角速度、線速度、週期與頻率：練習試卷

這是 tutorgum 原創的練習試卷，主題是等速圓周運動中角度與線性運動的相關描述。本試卷評估所提供的《物理》2017 年版課程範圍內有關角速度、線速度、週期及頻率的知識。本試卷是針對特定主題設計的練習試卷，並非涵蓋整個課程的模擬考試，也不是 NESA 官方發布、認可、歷屆使用或預測的試卷。

01考試指示

• 建議作答時間： 50 分鐘。
• 閱讀時間： 5 分鐘。
• 總分： 36 分。
• 允許使用的器材： 科學計算機、原子筆及鉛筆。不得使用筆記。
• 考試條件： 以上為練習試卷的作答條件，並非對 NESA 官方考試規則的聲明。

評核範圍

本試卷涵蓋以下內容：

• 在轉數、弧度、頻率及週期之間進行換算。
• 根據角位移及經過時間計算角速度。
• 說明角速度與頻率、週期及線速度之間的關係。
• 比較同一旋轉物體上不同半徑位置的各點。
• 區分相同角速度與相同線速度。
• 解讀等速圓周運動的數值資料。

本試卷不包括向心加速度與向心力、力矩、角加速度、非等速圓周運動，以及其他課程綱要版本的內容。

符號與單位

請在整份試卷中使用以下符號。

• 角位移 \(\Delta\theta\) 是角位置的變化量，以弧度（rad）為單位。
• 角速度 \(\omega\) 描述角位移的變化率，以每秒弧度（\(\text{rad s}^{-1}\)）為單位。
• 半徑 \(r\) 以公尺（m）為單位。
• 線速度 \(v\) 以公尺每秒（\(\text{m s}^{-1}\)）為單位。
• 經過時間 \(t\) 以秒（s）為單位。
• 週期 \(T\) 是完成一整轉所需的時間，以秒（s）為單位。
• 頻率 \(f\) 是每秒完成的轉數，以赫茲（Hz）為單位。

凡是描述為等速旋轉的情況，均假設為等速圓周運動。請使用 \(\pi\) 或計算機提供的數值，並在答案中標明單位。除非所提供的數據只支持較少的有效數字，否則答案均應取至三位有效數字。

所有題目均列於詳解之前。請先在限時條件下完成試卷，再查閱評分指引。

02題目

第 1 題（4 分）

一個轉盤在 10.0 s 內完成 15 轉。

(a) 求轉盤的頻率及週期。（2 分）

(b) 求轉盤在這 10.0 s 時間內的角位移，以弧度表示。（1 分）

(c) 計算這段時間內的平均角速度。（1 分）

第 2 題（5 分）

一根傳動軸以每分鐘 120.0 轉（rpm）的恆定速率旋轉。

(a) 將此旋轉速率換算為以赫茲表示的頻率。（1 分）

(b) 計算傳動軸的角速度，以每秒弧度表示。（2 分）

(c) 計算傳動軸在 3.50 s 時間內的角位移。（2 分）

第 3 題（5 分）

旋轉平台上的一個標記點沿著半徑為 0.400 m 的路徑作等速圓周運動。它每隔 1.60 s 完成一整轉。

(a) 計算該標記點的線速度。（2 分）

(b) 計算該標記點的角速度。（1 分）

(c) 計算該標記點在 12.0 s 內行經的距離。（2 分）

第 4 題（5 分）

一個剛性轉盤以 \(0.80\ \text{rad s}^{-1}\) 的恆定角速度旋轉。

A 點距離轉盤中心 0.10 m，而 B 點距離轉盤中心 0.30 m。

(a) 比較 A 點與 B 點的角速度，並解釋你的答案。（2 分）

(b) 計算每個點的線速度。（2 分）

(c) 求 B 點的線速度與 A 點的線速度之比。（1 分）

第 5 題（6 分）

物體 X 和 Y 均作等速圓周運動。物體 X 沿著半徑為 0.200 m 的圓周運動，每隔 0.500 s 完成一整轉。物體 Y 沿著半徑為 0.350 m 的圓周運動。

