向心加速度：為什麼它在 HSC 物理中指向圓心

一輛汽車可以以完全恆定的 15 m/s 繞過彎道，卻仍然在加速。乍聽之下，這似乎不太合理。如果車速表上的讀數始終沒有改變，那麼究竟是什麼改變了？

繼續閱讀之前，先試著預測：如果汽車原本向東行駛，接著向左轉彎，改為向北行駛，即使速率仍然是 15 m/s，它的速度有改變嗎？

有。速度同時包含大小和方向。速度的大小維持在 15 m/s，但方向從東轉為北。任何速度的改變都代表存在加速度。

圓周運動的核心概念正是如此。物體沿著圓周運動時，速度的方向會不斷改變，因此物體必定具有加速度。這個加速度指向圓心，其大小為

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

其中，\(a_c\) 是向心加速度，單位為 \(\text{m s}^{-2}\)；\(v\) 是物體的瞬時速率，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)；\(r\) 是圓形路徑的半徑，單位為公尺。

這條公式很有用，但理解加速度為何指向內側更為重要。

01速率恆定不代表速度恆定

想像一顆球沿著圓形軌道逆時針運動。

在每一個瞬間，球的速度都沿著圓的切線方向。換句話說，如果圓形軌道突然消失，球就會沿著當下速度所指的方向繼續運動。

假設球位於圓的最右側。此時，它的速度指向上方。過了一小段時間，球沿著圓周前進了一點，速度便改為指向左上方。

這兩個速度向量的長度相同，因為速率並沒有改變。但它們所指的方向並不相同。

加速度取決於速度的變化：

\[ \vec a=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \]

這裡的 \(\Delta \vec v\) 代表速度向量的變化，而不只是速率的變化。

這個區別就是整個概念的關鍵。

02為什麼加速度指向圓心？

取出兩個時間點非常接近時的速度向量。它們的長度相同，但方向略有不同。

接著，將第一個速度向量從第二個速度向量中相減，求出 \(\Delta \vec v\)。

當時間間隔非常短時，速度的變化量幾乎直接指向圓心。隨著時間間隔愈來愈小，其方向便愈來愈接近徑向向內的方向。

由於

\[ \vec a=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}, \]

加速度的方向與 \(\Delta \vec v\) 相同，也就是指向圓心。

這種向內的加速度稱為向心加速度。「Centripetal」一詞的字面意思就是指向中心。

你可以想像一輛購物推車：它原本會試圖沿直線前進，而你不斷轉動它，使它沿著圓形路徑移動。在每一個瞬間，推車當下的運動方向都沿著圓的切線，而你的轉向操作則不斷將它的運動方向改變，使其朝彎道內側偏轉。

不過，這個比喻也有其限制。推車並不是真的在「試圖」做任何事，而向內的加速度也不是某種獨立存在的物質或神祕的拉力。它只是速度向量持續轉動時所必需的加速度。

03推導 \(a_c=\frac{v^2}{r}\)

現在，我們可以更精確地理解這個概念。

在一個非常短的時間間隔 \(\Delta t\) 內，以速率 \(v\) 運動的物體所走過的距離約為

\[ \Delta s=v\Delta t. \]

如果圓形路徑的半徑為 \(r\)，物體在這段時間內移動的微小角度（以弧度為單位）約為

\[ \Delta \theta=\frac{\Delta s}{r}. \]

將 \(\Delta s=v\Delta t\) 代入，可得

\[ \Delta \theta=\frac{v\Delta t}{r}. \]

速度向量也會轉過相同的微小角度 \(\Delta\theta\)。當角度足夠小時，速度變化量的大小約為

\[ \Delta v=v\Delta\theta. \]

因此，

\[ \Delta v = v\left(\frac{v\Delta t}{r}\right) = \frac{v^2\Delta t}{r}. \]

兩邊除以 \(\Delta t\)：

\[ a_c = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v^2}{r}. \]

當時間間隔趨近於無限小時，這便成為精確的瞬時向心加速度。

這個推導告訴我們的，不只是公式本身所表達的內容。當速度方向必須轉動得更快時，加速度就會變大。

要達成這一點，有兩種明顯的方法：

• 增加速率 \(v\)；或
• 減小半徑 \(r\)，使圓形路徑變得更緊密。

速率的影響尤其顯著，因為它是以平方的形式出現在公式中。

04這條公式實際上說明了什麼？

關係式

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

可以幫助我們作出一些有用的預測。

這就是為什麼提高車輛通過彎道的速度會使情況發生如此巨大的變化。速度加倍，所需的向心加速度並不只是加倍，而是必須增加至原來的四倍。

範例：汽車繞過彎道

一輛汽車以恆定的 \(12.0\text{ m s}^{-1}\) 速率，通過半徑為 \(30.0\text{ m}\) 的圓形彎道。求汽車的向心加速度。

步驟 1：找出速率和半徑。

\[ v=12.0\text{ m s}^{-1}, \qquad r=30.0\text{ m}. \]

