如何选择图表座标轴并将 HSC 物理数据线性化

你把时间放在纵轴、位移放在横轴，画出一条整齐得近乎完美的直线，然后把它的斜率当作速度来报告。单位却悄悄暴露了问题：你的斜率单位是秒每公尺，而不是公尺每秒。或者，你看到一张弯曲的位移-时间图，便把位移对时间平方作图，期望得到一条直线，单纯因为物体正在加速。结果图线仍然是弯曲的。

这些并不是绘图上的错误，而是在选择变数和解读物理模型时犯了错。在拿起直尺之前，先把这些判断弄清楚。

• 手推车测量数据；最佳拟合线斜率 ≈ 0.75 m/s

01绘图前先选好座标轴

第一个决定很简单：你正在改变什么？又在测量什么量来观察其反应？

自变数是你刻意改变的变数，或用来解释资料中某种模式的变数。它通常放在横轴。

应变数是你为了观察反应而测量的量。它通常放在纵轴。

例如，如果你测量手推车在不同时间的位置变化，时间就是自变数，而位移就是应变数。你应该把位移放在纵轴，时间放在横轴。

在考试题目中，还有一条实用的解读规则：

「将 A 对 B 作图」表示 A 放在纵轴，B 放在横轴。

因此：

• 将电压对电流作图：电压放在纵轴，电流放在横轴。
• 将速度对时间作图：速度放在纵轴，时间放在横轴。
• 将照度对距离平方倒数作图：照度放在纵轴，\(1/r^2\) 放在横轴。

资料表中各个物理量出现的先后顺序，并不能决定座标轴的安排。也不能因为某种安排刚好能画出比较直的线，就用它来决定座标轴。

正确标示两条座标轴

每条座标轴都需要标出物理量、符号和单位。

注意，将座标轴标示为 时间, t (s)，与只标示为 秒 有什么不同。前者告诉读者正在测量什么，以及使用什么单位；后者只提供单位。

• 手推车测量数据

选择合理且间距均匀的刻度，并尽量利用可用的绘图区域。应准确标出实验数据点，并在适当时画出最佳拟合线。

对于连续变化的物理实验数据，散布图通常是合适的起点。不要自动用直线段连接每一个数据点。你的目标是找出变数之间的关系，而不是画出一幅连点成线的图。

02判断图表应该呈现什么关系

在决定应该画直线还是曲线之前，先写出物理模型。

许多原本合理的绘图方法会在这一步出错。学生经常看到曲线，就开始尝试各种变数转换，直到数据看起来变直为止。更好的做法是根据方程式预测图表的形状。

在以下运动方程式中，\(x\) 是以公尺为单位的位置，\(x_0\) 是初始位置，\(t\) 是以秒为单位的时间，\(v\) 是以公尺每秒为单位的速度，\(u\) 是初速度，而 \(a\) 是以公尺每二次方秒为单位的加速度。相对于初始位置的位移为 \(\Delta x=x-x_0\)。

对于电路，\(V\) 是以伏特为单位的电压，\(I\) 是以安培为单位的电流，而 \(R\) 是以欧姆为单位的电阻。对于光，\(E\) 是以勒克斯为单位的照度，\(E_{\mathrm{bg}}\) 是背景照度，\(r\) 是以公尺为单位的距离，而 \(k\) 是比例常数。

以下是一些值得认识的关系。

这些条件十分重要。尤其是第三列，它假设物体从静止开始，而且位移是相对于起始位置测量的。如果不符合这些条件，所提出的直线图可能就不成立。

• 手推车数据；斜率 ≈ 0.75 m/s

什么是数据线性化？

线性化是指转换一个或两个作图变数，使物理模型预测图表会呈现直线关系。

直线关系可以写成

\[ Y=mX+c \]

其中：

• \(Y\) 是纵轴变数。
• \(X\) 是横轴变数。
• \(m\) 是斜率。
• \(c\) 是纵截距。

关键在于，\(X\) 和 \(Y\) 可以是经过转换的变数，而不一定是原始测量值。

例如，如果模型预测

\[ y=kx^2 \]

那么将 \(y\) 对 \(x\) 作图会得到曲线。改为将 \(y\) 对 \(x^2\) 作图，则会得到直线，因为模型会变成 \(y=kX\)，其中 \(X=x^2\)。

