角速度、线速度、周期与频率：练习试卷

这是 tutorgum 原创的练习试卷，主题是等速圆周运动中角度与线性运动的相关描述。本试卷评估所提供的《物理》2017 年版课程范围内有关角速度、线速度、周期及频率的知识。本试卷是针对特定主题设计的练习试卷，并非涵盖整个课程的模拟考试，也不是 NESA 官方发布、认可、历届使用或预测的试卷。

01考试指示

• 建议作答时间： 50 分钟。
• 阅读时间： 5 分钟。
• 总分： 36 分。
• 允许使用的器材： 科学计算机、原子笔及铅笔。不得使用笔记。
• 考试条件： 以上为练习试卷的作答条件，并非对 NESA 官方考试规则的声明。

评核范围

本试卷涵盖以下内容：

• 在转数、弧度、频率及周期之间进行换算。
• 根据角位移及经过时间计算角速度。
• 说明角速度与频率、周期及线速度之间的关系。
• 比较同一旋转物体上不同半径位置的各点。
• 区分相同角速度与相同线速度。
• 解读等速圆周运动的数值资料。

本试卷不包括向心加速度与向心力、力矩、角加速度、非等速圆周运动，以及其他课程纲要版本的内容。

符号与单位

请在整份试卷中使用以下符号。

• 角位移 \(\Delta\theta\) 是角位置的变化量，以弧度（rad）为单位。
• 角速度 \(\omega\) 描述角位移的变化率，以每秒弧度（\(\text{rad s}^{-1}\)）为单位。
• 半径 \(r\) 以公尺（m）为单位。
• 线速度 \(v\) 以公尺每秒（\(\text{m s}^{-1}\)）为单位。
• 经过时间 \(t\) 以秒（s）为单位。
• 周期 \(T\) 是完成一整转所需的时间，以秒（s）为单位。
• 频率 \(f\) 是每秒完成的转数，以赫兹（Hz）为单位。

凡是描述为等速旋转的情况，均假设为等速圆周运动。请使用 \(\pi\) 或计算机提供的数值，并在答案中标明单位。除非所提供的数据只支持较少的有效数字，否则答案均应取至三位有效数字。

所有题目均列于详解之前。请先在限时条件下完成试卷，再查阅评分指引。

02题目

第 1 题（4 分）

一个转盘在 10.0 s 内完成 15 转。

(a) 求转盘的频率及周期。（2 分）

(b) 求转盘在这 10.0 s 时间内的角位移，以弧度表示。（1 分）

(c) 计算这段时间内的平均角速度。（1 分）

第 2 题（5 分）

一根传动轴以每分钟 120.0 转（rpm）的恒定速率旋转。

(a) 将此旋转速率换算为以赫兹表示的频率。（1 分）

(b) 计算传动轴的角速度，以每秒弧度表示。（2 分）

(c) 计算传动轴在 3.50 s 时间内的角位移。（2 分）

第 3 题（5 分）

旋转平台上的一个标记点沿著半径为 0.400 m 的路径作等速圆周运动。它每隔 1.60 s 完成一整转。

(a) 计算该标记点的线速度。（2 分）

(b) 计算该标记点的角速度。（1 分）

(c) 计算该标记点在 12.0 s 内行经的距离。（2 分）

第 4 题（5 分）

一个刚性转盘以 \(0.80\ \text{rad s}^{-1}\) 的恒定角速度旋转。

A 点距离转盘中心 0.10 m，而 B 点距离转盘中心 0.30 m。

(a) 比较 A 点与 B 点的角速度，并解释你的答案。（2 分）

(b) 计算每个点的线速度。（2 分）

(c) 求 B 点的线速度与 A 点的线速度之比。（1 分）

第 5 题（6 分）

物体 X 和 Y 均作等速圆周运动。物体 X 沿著半径为 0.200 m 的圆周运动，每隔 0.500 s 完成一整转。物体 Y 沿著半径为 0.350 m 的圆周运动。

