行星表面的重力场强度

假设一颗新发现的行星质量是地球的两倍。你会预期它的表面重力也是地球的两倍吗？

这个推测很容易让人信服，但现在还不能下结论。如果这颗行星也大得多，那么它的表面就会离全部质量更远。重力场强度同时取决于行星的质量和半径。

这就是我们要解决的整个问题：已知一颗行星的质量和半径，它表面的重力有多强？

01为什么半径很重要

想像你站在一颗球形行星上。重力会把你拉向行星的中心。

对于球对称的行星，行星外部的重力场表现得就像它的全部质量都集中在中心一样。因此，重要的距离不是你离地面的高度，而是你离行星中心的距离。

在表面上，这个距离就是行星的半径 \(R\)。

现在想像行星的质量保持不变，但让行星变得更膨大。你站的位置会离行星中心更远，因此表面的重力场会变弱。

一个有用的想像方式，是把相同的重力影响看成分布在愈来愈大的球面上。半径增加为两倍的球，其表面积会变成四倍，这暗示了为什么重力场会随距离的平方而减弱。重力当然不是真的像某种物质一样被「摊开」，所以这个想像有其限制，但它能呈现正确的平方反比关系。

02从万有引力到重力场强度

牛顿万有引力定律给出质量为 \(M\) 的行星与质量为 \(m\) 的物体之间的作用力：

\[ F = \frac{GMm}{r^2} \]

其中：

• \(F\) 是重力，单位为牛顿 \(\mathrm{N}\)，
• \(G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\) 是万有引力常数，
• \(M\) 是行星的质量，单位为公斤，
• \(m\) 是受到吸引的物体质量，单位为公斤，而
• \(r\) 是两者质心之间的距离，单位为公尺。

重力场强度 \(g\) 表示每公斤质量所受到的重力：

\[ g = \frac{F}{m} \]

把牛顿万有引力代入这个定义：

\[ g = \frac{1}{m}\left(\frac{GMm}{r^2}\right) \]

物体的质量可以约去：

\[ g = \frac{GM}{r^2} \]

在行星表面，\(r=R\)，因此：

\[ \boxed{g = \frac{GM}{R^2}} \]

这里的 \(R\) 必须是以公尺表示的行星半径。

这个约去的过程说明了一个重要结果。一个 \(2\ \mathrm{kg}\) 的物体所受重力，是 \(1\ \mathrm{kg}\) 物体的两倍，但它的惯性也同样是两倍。因此，如果重力是唯一作用力，两个物体的加速度会相同。

重力场强度的单位是 \(\mathrm{N\,kg^{-1}}\)。由于 \(1\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{kg\,m\,s^{-2}}\)，

\[ 1\ \mathrm{N\,kg^{-1}} = 1\ \mathrm{m\,s^{-2}} \]

因此，\(9.8\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\) 的重力场强度也表示自由落体会以 \(9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) 的加速度运动，前提是重力是唯一显著的作用力。

如果你想重新了解重力公式的由来，请参阅 HSC Physics 的牛顿万有引力定律。

03质量和半径实际上有什么作用

方程式

\[ g=\frac{GM}{R^2} \]

包含两个互相竞争的影响。

最后一列特别值得注意。

一颗行星的质量可以是另一颗行星的四倍，但只要它的半径也是两倍，两者的表面重力就可以完全相同。

所以，「质量更大的行星」并不会自动代表「表面重力更强」。

04一套可靠的计算方法

在 HSC 计算题中，可以依照以下步骤：

1. 找出行星的质量 \(M\)。
2. 找出它的半径 \(R\)。
3. 如有需要，把半径换算成公尺。
4. 将半径平方。
5. 代入 \(g=GM/R^2\)。
6. 以 \(\mathrm{N\,kg^{-1}}\) 或 \(\mathrm{m\,s^{-2}}\) 表示 \(g\)。
7. 检查答案在物理上是否合理。

最常见的计算机错误，是没有正确处理 \(R^2\)。

例如，

\[ (5.0\times10^6)^2 = 25\times10^{12} = 2.5\times10^{13} \]

数值和 10 的次方都必须平方。

范例：计算一颗行星上的重力

一颗球形行星的质量为 \(5.20\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)，半径为 \(5.80\times10^6\ \mathrm{m}\)。计算它表面的重力场强度。

