阴极射线与电荷质量比实验：练习试卷

这份原创 tutorgum 练习试卷著重于阴极射线所提供的带负电粒子证据，以及汤姆森的电荷质量比实验。本试卷评估学生对偏转现象的观察、交叉电磁场中的速度筛选、磁场中的圆周运动，以及实验结果诠释的理解。这是一份针对特定主题的练习试卷，并非完整课程考试，也不是官方试卷、历届试卷、预测试卷或经 NESA 认可的试卷。

01考试指示

• 建议阅读时间： 5 分钟。
• 作答时间： 50 分钟。
• 总分： 40 分。
• 允许使用的设备： 计算机。不允许使用笔记。
• 请展示完整计算过程，包括方程式、代入数值、单位及最终答案。
• 计算时请使用 SI 单位，并以适当的有效数字给出数值答案。
• 如果题目需要使用前一题的结果，请使用你在前一题得出的结果。在适当情况下，即使前题的答案有误，后续正确的计算方法仍可获得延续给分。

假设与符号

除非另有说明，假设电场和磁场均为均匀场、边缘效应可以忽略，而且粒子束的速度远低于光速。粒子束的速度方向与磁场垂直。当电场关闭时，粒子束的速度保持不变。

本试卷使用以下符号：

• \(E\)：电场强度，单位为伏特每米（\(\mathrm{V\,m^{-1}}\)）。
• \(B\)：磁通密度，单位为特斯拉（\(\mathrm{T}\)）。
• \(v\)：粒子速度，单位为米每秒（\(\mathrm{m\,s^{-1}}\)）。
• \(r\)：曲线路径的半径，单位为米（\(\mathrm{m}\)）。
• \(q\)：粒子电荷，单位为库仑（\(\mathrm{C}\)）。
• \(m\)：粒子质量，单位为千克（\(\mathrm{kg}\)）。
• \(|q|\)：粒子电荷的大小。
• \(|q|/m\)：电荷质量比的大小，单位为 \(\mathrm{C\,kg^{-1}}\)。

评核范围： 阴极射线中带负电粒子的证据；汤姆森的交叉电磁场方法；计算粒子速度及电荷质量比；诠释偏转、曲率及实验结果的一致性。

不包括的内容： 其他原子模型、独立测量电子电荷的方法，以及与本主题无关的电学和磁学内容。

02题目

第 1 题（6 分）

在一支放电管中，一束狭窄的粒子束由阴极朝阳极移动。当两块极板之间施加电场时，粒子束会偏向连接正极端的极板。磁场亦能使粒子束弯曲。

使用不同阴极材料及不同残留气体进行的实验，都产生相同的定性行为。

(a) 判断粒子束中的粒子所带电荷的正负。利用电力的方向说明你的答案。（2 分）

(b) 解释为甚么粒子束对电场及磁场的反应，支持阴极射线是带电粒子流，而不是中性辐射的解释。（2 分）

(c) 不同阴极材料及残留气体所产生的相同反应，对这些粒子的本质有甚么启示？（2 分）

第 2 题（6 分）

汤姆森的电荷质量比实验使用互相垂直的电场和磁场，两者亦均与粒子束的初始速度方向垂直。场的方向经过安排，使作用于粒子束中粒子的电力和磁力方向相反。

(a) 说明实验者如何利用这两个场来筛选出具有特定速度的粒子。（2 分）

(b) 当粒子束笔直地通过交叉电磁场时，这代表横向作用力有甚么关系？请以 \(q\)、\(E\)、\(v\) 和 \(B\) 表示这个条件。（2 分）

(c) 达到上述条件后，实验者需要作出甚么改变，以及需要测量甚么数据，才能求出电荷质量比？（2 分）

第 3 题（6 分）

在一项交叉电磁场实验中，两块平行极板之间施加了 \(480\ \mathrm{V}\) 的电位差，极板间距为 \(2.0\ \mathrm{cm}\)。磁场强度为 \(3.0\times10^{-3}\ \mathrm{T}\)。

当两个场同时运作时，粒子束能笔直地通过该区域。

(a) 计算两块极板之间的电场强度大小。（3 分）

(b) 计算通过交叉电磁场的粒子速度。（3 分）

第 4 题（8 分）

在第 3 题选定粒子速度后，关闭电场。磁场保持在 \(3.0\times10^{-3}\ \mathrm{T}\)，而粒子束沿著半径为 \(1.50\ \mathrm{cm}\) 的圆形路径移动。

