黑體輻射與紫外災難解析
了解黑體光譜的形狀、古典物理學為何預測紫外災難，以及普朗克如何透過能量量子化解決這個問題。
加熱一塊金屬時，隨著溫度升高，它發出的光會改變：先是暗紅色，接著變成橙色，最後變成黃白色。根據簡單的古典物理預測，似乎很容易得出一個結論。如果溫度越高，物質中的帶電粒子就振動得越劇烈，那麼波長越短的電磁波或許就會攜帶越來越多的能量。若將這種推論推展到極端，紫外線的能量就應該佔據主導地位。
但事實並非如此。真實的熱輻射光譜會先上升至一個峰值，然後在短波長區域急劇下降。古典物理學卻預測了相反的結果–發射的能量會無限制地增加。這個失敗後來被稱為紫外災難，而要解決這個問題，物理學家就必須改變他們對能量特性的看法。
01黑體光譜實際上是什麼樣子？
想像一個中空的腔體，其中一面牆上有一個小孔。進入小孔的輻射會在腔體內部不斷反射，幾乎不可能再次逃出。因此，這個小孔的行為幾乎就像一個理想的吸收體。
如果將腔體維持在固定溫度，內部的輻射最終會達到熱平衡。從小孔射出的輻射，其光譜主要由溫度決定，而不是由製成腔體的材料決定。
這就是黑體背後有用的物理模型：一種理想物體，能吸收所有入射的電磁輻射，並發射與其溫度相對應的特徵熱輻射光譜。
現在來作出預測。如果溫度升高，光譜會有什麼變化？
我們會觀察到兩件事：
- 物體整體發射的能量增加；以及
- 發射最強時所對應的波長會移向較短的波長。
光譜並不是一個狹窄的尖峰。高溫物體會在廣泛的波長範圍內發射輻射。其峰值波長 \(\lambda_{\text{max}}\)，就是曲線達到最大值時所對應的波長。
這個峰值的移動可用維恩位移定律描述：
\[ \lambda_{\text{max}}T=b \]
其中：
- \(\lambda_{\text{max}}\) 是以公尺為單位的峰值波長；
- \(T\) 是以克耳文為單位的絕對溫度；以及
- \(b=2.898\times10^{-3}\text{ m K}\) 是維恩位移常數。
因此，當 \(T\) 增加時，\(\lambda_{\text{max}}\) 就會減小。
這解釋了我們熟悉的金屬從紅熱變成白熱的現象。它還告訴我們一件更重要的事：自然界存在某種機制，能防止短波長輻射無限制地增加。
計算示例：高溫燈絲在哪個波長發射最強？
一條燈絲的溫度為 \(3000\text{ K}\)。計算其黑體光譜達到峰值時的波長，並說明這個波長是否位於可見光範圍內。
步驟 1
\[ \lambda_{\text{max}}T=b \]
步驟 2
\[ \lambda_{\text{max}}=\frac{b}{T} \]
步驟 3
\[ \lambda_{\text{max}} =\frac{2.898\times10^{-3}}{3000} =9.66\times10^{-7}\text{ m} \]
步驟 4
\[ 9.66\times10^{-7}\text{ m}=966\text{ nm} \]
峰值波長約為 \(966\text{ nm}\)，位於紅外線範圍內。
這並不代表燈絲完全不會發出可見光。由於光譜涵蓋廣泛的波長範圍，仍有部分輻射落在可見光範圍內。只是光譜峰值恰好位於紅光波長之外。
02為什麼古典物理學預測紫外線輻射會過多？
要了解古典物理學的預測在哪裡出錯，最好先不要再從發光物體的表面思考，而是回到腔體本身。
電磁波可以在腔體內形成駐波圖樣。只有某些特定的圖樣能夠容納在腔體內，這有點像吉他弦上允許形成的駐波，只不過腔體是三維的，而且波是電磁波。
每一種允許存在的駐波圖樣都稱為一個模式。
在低頻率下，可能存在的模式相對較少。在較高頻率下，則有更多不同的駐波圖樣能夠容納在腔體內。
事實上，在一個很小的頻率區間內，可用模式的數量大致隨 \(f^2\) 增加，其中 \(f\) 是頻率。
因此，高頻率會帶來一種危險的組合：
- 可用的模式數量更多；以及
- 古典物理學認為，每個模式平均應獲得大致相同的熱能。
第二個觀念來自古典的能量均分定理。
對於處於熱平衡的電磁模式，古典統計力學預測其平均能量為
\[ \overline{E}=kT \]
其中 \(k=1.381\times10^{-23}\text{ J K}^{-1}\) 是波茲曼常數。
想像學校餐廳有一條荒謬的規定：每一位到場的學生都會得到一份三明治。只要學生人數有限，這個規定就行得通。但現在假設，當你沿著隊伍走向紫外線區域時，學生人數會不斷增加，沒有上限。那麼三明治的總需求量就會變成無限大。
在這個比喻中，學生代表電磁模式，而每份三明治代表古典物理學所預測的能量 \(kT\)。
