向心加速度與合力：HSC 物理練習試卷

這份 tutorgum 原創練習試卷評量 NSW HSC 物理課程中的一個特定主題範圍：向心加速度、造成圓周運動的淨向內合力、提供該合力的實際作用力，以及移除向內作用力後的運動。這是一份針對特定主題的複習試卷，並非完整課程考試，也不是 NESA 官方、認可、歷屆或預測試卷。

01考試指示

• 建議閱讀時間： 5 分鐘。
• 建議作答時間： 50 分鐘。
• 總分： 40 分。
• 允許使用的器材： 原子筆或鉛筆，以及科學計算機。進行計時練習時，不得使用筆記或網際網路。
• 回答全部八題。請展示計算過程、將數值代入方程式、標示單位，並在題目要求時解釋你的推理。
• 除非另有說明，數值答案請取至兩位有效數字。

評量範圍

本試卷涵蓋以下內容：

• 速度方向改變與向心加速度之間的關係。
• 計算向心加速度及淨向內合力。
• 比較速率、質量或半徑改變時，加速度與力的變化。
• 辨識提供向內合力的實際作用力。
• 根據各題所述的假設，預測移除向內作用力後的運動。

本試卷不涵蓋角速度與週期的計算、垂直圓周運動的能量分析，以及其他較廣泛的課程主題。

公式參考與假設

你可以使用以下方程式：

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

其中，\(a_c\) 代表向心加速度，單位為 \(\text{m/s}^2\)；\(F_c\) 代表淨向內合力的大小，單位為牛頓（N）；\(v\) 代表速率，單位為公尺每秒（m/s）；\(r\) 代表圓周路徑的半徑，單位為公尺（m）；而 \(m\) 代表質量，單位為公斤（kg）。

除非題目另有說明，計算加速度與力時，均假設物體進行等速率圓周運動。半徑是從圓心量度至運動物體的距離。

對於涉及某個力被移除的題目，請遵循題目所述有關其他剩餘作用力的假設。你的預測必須符合這些條件。

02試題

第 1 題（4 分）

(a) 一顆小珠以固定速率沿圓形路徑移動。解釋為甚麼即使速率保持不變，它的速度仍然在改變。（2 分）

(b) 說明在任何瞬間，小珠的加速度方向，以及作用於小珠的合力方向。（2 分）

第 2 題（5 分）

一個物體以 \(3.0\ \text{m/s}\) 的速率，沿半徑為 \(1.5\ \text{m}\) 的圓形路徑移動。

(a) 計算物體的向心加速度。（2 分）

(b) 物體的速率增加至 \(6.0\ \text{m/s}\)，而半徑保持不變。計算新的向心加速度，並說明加速度改變了多少倍。（3 分）

第 3 題（5 分）

一個質量為 \(0.80\ \text{kg}\) 的物體，以 \(5.0\ \text{m/s}\) 的速率進行等速率圓周運動，圓周半徑為 \(2.0\ \text{m}\)。

(a) 計算維持此運動所需的淨向內合力大小。（3 分）

(b) 質量增加至 \(1.2\ \text{kg}\)，而速率與半徑保持不變。計算新的淨向內合力大小。（2 分）

第 4 題（4 分）

對於以下每種情況，指出提供向內合力的實際作用力。

(a) 一輛汽車在平坦路面的圓形彎道上行駛，且沒有打滑。（1 分）

(b) 一個球繫於繃緊的細繩上，並在水平面內作圓周運動。（1 分）

(c) 一顆衛星沿著圍繞地球的圓形軌道運行。（1 分）

(d) 解釋為甚麼不應將「向心力」視為一個額外的力，與你在 (a)、(b) 或 (c) 部分指出的作用力同時存在。（1 分）

第 5 題（4 分）

一個圓盤在幾乎沒有摩擦力的水平桌面上作水平圓周運動。在某一瞬間，它的速度方向正東。提供向內作用力的細繩突然斷裂。

假設細繩斷裂後，沒有其他水平方向的作用力，而垂直方向的作用力仍然保持平衡。

(a) 描述細繩斷裂後，圓盤立即如何運動，包括其運動方向。（2 分）

(b) 說明細繩斷裂後，圓盤的速率會如何變化。（1 分）

(c) 從合力的角度解釋你在 (b) 部分的答案。（1 分）

第 6 題（6 分）

一個質量為 \(0.50\ \text{kg}\) 的物體以固定速率 \(4.0\ \text{m/s}\) 移動。以下各次實驗均使用同一個物體，但各次實驗的半徑有所不同。