步驟 2：使用向心加速度公式。

\[ a_c=\frac{v^2}{r}. \]

步驟 3：代入數值，包括單位。

\[ a_c = \frac{(12.0\text{ m s}^{-1})^2}{30.0\text{ m}} = \frac{144\text{ m}^2\text{ s}^{-2}}{30.0\text{ m}} = 4.80\text{ m s}^{-2}. \]

步驟 4：說明加速度的方向。

汽車的向心加速度為 \(4.80\text{ m s}^{-2}\)，方向指向彎道的圓心。

請注意，汽車的速率並沒有增加。這個加速度改變的是汽車速度的方向。

05利用週期求速率

有時，HSC 題目不會直接提供 \(v\) 的數值。

如果物體沿著半徑為 \(r\) 的圓周完成一整圈，它所走過的距離便等於圓周長：

\[ 2\pi r. \]

如果完成一圈所需的時間為週期 \(T\)，那麼物體的速率為

\[ v=\frac{2\pi r}{T}, \]

其中 \(T\) 的單位是秒。

接著，你就可以將這個速率代入 \(a_c=v^2/r\)。

範例：利用週期求向心加速度

旋轉平台邊緣有一點，距離平台中心 \(4.00\text{ m}\)。平台每隔 \(5.00\text{ s}\) 完成一圈轉動。求該點的向心加速度。

步驟 1：計算轉動一圈所經過的距離。

\[ 2\pi r = 2\pi(4.00\text{ m}) = 25.1\text{ m}. \]

步驟 2：計算速率。

\[ v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{25.1\text{ m}}{5.00\text{ s}} = 5.03\text{ m s}^{-1}. \]

步驟 3：計算向心加速度。

\[ a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(5.03\text{ m s}^{-1})^2}{4.00\text{ m}} = 6.32\text{ m s}^{-2}. \]

步驟 4：解釋結果。

即使速率維持不變，該點仍具有 \(6.32\text{ m s}^{-2}\) 的加速度，方向指向圓心。隨著平台轉動，該點的速度方向會持續改變。

06常見的錯誤觀念：「如果加速度指向圓心，物體不就應該向圓心移動嗎？」

這可能是最需要釐清的錯誤觀念。

在某一瞬間，做等速圓周運動的物體具有：

• 沿圓周切線方向的速度；以及
• 與速度垂直、指向圓心的加速度。

加速度告訴我們速度如何改變，而不是速度本身指向哪個方向。

想像物體位於圓的最右側，正向上運動。在一個極短的時間間隔內，向內的加速度會使速度產生一個微小的向左分量。因此，物體的新速度便會指向左上方。

過了一瞬間，另一個向內的速度變化又會使速度方向進一步轉動。

這些變化持續不斷地發生，便使運動路徑彎曲成圓形。

物體不會突然朝圓心移動，因為它原本就具有切線方向的速度。向內的加速度會持續使這個速度的方向彎轉，而不是將原有的速度取代。

07「向心」並不代表一種全新的力

「向心」一詞描述的是加速度的方向與作用：朝向圓形路徑的圓心。

這並不表示一定存在一種名為「向心力」的特殊物理力。

在不同的系統中，不同的實際作用力都可以產生所需的向內加速度。對繞軌道運行的衛星而言，重力可以做到這一點；對繫在繩子上的物體而言，張力可以做到這一點；對在平坦道路上轉彎的汽車而言，摩擦力也可以提供所需的向心加速度。

當你從圓周運動的運動學進一步學習牛頓定律時，這個區別就會變得十分重要。

目前，請先清楚掌握以下推理過程：

\[ \text{速度方向改變} \rightarrow \text{加速度指向內側} \rightarrow a_c=\frac{v^2}{r}. \]

08題目與解答

題目 1

一名單車騎士以恆定的 \(15.0\text{ m s}^{-1}\) 速率，沿著半徑為 \(25.0\text{ m}\) 的圓形賽道騎行。

計算騎士的向心加速度，並說明其方向。

解答 1

騎士的向心加速度為 \(9.00\text{ m s}^{-2}\)，方向指向賽道的圓心。

所使用的關係式為

\[ a_c=\frac{v^2}{r}. \]