两个物体的线速度相同。

(a) 计算物体 X 的线速度。（2 分）

(b) 求物体 Y 的周期。（2 分）

(c) 哪个物体的角速度较大？请运用线速度、半径与角速度之间的关系，说明你的答案。（2 分）

第 6 题（5 分）

一个旋转感应器记录了不同时间相对于起始位置的角位移。在整个测量过程中，旋转均保持等速。

(a) 使用 0.00 s 至 1.50 s 的测量数据，计算角速度。（2 分）

(b) 计算 6.0 s 后的角位移，并将此位移表示为转数。（2 分）

(c) 感应器上有一点距离旋转轴 0.250 m。计算该点的线速度。（1 分）

第 7 题（6 分）

一个旋转检测平台以 45.0 rpm 运作。感应器 A 安装在距离中心 0.120 m 的位置，而感应器 B 安装在距离中心 0.280 m 的位置。

(a) 将平台的旋转速率换算为角速度，以每秒弧度表示。（2 分）

(b) 计算每个感应器的线速度。（2 分）

(c) 将感应器 B 移至半径为 0.200 m 的位置，并调整平台的旋转速率，使该感应器的线速度维持在原来的数值。计算新的角速度，以每秒弧度表示，并将新的旋转速率表示为 rpm。（2 分）

03详解与评分指引

请根据以下列出的解题步骤给分。接受在数学上等价的方法及适当的数值取舍。若学生正确使用先前的数值结果，即使该结果包含较早出现的错误，仍应给予相应的后续步骤分。

解答 1

(a) 求频率及周期。（2 分）

频率是每秒完成的转数。转盘在 10.0 s 内完成 15 转，因此

\[ f=\frac{15}{10.0}=1.50\ \text{Hz} \]

周期是完成一整转所需的时间，亦即频率的倒数：

\[ T=\frac{1}{f}=\frac{1}{1.50}=0.667\ \text{s} \]

答案：\(f=1.50\ \text{Hz}\) 及 \(T=0.667\ \text{s}\)。

评分指引：

• 频率正确，得 1 分。
• 周期正确，得 1 分。

(b) 求角位移。（1 分）

一整转相当于 \(2\pi\) 弧度。因此，15 转相当于

\[ \Delta\theta=15(2\pi)=30\pi \]

\[ \Delta\theta=94.2\ \text{rad} \]

评分指引：

• 角位移正确，并以弧度为单位，得 1 分。

(c) 计算平均角速度。（1 分）

角速度等于角位移除以经过的时间：

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\\ &=\frac{30\pi}{10.0}\\ &=9.42\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

评分指引：

• 角速度及其单位正确，得 1 分。

总分：4 分。

解答 2

(a) 将 rpm 换算为频率。（1 分）

一分钟有 60 秒。将旋转速率除以 60，即可得到每秒转数：

\[ f=\frac{120.0}{60}=2.00\ \text{Hz} \]

评分指引：

• 频率正确，并以赫兹为单位，得 1 分。

(b) 计算角速度。（2 分）

每转一整圈相当于 \(2\pi\) 弧度。由于传动轴每秒完成 \(f\) 转，因此其角速度为

\[ \omega=2\pi f \]

代入频率：

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi(2.00)\\ &=4\pi\\ &=12.6\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

评分指引：

• 正确写出角速度与频率之间的关系，得 1 分。
• 数值答案及其单位正确，得 1 分。

(c) 计算 3.50 s 内的角位移。（2 分）

对于等速旋转，角位移等于角速度乘以经过的时间：

\[ \begin{aligned} \Delta\theta&=\omega t\\ &=(4\pi)(3.50)\\ &=14\pi\\ &=44.0\ \text{rad} \end{aligned} \]

评分指引：

• 使用正确的角位移关系式，得 1 分。
• 数值答案及其单位正确，得 1 分。

总分：5 分。

解答 3

(a) 计算线速度。（2 分）

标记点在每个周期 \(T\) 内行经一个圆周，其长度为 \(2\pi r\)。线速度等于行经的距离除以所需时间，因此

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

代入 \(r=0.400\ \text{m}\) 及 \(T=1.60\ \text{s}\)：

\[ \begin{aligned} v&=\frac{2\pi(0.400)}{1.60}\\ &=1.57\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

答案：\(1.57\ \text{m s}^{-1}\)。

评分指引：

• 公式正确，得 1 分。
• 数值答案及其单位正确，得 1 分。

(b) 计算角速度。（1 分）

一整转相当于 \(2\pi\) 弧度，因此角速度为

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{2\pi}{T}\\ &=\frac{2\pi}{1.60}\\ &=3.93\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

