圓周運動的應用：HSC 物理練習試卷

這份原創的 tutorgum 練習試卷評量所提供的 Physics 2017 範圍中，圓周運動應用的相關內容。你將學習如何對以細線連接、在水平圓周上運動的物體進行受力分解，分析傾斜彎道上正向力的各個分量，並計算汽車行經平坦彎道時所需的摩擦力。本試卷著重於辨識作用在系統上的實際力，並求出指向圓心的合力。

這是一份針對特定內容的複習試卷，並非完整課程考試。這是 tutorgum 原創的練習試卷，並非 NESA 官方發布、認可、過往考題或預測試卷。

01考試說明

• 建議作答時間： 50 分鐘。
• 建議閱讀時間： 5 分鐘。
• 總分： 40 分。
• 允許使用的器材： 科學計算機、直尺及書寫文具。不得使用筆記。
• 重力場強度： 全程使用 \(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\)。
• 計算過程與精確度： 請列出計算過程、標示單位，並將數值答案取至適當的有效數字位數。

評量內容

本試卷涵蓋以下內容：

• 分解以細線連接、在水平圓周上運動的物體所受的張力與重力。
• 分解傾斜彎道上的正向力，並計算設計速率。
• 分析平坦圓形彎道上作為向心力來源的靜摩擦力。
• 解讀指向圓心的合力與速率之間的關係。

本試卷不包含垂直圓周運動、涉及摩擦力的傾斜彎道計算，以及其他圓周運動主題。

對於傾斜彎道，傾斜角以水平方向為基準測量。對於以細線連接的物體，細線與鉛直方向的夾角即為細線角度。假設空氣阻力可忽略不計。若題目指出賽道無摩擦，則完全忽略摩擦力。

02試題

第 1 題（7 分）

一個質量為 \(0.500\,\text{kg}\) 的物體以一條輕質細線連接，並以 \(4.00\,\text{m s}^{-1}\) 的固定速率，在半徑為 \(0.600\,\text{m}\) 的水平圓周上運動。細線與鉛直方向的夾角為 \(\theta\)。

(a) 指出作用於物體的力，並說明其加速度的方向。（2 分）

(b) 計算作用於物體、指向圓心的合力。（2 分）

(c) 將張力分解為鉛直分量與水平分量。計算細線的張力及角度 \(\theta\)。（3 分）

第 2 題（7 分）

一輛汽車沿著半徑為 \(85.0\,\text{m}\) 的無摩擦傾斜圓形賽道行駛。賽道相對於水平方向的傾斜角為 \(12.0^\circ\)。

在本題中，設計速率是指汽車無須依靠摩擦力，就能沿著圓形路徑行駛的速率。

(a) 指出作用於汽車的力，並說明正向力的各個分量與汽車的鉛直運動及朝向圓心的運動有何關係。（2 分）

(b) 透過分解各個作用力，推導以半徑 \(r\)、傾斜角 \(\theta\) 及重力場強度 \(g\) 表示設計速率 \(v\) 的公式。（3 分）

(c) 計算此賽道的設計速率。（2 分）

第 3 題（8 分）

一輛質量為 \(1.20\times10^3\,\text{kg}\) 的汽車，以 \(14.0\,\text{m s}^{-1}\) 的速率，行駛在半徑為 \(55.0\,\text{m}\) 的平坦水平彎道上。靜摩擦力是作用於汽車的唯一水平力。

(a) 計算汽車沿著彎道行駛所需、指向圓心的合力。（2 分）

(b) 指出摩擦力的方向，並計算汽車以此速率行駛時，為避免打滑所需的最小靜摩擦係數。（3 分）

(c) 接著，汽車以 \(16.8\,\text{m s}^{-1}\) 的速率通過同一個彎道。可用的靜摩擦係數為 \(0.450\)。判斷汽車是否能維持圓周運動，並以計算結果支持你的答案。（3 分）

第 4 題（5 分）

一個質量為 \(0.750\,\text{kg}\) 的物體以細線連接。在某一瞬間，細線的張力為 \(12.0\,\text{N}\)，且細線與鉛直方向的夾角為 \(25.0^\circ\)。作用於物體的力只有張力與重力。

(a) 計算張力的鉛直分量。（2 分）

(b) 一名學生聲稱，在這些力的數值下，物體正以固定高度在水平圓周上運動。評估此說法。若題目所述的力值成立，請計算物體初始時刻的鉛直加速度，並指出其方向。（3 分）