代入 \(v=15.0\text{ m s}^{-1}\) 和 \(r=25.0\text{ m}\)：

\[ a_c = \frac{(15.0\text{ m s}^{-1})^2}{25.0\text{ m}} = \frac{225\text{ m}^2\text{ s}^{-2}}{25.0\text{ m}} = 9.00\text{ m s}^{-2}. \]

容易犯的錯誤是認為速率恆定，因此加速度為零。騎士的速率雖然恆定，但速度方向持續改變，所以速度並不恆定。

題目 2

一輛汽車沿著圓形賽道行駛，賽道的圓周長為 \(120\text{ m}\)。汽車以恆定速率在 \(8.00\text{ s}\) 內完成一圈。

a. 計算賽道的半徑。

b. 計算汽車的速率。

c. 計算汽車的向心加速度。

d. 接著，駕駛將車速提高 \(10\%\)，但仍沿著相同的圓形路徑行駛。向心加速度增加了百分之多少？

解答 2

賽道半徑約為 \(19.1\text{ m}\)，原本的速率為 \(15.0\text{ m s}^{-1}\)，原本的向心加速度約為 \(11.8\text{ m s}^{-2}\)，而速率增加 \(10\%\) 會使向心加速度增加 \(21\%\)。

對於 a，圓周長 \(C\) 為

\[ C=2\pi r. \]

因此，

\[ r = \frac{C}{2\pi} = \frac{120\text{ m}}{2\pi} = 19.1\text{ m}. \]

對於 b，

\[ v = \frac{\text{distance}}{\text{time}} = \frac{120\text{ m}}{8.00\text{ s}} = 15.0\text{ m s}^{-1}. \]

對於 c，

\[ a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(15.0\text{ m s}^{-1})^2}{19.1\text{ m}} \approx 11.8\text{ m s}^{-2}. \]

對於 d，新的速率為 \(1.10v\)。因此，

\[ a_c' = \frac{(1.10v)^2}{r} = 1.21\frac{v^2}{r} = 1.21a_c. \]

因此，加速度增加了 \(21\%\)。

容易犯的錯誤是認為速率增加 \(10\%\)，加速度也只會增加 \(10\%\)。只有在加速度與 \(v\) 成正比時，這種說法才成立。然而，實際上 \(a_c\propto v^2\)，因此加速度的百分比變化會更大。

題目 3

兩名學生站在一個大型水平旋轉平台上，平台以恆定的轉速旋轉。學生 A 距離圓心 \(2.0\text{ m}\)，學生 B 距離圓心 \(4.0\text{ m}\)。

兩名學生完成每一圈轉動所需的時間相同。

一名學生提出以下論點：

學生 B 的向心加速度比較小，因為 \(a_c=v^2/r\)，而 B 的半徑較大。

這個論點正確嗎？求比值 \(a_B:a_A\)。

解答 3

這個論點不正確。學生 B 的向心加速度是學生 A 的兩倍，因此

\[ a_B:a_A=2:1. \]

這道題的陷阱在於，將 \(v\) 當成在改變 \(r\) 時仍然維持不變。

兩名學生完成一圈所需的週期 \(T\) 相同，但 B 在相同的時間內必須走過更大的圓周。因此，B 的運動速率必定更大。

對於週期為 \(T\) 的物體，完成一圈所需的速率為

\[ v=\frac{2\pi r}{T}. \]

將此式代入

\[ a_c=\frac{v^2}{r}: \]

\[ a_c = \frac{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2}{r} = \frac{4\pi^2r}{T^2}. \]

由於兩名學生所在的平台具有相同的週期，

\[ a_c\propto r. \]

B 距離圓心的距離是 A 的兩倍：

\[ r_B=2r_A. \]

因此，

\[ a_B=2a_A. \]

公式 \(a_c=v^2/r\) 確實表示，當 \(v\) 保持不變時，增加 \(r\) 會使加速度減小。然而，在這道題中，兩名學生的 \(v\) 並不相同。較大的半徑也會使速率按比例增加，而速率的平方效應在計算中占了主導地位。

題目 4

一個粒子以恆定速率 \(v\)，沿著半徑為 \(r\) 的圓形路徑逆時針運動。粒子從圓的最右側開始，此時速度垂直向上。接著，粒子沿圓周運動四分之一圈，到達圓的最頂端。

a. 粒子最後的速度方向為何？

b. 求粒子在這四分之一圓周運動期間的速度變化量大小。

c. 求這段時間內平均加速度的大小。

d. 將這個平均加速度的大小與瞬時向心加速度 \(v^2/r\) 比較。

解答 4

最後的速度指向左方，速度變化量的大小為 \(\sqrt{2}v\)，而平均加速度的大小為

\[ \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\frac{v^2}{r}, \]

