0\ \mu\text{C}\)。两球中心相距 \(0.40\ \text{m}\)。
计算静电力的大小，并指出它是吸引力还是排斥力。
解答 3
作用力大小约为 \(1.35\ \text{N}\)，而相互作用是吸引。
先把微库仑换算成库仑：
\[ q_1 = 3.0\times10^{-6}\ \text{C}, \qquad q_2 = 8.0\times10^{-6}\ \text{C}. \]
使用库仑定律，
\[ \begin{aligned} F &= k\frac{|q_1q_2|}{r^2}\\ &=(8.99\times10^9) \frac{(3.0\times10^{-6})(8.0\times10^{-6})} {(0.40)^2}\\ &\approx 1.35\ \text{N}. \end{aligned} \]
两个电荷符号相反，所以互相吸引。
注意，我们没有把第二个电荷的负号代入来得到一个负的作用力大小。我们利用电荷大小计算 \(F\)，再利用电荷符号判断方向。
问题 4
两个点电荷最初在空气中互相产生作用力 \(F\)。两个电荷都加倍。
一名学生说，如果要使作用力保持不变，两电荷之间的距离也必须加倍。
这名学生是否正确？请用定量方法说明你的答案。
解答 4
正确。把两个电荷都加倍，同时把距离加倍，会使作用力保持不变。
把两个电荷都加倍，会令库仑定律中的分子变为原来的
\[ 2\times2 = 4. \]
把距离加倍，会令分母变为原来的
\[ 2^2 = 4. \]
因此，
\[ \frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}} = \frac{4}{4} = 1. \]
所以 \(F_{\text{new}} = F_{\text{old}}\)。
一个容易犯的错误是认为把两个电荷都加倍，只会产生「两倍的静电影响」。实际上，在考虑距离改变之前，作用力已经变成四倍。
问题 5
两个点电荷最初在空气中相距 \(r\)。第一个电荷的大小变成三倍，第二个电荷的大小减半。然后把两个电荷之间的距离增加 \(25\%\)。
假设介质实际上保持不变，求新的作用力是原来作用力的多少倍。
解答 5
新的作用力是原来的 \(0.96\) 倍，所以稍微减小。
两个电荷的乘积变为原来的
\[ 3\times\frac{1}{2} = \frac{3}{2}. \]
距离增加 \(25\%\) 表示
\[ r_{\text{new}} = 1.25r. \]
因为距离要平方，
\[ \frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}} = \frac{3/2}{(1.25)^2}. \]
因此，
\[ \begin{aligned} \frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}} &= \frac{1.5}{1.5625}\\ &=0.96. \end{aligned} \]
所以
\[ F_{\text{new}} = 0.96F_{\text{old}}. \]
这是一个很好的例子，说明当多个变量同时改变时，单靠直觉可能变得不可靠。增加的电荷乘积几乎抵消了距离增加的影响，但并没有完全抵消。
问题 6
两个点电荷在空气中互相产生作用力 \(F\)。之后把它们放入相对介电率为 \(\varepsilon_r = 5\) 的均匀绝缘介质中。
同时，两者之间的距离减至原来的一半。
在不使用各个电荷的实际数值进行计算的情况下，用 \(F\) 表示新的作用力。
一名学生认为，作用力一定会减小，因为「介电质会减弱静电力」。解释这种推理的问题所在。
解答 6
新的作用力为 \(\frac{4}{5}F\)，所以作用力稍微减小。
介电质使作用力减少 5 倍：
\[ F \rightarrow \frac{F}{5}. \]
把距离减半会使作用力增加
\[ \frac{1}{(1/2)^2}=4 \]
倍。
把两种影响结合起来，
\[ F_{\text{new}} = \frac{4}{5}F. \]
如果其他变量保持不变，这名学生对介电质的说法是正确的，但这里并不符合这个条件。距离也发生了改变，而缩短距离会大幅增强相互作用。
更广泛的重点是：「增加距离会减小作用力」或「介电质会减小作用力」这类说法，描述的是其他变量保持不变时，单一变量所造成的影响。当多个变量同时改变时，必须把它们的影响合并考虑。
12这为你接下来的学习作好甚么准备
当你能够有信心地分析 \(q_1\)、\(q_2\)、\(r\) 和介质的影响后，库仑定律便不再只是一条代入数值的公式。
相同的思考方式可以直接延伸到电场。与其只问两个特定电荷之间的作用力，你可以进一步问：在第二个电荷尚未放置之前，空间中某一点已存在甚么样的电作用。由「电荷之间的力」转向「电荷周围的场」，就是下一个值得学习的步骤。