评分指引：

• 角速度及其单位正确，得 1 分。

(c) 计算 12.0 s 内行经的距离。（2 分）

标记点以恒定线速度运动，因此行经的距离等于线速度乘以经过的时间：

\[ \begin{aligned} d&=vt\\ &=(1.5708)(12.0)\\ &=18.8\ \text{m} \end{aligned} \]

答案：\(18.8\ \text{m}\)。

评分指引：

• 使用 \(d=vt\)，得 1 分。
• 距离及其单位正确，得 1 分。

总分：5 分。

解答 4

(a) 比较角速度。（2 分）

两个点都位于同一个刚性转盘上。在任何指定的时间间隔内，转盘上所有位置的角位移都相同。

因此，

\[ \omega_A=\omega_B=0.80\ \text{rad s}^{-1} \]

即使两个点位于不同半径的位置，它们的角速度仍然相同。

评分指引：

• 指出两点的角速度相同，得 1 分。
• 解释两点在相同时间内经历相同的角位移，得 1 分。

(b) 计算线速度。（2 分）

角速度与线速度的关系为

\[ v=\omega r \]

对于 A 点：

\[ \begin{aligned} v_A&=(0.80)(0.10)\\ &=0.080\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

对于 B 点：

\[ \begin{aligned} v_B&=(0.80)(0.30)\\ &=0.24\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

由于 B 点距离旋转轴较远，因此其运动速度较快。在相同时间内，B 点在完成相同角位移的同时，会沿著较长的圆弧移动。

评分指引：

• A 点的线速度正确，得 1 分。
• B 点的线速度正确，得 1 分。

(c) 求线速度之比。（1 分）

\[ \frac{v_B}{v_A}=\frac{0.24}{0.080}=3.0 \]

因此，

\[ v_B:v_A=3:1 \]

评分指引：

• 比值正确，得 1 分。

总分：5 分。

解答 5

(a) 计算物体 X 的线速度。（2 分）

物体 X 的半径为 \(r_X=0.200\ \text{m}\)，周期为 \(T_X=0.500\ \text{s}\)。

利用每转一整圈所行经的圆周长，

\[ v_X=\frac{2\pi r_X}{T_X} \]

代入数值：

\[ \begin{aligned} v_X&=\frac{2\pi(0.200)}{0.500}\\ &=2.51\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

评分指引：

• 公式及代入数值正确，得 1 分。
• 线速度及其单位正确，得 1 分。

(b) 求物体 Y 的周期。（2 分）

两个物体的线速度相同，因此

\[ v_Y=v_X=2.513\ \text{m s}^{-1} \]

物体 Y 的线速度等于其圆周长除以周期：

\[ v_Y=\frac{2\pi r_Y}{T_Y} \]

重新整理公式，以周期为主项：

\[ T_Y=\frac{2\pi r_Y}{v_Y} \]

代入数值：

\[ \begin{aligned} T_Y&=\frac{2\pi(0.350)}{2.513}\\ &=0.875\ \text{s} \end{aligned} \]

答案：\(T_Y=0.875\ \text{s}\)。

评分指引：

• 公式正确地重新整理并代入数值，得 1 分。
• 周期及其单位正确，得 1 分。

(c) 比较角速度。（2 分）

线速度与角速度之间的关系为

\[ \omega=\frac{v}{r} \]

对于物体 X：

\[ \omega_X=\frac{2.513}{0.200}=12.6\ \text{rad s}^{-1} \]

对于物体 Y：

\[ \omega_Y=\frac{2.513}{0.350}=7.18\ \text{rad s}^{-1} \]

物体 X 的角速度较大。两个物体的线速度相同，但 X 的半径较小。因此，X 必须具有较大的角速度，才能产生相同的线速度。

评分指引：

• 正确运用线速度、半径与角速度之间的关系，得 1 分。
• 正确指出物体 X 的角速度较大，得 1 分。

总分：6 分。

解答 6

(a) 根据测量数据计算角速度。（2 分）

角速度等于角位移的变化量除以经过的时间：

\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]

使用 0.00 s 及 1.50 s 时的测量数据：

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{3.60-0.00}{1.50-0.00}\\ &=2.40\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