約為 \(0.900\,v^2/r\)。

在圓的最右側，初速度為

\[ \vec v_i=(0,v). \]

在圓的最頂端，由於粒子沿逆時針方向運動，因此末速度指向左方：

\[ \vec v_f=(-v,0). \]

速度變化量為

\[ \Delta\vec v = \vec v_f-\vec v_i = (-v,-v). \]

因此，其大小為

\[ |\Delta\vec v| = \sqrt{(-v)^2+(-v)^2} = \sqrt{2}v. \]

粒子所走過的距離為圓周長的四分之一：

\[ \Delta s = \frac14(2\pi r) = \frac{\pi r}{2}. \]

由於粒子的速率為 \(v\)，

\[ \Delta t = \frac{\Delta s}{v} = \frac{\pi r}{2v}. \]

平均加速度的大小為

\[ a_{\text{avg}} = \frac{|\Delta\vec v|}{\Delta t} = \frac{\sqrt{2}v}{\pi r/(2v)} = \frac{2\sqrt{2}v^2}{\pi r}. \]

由於

\[ \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\approx0.900, \]

因此得到

\[ a_{\text{avg}}\approx0.900\frac{v^2}{r}. \]

容易犯的錯誤是認為這段時間內的平均加速度必定等於 \(v^2/r\)，因為瞬時向心加速度在整個過程中的大小始終都是這個數值。然而，加速度是一個向量。粒子沿圓周運動時，加速度的方向持續改變，因此對一段有限的軌道取加速度向量的平均值，並不等於只對其大小取平均值。

題目 5

一個粒子沿著半徑為 \(10.0\text{ m}\) 的圓形路徑運動。在某一瞬間，它的速率為 \(8.00\text{ m s}^{-1}\)，而且速率正在增加。

在該瞬間，粒子的總加速度大小為 \(10.0\text{ m s}^{-2}\)。

a. 計算加速度的向心分量。

b. 計算加速度的切線分量。

c. 總加速度向量是否直接指向圓心？請解釋。

d. 一名學生說：「只要物體沿圓周運動，它的加速度就一定會完全指向圓心。」指出這句話隱含了什麼假設。

解答 5

向心分量為 \(6.40\text{ m s}^{-2}\)，切線分量為 \(7.68\text{ m s}^{-2}\)。由於粒子的速率也正在增加，因此總加速度並不會直接指向圓心。

對於 a，

\[ a_c=\frac{v^2}{r}. \]

代入數值，

\[ a_c = \frac{(8.00\text{ m s}^{-1})^2}{10.0\text{ m}} = 6.40\text{ m s}^{-2}. \]

這個分量必須指向圓心，因為它是負責改變速度方向的那部分加速度。

對於 b，粒子的速率也正在增加，因此它具有沿運動方向的切線加速度 \(a_t\)。

徑向與切線方向互相垂直。因此，總加速度的大小滿足

\[ a^2=a_c^2+a_t^2. \]

所以，

\[ a_t = \sqrt{a^2-a_c^2} = \sqrt{(10.0\text{ m s}^{-2})^2-(6.40\text{ m s}^{-2})^2} = 7.68\text{ m s}^{-2}. \]

對於 c，總加速度並不會直接指向圓心。它是以下兩個分量的向量和：

• 徑向向內的 \(6.40\text{ m s}^{-2}\)，負責改變速度的方向；以及
• 沿切線向前的 \(7.68\text{ m s}^{-2}\)，負責增加粒子的速率。

容易出現的錯誤答案，是將整個 \(10.0\text{ m s}^{-2}\) 都稱為「向心加速度」。這是不正確的。所需的向心加速度是向內的分量 \(v^2/r\)。

對於 d，這句話隱含的假設是：物體正在做等速圓周運動，也就是以恆定速率進行圓周運動。

如果速率保持不變，加速度就沒有切線分量，因此總加速度完全由向心加速度構成，並指向圓心。

如果速率改變，物體仍然可以沿著圓形路徑運動，但其總加速度通常同時具有徑向分量和切線分量。

這個區別是進一步學習時非常有用的下一步。當你知道曲線路徑所需的向內加速度後，就可以運用牛頓第二定律提出新的問題：究竟是哪一種實際作用力，或哪些作用力的組合，產生了這個向內的加速度？