向心加速度与合力：HSC 物理练习试卷

这份 tutorgum 原创练习试卷评量 NSW HSC 物理课程中的一个特定主题范围：向心加速度、造成圆周运动的净向内合力、提供该合力的实际作用力，以及移除向内作用力后的运动。这是一份针对特定主题的复习试卷，并非完整课程考试，也不是 NESA 官方、认可、历届或预测试卷。

01考试指示

• 建议阅读时间： 5 分钟。
• 建议作答时间： 50 分钟。
• 总分： 40 分。
• 允许使用的器材： 原子笔或铅笔，以及科学计算机。进行计时练习时，不得使用笔记或网际网路。
• 回答全部八题。请展示计算过程、将数值代入方程式、标示单位，并在题目要求时解释你的推理。
• 除非另有说明，数值答案请取至两位有效数字。

评量范围

本试卷涵盖以下内容：

• 速度方向改变与向心加速度之间的关系。
• 计算向心加速度及净向内合力。
• 比较速率、质量或半径改变时，加速度与力的变化。
• 辨识提供向内合力的实际作用力。
• 根据各题所述的假设，预测移除向内作用力后的运动。

本试卷不涵盖角速度与周期的计算、垂直圆周运动的能量分析，以及其他较广泛的课程主题。

公式参考与假设

你可以使用以下方程式：

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

其中，\(a_c\) 代表向心加速度，单位为 \(\text{m/s}^2\)；\(F_c\) 代表净向内合力的大小，单位为牛顿（N）；\(v\) 代表速率，单位为公尺每秒（m/s）；\(r\) 代表圆周路径的半径，单位为公尺（m）；而 \(m\) 代表质量，单位为公斤（kg）。

除非题目另有说明，计算加速度与力时，均假设物体进行等速率圆周运动。半径是从圆心量度至运动物体的距离。

对于涉及某个力被移除的题目，请遵循题目所述有关其他剩余作用力的假设。你的预测必须符合这些条件。

02试题

第 1 题（4 分）

(a) 一颗小珠以固定速率沿圆形路径移动。解释为甚么即使速率保持不变，它的速度仍然在改变。（2 分）

(b) 说明在任何瞬间，小珠的加速度方向，以及作用于小珠的合力方向。（2 分）

第 2 题（5 分）

一个物体以 \(3.0\ \text{m/s}\) 的速率，沿半径为 \(1.5\ \text{m}\) 的圆形路径移动。

(a) 计算物体的向心加速度。（2 分）

(b) 物体的速率增加至 \(6.0\ \text{m/s}\)，而半径保持不变。计算新的向心加速度，并说明加速度改变了多少倍。（3 分）

第 3 题（5 分）

一个质量为 \(0.80\ \text{kg}\) 的物体，以 \(5.0\ \text{m/s}\) 的速率进行等速率圆周运动，圆周半径为 \(2.0\ \text{m}\)。

(a) 计算维持此运动所需的净向内合力大小。（3 分）

(b) 质量增加至 \(1.2\ \text{kg}\)，而速率与半径保持不变。计算新的净向内合力大小。（2 分）

第 4 题（4 分）

对于以下每种情况，指出提供向内合力的实际作用力。

(a) 一辆汽车在平坦路面的圆形弯道上行驶，且没有打滑。（1 分）

(b) 一个球系于绷紧的细绳上，并在水平面内作圆周运动。（1 分）

(c) 一颗卫星沿著围绕地球的圆形轨道运行。（1 分）

(d) 解释为甚么不应将「向心力」视为一个额外的力，与你在 (a)、(b) 或 (c) 部分指出的作用力同时存在。（1 分）

第 5 题（4 分）

一个圆盘在几乎没有摩擦力的水平桌面上作水平圆周运动。在某一瞬间，它的速度方向正东。提供向内作用力的细绳突然断裂。

假设细绳断裂后，没有其他水平方向的作用力，而垂直方向的作用力仍然保持平衡。

(a) 描述细绳断裂后，圆盘立即如何运动，包括其运动方向。（2 分）

(b) 说明细绳断裂后，圆盘的速率会如何变化。（1 分）

(c) 从合力的角度解释你在 (b) 部分的答案。（1 分）

第 6 题（6 分）

一个质量为 \(0.50\ \text{kg}\) 的物体以固定速率 \(4.0\ \text{m/s}\) 移动。以下各次实验均使用同一个物体，但各次实验的半径有所不同。