(a) 計算實驗 B 和 C 中缺少的向心加速度數值。（2 分）

(b) 根據實驗 A 和 B，描述在速率保持不變而半徑減半時，向心加速度如何改變。（2 分）

(c) 計算實驗 C 中淨向內合力的大小。（2 分）

第 7 題（6 分）

一輛質量為 \(1.2\times10^3\ \text{kg}\) 的汽車，以 \(12\ \text{m/s}\) 的速率行駛於半徑為 \(40\ \text{m}\) 的平坦彎道上。

指向彎道圓心的最大可用靜摩擦力為 \(5.0\ \text{kN}\)。假設摩擦力是作用於汽車的唯一水平方向作用力，而垂直方向的作用力保持平衡。

(a) 計算汽車的向心加速度。（2 分）

(b) 計算所需的淨向內合力大小，並判斷可用的摩擦力是否足以讓汽車以 \(12\ \text{m/s}\) 的速率維持圓周運動。（2 分）

(c) 計算汽車在達到上述摩擦力上限之前，能以多大的最大速率行駛於同一彎道上。（2 分）

第 8 題（6 分）

兩個物體正在進行等速率圓周運動。

(a) 計算每個物體的向心加速度。（2 分）

(b) 計算作用於每個物體的淨向內合力大小。（2 分）

(c) 一名學生聲稱：「物體 B 的質量是物體 A 的兩倍，因此它必定需要較大的向心力。」

根據你的計算結果，評估這項說法。（2 分）

03詳細解答與評分指引

第 1 題解答

(a) 為甚麼速度會改變

速度是一個向量物理量。這表示它同時描述物體的速率及運動方向。

當小珠沿圓形路徑移動時，它的運動方向會持續改變。因此，即使速率保持不變，它的速度仍然會改變。

(b) 加速度與合力的方向

加速度沿徑向指向內側，即指向圓心。合力的方向也指向內側，因為根據牛頓第二運動定律，加速度與合力的方向相同。

評分指引（4 分）

• (a) 1 分：指出速度包含方向；1 分：說明運動方向會改變。
• (b) 1 分：指出加速度指向內側；1 分：指出合力指向內側。

第 2 題解答

(a) 計算向心加速度

使用

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

代入已知數值：

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{(3.0)^2}{1.5}\\ &=\frac{9.0}{1.5}\\ &=6.0\ \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

向心加速度為 \(6.0\ \text{m/s}^2\)。

(b) 計算新的加速度

現在速率為 \(6.0\ \text{m/s}\)，而半徑保持不變。

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{(6.0)^2}{1.5}\\ &=\frac{36}{1.5}\\ &=24\ \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

將新的加速度與原本的加速度比較：

\[ \frac{24}{6.0}=4 \]

加速度變為原來的四倍。

這是因為當半徑固定時，向心加速度與速率的平方成正比。速率加倍會使加速度乘以 \(2^2=4\)，而不是乘以二。

評分指引（5 分）

• (a) 1 分：列出正確方程式並代入數值；1 分：得出 \(6.0\ \text{m/s}^2\)。
• (b) 1 分：正確代入數值；1 分：得出 \(24\ \text{m/s}^2\)；1 分：指出加速度變為四倍，並將此結果與速率的平方關係連結。

第 3 題解答

(a) 計算淨向內合力

使用

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

代入質量、速率及半徑：

\[ \begin{aligned} F_c&=\frac{0.80(5.0)^2}{2.0}\\ &=\frac{0.80\times25}{2.0}\\ &=10\ \text{N} \end{aligned} \]

所需淨向內合力的大小為 \(10\ \text{N}\)。

(b) 計算新的合力

質量增加至 \(1.2\ \text{kg}\)，但速率與半徑保持不變。

\[ \begin{aligned} F_c&=\frac{1.2(5.0)^2}{2.0}\\ &=15\ \text{N} \end{aligned} \]