答案：\(2.40\ \text{rad s}^{-1}\)。

评分指引：

• 关系式正确，并正确使用数据，得 1 分。
• 角速度及其单位正确，得 1 分。

(b) 计算角位移并换算为转数。（2 分）

由于旋转是等速的，因此 6.0 s 后的角位移为

\[ \begin{aligned} \Delta\theta&=\omega t\\ &=(2.40)(6.0)\\ &=14.4\ \text{rad} \end{aligned} \]

一整转相当于 \(2\pi\) 弧度。因此，转数为

\[ \begin{aligned} N&=\frac{\Delta\theta}{2\pi}\\ &=\frac{14.4}{2\pi}\\ &=2.29\ \text{revolutions} \end{aligned} \]

此处的 \(N\) 代表转数。

答案：\(14.4\ \text{rad}\)，或 \(2.29\) 转。

评分指引：

• 角位移正确，得 1 分。
• 换算为转数的结果正确，得 1 分。

(c) 计算线速度。（1 分）

该点距离旋转轴 \(0.250\ \text{m}\)。使用 \(v=\omega r\)，

\[ \begin{aligned} v&=(2.40)(0.250)\\ &=0.600\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

评分指引：

• 线速度及其单位正确，得 1 分。

总分：5 分。

• 斜率 = ω = 2.40 rad s⁻¹

解答 7

(a) 将旋转速率换算为角速度。（2 分）

平台以每分钟 45.0 转的速率旋转。换算为每秒转数：

\[ f=\frac{45.0}{60}=0.750\ \text{Hz} \]

由于每转一整圈相当于 \(2\pi\) 弧度，

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi f\\ &=2\pi(0.750)\\ &=4.71\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

答案：\(4.71\ \text{rad s}^{-1}\)。

评分指引：

• 正确将 rpm 换算为频率，得 1 分。
• 角速度及其单位正确，得 1 分。

(b) 计算两个感应器的线速度。（2 分）

旋转物体上某一点的线速度为

\[ v=\omega r \]

对于感应器 A：

\[ \begin{aligned} v_A&=(4.712)(0.120)\\ &=0.565\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

对于感应器 B：

\[ \begin{aligned} v_B&=(4.712)(0.280)\\ &=1.32\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

由于感应器 B 距离旋转轴较远，因此其线速度较大。两个感应器安装在同一个刚性平台上时，具有相同的角速度。

评分指引：

• 感应器 A 的线速度正确，得 1 分。
• 感应器 B 的线速度正确，得 1 分。

(c) 计算新的角速度及旋转速率。（2 分）

感应器 B 必须维持原来约为 \(1.319\ \text{m s}^{-1}\) 的线速度。其新的半径为 \(0.200\ \text{m}\)。

重新整理 \(v=\omega r\)，

\[ \begin{aligned} \omega_{\text{new}}&=\frac{v}{r_{\text{new}}}\\ &=\frac{1.319}{0.200}\\ &=6.60\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

若要将新的角速度换算为每分钟转数，先将每秒弧度换算为每秒转数，再乘以 60：

\[ \begin{aligned} f_{\text{new}}&=\frac{\omega_{\text{new}}}{2\pi}\\ &=\frac{6.596}{2\pi}\\ &=1.05\ \text{Hz} \end{aligned} \]

\[ \text{Rotation rate}=1.05(60)=63.0\ \text{rpm} \]

答案：\(\omega_{\text{new}}=6.60\ \text{rad s}^{-1}\)，旋转速率为 \(63.0\ \text{rpm}\)。

新的旋转速率较高，因为感应器更靠近旋转轴。要在较小的半径下维持相同的线速度，平台就必须旋转得更快。

评分指引：

• 正确使用保持不变的线速度，计算新的角速度，得 1 分。
• 正确将角速度换算为 rpm，得 1 分。

总分：6 分。

最终分数核对

本试卷的核心关系是：角速度描述角位置变化的快慢，而线速度描述沿圆形路径移动的距离变化的快慢。对于等速圆周运动，两者之间的关系为

\[ v=\omega r=\frac{2\pi r}{T} \]

同一个刚性旋转物体上的各点具有相同的角速度，但它们的线速度取决于各点与旋转轴之间的距离。相反，若两个物体具有相同的线速度，半径较小的物体便具有较大的角速度。