第 5 題（6 分）

一個物體在半徑固定的水平圓周上運動。改變物體的速率，並測量指向圓心的合力 \(F_{\text{in}}\)。測量結果如下。

下圖呈現所提供的測量數據。

• 測量數據
• 最佳擬合直線

(a) 描述指向圓心的合力與速率平方之間的關係。（2 分）

(b) 計算圖表的斜率，並說明此斜率以圓周路徑的質量 \(m\) 與半徑 \(r\) 表示時，代表什麼物理量。（2 分）

(c) 若圓周路徑的半徑為 \(1.50\,\text{m}\)，計算物體的質量。（2 分）

第 6 題（7 分）

一條無摩擦的傾斜測試賽道，設計速率為 \(20.0\,\text{m s}^{-1}\)，其圓形路段的半徑為 \(120.0\,\text{m}\)。一輛質量為 \(900.0\,\text{kg}\) 的汽車以此設計速率行駛。

(a) 計算所需的傾斜角。（3 分）

(b) 計算作用於汽車的正向力大小。（2 分）

(c) 計算正向力指向圓心的分量。將此結果與汽車進行圓周運動所需的向內合力比較，以驗證你的答案。（2 分）

03詳解與評分指引

第 1 題詳解

(a) 指出作用力與加速度。（2 分）

作用於物體的兩個力為：

• 張力 \(T\)，沿著細線指向支撐點。
• 重力 \(mg\)，方向鉛直向下。

物體的加速度水平指向圓心。由於物體維持固定高度，其鉛直加速度為零，因此各個力的鉛直分量互相平衡。

評分指引：

• 1 分：正確指出張力與重力。
• 1 分：正確指出加速度朝向圓心。

(b) 計算指向圓心的合力。（2 分）

對於等速圓周運動，指向圓心的合力為

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

其中，\(m\) 是以公斤為單位的質量，\(v\) 是以公尺每秒為單位的速率，而 \(r\) 是以公尺為單位的半徑。

代入數值：

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(0.500)(4.00)^2}{0.600}\\ &=13.3\,\text{N} \end{aligned} \]

指向圓心的合力為 \(13.3\,\text{N}\)。

評分指引：

• 1 分：列出正確公式並代入數值。
• 1 分：答案正確且附有單位。

(c) 計算張力與角度。（3 分）

令 \(\theta\) 為細線與鉛直方向的夾角。

張力的鉛直分量與重力平衡：

\[ T\cos\theta=mg \]

張力的水平分量提供指向圓心的合力：

\[ T\sin\theta=F_{\text{in}} \]

首先，利用兩個互相垂直的分量計算張力：

\[ \begin{aligned} T&=\sqrt{(mg)^2+F_{\text{in}}^2}\\ &=\sqrt{(4.90)^2+(13.3)^2}\\ &=14.2\,\text{N} \end{aligned} \]

接著，將水平分量的方程式除以鉛直分量的方程式：

\[ \tan\theta=\frac{F_{\text{in}}}{mg} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{13.3}{4.90}\right)\\ &=69.8^\circ \end{aligned} \]

張力為 \(14.2\,\text{N}\)，細線與鉛直方向的夾角為 \(69.8^\circ\)。

評分指引：

• 1 分：正確將張力分解為鉛直分量與水平分量。
• 1 分：正確計算張力。
• 1 分：正確計算角度。

若前面出現數值計算錯誤，但後續計算一致地沿用該數值，張力與角度仍可獲得後續步驟分數。

第 2 題詳解

(a) 指出作用力及其分量。（2 分）

作用於汽車的力包括鉛直向下的重力 \(mg\)，以及賽道施加、垂直於賽道表面的正向力 \(F_N\)。

正向力有兩個相關分量：

• 鉛直分量 \(F_N\cos\theta\)，用來平衡重力。
• 水平分量 \(F_N\sin\theta\)，方向指向圓形路徑的圓心。

由於題目指定賽道無摩擦，因此不存在摩擦力。

評分指引：

• 1 分：正確指出重力與正向力。
• 1 分：正確說明正向力的鉛直分量與指向圓心的分量。

(b) 推導設計速率公式。（3 分）

由於汽車維持固定高度，鉛直方向的力互相平衡：

\[ F_N\cos\theta=mg \]

正向力指向圓心的分量提供向心力：

\[ F_N\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

將指向圓心方向的方程式除以鉛直方向的方程式：

\[ \frac{F_N\sin\theta}{F_N\cos\theta} =\frac{mv^2/r}{mg} \]

消去共同因子，並利用 \(\sin\theta/\cos\theta=\tan\theta\)：

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

重新整理以求出速率：

\[ \boxed{v=\sqrt{rg\tan\theta}} \]