(a) 计算实验 B 和 C 中缺少的向心加速度数值。（2 分）

(b) 根据实验 A 和 B，描述在速率保持不变而半径减半时，向心加速度如何改变。（2 分）

(c) 计算实验 C 中净向内合力的大小。（2 分）

第 7 题（6 分）

一辆质量为 \(1.2\times10^3\ \text{kg}\) 的汽车，以 \(12\ \text{m/s}\) 的速率行驶于半径为 \(40\ \text{m}\) 的平坦弯道上。

指向弯道圆心的最大可用静摩擦力为 \(5.0\ \text{kN}\)。假设摩擦力是作用于汽车的唯一水平方向作用力，而垂直方向的作用力保持平衡。

(a) 计算汽车的向心加速度。（2 分）

(b) 计算所需的净向内合力大小，并判断可用的摩擦力是否足以让汽车以 \(12\ \text{m/s}\) 的速率维持圆周运动。（2 分）

(c) 计算汽车在达到上述摩擦力上限之前，能以多大的最大速率行驶于同一弯道上。（2 分）

第 8 题（6 分）

两个物体正在进行等速率圆周运动。

(a) 计算每个物体的向心加速度。（2 分）

(b) 计算作用于每个物体的净向内合力大小。（2 分）

(c) 一名学生声称：「物体 B 的质量是物体 A 的两倍，因此它必定需要较大的向心力。」

根据你的计算结果，评估这项说法。（2 分）

03详细解答与评分指引

第 1 题解答

(a) 为甚么速度会改变

速度是一个向量物理量。这表示它同时描述物体的速率及运动方向。

当小珠沿圆形路径移动时，它的运动方向会持续改变。因此，即使速率保持不变，它的速度仍然会改变。

(b) 加速度与合力的方向

加速度沿径向指向内侧，即指向圆心。合力的方向也指向内侧，因为根据牛顿第二运动定律，加速度与合力的方向相同。

评分指引（4 分）

• (a) 1 分：指出速度包含方向；1 分：说明运动方向会改变。
• (b) 1 分：指出加速度指向内侧；1 分：指出合力指向内侧。

第 2 题解答

(a) 计算向心加速度

使用

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

代入已知数值：

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{(3.0)^2}{1.5}\\ &=\frac{9.0}{1.5}\\ &=6.0\ \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

向心加速度为 \(6.0\ \text{m/s}^2\)。

(b) 计算新的加速度

现在速率为 \(6.0\ \text{m/s}\)，而半径保持不变。

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{(6.0)^2}{1.5}\\ &=\frac{36}{1.5}\\ &=24\ \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

将新的加速度与原本的加速度比较：

\[ \frac{24}{6.0}=4 \]

加速度变为原来的四倍。

这是因为当半径固定时，向心加速度与速率的平方成正比。速率加倍会使加速度乘以 \(2^2=4\)，而不是乘以二。

评分指引（5 分）

• (a) 1 分：列出正确方程式并代入数值；1 分：得出 \(6.0\ \text{m/s}^2\)。
• (b) 1 分：正确代入数值；1 分：得出 \(24\ \text{m/s}^2\)；1 分：指出加速度变为四倍，并将此结果与速率的平方关系连结。

第 3 题解答

(a) 计算净向内合力

使用

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

代入质量、速率及半径：

\[ \begin{aligned} F_c&=\frac{0.80(5.0)^2}{2.0}\\ &=\frac{0.80\times25}{2.0}\\ &=10\ \text{N} \end{aligned} \]

所需净向内合力的大小为 \(10\ \text{N}\)。

(b) 计算新的合力

质量增加至 \(1.2\ \text{kg}\)，但速率与半径保持不变。

\[ \begin{aligned} F_c&=\frac{1.2(5.0)^2}{2.0}\\ &=15\ \text{N} \end{aligned} \]

新的净向内合力为 \(15\ \text{N}\)。

当速率与半径固定时，所需的合力与质量成正比。质量由 \(0.80\ \text{kg}\) 增加至 \(1.2\ \text{kg}\)，所需的合力便增加至原来的 \(1.5\) 倍。