假设粒子束的速度保持不变，而且磁力提供向心力。

(a) 从磁力及向心力的表达式出发，推导以 \(v\)、\(B\) 和 \(r\) 表示的电荷质量比大小 \(|q|/m\) 的公式。（4 分）

(b) 使用你推导出的公式，以及第 3 题和第 4 题的数据，计算 \(|q|/m\)。请以 SI 单位及适当的有效数字给出答案。（4 分）

第 5 题（6 分）

一名实验者使用不同的阴极材料及残留气体，重复进行电荷质量比测量。实验结果如下。

每次实验所标示的不确定度为 \(\pm0.04\times10^{11}\ \mathrm{C\,kg^{-1}}\)。

(a) 判断这三次测量结果在其标示的不确定度范围内是否一致。请说明你的理由。（2 分）

(b) 说明这些结果支持甚么关于阴极射线中粒子的结论。（2 分）

(c) 在每次实验中同时改变阴极材料及残留气体，会对研究这两个因素各自是否影响结果造成甚么限制？指出其中一项限制。（2 分）

第 6 题（8 分）

在一项速度筛选实验中，电力和磁力最初处于平衡状态。两个场的方向保持不变。

(a) 磁场强度增加，而电场强度及粒子速度保持不变。指出哪一种力会变得较大，并说明粒子的合力相对于磁力的方向。（2 分）

(b) 之后，只有磁场作用于相同的粒子。粒子速度保持不变，但磁场强度增加至原来的两倍。预测圆形路径的半径会如何改变。请使用第 4 题推导出的关系说明理由。（3 分）

(c) 一名学生声称，测量 \(|q|/m\) 就能直接得出粒子的质量。解释为甚么这个说法不正确，并指出还需要甚么额外资讯才能确定粒子的质量。（3 分）

03详细解答与评分指引

第 1 题解答

(a) 粒子带负电。

电场的方向由带正电的极板指向带负电的极板。负电荷所受的电力方向与电场方向相反，因此粒子会受到推动而朝正极板移动。

因此，观察到的偏转现象与粒子带负电的情况一致。

评分标准（2 分）：

• 1 分：指出粒子带负电。
• 1 分：解释负电荷所受的电力方向与电场方向相反。

(b) 粒子的行为如同一束移动中的带电粒子。

电场会对带有非零电荷的粒子施加作用力。磁场亦能使移动中的带电粒子发生偏转。在题目所述的实验条件下，中性辐射不会受到这些电力和磁力作用。

因此，粒子束在这两种场中的偏转现象，支持阴极射线由移动中的带电粒子组成这个结论。

评分标准（2 分）：

• 1 分：指出电场及磁场中的偏转现象与带电粒子的行为有关。
• 1 分：解释为甚么中性辐射不会出现观察到的、由场引起的偏转。

(c) 这些粒子似乎是物质中普遍存在的组成部分。

即使改变阴极材料及残留气体，仍然会出现相同的定性行为。这表示阴极射线并非某一种特定电极或气体独有的性质。相反，它们包含一种存在于不同物质中的共同粒子。

评分标准（2 分）：

• 1 分：指出在不同材料及气体中，粒子的行为仍然保持一致。
• 1 分：将这种一致性与物质具有共同组成粒子的概念联系起来。

第 2 题解答

(a) 调整两个场，直至粒子束笔直地通过。

实验者调整电场及磁场的强度，同时保持两者的方向不变。这两个场便能筛选出具有特定速度的粒子：只有当两个横向作用力互相平衡时，粒子才会不发生偏转地通过。

评分标准（2 分）：

• 1 分：说明调整两个场，直至粒子束不再发生偏转。
• 1 分：指出这个条件能筛选出具有特定速度的粒子。

(b) 两个横向作用力的大小相等，方向相反。

对于带电粒子，电力的大小为

\[ F_E=|q|E \]

当速度方向与磁场垂直时，磁力的大小为

\[ F_B=|q|vB \]

若粒子束要笔直地通过，合横向力必须为零。因此，

\[ |q|E=|q|vB \]

两边同除以非零的电荷量大小，可得

\[ v=\frac{E}{B} \]