步骤 1：找出适用的方程式。

在行星表面，

\[ g=\frac{GM}{R^2} \]

步骤 2：代入数值，包括单位。

\[ g= \frac{(6.67\times10^{-11})(5.20\times10^{24})} {(5.80\times10^6)^2} \]

步骤 3：计算半径的平方，并求出结果。

\[ \begin{aligned} R^2 &= 3.364\times10^{13}\ \mathrm{m^2} \\ g &= \frac{3.4684\times10^{14}} {3.364\times10^{13}} \\ &=10.31\ \mathrm{N\,kg^{-1}} \end{aligned} \]

取三位有效数字，

\[ g=10.3\ \mathrm{N\,kg^{-1}} \]

步骤 4：解释结果。

在表面上，每公斤质量大约受到 \(10.3\ \mathrm{N}\) 的重力。忽略空气阻力和行星自转等影响时，在表面附近自由落下的物体会以约 \(10.3\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) 的加速度运动。

05不使用 \(G\) 比较行星

有时题目会以另一颗行星作为基准，给出某颗行星的相对质量和相对半径。

在这种情况下，没有必要分别计算每一个数值。

对两颗行星而言，

\[ g_1=\frac{GM_1}{R_1^2} \]

以及

\[ g_2=\frac{GM_2}{R_2^2} \]

用第二个方程式除以第一个：

\[ \frac{g_2}{g_1} = \frac{M_2}{M_1} \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 \]

常数 \(G\) 会约去。

这种比值方法通常更快，也更容易看出其中的物理关系。

范例：质量更大的行星，重力反而更弱？

行星 X 的质量是地球的 \(3.20\) 倍，半径是地球的 \(1.80\) 倍。取地球表面重力场强度为 \(9.81\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)。计算行星 X 的表面重力场强度。

在计算之前，先作出预测。行星 X 的质量超过地球的三倍，所以它的表面重力是否应该强很多？

不一定。较大的半径使它的表面离行星中心远得多。

步骤 1：写出比值方程式。

\[ \frac{g_X}{g_E} = \frac{M_X}{M_E} \left(\frac{R_E}{R_X}\right)^2 \]

步骤 2：代入相对质量和相对半径。

\[ \frac{g_X}{g_E} = 3.20\left(\frac{1}{1.80}\right)^2 = \frac{3.20}{3.24} = 0.988 \]

步骤 3：计算行星 X 的重力场强度。

\[ \begin{aligned} g_X &=0.988(9.81)\\ &=9.69\ \mathrm{N\,kg^{-1}} \end{aligned} \]

步骤 4：解释结果。

虽然行星 X 的质量是地球的 \(3.20\) 倍，但因为它的半径也大得多，所以表面重力反而略弱。

半径的平方在这里产生了很大的影响。

06迷思：「质量更大的行星有更强的表面重力」

这个说法并不完整。

假设行星 B 的质量是行星 A 的四倍。你可能会立刻预测，它的表面重力也是四倍。

现在再假设行星 B 的半径也是两倍。

那么

\[ \frac{g_B}{g_A} = 4\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \]

两颗行星的表面重力场强度完全相同。

问题在于，「质量更大」只告诉了你一半的资讯。表面重力取决于有多少质量，以及表面距离那些质量有多远。

一个有点滑稽的记忆方式，是把重力想像成有人隔著房间想引起你的注意。更多人一起大喊会让效果更强，但如果你移得远很多，传到你这里的效果就会变弱。这个类比并不完全成立，因为重力遵循精确的平方反比定律，而房间里的声音行为要复杂得多；不过，「来源增加」与「距离增加」之间的竞争关系仍然很有帮助。

07要准确理解「表面」的意思

方程式

\[ g=\frac{GM}{R^2} \]

使用的是到行星中心的距离。

当题目出现高度时，这一点非常重要。

如果一颗行星的半径为 \(R\)，太空船位于高度 \(h\)，那么它到行星中心的距离为

\[ r=R+h \]

因此该处的重力场为

\[ g=\frac{GM}{(R+h)^2} \]

不要只把 \(h\) 放进分母。

例如，一艘太空船位于等于一个行星半径的高度时，它并不是距离行星中心 \(R\)。它到中心的距离是

\[ R+R=2R \]