兩個物體的線速度相同。

(a) 計算物體 X 的線速度。（2 分）

(b) 求物體 Y 的週期。（2 分）

(c) 哪個物體的角速度較大？請運用線速度、半徑與角速度之間的關係，說明你的答案。（2 分）

第 6 題（5 分）

一個旋轉感應器記錄了不同時間相對於起始位置的角位移。在整個測量過程中，旋轉均保持等速。

(a) 使用 0.00 s 至 1.50 s 的測量數據，計算角速度。（2 分）

(b) 計算 6.0 s 後的角位移，並將此位移表示為轉數。（2 分）

(c) 感應器上有一點距離旋轉軸 0.250 m。計算該點的線速度。（1 分）

第 7 題（6 分）

一個旋轉檢測平台以 45.0 rpm 運作。感應器 A 安裝在距離中心 0.120 m 的位置，而感應器 B 安裝在距離中心 0.280 m 的位置。

(a) 將平台的旋轉速率換算為角速度，以每秒弧度表示。（2 分）

(b) 計算每個感應器的線速度。（2 分）

(c) 將感應器 B 移至半徑為 0.200 m 的位置，並調整平台的旋轉速率，使該感應器的線速度維持在原來的數值。計算新的角速度，以每秒弧度表示，並將新的旋轉速率表示為 rpm。（2 分）

03詳解與評分指引

請根據以下列出的解題步驟給分。接受在數學上等價的方法及適當的數值取捨。若學生正確使用先前的數值結果，即使該結果包含較早出現的錯誤，仍應給予相應的後續步驟分。

解答 1

(a) 求頻率及週期。（2 分）

頻率是每秒完成的轉數。轉盤在 10.0 s 內完成 15 轉，因此

\[ f=\frac{15}{10.0}=1.50\ \text{Hz} \]

週期是完成一整轉所需的時間，亦即頻率的倒數：

\[ T=\frac{1}{f}=\frac{1}{1.50}=0.667\ \text{s} \]

答案：\(f=1.50\ \text{Hz}\) 及 \(T=0.667\ \text{s}\)。

評分指引：

• 頻率正確，得 1 分。
• 週期正確，得 1 分。

(b) 求角位移。（1 分）

一整轉相當於 \(2\pi\) 弧度。因此，15 轉相當於

\[ \Delta\theta=15(2\pi)=30\pi \]

\[ \Delta\theta=94.2\ \text{rad} \]

評分指引：

• 角位移正確，並以弧度為單位，得 1 分。

(c) 計算平均角速度。（1 分）

角速度等於角位移除以經過的時間：

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\\ &=\frac{30\pi}{10.0}\\ &=9.42\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

評分指引：

• 角速度及其單位正確，得 1 分。

總分：4 分。

解答 2

(a) 將 rpm 換算為頻率。（1 分）

一分鐘有 60 秒。將旋轉速率除以 60，即可得到每秒轉數：

\[ f=\frac{120.0}{60}=2.00\ \text{Hz} \]

評分指引：

• 頻率正確，並以赫茲為單位，得 1 分。

(b) 計算角速度。（2 分）

每轉一整圈相當於 \(2\pi\) 弧度。由於傳動軸每秒完成 \(f\) 轉，因此其角速度為

\[ \omega=2\pi f \]

代入頻率：

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi(2.00)\\ &=4\pi\\ &=12.6\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

評分指引：

• 正確寫出角速度與頻率之間的關係，得 1 分。
• 數值答案及其單位正確，得 1 分。

(c) 計算 3.50 s 內的角位移。（2 分）

對於等速旋轉，角位移等於角速度乘以經過的時間：

\[ \begin{aligned} \Delta\theta&=\omega t\\ &=(4\pi)(3.50)\\ &=14\pi\\ &=44.0\ \text{rad} \end{aligned} \]

評分指引：

• 使用正確的角位移關係式，得 1 分。
• 數值答案及其單位正確，得 1 分。

總分：5 分。

解答 3

(a) 計算線速度。（2 分）

標記點在每個週期 \(T\) 內行經一個圓周，其長度為 \(2\pi r\)。線速度等於行經的距離除以所需時間，因此

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

代入 \(r=0.400\ \text{m}\) 及 \(T=1.60\ \text{s}\)：

\[ \begin{aligned} v&=\frac{2\pi(0.400)}{1.60}\\ &=1.57\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

答案：\(1.57\ \text{m s}^{-1}\)。

評分指引：

• 公式正確，得 1 分。
• 數值答案及其單位正確，得 1 分。

(b) 計算角速度。（1 分）

一整轉相當於 \(2\pi\) 弧度，因此角速度為

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{2\pi}{T}\\ &=\frac{2\pi}{1.60}\\ &=3.93\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