但要小心。如果原始方程式包含其他项，例如 \(y=bx+cx^2\)，那么将 \(y\) 对 \(x^2\) 作图通常不会得到直线，因为 \(bx\) 这一项仍然存在。

这就是为什么你应该根据物理模型推导变数转换，而不是靠猜测。

03认识三种最容易出错的关系

运动：加速度为定值，不代表位移一定与时间平方成正比

当加速度为定值时，位移可由下式描述：

\[ \Delta x=ut+\frac12at^2 \]

如果物体从静止开始，则 \(u=0\)，所以

\[ \Delta x=\frac12at^2 \]

这个简化方程式预测，将 \(\Delta x\) 对 \(t^2\) 作图会得到直线。其斜率是 \(a/2\)，而不是 \(a\)。

如果物体具有非零初速度，\(ut\) 这一项就会保留下来。将位移对时间平方作图，通常会得到曲线。

你有两个选择：如果有速度数据，可以使用速度-时间图；或者找出一种能考虑初速度的变数转换。第二种方法会在第 5 题中介绍。

电路：斜率取决于哪个物理量放在纵轴

对于温度不变时的欧姆性电阻器，

\[ V=IR \]

如果电压放在纵轴，而电流放在横轴，图表的斜率就是

\[ m=\frac{\Delta V}{\Delta I}=R \]

其单位是伏特每安培，等同于欧姆。

如果把座标轴对调，就会得到不同的斜率：

\[ m=\frac{\Delta I}{\Delta V}=\frac1R \]

这代表电导，而不是电阻。

两种图表都可以是完全笔直的直线，但只有其中一种的斜率等于电阻。

光照度：反平方关系需要转换座标轴

对于理想点光源，在扣除背景照度后，照度遵循反平方关系：

\[ E=\frac{k}{r^2} \]

距离加倍，照度会降至原来的四分之一。距离变成三倍，照度则会降至原来的九分之一。

将 \(E\) 对 \(r\) 作图会得到曲线。在这个模型的假设下，将 \(E\) 对 \(1/r^2\) 作图则应该得到直线。

此时，横轴的单位变成 \(\mathrm{m^{-2}}\)。斜率的单位是 \(\mathrm{lx\,m^2}\)，因为它等于照度除以距离平方的倒数。

如果没有扣除背景光，较符合实际情况的模型是

\[ E=E_{\mathrm{bg}}+\frac{k}{r^2} \]

将 \(E\) 对 \(1/r^2\) 作图仍然应该得到直线，但其截距是 \(E_{\mathrm{bg}}\)，而不是零。

04正确解读斜率与截距

选好座标轴后，数学计算并不复杂。重要的是如何解读结果。

斜率

对于纵轴变数为 \(Y\)、横轴变数为 \(X\) 的图表，

\[ m=\frac{\Delta Y}{\Delta X} \]

计算纵轴物理量的变化量，再除以横轴物理量的变化量。

应该使用最佳拟合线上相距较远的两个点，而不是两个相近的原始数据点。这样可以减少细微读数误差的影响。用来计算斜率的点不一定要是原始测量值，只要它们位于最佳拟合线上即可。

务必检查单位。

• 位移对时间：\(\mathrm{m/s}\)。
• 速度对时间：\(\mathrm{m/s^2}\)。
• 电压对电流：\(\mathrm{V/A}=\Omega\)。
• 照度对 \(1/r^2\)：\(\mathrm{lx\,m^2}\)。