因此，它所处位置的重力场强度为

\[ g=\frac{GM}{(2R)^2} =\frac{1}{4}\frac{GM}{R^2} \]

所以重力是表面值的四分之一，而不是二分之一。

当你从表面重力进一步学习卫星和轨道运动时，这种平方反比关系会变得非常重要。

08表面重力模型有哪些限制

在一般的 HSC 题目中，行星通常被视为球形，而且具有球对称的质量分布。

在这个模型下，行星外部的重力场表现得就像全部质量都集中在行星中心一样。

有几个限制值得清楚掌握：

• \(R\) 是从中心量起，而不是从地面量起。
• 这个简单方程式给出的是行星本身产生的重力场。行星自转可能会改变站在表面上的人所测得的有效重量。
• 方程式 \(GM/r^2\) 适用于球形行星外部。在行星内部，不能直接假设整颗行星的全部质量仍集中在中心，并原封不动地使用相同计算。
• 局部密度差异、山脉和不规则形状，都可能使真实重力场出现微小差异。HSC 计算通常会忽略这些因素，除非题目另有说明。

这些限制并不是不用这个模型的理由。它们反而清楚告诉你这个模型在什么情况下适用。

09问题与解答

问题 1

一颗球形行星的质量为 \(4.80\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)，半径为 \(5.50\times10^6\ \mathrm{m}\)。

计算它表面的重力场强度。

解答 1

表面重力场强度为 \(10.6\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)。

使用

\[ g=\frac{GM}{R^2} \]

其中 \(G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\)。

\[ \begin{aligned} g &= \frac{(6.67\times10^{-11})(4.80\times10^{24})} {(5.50\times10^6)^2}\\ &= \frac{3.2016\times10^{14}} {3.025\times10^{13}}\\ &=10.58\ \mathrm{N\,kg^{-1}} \end{aligned} \]

取三位有效数字，

\[ g=10.6\ \mathrm{N\,kg^{-1}} \]

这表示位于表面的 \(1.00\ \mathrm{kg}\) 物体受到约 \(10.6\ \mathrm{N}\) 的重力。

一个很容易犯的错误，是只平方 \(5.50\)，或只平方 \(10^6\)。整个半径 \(5.50\times10^6\) 都必须平方。

问题 2

行星 B 的半径是行星 A 半径的 \(1.50\) 倍。

行星 B 表面的重力场强度是行星 A 表面重力场强度的 \(80.0\%\)。

求比值 \(M_B/M_A\)。

说明为什么行星 B 可以比行星 A 质量更大，但表面重力仍然较弱。

解答 2

虽然行星 B 的表面重力较弱，但它的质量是行星 A 的 \(1.80\) 倍。

先从比值开始：

\[ \frac{g_B}{g_A} = \frac{M_B}{M_A} \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^2 \]

题目给出

\[ \frac{g_B}{g_A}=0.800 \]

以及

\[ \frac{R_B}{R_A}=1.50 \]

所以

\[ \frac{R_A}{R_B}=\frac{1}{1.50} \]

因此，

\[ 0.800 = \frac{M_B}{M_A} \left(\frac{1}{1.50}\right)^2 \]

整理可得，

\[ \begin{aligned} \frac{M_B}{M_A} &=0.800(1.50)^2\\ &=0.800(2.25)\\ &=1.80 \end{aligned} \]

所以

\[ \frac{M_B}{M_A}=1.80 \]

行星 B 的质量较大，但它的表面距离中心也是 \(1.50\) 倍。因为距离在重力场方程式中要平方，所以这个较大的半径足以抵销并超过额外质量所带来的影响。

很容易走错的思路，是假设质量较大一定代表表面重力较大。只有当两颗行星半径相同时，这才成立。

问题 3

一颗行星的半径为 \(7.00\times10^6\ \mathrm{m}\)，表面重力场强度为 \(9.53\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)。

一个 \(75.0\ \mathrm{kg}\) 的探测器上升到距离表面 \(7.00\times10^6\ \mathrm{m}\) 的高度。

计算：

a. 探测器在新位置的重力场强度，以及
b. 探测器在表面和新位置所受的重力。

一名学生声称，由于探测器向上移动了一个行星半径，所以重力场应该变成原来的一半。解释这个错误。

解答 3

探测器所在位置的重力场为 \(2.38\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)，而它所受的重力则由约 \(715\ \mathrm{N}\) 降至 \(179\ \mathrm{N}\)。