評分指引：

• 角速度及其單位正確，得 1 分。

(c) 計算 12.0 s 內行經的距離。（2 分）

標記點以恆定線速度運動，因此行經的距離等於線速度乘以經過的時間：

\[ \begin{aligned} d&=vt\\ &=(1.5708)(12.0)\\ &=18.8\ \text{m} \end{aligned} \]

答案：\(18.8\ \text{m}\)。

評分指引：

• 使用 \(d=vt\)，得 1 分。
• 距離及其單位正確，得 1 分。

總分：5 分。

解答 4

(a) 比較角速度。（2 分）

兩個點都位於同一個剛性轉盤上。在任何指定的時間間隔內，轉盤上所有位置的角位移都相同。

因此，

\[ \omega_A=\omega_B=0.80\ \text{rad s}^{-1} \]

即使兩個點位於不同半徑的位置，它們的角速度仍然相同。

評分指引：

• 指出兩點的角速度相同，得 1 分。
• 解釋兩點在相同時間內經歷相同的角位移，得 1 分。

(b) 計算線速度。（2 分）

角速度與線速度的關係為

\[ v=\omega r \]

對於 A 點：

\[ \begin{aligned} v_A&=(0.80)(0.10)\\ &=0.080\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

對於 B 點：

\[ \begin{aligned} v_B&=(0.80)(0.30)\\ &=0.24\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

由於 B 點距離旋轉軸較遠，因此其運動速度較快。在相同時間內，B 點在完成相同角位移的同時，會沿著較長的圓弧移動。

評分指引：

• A 點的線速度正確，得 1 分。
• B 點的線速度正確，得 1 分。

(c) 求線速度之比。（1 分）

\[ \frac{v_B}{v_A}=\frac{0.24}{0.080}=3.0 \]

因此，

\[ v_B:v_A=3:1 \]

評分指引：

• 比值正確，得 1 分。

總分：5 分。

解答 5

(a) 計算物體 X 的線速度。（2 分）

物體 X 的半徑為 \(r_X=0.200\ \text{m}\)，週期為 \(T_X=0.500\ \text{s}\)。

利用每轉一整圈所行經的圓周長，

\[ v_X=\frac{2\pi r_X}{T_X} \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} v_X&=\frac{2\pi(0.200)}{0.500}\\ &=2.51\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

評分指引：

• 公式及代入數值正確，得 1 分。
• 線速度及其單位正確，得 1 分。

(b) 求物體 Y 的週期。（2 分）

兩個物體的線速度相同，因此

\[ v_Y=v_X=2.513\ \text{m s}^{-1} \]

物體 Y 的線速度等於其圓周長除以週期：

\[ v_Y=\frac{2\pi r_Y}{T_Y} \]

重新整理公式，以週期為主項：

\[ T_Y=\frac{2\pi r_Y}{v_Y} \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} T_Y&=\frac{2\pi(0.350)}{2.513}\\ &=0.875\ \text{s} \end{aligned} \]

答案：\(T_Y=0.875\ \text{s}\)。

評分指引：

• 公式正確地重新整理並代入數值，得 1 分。
• 週期及其單位正確，得 1 分。

(c) 比較角速度。（2 分）

線速度與角速度之間的關係為

\[ \omega=\frac{v}{r} \]

對於物體 X：

\[ \omega_X=\frac{2.513}{0.200}=12.6\ \text{rad s}^{-1} \]

對於物體 Y：

\[ \omega_Y=\frac{2.513}{0.350}=7.18\ \text{rad s}^{-1} \]

物體 X 的角速度較大。兩個物體的線速度相同，但 X 的半徑較小。因此，X 必須具有較大的角速度，才能產生相同的線速度。

評分指引：

• 正確運用線速度、半徑與角速度之間的關係，得 1 分。
• 正確指出物體 X 的角速度較大，得 1 分。

總分：6 分。

解答 6

(a) 根據測量數據計算角速度。（2 分）

角速度等於角位移的變化量除以經過的時間：

\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]

使用 0.00 s 及 1.50 s 時的測量數據：

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{3.60-0.00}{1.50-0.00}\\ &=2.40\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