利用这个关系，便能根据两个场的强度计算粒子速度。

评分标准（2 分）：

• 1 分：指出两个作用力的大小相等，方向相反。
• 1 分：正确写出力平衡条件，并推导出 \(v=E/B\)。

(c) 关闭电场，并测量曲线路径的半径。

实验者关闭电场，但让磁场继续运作。此时，磁力会使移动中的粒子沿圆形路径弯曲。

实验者测量半径 \(r\)，再配合已知的粒子速度及磁场强度，计算电荷质量比。

评分标准（2 分）：

• 1 分：指出需要关闭电场，同时保留磁场。
• 1 分：指出需要测量圆形路径的半径，并利用该数值求出 \(|q|/m\)。

第 3 题解答

(a) 电场强度

对于两块平行极板之间的均匀电场，电场强度等于电位差除以极板间距：

\[ E=\frac{V}{d} \]

电位差为 \(V=480\ \mathrm{V}\)。极板间距必须转换为米：

\[ d=2.0\ \mathrm{cm}=0.020\ \mathrm{m} \]

代入数值：

\[ \begin{aligned} E&=\frac{480}{0.020}\\ &=2.4\times10^4\ \mathrm{V\,m^{-1}} \end{aligned} \]

因此，电场强度为 \(2.4\times10^4\ \mathrm{V\,m^{-1}}\)。

评分标准（3 分）：

• 1 分：将极板间距转换为米。
• 1 分：选用并正确套用 \(E=V/d\)。
• 1 分：得出正确的电场强度及单位。

(b) 粒子速度

由于粒子束能笔直地通过，电力及磁力的大小必须相等：

\[ |q|E=|q|vB \]

两边同除以电荷量大小，可得

\[ v=\frac{E}{B} \]

代入 (a) 部分所得的电场强度及磁场强度：

\[ \begin{aligned} v&=\frac{2.4\times10^4}{3.0\times10^{-3}}\\ &=8.0\times10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

因此，经筛选后的粒子速度为 \(8.0\times10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

评分标准（3 分）：

• 1 分：利用力平衡条件推导出 \(v=E/B\)。
• 1 分：正确代入两个场的强度。
• 1 分：得出正确的速度、单位及适当的有效数字。

第 4 题解答

(a) 推导电荷质量比的关系式

当只有磁场作用时，磁力会提供维持圆周运动所需的向心力。

磁力的大小为

\[ F_B=|q|vB \]

维持圆周运动所需的向心力为

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

令两个表达式相等：

\[ |q|vB=\frac{mv^2}{r} \]

两边同除以 \(mvB\)：

\[ \frac{|q|}{m}=\frac{v}{Br} \]

因此，所需的公式为

\[ \boxed{\frac{|q|}{m}=\frac{v}{Br}} \]

这个方程式显示，如何利用经筛选的粒子速度、磁场强度及曲率半径，求出电荷质量比。

评分标准（4 分）：

• 1 分：写出磁力的表达式 \(F_B=|q|vB\)。
• 1 分：写出向心力的表达式 \(F_c=mv^2/r\)。
• 1 分：正确令两个作用力相等。
• 1 分：重新排列公式，得出 \(|q|/m=v/(Br)\)。

(b) 计算电荷质量比

根据第 3 题，

\[ v=8.0\times10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

磁场强度为

\[ B=3.0\times10^{-3}\ \mathrm{T} \]

将半径转换为米：

\[ r=1.50\ \mathrm{cm}=1.50\times10^{-2}\ \mathrm{m} \]

将数值代入已推导的关系式：

\[ \begin{aligned} \frac{|q|}{m} &=\frac{v}{Br}\\[4pt] &=\frac{8.0\times10^6} {(3.0\times10^{-3})(1.50\times10^{-2})}\\[4pt] &=\frac{8.0\times10^6}{4.50\times10^{-5}}\\[4pt] &=1.78\times10^{11}\ \mathrm{C\,kg^{-1}} \end{aligned} \]

取两位有效数字，结果为

\[ \boxed{\frac{|q|}{m}=1.8\times10^{11}\ \mathrm{C\,kg^{-1}}} \]