新的淨向內合力為 \(15\ \text{N}\)。

當速率與半徑固定時，所需的合力與質量成正比。質量由 \(0.80\ \text{kg}\) 增加至 \(1.2\ \text{kg}\)，所需的合力便增加至原來的 \(1.5\) 倍。

評分指引（5 分）

• (a) 1 分：列出正確方程式；1 分：正確代入數值並計算；1 分：得出 \(10\ \text{N}\)。
• (b) 1 分：正確計算或使用比例推理；1 分：得出 \(15\ \text{N}\)。

第 4 題解答

(a) 在平坦彎道上行駛的汽車

輪胎與路面之間的靜摩擦力提供向內合力。

(b) 繫於細繩上的球

細繩中的張力提供向內合力。

(c) 在圓形軌道上運行的衛星

地球的萬有引力提供向內合力。

(d) 為甚麼向心力不是額外的力

向心力描述的是圓周運動所需的淨向內合力。它並不是一種獨立的物理交互作用，不應在摩擦力、張力或重力之外再額外加入。

例如，如果張力是提供向內合力的作用力，再額外加入一個稱為「向心力」的力，就會將同一個作用效果重複計算。

評分指引（4 分）

• (a) 1 分：靜摩擦力。
• (b) 1 分：張力。
• (c) 1 分：萬有引力。
• (d) 1 分：解釋向心力是淨向內合力，而不是額外的作用力。

第 5 題解答

(a) 預測細繩斷裂後的運動路徑

圓盤會沿著圓形路徑在細繩斷裂位置的切線方向作直線運動。由於它在該瞬間的速度方向正東，因此它會沿直線向東移動。

(b) 速率會如何變化？

在題目所述的假設下，圓盤的速率保持不變。

(c) 利用合力解釋

細繩斷裂後，沒有水平方向的合力。垂直方向的作用力互相平衡，因此總合力為零。

根據牛頓第一運動定律，當物體所受的合力為零時，會維持速度不變。因此，圓盤會以固定速率沿直線繼續運動。

這些假設在此十分重要。如果細繩斷裂後有其他不平衡的作用力，圓盤便會因應該作用力而產生加速度。細繩斷裂時，圓盤並不會自動沿徑向向外運動。

評分指引（4 分）

• (a) 1 分：指出圓盤沿切線方向作直線運動；1 分：指出運動方向為向東。
• (b) 1 分：指出速率保持不變。
• (c) 1 分：解釋合力為零，因此圓盤會維持速度不變。

第 6 題解答

(a) 計算缺少的加速度

實驗 B：

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{(4.0)^2}{4.0}\\ &=4.0\ \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

實驗 C：

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{(4.0)^2}{2.0}\\ &=8.0\ \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

缺少的數值分別為：實驗 B 的 \(4.0\ \text{m/s}^2\)，以及實驗 C 的 \(8.0\ \text{m/s}^2\)。

(b) 描述半徑減半所造成的影響

在實驗 A 和 B 之間，半徑由 \(8.0\ \text{m}\) 減少至 \(4.0\ \text{m}\)，而速率保持在 \(4.0\ \text{m/s}\)。

加速度由 \(2.0\ \text{m/s}^2\) 增加至 \(4.0\ \text{m/s}^2\)。因此，當速率保持不變時，半徑減半會使向心加速度加倍。

這可以從以下方程式看出：

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

當速率固定時，向心加速度與半徑成反比。

• a_c = 16/r
• (2, 8)
• (4, 4)
• (8, 2)

(c) 計算實驗 C 中的淨向內合力

使用牛頓第二運動定律：

\[ F_c=ma_c \]

質量為 \(0.50\ \text{kg}\)，而實驗 C 中的加速度為 \(8.0\ \text{m/s}^2\)。

\[ \begin{aligned} F_c&=0.50\times8.0\\ &=4.0\ \text{N} \end{aligned} \]

淨向內合力為 \(4.0\ \text{N}\)。

評分指引（6 分）

• (a) 1 分：實驗 B 的加速度正確；1 分：實驗 C 的加速度正確，並包括單位。
• (b) 1 分：指出加速度加倍；1 分：使用實驗數值或反比關係支持此說法。
• (c) 1 分：使用有效方法計算合力；1 分：得出 \(4.0\ \text{N}\)。