答案：\(2.40\ \text{rad s}^{-1}\)。

評分指引：

• 關係式正確，並正確使用數據，得 1 分。
• 角速度及其單位正確，得 1 分。

(b) 計算角位移並換算為轉數。（2 分）

由於旋轉是等速的，因此 6.0 s 後的角位移為

\[ \begin{aligned} \Delta\theta&=\omega t\\ &=(2.40)(6.0)\\ &=14.4\ \text{rad} \end{aligned} \]

一整轉相當於 \(2\pi\) 弧度。因此，轉數為

\[ \begin{aligned} N&=\frac{\Delta\theta}{2\pi}\\ &=\frac{14.4}{2\pi}\\ &=2.29\ \text{revolutions} \end{aligned} \]

此處的 \(N\) 代表轉數。

答案：\(14.4\ \text{rad}\)，或 \(2.29\) 轉。

評分指引：

• 角位移正確，得 1 分。
• 換算為轉數的結果正確，得 1 分。

(c) 計算線速度。（1 分）

該點距離旋轉軸 \(0.250\ \text{m}\)。使用 \(v=\omega r\)，

\[ \begin{aligned} v&=(2.40)(0.250)\\ &=0.600\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

評分指引：

• 線速度及其單位正確，得 1 分。

總分：5 分。

• 斜率 = ω = 2.40 rad s⁻¹

解答 7

(a) 將旋轉速率換算為角速度。（2 分）

平台以每分鐘 45.0 轉的速率旋轉。換算為每秒轉數：

\[ f=\frac{45.0}{60}=0.750\ \text{Hz} \]

由於每轉一整圈相當於 \(2\pi\) 弧度，

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi f\\ &=2\pi(0.750)\\ &=4.71\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

答案：\(4.71\ \text{rad s}^{-1}\)。

評分指引：

• 正確將 rpm 換算為頻率，得 1 分。
• 角速度及其單位正確，得 1 分。

(b) 計算兩個感應器的線速度。（2 分）

旋轉物體上某一點的線速度為

\[ v=\omega r \]

對於感應器 A：

\[ \begin{aligned} v_A&=(4.712)(0.120)\\ &=0.565\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

對於感應器 B：

\[ \begin{aligned} v_B&=(4.712)(0.280)\\ &=1.32\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

由於感應器 B 距離旋轉軸較遠，因此其線速度較大。兩個感應器安裝在同一個剛性平台上時，具有相同的角速度。

評分指引：

• 感應器 A 的線速度正確，得 1 分。
• 感應器 B 的線速度正確，得 1 分。

(c) 計算新的角速度及旋轉速率。（2 分）

感應器 B 必須維持原來約為 \(1.319\ \text{m s}^{-1}\) 的線速度。其新的半徑為 \(0.200\ \text{m}\)。

重新整理 \(v=\omega r\)，

\[ \begin{aligned} \omega_{\text{new}}&=\frac{v}{r_{\text{new}}}\\ &=\frac{1.319}{0.200}\\ &=6.60\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

若要將新的角速度換算為每分鐘轉數，先將每秒弧度換算為每秒轉數，再乘以 60：

\[ \begin{aligned} f_{\text{new}}&=\frac{\omega_{\text{new}}}{2\pi}\\ &=\frac{6.596}{2\pi}\\ &=1.05\ \text{Hz} \end{aligned} \]

\[ \text{Rotation rate}=1.05(60)=63.0\ \text{rpm} \]

答案：\(\omega_{\text{new}}=6.60\ \text{rad s}^{-1}\)，旋轉速率為 \(63.0\ \text{rpm}\)。

新的旋轉速率較高，因為感應器更靠近旋轉軸。要在較小的半徑下維持相同的線速度，平台就必須旋轉得更快。

評分指引：

• 正確使用保持不變的線速度，計算新的角速度，得 1 分。
• 正確將角速度換算為 rpm，得 1 分。

總分：6 分。

最終分數核對

本試卷的核心關係是：角速度描述角位置變化的快慢，而線速度描述沿圓形路徑移動的距離變化的快慢。對於等速圓周運動，兩者之間的關係為

\[ v=\omega r=\frac{2\pi r}{T} \]

同一個剛性旋轉物體上的各點具有相同的角速度，但它們的線速度取決於各點與旋轉軸之間的距離。相反，若兩個物體具有相同的線速度，半徑較小的物體便具有較大的角速度。