此公式顯示，設計速率取決於賽道半徑、傾斜角及重力場強度。

評分指引：

• 1 分：列出正確的鉛直方向受力方程式。
• 1 分：列出正確的指向圓心方向受力方程式。
• 1 分：將兩個方程式相除，並推導出設計速率公式。

(c) 計算設計速率。（2 分）

使用 \(r=85.0\,\text{m}\)、\(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\) 及 \(\theta=12.0^\circ\)：

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{rg\tan\theta}\\ &=\sqrt{(85.0)(9.80)\tan12.0^\circ}\\ &=13.3\,\text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

設計速率為 \(13.3\,\text{m s}^{-1}\)。

評分指引：

• 1 分：正確將數值代入設計速率公式。
• 1 分：數值答案正確且附有單位。

第 3 題詳解

(a) 計算指向圓心的合力。（2 分）

所需的向內合力為

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

代入汽車的質量、速率及彎道半徑：

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(1.20\times10^3)(14.0)^2}{55.0}\\ &=4.28\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

汽車需要大小為 \(4.28\times10^3\,\text{N}\) 的向內合力。

評分指引：

• 1 分：列出正確公式並代入數值。
• 1 分：答案正確且附有單位。

(b) 計算最小靜摩擦係數。（3 分）

在平坦的水平道路上，靜摩擦力指向彎道的圓心，並提供向內合力。

鉛直方向的力互相平衡，因此

\[ F_N=mg \]

可提供的最大靜摩擦力為

\[ f_{s,\max}=\mu_s F_N \]

其中，\(f_{s,\max}\) 是以牛頓為單位的最大靜摩擦力，而 \(\mu_s\) 是靜摩擦係數。

在避免打滑所需的最小摩擦係數下，最大靜摩擦力恰好等於所需的向內合力：

\[ \mu_s mg=\frac{mv^2}{r} \]

消去質量並重新整理：

\[ \mu_{s,\min}=\frac{v^2}{rg} \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\min} &=\frac{(14.0)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.364 \end{aligned} \]

最小靜摩擦係數為 \(0.364\)。

評分指引：

• 1 分：指出靜摩擦力是指向圓心的力。
• 1 分：將最大摩擦力與正向力及重力建立正確關係。
• 1 分：正確計算最小摩擦係數。

(c) 判斷汽車以較高速率行駛時能否通過彎道。（3 分）

當速率為 \(16.8\,\text{m s}^{-1}\) 時，所需的摩擦係數為

\[ \mu_{s,\text{required}}=\frac{v^2}{rg} \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\text{required}} &=\frac{(16.8)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.524 \end{aligned} \]

所需的摩擦係數 \(0.524\) 大於可用的摩擦係數 \(0.450\)。

因此，可提供的靜摩擦力不足以產生所需的向內合力。汽車無法維持圓周路徑，並會向彎道外側打滑。

評分指引：

• 1 分：列出正確公式並代入數值。
• 1 分：求得所需的摩擦係數約為 \(0.524\)。
• 1 分：比較所需與可用的摩擦係數，並得出正確結論。

第 4 題詳解

(a) 計算張力的鉛直分量。（2 分）

細線與鉛直方向的夾角為 \(25.0^\circ\)。因此，張力的鉛直分量為

\[ T_y=T\cos\theta \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} T_y&=(12.0)\cos25.0^\circ\\ &=10.9\,\text{N} \end{aligned} \]

張力的鉛直分量為 \(10.9\,\text{N}\)，方向向上。

評分指引：

• 1 分：使用正確的分量公式。
• 1 分：數值答案正確且附有單位。

(b) 評估該說法並計算鉛直加速度。（3 分）

物體的重力為

\[ \begin{aligned} mg&=(0.750)(9.80)\\ &=7.35\,\text{N} \end{aligned} \]

若物體要以固定高度在水平圓周上運動，張力的鉛直分量必須等於重力。

然而，

\[ T_y=10.9\,\text{N}>mg=7.35\,\text{N} \]

鉛直方向的力並未平衡。因此，學生的說法與題目所提供的力值不一致。

鉛直方向的合力向上：

\[ \begin{aligned} F_{\text{net},y}&=T_y-mg\\ &=10.9-7.35\\ &=3.53\,\text{N} \end{aligned} \]

根據牛頓第二運動定律，

\[ \begin{aligned} a_y&=\frac{F_{\text{net},y}}{m}\\ &=\frac{3.53}{0.750}\\ &=4.70\,\text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