如果单位与你声称计算出的物理量不符，就应该停下来检查座标轴。

此外，不要把斜率与比值 \(Y/X\) 混淆。只有当直线通过原点时，两者才会相等。如果截距不为零，就应该使用物理量的变化量来计算斜率。

截距

纵截距是横轴变数等于零时，纵轴变数的数值。

它可能代表：

• 位移-时间图上的初始位置。
• 速度-时间图上的初速度。
• 照度对 \(1/r^2\) 作图时的背景照度。
• 电学实验中的测量偏移量。

截距不为零并不一定代表实验有错误。它可能是模型预测的结果。

同样地，不要因为你记得的方程式没有常数项，就强行让最佳拟合线通过原点。应先检查实验条件是否符合该模型，以及测量结果是否与模型一致。

05计算示例

计算示例：利用位移-时间数据求速度

在不同时间，测量手推车相对于固定原点的位移。

时间，\(t\) (s)	位移，\(x\) (m)
0	0.20
1	0.95
2	1.71
3	2.48
4	3.20

选择座标轴，估算手推车的速度和初始位置，并解释如果对调座标轴会有什么结果。

步骤 1

时间是自变数，位移是应变数。

将时间放在横轴，位移放在纵轴。标示为 时间, t (s) 和 位移, x (m)。

步骤 2

各个数据点大致落在一条直线上，这与速度为定值的情况一致。不要强行让直线通过原点，因为初始位移并不是零。

步骤 3

使用最佳拟合线的两个端点作估算：

\[ \begin{aligned} v&=\frac{\Delta x}{\Delta t}\\ &=\frac{3.20-0.20}{4.0-0}\\ &=\frac{3.00\ \mathrm{m}}{4.0\ \mathrm{s}}\\ &=0.75\ \mathrm{m/s} \end{aligned} \]

手推车的速度约为 \(0.75\ \mathrm{m/s}\)。

步骤 4

直线在纵轴上的截距约为 \(0.20\ \mathrm{m}\)。这就是初始位置 \(x_0\)。

因此，两者的关系约为

\[ x=0.20+0.75t \]

其中 \(x\) 的单位是公尺，而 \(t\) 的单位是秒。

如果对调座标轴，斜率的单位就会变成 \(\mathrm{s/m}\)。它描述的是每单位位移所对应的时间变化量，而不是速度。直线并不保证你计算出来的就是原本想求的物理量。

• 测量数据
• 最佳拟合线，0.75 m/s

计算示例：利用电路测量数据求电阻

一名学生测量电阻器在不同电流下两端的电压。

电流，\(I\) (A)	电压，\(V\) (V)
0.10	0.48
0.20	1.01
0.30	1.49
0.40	2.02
0.50	2.51

利用图表估算电阻，并评论截距。

步骤 1

电流是自变数，电压是应变数。将 \(V\) 放在纵轴，\(I\) 放在横轴。

步骤 2

对于温度不变时的欧姆性电阻器，

\[ V=IR \]

将此式与 \(Y=mX+c\) 比较，可知电压-电流图的斜率就是电阻。

步骤 3

使用第一笔和最后一笔测量值，估算最佳拟合线的斜率：

\[ \begin{aligned} R&=\frac{\Delta V}{\Delta I}\\ &=\frac{2.51-0.48}{0.50-0.10}\\ &=\frac{2.03\ \mathrm{V}}{0.40\ \mathrm{A}}\\ &=5.075\ \Omega\\ &\approx 5.1\ \Omega \end{aligned} \]

估算的电阻为 \(5.1\ \Omega\)。

步骤 4

利用估算的斜率和第一笔测量值，

\[ \begin{aligned} c&\approx V-RI\\ &=0.48-(5.075)(0.10)\\ &\approx -0.03\ \mathrm{V} \end{aligned} \]

与测量数据的散布程度相比，这个数值接近零。数据与理想模型一致，但不应对这个小小的计算截距作过度解读。

容易犯的错误是把座标轴对调，却仍然把斜率称为电阻。如果电流放在纵轴、电压放在横轴，斜率代表 \(1/R\)。解读斜率之前，务必先确认纵轴和横轴分别代表什么。

• 测量数据
• 最佳拟合线：斜率 ≈ 5.1 Ω

计算示例：将反平方光照度数据线性化

一项理想化的点光源实验得到以下扣除背景照度后的测量结果。

距离，\(r\) (m)	照度，\(E\) (lx)
0.50	40.0
0.70	20.4
1.00	10.0
1.40	5.1
2.00	2.5

假设光源输出和探测器的方向保持不变。选择一种能检验反平方模型的图表，并估算 \(E=k/r^2\) 中的 \(k\)。

步骤 1

距离是自变数，照度是应变数。

如果反平方模型正确，将 \(E\) 对 \(r\) 作图应该会得到曲线。图表呈现曲线，本身并不代表模型失效。

步骤 2

模型为

\[ E=\frac{k}{r^2} \]

改写为

\[ E=k\left(\frac1{r^2}\right) \]

现在将 \(E\) 放在纵轴，\(1/r^2\) 放在横轴。

计算转换后的数值：

\(1/r^2\) (m⁻²)	\(E\) (lx)
4.00	40.0
2.04	20.4
1.00	10.0
0.510	5.1
0.250	2.5

步骤 3

使用 \((4.00,\ 40.0)\) 和 \((0.250,\ 2.5)\) 这两个点：

\[ \begin{aligned} k&=\frac{\Delta E}{\Delta(1/r^2)}\\ &=\frac{40.0-2.5}{4.00-0.250}\\ &=\frac{37.5\ \mathrm{lx}}{3.75\ \mathrm{m^{-2}}}\\ &=10.0\ \mathrm{lx\,m^2} \end{aligned} \]