单位为库仑每千克，因为电荷以库仑为单位，而质量以千克为单位。

评分标准（4 分）：

• 1 分：将半径转换为米。
• 1 分：正确代入 \(|q|/m=v/(Br)\)。
• 1 分：正确完成数值计算。
• 1 分：使用正确的 SI 单位及适当的有效数字。

如果学生在第 3 题计算出的速度有误，但在后续计算中一致地使用该结果及正确方法，仍应给予延续分数。

第 5 题解答

(a) 这些测量结果在标示的不确定度范围内是一致的。

计算每次实验在其不确定度范围内所允许的数值。以下所有数值均以 \(10^{11}\ \mathrm{C\,kg^{-1}}\) 为单位。

• 实验 A：\(1.74\pm0.04\)，范围为 \(1.70\) 至 \(1.78\)。
• 实验 B：\(1.77\pm0.04\)，范围为 \(1.73\) 至 \(1.81\)。
• 实验 C：\(1.79\pm0.04\)，范围为 \(1.75\) 至 \(1.83\)。

三个范围在 \(1.75\) 至 \(1.78\) 之间有重叠。因此，在所标示的不确定度范围内，这些结果与一个共同的电荷质量比一致。

评分标准（2 分）：

• 1 分：正确计算或诠释各次实验的不确定度范围。
• 1 分：指出三个范围的共同重叠部分，并得出结果一致的结论。

(b) 这些结果支持阴极射线中存在一种共同粒子的说法。

尽管阴极材料及残留气体有所改变，测得的电荷质量比仍在不确定度范围内一致。这支持以下结论：在不同的实验条件下，阴极射线均包含同一类带负电粒子，而不是只存在于某一种特定材料或气体中的粒子。

评分标准（2 分）：

• 1 分：指出测得的电荷质量比彼此一致。
• 1 分：将不同材料及气体下测量结果的一致性，与存在共同粒子的结论联系起来。

(c) 同时改变两个因素，会使两者各自的影响无法独立分辨。

由于每次实验中的阴极材料及残留气体都同时改变，实验者单凭这些结果，无法判断其中任何一个因素是否会对测量结果产生独立影响。

若要研究这个问题，实验者可以每次只改变一个因素，同时控制其他条件不变。

评分标准（2 分）：

• 1 分：指出两个变数同时改变。
• 1 分：建议每次只改变一个变数，以便独立研究其影响。

第 6 题解答

(a) 磁力会变得较大，因此合力方向与磁力方向相同。

磁力的大小为

\[ F_B=|q|vB \]

由于粒子速度及电荷保持不变，增加 \(B\) 会使磁力增大。电场 \(E\) 保持不变，因此电力亦保持不变。

因此，磁力会大于电力，合力方向与磁力方向相同。粒子束会朝该方向偏转。

评分标准（2 分）：

• 1 分：指出磁力会增加，并且变得大于电力。
• 1 分：指出合力及粒子束的偏转方向均与磁力方向相同。

(b) 磁场强度加倍时，半径会减半。

根据第 4 题，

\[ \frac{|q|}{m}=\frac{v}{Br} \]

重新排列可得

\[ r=\frac{mv}{|q|B} \]

对于相同粒子及相同速度而言，\(m\)、\(v\) 和 \(|q|\) 均保持不变。因此，

\[ r\propto\frac{1}{B} \]

半径与磁场强度成反比。如果磁场强度加倍，半径便会变成原来的一半。

评分标准（3 分）：

• 1 分：正确使用或重新排列电荷质量比的关系式。
• 1 分：指出 \(r\) 与 \(B\) 成反比。
• 1 分：正确预测半径会减半。

• 反比关系：r ∝ 1/B

(c) 测得的比值不能直接得出粒子的质量。

电荷质量比表示电荷量大小除以质量。如果已知这个比值，但电荷量大小及质量两者都未知，单凭这个比值无法分别确定两个量。

要计算粒子的质量，还需要独立测量粒子的电荷量大小。如果电荷量大小已知，便可以使用

\[ m=\frac{|q|}{|q|/m} \]

这就是为甚么汤姆森的实验确立的是电荷质量比，而不是分别独立测定粒子的电荷量及质量。

评分标准（3 分）：

• 1 分：指出单凭比值无法确定粒子的质量。
• 1 分：解释只知道电荷量与质量的比值，无法分别确定两者。
• 1 分：指出需要独立测量电荷量大小。