初始鉛直加速度為 \(4.70\,\text{m s}^{-2}\)，方向向上。在這些條件下，物體無法維持固定高度。

評分指引：

• 1 分：比較張力的鉛直分量與重力，並指出兩者不平衡。
• 1 分：正確計算鉛直方向的合力。
• 1 分：正確計算加速度並指出其方向。

第 5 題詳解

(a) 描述兩者之間的關係。（2 分）

圖表顯示，指向圓心的合力隨著速率平方增加而呈線性增長。數據符合一條通過原點的直線，因此

\[ F_{\text{in}}\propto v^2 \]

換句話說，在質量與半徑保持不變的情況下，如果速率加倍，所需的向內合力就會變成原來的四倍。

評分指引：

• 1 分：指出合力與速率平方之間呈線性關係。
• 1 分：指出合力與 \(v^2\) 成正比。

(b) 計算並解釋斜率。（2 分）

斜率等於指向圓心的合力變化量除以速率平方的變化量：

\[ \begin{aligned} \text{斜率} &=\frac{\Delta F_{\text{in}}}{\Delta(v^2)}\\ &=\frac{6.40-0.400}{16.0-1.00}\\ &=0.400\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2\text{s}^{-2}}\\ &=0.400\,\text{kg m}^{-1} \end{aligned} \]

單位可化簡為公斤每公尺。

圓周運動的公式為

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

將公式重新整理為直線方程式的形式：

\[ F_{\text{in}}=\frac{m}{r}v^2 \]

將此式與 \(y=mx\) 比較，可知圖表的斜率代表質量與半徑的比值：

\[ \boxed{\text{斜率}=\frac{m}{r}} \]

評分指引：

• 1 分：斜率正確且附有單位。
• 1 分：指出斜率代表 \(m/r\)。

(c) 計算質量。（2 分）

根據第 (b) 小題，

\[ \text{斜率}=\frac{m}{r} \]

重新整理，使質量成為等式左側的主體：

\[ m=(\text{斜率})r \]

代入斜率與半徑：

\[ \begin{aligned} m&=(0.400)(1.50)\\ &=0.600\,\text{kg} \end{aligned} \]

物體的質量為 \(0.600\,\text{kg}\)。

評分指引：

• 1 分：正確重新整理斜率關係式，並代入半徑。
• 1 分：質量正確且附有單位。

若第 (b) 小題的斜率計算有誤，但後續一致地沿用該數值，仍可給予後續步驟分數。

第 6 題詳解

(a) 計算傾斜角。（3 分）

對於無摩擦的傾斜彎道，設計速率的關係式為

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

代入題目給定的速率、半徑及重力場強度：

\[ \begin{aligned} \tan\theta &=\frac{(20.0)^2}{(120.0)(9.80)}\\ &=\frac{400}{1176}\\ &=0.340 \end{aligned} \]

取反正切得到

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}(0.340)\\ &=18.8^\circ \end{aligned} \]

所需的傾斜角為相對於水平方向的 \(18.8^\circ\)。

評分指引：

• 1 分：使用正確的設計速率關係式。
• 1 分：正確代入數值。
• 1 分：角度計算正確。

(b) 計算正向力。（2 分）

汽車沒有鉛直加速度，因此正向力的鉛直分量與重力平衡：

\[ F_N\cos\theta=mg \]

重新整理：

\[ F_N=\frac{mg}{\cos\theta} \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} F_N&=\frac{(900.0)(9.80)}{\cos18.8^\circ}\\ &=9.31\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

正向力的大小為 \(9.31\times10^3\,\text{N}\)。

評分指引：

• 1 分：正確分解正向力的鉛直分量，並使用正確的方程式。
• 1 分：正向力計算正確且附有單位。

(c) 計算並驗證指向圓心的分量。（2 分）

正向力指向圓心的分量為

\[ F_{N,\text{in}}=F_N\sin\theta \]

利用 \(F_N\cos\theta=mg\)，也可以將其寫成

\[ F_{N,\text{in}}=mg\tan\theta \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} F_{N,\text{in}} &=(900.0)(9.80)\tan18.8^\circ\\ &\approx3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

接著，計算圓周運動所需、指向圓心的合力：

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}}&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{(900.0)(20.0)^2}{120.0}\\ &=3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

在四捨五入的精度範圍內，正向力指向圓心的分量與所需的向內合力一致。這證實，在設計速率下，正向力能夠提供所需的向心力。

評分指引：

• 1 分：正確計算正向力指向圓心的分量。
• 1 分：正確計算所需的向內合力，並確認兩者數值一致。

若第 (a) 小題的角度有誤，但在第 (b) 與第 (c) 小題中一致地使用該角度，且計算方法正確，仍可給予後續步驟分數。