评分指引（5 分）

• (a) 1 分：列出正确方程式；1 分：正确代入数值并计算；1 分：得出 \(10\ \text{N}\)。
• (b) 1 分：正确计算或使用比例推理；1 分：得出 \(15\ \text{N}\)。

第 4 题解答

(a) 在平坦弯道上行驶的汽车

轮胎与路面之间的静摩擦力提供向内合力。

(b) 系于细绳上的球

细绳中的张力提供向内合力。

(c) 在圆形轨道上运行的卫星

地球的万有引力提供向内合力。

(d) 为甚么向心力不是额外的力

向心力描述的是圆周运动所需的净向内合力。它并不是一种独立的物理交互作用，不应在摩擦力、张力或重力之外再额外加入。

例如，如果张力是提供向内合力的作用力，再额外加入一个称为「向心力」的力，就会将同一个作用效果重复计算。

评分指引（4 分）

• (a) 1 分：静摩擦力。
• (b) 1 分：张力。
• (c) 1 分：万有引力。
• (d) 1 分：解释向心力是净向内合力，而不是额外的作用力。

第 5 题解答

(a) 预测细绳断裂后的运动路径

圆盘会沿著圆形路径在细绳断裂位置的切线方向作直线运动。由于它在该瞬间的速度方向正东，因此它会沿直线向东移动。

(b) 速率会如何变化？

在题目所述的假设下，圆盘的速率保持不变。

(c) 利用合力解释

细绳断裂后，没有水平方向的合力。垂直方向的作用力互相平衡，因此总合力为零。

根据牛顿第一运动定律，当物体所受的合力为零时，会维持速度不变。因此，圆盘会以固定速率沿直线继续运动。

这些假设在此十分重要。如果细绳断裂后有其他不平衡的作用力，圆盘便会因应该作用力而产生加速度。细绳断裂时，圆盘并不会自动沿径向向外运动。

评分指引（4 分）

• (a) 1 分：指出圆盘沿切线方向作直线运动；1 分：指出运动方向为向东。
• (b) 1 分：指出速率保持不变。
• (c) 1 分：解释合力为零，因此圆盘会维持速度不变。

第 6 题解答

(a) 计算缺少的加速度

实验 B：

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{(4.0)^2}{4.0}\\ &=4.0\ \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

实验 C：

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{(4.0)^2}{2.0}\\ &=8.0\ \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

缺少的数值分别为：实验 B 的 \(4.0\ \text{m/s}^2\)，以及实验 C 的 \(8.0\ \text{m/s}^2\)。

(b) 描述半径减半所造成的影响

在实验 A 和 B 之间，半径由 \(8.0\ \text{m}\) 减少至 \(4.0\ \text{m}\)，而速率保持在 \(4.0\ \text{m/s}\)。

加速度由 \(2.0\ \text{m/s}^2\) 增加至 \(4.0\ \text{m/s}^2\)。因此，当速率保持不变时，半径减半会使向心加速度加倍。

这可以从以下方程式看出：

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

当速率固定时，向心加速度与半径成反比。

• a_c = 16/r
• (2, 8)
• (4, 4)
• (8, 2)

(c) 计算实验 C 中的净向内合力

使用牛顿第二运动定律：

\[ F_c=ma_c \]

质量为 \(0.50\ \text{kg}\)，而实验 C 中的加速度为 \(8.0\ \text{m/s}^2\)。

\[ \begin{aligned} F_c&=0.50\times8.0\\ &=4.0\ \text{N} \end{aligned} \]

净向内合力为 \(4.0\ \text{N}\)。

评分指引（6 分）

• (a) 1 分：实验 B 的加速度正确；1 分：实验 C 的加速度正确，并包括单位。
• (b) 1 分：指出加速度加倍；1 分：使用实验数值或反比关系支持此说法。
• (c) 1 分：使用有效方法计算合力；1 分：得出 \(4.0\ \text{N}\)。

第 7 题解答

(a) 计算向心加速度

使用

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

代入 \(v=12\ \text{m/s}\) 及 \(r=40\ \text{m}\)：

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{12^2}{40}\\ &=\frac{144}{40}\\ &=3.6\ \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