估算的常数为 \(k=10.0\ \mathrm{lx\,m^2}\)。

这表示模型预测 \(E=10.0/r^2\)，其中 \(r\) 以公尺为单位。斜率的单位正确，因为它等于照度除以距离平方的倒数。

这种变数转换之所以合理，是因为反平方模型支持这种做法，而不只是因为转换后的图表看起来是直线。

• 已扣除背景照度
• 加入 2 lx 背景照度（示意）

06考试前 20 秒检查清单

提交图表之前，检查以下各点：

• [ ] 我是否已识别自变数和应变数？
• [ ] 「将 A 对 B 作图」是否表示 A 在纵轴、B 在横轴？
• [ ] 每条座标轴是否都标出了物理量、符号和单位？
• [ ] 如果我转换了变数，能否从物理模型推导出这种转换？
• [ ] 斜率的单位是否与我声称计算出的物理量一致？
• [ ] 我是否根据实际实验条件解读截距，而不是假设它必须为零？
• [ ] 我是否画出了合适的最佳拟合直线或曲线，而不是自动连接每一个数据点？

07问题与解答

问题 1

记录一名骑单车者的位移如下。

选择座标轴，估算骑单车者的平均速度，并解释为什么对调座标轴会改变斜率的意义。

解答 1

将位移 \(x\) 放在纵轴，时间 \(t\) 放在横轴。斜率给出的平均速度约为 \(2.4\ \mathrm{m/s}\)。

使用第一笔和最后一笔测量值：

\[ \begin{aligned} v_{\mathrm{avg}}&=\frac{\Delta x}{\Delta t}\\ &=\frac{7.1-0.0}{3.0-0}\\ &=\frac{7.1\ \mathrm{m}}{3.0\ \mathrm{s}}\\ &\approx 2.37\ \mathrm{m/s} \end{aligned} \]

使用全部四个数据点绘制的最佳拟合线，也会得到相近的估算值。

如果对调座标轴，斜率的单位就会变成 \(\mathrm{s/m}\)。它描述的是每单位位移所对应的时间变化量，而不是骑单车者的速度。斜率的物理意义取决于实际绘制的物理量。

问题 2

一盏白炽灯产生以下测量结果。

一名学生认为，因为 \(V=IR\)，所以电压-电流图必定是直线。他们还计算第一个和最后一个数据点之间的斜率，并声称这就是灯在所有电流下的电阻。

计算每笔测量值的 \(V/I\)，求出第一个和最后一个数据点之间的斜率，并解释这两个错误。将 \(V\) 对 \(I^2\) 作图，是否就一定能将数据线性化？

解答 2

在这些测量结果中，灯的电阻逐渐增加，而第一个和最后一个数据点之间的斜率并不等于灯在每一个工作电流下的电阻。只有当 \(R\) 保持不变时，方程式 \(V=IR\) 才会预测直线关系。

计算每个数据点的电压与电流之比：

\[ \begin{aligned} R_1&=\frac{1.0}{0.20}=5.0\ \Omega\\ R_2&=\frac{2.4}{0.40}=6.0\ \Omega\\ R_3&=\frac{4.2}{0.60}=7.0\ \Omega \end{aligned} \]

比值 \(V/I\) 从 \(5.0\ \Omega\) 增加至 \(7.0\ \Omega\)。

现在计算第一个和最后一个数据点之间的斜率：

\[ \begin{aligned} m&=\frac{\Delta V}{\Delta I}\\ &=\frac{4.2-1.0}{0.60-0.20}\\ &=\frac{3.2\ \mathrm{V}}{0.40\ \mathrm{A}}\\ &=8.0\ \Omega \end{aligned} \]

这是该区间内电压变化量除以电流变化量的平均值，并不是每个数据点的 \(V/I\) 值。对于弯曲的电压-电流图，某一点的切线斜率代表电压相对于电流的局部变化率，而这个变化率不一定等于 \(V/I\)。