高度是一个行星半径，但计算重力所用的距离是从行星中心量起。

在表面，

\[ r=R \]

在新位置，

\[ r=R+h=R+R=2R \]

由于重力场强度遵循平方反比关系，

\[ \frac{g_{\text{新位置}}}{g_{\text{表面}}} = \left(\frac{R}{2R}\right)^2 = \frac14 \]

因此，

\[ \begin{aligned} g_{\text{新位置}} &=\frac{9.53}{4}\\ &=2.3825\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\\ &\approx2.38\ \mathrm{N\,kg^{-1}} \end{aligned} \]

对探测器所受的重力，使用

\[ F=mg \]

在表面，

\[ \begin{aligned} F_{\text{表面}} &=(75.0)(9.53)\\ &=714.75\ \mathrm{N}\\ &\approx715\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

在新位置，

\[ \begin{aligned} F_{\text{新位置}} &=(75.0)(2.3825)\\ &=178.7\ \mathrm{N}\\ &\approx179\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

这名学生预测重力会变成一半，是把重力误认为与距离成反比。事实上，重力与距离的平方成反比。因此，到中心的距离加倍会使重力场降至四分之一。

「向上移动一个半径」这句话就是陷阱。真正相关的距离是由 \(R\) 变成 \(2R\)。

问题 4

一颗球形行星最初的质量为 \(M\)、半径为 \(R\)，表面重力场强度为 \(g_0\)。

行星收缩，直到半径变为 \(R/2\)，而且没有损失任何质量。

行星收缩后立即考虑两个小物体：

• 物体 A 保持在原本的位置，即距离行星中心 \(R\)。
• 物体 B 静止在行星的新表面，即距离中心 \(R/2\)。

忽略自转以及收缩过程本身造成的任何影响。

以 \(g_0\) 表示 A 和 B 所在位置的重力场强度。

物体 A 原本悬停，是因为推进器提供的向上推力恰好等于它的重量。如果推进器的推力维持不变，判断行星收缩后 A 在最初瞬间会向内加速、向外加速，还是继续悬停。

解答 4

物体 A 仍然受到 \(g_0\) 的重力场，物体 B 则受到 \(4g_0\) 的重力场；如果 A 的推进器推力保持不变，它会继续悬停。

原本，

\[ g_0=\frac{GM}{R^2} \]

行星虽然收缩，但质量仍然是 \(M\)。

物体 A 仍然距离中心 \(R\)。因此，

\[ g_A=\frac{GM}{R^2}=g_0 \]

它所在位置的重力场没有改变。

物体 B 位于新的表面，而此处

\[ r=\frac{R}{2} \]

所以

\[ \begin{aligned} g_B &= \frac{GM}{(R/2)^2}\\ &= \frac{GM}{R^2/4}\\ &= 4\frac{GM}{R^2}\\ &=4g_0 \end{aligned} \]

在收缩之前，物体 A 的推进器提供的向上推力为

\[ F_{\text{推力}}=mg_0 \]

收缩之后，A 仍然位于距离相同总质量相同距离的位置，所以它受到的重力仍然是

\[ F_g=mg_0 \]

因此，两个力仍然平衡，初始加速度为零。

一个很容易产生的错误预测是：既然行星变得更密，行星外部各处的重力一定都会变强。但对球形质量而言，牛顿模型并不是这样。

收缩会大幅增加新表面的重力，因为新表面离中心更近。但在固定的外部距离 \(r=R\) 上，总质量和距离都没有改变，所以重力场也保持不变。

关键在于追踪到行星中心的距离，而不是离表面的高度。

问题 5

两颗球形行星 A 和 B 的表面重力场强度都相同，为 \(g_0\)。

行星 A 的半径为 \(R\)。行星 B 的半径为 \(2R\)。

从两颗行星的表面，分别将相同的物体以相同初速度 \(v\) 垂直向上发射，其中

\[ v^2=\frac12g_0R \]

忽略大气和行星自转。

利用机械能守恒以及重力位能

\[ U=-\frac{GMm}{r}, \]