第 7 題解答

(a) 計算向心加速度

使用

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

代入 \(v=12\ \text{m/s}\) 及 \(r=40\ \text{m}\)：

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{12^2}{40}\\ &=\frac{144}{40}\\ &=3.6\ \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

汽車的向心加速度為 \(3.6\ \text{m/s}^2\)。

(b) 計算所需合力並檢查摩擦力上限

淨向內合力為

\[ F_c=ma_c \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} F_c&=(1.2\times10^3)(3.6)\\ &=4.32\times10^3\ \text{N}\\ &=4.32\ \text{kN} \end{aligned} \]

取至兩位有效數字，所需合力為 \(4.3\ \text{kN}\)。

最大可用摩擦力為 \(5.0\ \text{kN}\)。由於 \(4.3\ \text{kN}\) 小於 \(5.0\ \text{kN}\)，因此在題目所述的假設下，可用的摩擦力足以讓汽車以 \(12\ \text{m/s}\) 的速率維持圓周運動。

(c) 計算最大速率

當達到摩擦力上限時，最大可用作用力會提供所需的向內合力：

\[ F_{\max}=\frac{mv_{\max}^2}{r} \]

重新整理方程式，使最大速率成為主項：

\[ v_{\max}=\sqrt{\frac{F_{\max}r}{m}} \]

將 \(5.0\ \text{kN}\) 換算成牛頓：

\[ 5.0\ \text{kN}=5.0\times10^3\ \text{N} \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} v_{\max} &=\sqrt{\frac{(5.0\times10^3)(40)} {1.2\times10^3}}\\ &=\sqrt{166.7}\\ &\approx12.9\ \text{m/s} \end{aligned} \]

取至兩位有效數字，最大速率為 \(13\ \text{m/s}\)。

這是所需向內合力達到指定最大摩擦力時的理想化臨界值。在題目所提供的模型下，如果速率超過此數值，可用的摩擦力便不足以維持圓周運動。

評分指引（6 分）

• (a) 1 分：列出正確方程式並代入數值；1 分：得出 \(3.6\ \text{m/s}^2\)。
• (b) 1 分：計算所需合力約為 \(4.3\ \text{kN}\)；1 分：將其與 \(5.0\ \text{kN}\) 比較，並得出正確結論。
• (c) 1 分：正確重新整理合力方程式；1 分：得出最大速率約為 \(13\ \text{m/s}\)，並標示單位。

第 8 題解答

(a) 計算每個物體的向心加速度

物體 A：

\[ \begin{aligned} a_{c,A}&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{(4.0)^2}{2.0}\\ &=8.0\ \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

物體 B：

\[ \begin{aligned} a_{c,B}&=\frac{(4.0)^2}{4.0}\\ &=4.0\ \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

物體 A 的向心加速度為 \(8.0\ \text{m/s}^2\)，而物體 B 的向心加速度為 \(4.0\ \text{m/s}^2\)。

(b) 計算每個物體的淨向內合力

物體 A：

\[ \begin{aligned} F_{c,A}&=ma_{c,A}\\ &=0.50\times8.0\\ &=4.0\ \text{N} \end{aligned} \]

物體 B：

\[ \begin{aligned} F_{c,B}&=ma_{c,B}\\ &=1.0\times4.0\\ &=4.0\ \text{N} \end{aligned} \]

兩個物體所需的淨向內合力均為 \(4.0\ \text{N}\)。

(c) 評估學生的說法

這項說法並不正確。物體 B 所需的淨向內合力並沒有比較大；兩個物體所需的合力均為 \(4.0\ \text{N}\)。

物體 B 的質量是物體 A 的兩倍，但它也以相同的速率，在半徑為兩倍的圓形路徑上運動。因此，它的向心加速度只有物體 A 的一半。這兩項變化在合力關係式 \(F_c=ma_c\) 中互相抵銷，令兩個物體所需的淨向內合力相同。

評分指引（6 分）

• (a) 1 分：物體 A 的加速度正確；1 分：物體 B 的加速度正確，並包括單位。
• (b) 1 分：物體 A 的淨向內合力正確；1 分：物體 B 的淨向內合力正確，並包括單位。
• (c) 1 分：否定該說法，並指出兩個物體所受的合力相等；1 分：解釋物體 B 的質量加倍，正好由其加速度減半所抵銷。

試卷完畢 – 共 40 分