图线弯曲的物理原因是电流增加时，灯丝会升温。灯丝的温度改变，因此其电阻并非定值。欧姆性电阻器通常呈现直线关系的预测，是以温度保持不变为前提。

最后，将 \(V\) 对 \(I^2\) 作图并没有自动成立的理由。数据显示 \(V/I\) 正在增加，但这并不能证明电压与电流平方成正比。变数转换应该建立在合理的物理关系上，而不是猜测哪一种图表可能看起来是直线。

问题 3

一名学生测量距离光源不同位置的照度，得到以下三组数据。

这些测量结果包含固定的背景照度。假设模型为

\[ E=E_{\mathrm{bg}}+\frac{k}{r^2} \]

其中 \(E_{\mathrm{bg}}\) 是背景照度，而 \(k\) 是常数。

选择正确的图表，求出 \(k\) 和 \(E_{\mathrm{bg}}\)，并解释为什么不应强行让图线通过原点。

解答 3

将照度 \(E\) 放在纵轴，距离平方的倒数 \(1/r^2\) 放在横轴。斜率为 \(k=12\ \mathrm{lx\,m^2}\)，而纵截距为 \(E_{\mathrm{bg}}=2\ \mathrm{lx}\)。

首先，转换距离数据：

使用前两个数据点，斜率为

\[ \begin{aligned} k&=\frac{50-14}{4.00-1.00}\\ &=\frac{36\ \mathrm{lx}}{3.00\ \mathrm{m^{-2}}}\\ &=12\ \mathrm{lx\,m^2} \end{aligned} \]

检查剩下的区间：

\[ \frac{14-5}{1.00-0.25} =\frac{9}{0.75} =12\ \mathrm{lx\,m^2} \]

这些数据与直线关系一致。

当 \(r=1.00\ \mathrm{m}\) 时，距离平方的倒数为 \(1.00\ \mathrm{m^{-2}}\)。因此，

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{bg}}&=E-\frac{k}{r^2}\\ &=14-12(1.00)\\ &=2\ \mathrm{lx} \end{aligned} \]

因此，模型为

\[ E=2+\frac{12}{r^2} \]

容易犯的错误是以为反平方关系必须呈现一条通过原点的直线。当 \(E\) 对 \(1/r^2\) 作图时，反平方关系确实会呈现直线，但背景光会为每次测量增加一个固定值。强行让直线通过原点，会掩盖这项贡献，并使估算的斜率产生偏差。

问题 4

记录一辆小车在四秒内的速度。

将速度对时间作图，求出小车的加速度、四秒内的位移，以及移动的总距离。

一名学生声称，斜率代表位移，而图线下的面积总是代表距离。解释为什么这两个说法都不正确。

解答 4

小车的加速度是 \(-3.0\ \mathrm{m/s^2}\)，位移是 \(0\ \mathrm{m}\)，而移动的总距离是 \(12\ \mathrm{m}\)。

将速度 \(v\) 放在纵轴，时间 \(t\) 放在横轴。

斜率代表加速度：

\[ \begin{aligned} a&=\frac{\Delta v}{\Delta t}\\ &=\frac{-6-6}{4-0}\\ &=\frac{-12\ \mathrm{m/s}}{4\ \mathrm{s}}\\ &=-3.0\ \mathrm{m/s^2} \end{aligned} \]

负斜率表示速度随时间减小。

要计算位移，应计算速度-时间图下方的带正负号面积。从 \(t=0\) 到 \(t=2\ \mathrm{s}\)，正三角形的面积为

\[ A_+=\frac12(2\ \mathrm{s})(6\ \mathrm{m/s})=6\ \mathrm{m} \]

从 \(t=2\) 到 \(t=4\ \mathrm{s}\)，负三角形的面积为

\[ A_-=-\frac12(2\ \mathrm{s})(6\ \mathrm{m/s})=-6\ \mathrm{m} \]

因此，

\[ \Delta x=A_++A_-=6-6=0\ \mathrm{m} \]

小车最后回到起始位置。

计算总路程时，则要把两个面积的绝对值相加：

\[ d=|6|+|-6|=12\ \mathrm{m} \]

这名学生混淆了三种不同的物理量。速度-时间图的斜率代表加速度；带正负号的面积代表位移；绝对面积的总和则代表移动的距离。

当速度改变正负号时，这个区别尤其重要。小车在最初两秒向前移动，接著瞬间停止，然后向后移动。两段位移互相抵消，但路程不会。

问题 5

一辆小车以固定加速度运动，但并非从静止开始。它的位置是相对于固定原点测量的。

已知初始位置为 \(x_0=4.0\ \mathrm{m}\)。假设测量值完全准确，而且加速度为定值。

两名学生提出不同的方法，希望得到直线图。

• 学生 A 将位移 \(\Delta x=x-x_0\) 对 \(t^2\) 作图，理由是固定加速度会令位移与时间平方成正比。
• 学生 B 计算每个非零时间对应的 \(\Delta x/t\)，并将这个量对 \(t\) 作图。