判断哪一个物体相对于其行星表面能到达较大的最大高度。

一名学生认为，两个物体到达的高度一定相同，因为它们的初速度相同，而且两颗行星表面的 \(g\) 值也相同。准确解释这个推理为什么不成立。

解答 5

从较小的行星 A 发射的物体上升得更高：它能上升至表面上方 \(R/3\)，而从行星 B 发射的物体只能上升至表面上方 \(2R/7\)。

只有在整个飞行过程中重力场强度保持不变时，这名学生认为高度相等的论点才会成立。实际上并非如此。当物体远离各自的行星时，重力会减弱，而这种变化的速率取决于行星半径。

对行星 A，机械能守恒给出

\[ \frac12mv^2-\frac{GM_Am}{R} = -\frac{GM_Am}{R+h_A} \]

其中 \(h_A\) 是相对于表面的最大高度。

约去 \(m\)：

\[ \frac12v^2 = GM_A \left( \frac1R-\frac{1}{R+h_A} \right) \]

因为行星 A 的表面重力是 \(g_0\)，

\[ g_0=\frac{GM_A}{R^2} \]

所以

\[ GM_A=g_0R^2 \]

发射条件为

\[ v^2=\frac12g_0R \]

因此

\[ \frac12v^2=\frac14g_0R \]

代入这些结果：

\[ \frac14g_0R = g_0R^2 \left( \frac1R-\frac1{R+h_A} \right) \]

约去 \(g_0R\)：

\[ \frac14 = 1-\frac{R}{R+h_A} \]

因此，

\[ \frac{R}{R+h_A}=\frac34 \]

所以

\[ R+h_A=\frac43R \]

而

\[ h_A=\frac13R \]

现在考虑行星 B。

它的半径是

\[ R_B=2R \]

而且它的表面重力同样是 \(g_0\)。因此，

\[ GM_B=g_0R_B^2 =g_0(2R)^2 =4g_0R^2 \]

由能量守恒可得

\[ \frac12v^2 = GM_B \left( \frac1{2R}-\frac1{2R+h_B} \right) \]

代入 \(\frac12v^2=\frac14g_0R\) 和 \(GM_B=4g_0R^2\)，

\[ \frac14g_0R = 4g_0R^2 \left( \frac1{2R}-\frac1{2R+h_B} \right) \]

等价而且更简洁的形式为

\[ \frac14g_0R = 2g_0R\frac{h_B}{2R+h_B} \]

约去 \(g_0R\)：

\[ \frac14 = \frac{2h_B}{2R+h_B} \]

因此，

\[ \begin{aligned} 2R+h_B&=8h_B\\ 2R&=7h_B\\ h_B&=\frac{2R}{7} \end{aligned} \]

比较两个高度：

\[ h_A=\frac{R}{3}\approx0.333R \]

以及

\[ h_B=\frac{2R}{7}\approx0.286R \]

所以行星 A 上的最大高度较大。

容易让人误用的定 \(g\) 方法会使用

\[ v^2=2gh \]

并因为 \(v\) 和 \(g_0\) 都相同，而预测两颗行星上的高度相同。但这个方程式假设在整段位移中 \(g\) 实际上可以视为常数。

在这里，物体上升的距离是行星半径的相当大一部分。因此，重力场在运动过程中会发生显著变化。

行星 A 较小，所以同样的向上位移，会对应到相对于行星中心距离更大的比例增幅。因此，它的重力场在上升过程中减弱得更快。与定 \(g\) 模型的预测相比，物体的动能因重力而减少得较慢，所以能上升得更高。

这就是重要的结果：表面重力相同，并不表示两颗行星在各自表面上方的所有位置都具有相同的重力场。

10从表面重力还可以进一步求出什么

一旦你会使用

\[ g=\frac{GM}{R^2}, \]

表面重力就不再是每颗行星都必须个别背诵的一项数据。你可以根据行星的物理性质预测它。

下一步，是把固定的表面距离 \(R\) 换成会改变的距离 \(r\)。这样你就能分析重力场如何随高度增加而减弱、太空船如何绕行星运动，以及为什么轨道运动同时取决于距离和中心天体的质量。

同一个平方反比重力场会直接延伸到轨道速度、轨道周期，以及 HSC Physics 的克卜勒行星运动三定律。