汽车的向心加速度为 \(3.6\ \text{m/s}^2\)。

(b) 计算所需合力并检查摩擦力上限

净向内合力为

\[ F_c=ma_c \]

代入数值：

\[ \begin{aligned} F_c&=(1.2\times10^3)(3.6)\\ &=4.32\times10^3\ \text{N}\\ &=4.32\ \text{kN} \end{aligned} \]

取至两位有效数字，所需合力为 \(4.3\ \text{kN}\)。

最大可用摩擦力为 \(5.0\ \text{kN}\)。由于 \(4.3\ \text{kN}\) 小于 \(5.0\ \text{kN}\)，因此在题目所述的假设下，可用的摩擦力足以让汽车以 \(12\ \text{m/s}\) 的速率维持圆周运动。

(c) 计算最大速率

当达到摩擦力上限时，最大可用作用力会提供所需的向内合力：

\[ F_{\max}=\frac{mv_{\max}^2}{r} \]

重新整理方程式，使最大速率成为主项：

\[ v_{\max}=\sqrt{\frac{F_{\max}r}{m}} \]

将 \(5.0\ \text{kN}\) 换算成牛顿：

\[ 5.0\ \text{kN}=5.0\times10^3\ \text{N} \]

代入数值：

\[ \begin{aligned} v_{\max} &=\sqrt{\frac{(5.0\times10^3)(40)} {1.2\times10^3}}\\ &=\sqrt{166.7}\\ &\approx12.9\ \text{m/s} \end{aligned} \]

取至两位有效数字，最大速率为 \(13\ \text{m/s}\)。

这是所需向内合力达到指定最大摩擦力时的理想化临界值。在题目所提供的模型下，如果速率超过此数值，可用的摩擦力便不足以维持圆周运动。

评分指引（6 分）

• (a) 1 分：列出正确方程式并代入数值；1 分：得出 \(3.6\ \text{m/s}^2\)。
• (b) 1 分：计算所需合力约为 \(4.3\ \text{kN}\)；1 分：将其与 \(5.0\ \text{kN}\) 比较，并得出正确结论。
• (c) 1 分：正确重新整理合力方程式；1 分：得出最大速率约为 \(13\ \text{m/s}\)，并标示单位。

第 8 题解答

(a) 计算每个物体的向心加速度

物体 A：

\[ \begin{aligned} a_{c,A}&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{(4.0)^2}{2.0}\\ &=8.0\ \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

物体 B：

\[ \begin{aligned} a_{c,B}&=\frac{(4.0)^2}{4.0}\\ &=4.0\ \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

物体 A 的向心加速度为 \(8.0\ \text{m/s}^2\)，而物体 B 的向心加速度为 \(4.0\ \text{m/s}^2\)。

(b) 计算每个物体的净向内合力

物体 A：

\[ \begin{aligned} F_{c,A}&=ma_{c,A}\\ &=0.50\times8.0\\ &=4.0\ \text{N} \end{aligned} \]

物体 B：

\[ \begin{aligned} F_{c,B}&=ma_{c,B}\\ &=1.0\times4.0\\ &=4.0\ \text{N} \end{aligned} \]

两个物体所需的净向内合力均为 \(4.0\ \text{N}\)。

(c) 评估学生的说法

这项说法并不正确。物体 B 所需的净向内合力并没有比较大；两个物体所需的合力均为 \(4.0\ \text{N}\)。

物体 B 的质量是物体 A 的两倍，但它也以相同的速率，在半径为两倍的圆形路径上运动。因此，它的向心加速度只有物体 A 的一半。这两项变化在合力关系式 \(F_c=ma_c\) 中互相抵销，令两个物体所需的净向内合力相同。

评分指引（6 分）

• (a) 1 分：物体 A 的加速度正确；1 分：物体 B 的加速度正确，并包括单位。
• (b) 1 分：物体 A 的净向内合力正确；1 分：物体 B 的净向内合力正确，并包括单位。
• (c) 1 分：否定该说法，并指出两个物体所受的合力相等；1 分：解释物体 B 的质量加倍，正好由其加速度减半所抵销。

试卷完毕 – 共 40 分