哪一种方法适用于这些数据？求出初速度和加速度。解释为什么学生 A 的方法失效，以及为什么将绝对位置除以时间，即将 \(x/t\) 作图，也会失效。

解答 5

学生 B 的方法能使这些数据呈现直线关系。它给出的初速度是 \(2.0\ \mathrm{m/s}\)，加速度是 \(2.0\ \mathrm{m/s^2}\)。关键步骤是先减去初始位置，再除以时间。

首先，计算相对于起始位置的位移：

\[ \Delta x=x-x_0 \]

现在考虑固定加速度方程式：

\[ \Delta x=ut+\frac12at^2 \]

当 \(t>0\) 时，将等式两边除以 \(t\)：

\[ \frac{\Delta x}{t}=u+\frac12at \]

这是一个直线方程式。纵轴变数是 \(\Delta x/t\)，单位为 \(\mathrm{m/s}\)；横轴变数是 \(t\)，单位为秒。

斜率是 \(a/2\)，而纵截距是 \(u\)。

求出加速度。

使用 \(t=1\ \mathrm{s}\) 和 \(t=3\ \mathrm{s}\) 时的数据点，

\[ \begin{aligned} m&=\frac{5-3}{3-1}\\ &=\frac{2\ \mathrm{m/s}}{2\ \mathrm{s}}\\ &=1.0\ \mathrm{m/s^2} \end{aligned} \]

由于 \(m=a/2\)，

\[ a=2m=2.0\ \mathrm{m/s^2} \]

求出初速度。

这条直线关系通过 \((1,3)\)、\((2,4)\) 和 \((3,5)\) 这些点，其中第一个座标是以秒为单位的时间，第二个座标是以公尺每秒为单位的 \(\Delta x/t\)。

直线方程式为

\[ \frac{\Delta x}{t}=2+t \]

将直线外推至 \(t=0\)，可得截距 \(2.0\ \mathrm{m/s}\)。因此，

\[ u=2.0\ \mathrm{m/s} \]

这也符合原始方程式的预测。当 \(t=3\ \mathrm{s}\) 时，

\[ \begin{aligned} \Delta x&=ut+\frac12at^2\\ &=(2.0)(3)+\frac12(2.0)(3^2)\\ &=6+9\\ &=15\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

加上初始位置，得到 \(x=15+4=19\ \mathrm{m}\)，与表格中的数据一致。

为什么学生 A 的图表方法会失效

学生 A 假设固定加速度必定保证 \(\Delta x\propto t^2\)。但完整的方程式包含两项：

\[ \Delta x=ut+\frac12at^2 \]

当 \(u\ne0\) 时，\(ut\) 这一项仍然存在。将 \(\Delta x\) 对 \(t^2\) 作图，并不能消除这一项，因此两者的关系一般不会是直线。

如果小车从静止开始，也就是 \(u=0\)，学生 A 的方法便会有效。在这种特殊情况下，

\[ \Delta x=\frac12at^2 \]

而位移对时间平方图的斜率就是 \(a/2\)。

为什么将 \(x/t\) 作图也会失效

测量的位置包含初始位置：

\[ x=x_0+ut+\frac12at^2 \]

两边除以时间后，得到

\[ \frac{x}{t}=\frac{x_0}{t}+u+\frac12at \]

额外的一项 \(x_0/t\) 会随时间改变。当 \(x_0\ne0\) 时，它会使图表无法呈现直线关系。

先减去 \(x_0\)，就能消除这一项，并得到学生 B 所使用的有效变数转换。另外，当 \(t=0\) 时，\(\Delta x/t\) 没有定义，因此必须使用非零时间的数据来拟合直线，再将直线外推以求得截距。

更广泛的教训是：只有在完整的物理方程式支持的情况下，变数转换才是有效的。正确完成线性化后，下一个值得考虑的问题是如何精确测量斜率：数据的散布程度，以及可能的最佳拟合线范围，会决定你所报告的加速度具有多大的不确定性。