這個比喻的限制在於，能量並不是由某個人實際分發出去的，而電磁模式也不是一群互不相關、飢腸轆轆的青少年。這個比喻真正有用的地方在於數量的計算：古典物理學為每個可用模式分配非零的平均能量，而高頻模式的數量卻持續增加。
03瑞利－金斯定律的預測
將古典模式計數與能量均分定理結合，就能得到瑞利－金斯定律。以頻率表示時，每單位頻率的能量密度為
\[ u(f,T)=\frac{8\pi f^2kT}{c^3} \]
其中：
- \(u(f,T)\) 描述輻射能量如何隨頻率分布；
- \(f\) 是以赫茲為單位的頻率；
- \(T\) 是以克耳文為單位的溫度；
- \(k\) 是波茲曼常數；以及
- \(c\) 是光速。
請注意其中最重要的部分：
\[ u(f,T)\propto f^2 \]
在固定溫度下，頻率加倍，古典物理學預測的能量密度就會變成原來的四倍。
如果頻率變成三倍，能量密度就會變成九倍。
當 \(f\) 趨近無限大時，預測的能量密度也會趨近無限大。
由於紫外線的頻率比可見光高，這種在高頻端失控增加的預測便被稱為紫外災難。
這場「災難」是理論上的災難，而不是實際物體遭遇的災難。高溫烤箱並沒有偷偷向你的廚房發射無限量的紫外線。
04為什麼這個預測看起來合情合理？
古典模型並不愚蠢。在頻率足夠低時，它的表現相當良好。
這一點很重要。一個好的替代理論不應該直接拋棄已經成功的古典物理學，而應該解釋舊理論為什麼在某個範圍內有效，卻在另一個範圍內失效。
從實驗結果來看，瑞利－金斯定律在長波長範圍內，對黑體輻射的預測相當合理。當波長逐漸縮短時，才會出現嚴重的偏差。
因此，問題可以更精確地表述為：
為什麼高頻模式獲得的熱能會比古典能量均分定理所預測的更少？
05普朗克的改變：能量以與頻率相關的離散份量交換
馬克斯・普朗克引入了一項新的限制。與頻率為 \(f\) 的模式相關的能量交換，是以離散的份量進行，其能量與下式有關：
\[ E=hf \]
其中 \(h=6.626\times10^{-34}\text{ J s}\) 是普朗克常數。
更精確地說，在普朗克的模型中，允許的振盪子能量可以寫成
\[ E_n=nhf \]
其中 \(n=0,1,2,\ldots\)。
關鍵在於每一個能量階距的大小：
\[ \Delta E=hf \]
低頻模式的能量階距較小。高頻模式的能量階距則較大。
想像一間遊樂場，裡面的不同遊戲需要不同數量的代幣才能開始玩。古典能量均分定理實際上假設每種遊戲都可以吸收任意微小的能量。普朗克的規則則表示，高頻遊戲所需的最低代幣數量要大得多。
在固定溫度下，可用的熱能有限。因此，高頻模式更難被激發。
這個比喻的限制在於，模式並不是真的在累積熱能「代幣」，但它抓住了重要的競爭關係：量子能量尺度 \(hf\) 正在與熱能尺度 \(kT\) 比較。
這種比較是理解黑體輻射最有用的方法之一：
\[ \frac{hf}{kT} \]
如果 \(hf\ll kT\)，能量階距相對於可用熱能而言很小，因此古典物理學的行為是一個良好的近似。
如果 \(hf\) 變得與 \(kT\) 相當，或大於 \(kT\)，離散的能量階距就會產生顯著影響。
06量子化如何消除紫外災難
普朗克的模型給出腔體模式的平均能量：
\[ \overline{E} = \frac{hf}{e^{hf/(kT)}-1} \]
這個公式看起來比古典結果 \(kT\) 複雜，但它所表達的物理意義，其實比公式乍看之下更清楚。
在低頻率下，\(hf\) 相對於 \(kT\) 很小，因此這個表示式會趨近古典值 \(kT\)。
在非常高的頻率下，\(hf/(kT)\) 會變得很大。分母中的指數項會極快地增長，因此每個高頻模式的平均能量會逐漸趨近零。
高頻模式的數量仍然很多。
關鍵的改變在於，這些模式不再各自被分配 \(kT\) 的能量。
將普朗克的模式平均能量與相同的腔體模式計數結合，就會得到
\[ u(f,T) = \frac{8\pi hf^3}{c^3} \frac{1}{e^{hf/(kT)}-1} \]
起初，隨著 \(f\) 增加，可用模式的數量也增加，因此光譜會上升。
然而，當 \(hf\) 相對於 \(kT\) 變得太大時，激發模式所需的能量就會過高。指數抑制效應開始佔上風，光譜便會下降。
如此一來，光譜就會形成有限的峰值，而不是在紫外線區域無限制地暴增。
計算示例：古典近似在什麼時候失效？
考慮溫度為 \(5800\text{ K}\) 的熱輻射，這大致是太陽可見表面的溫度量級。比較波長為 \(10\,\mu\text{m}\) 和 \(200\text{ nm}\) 時的量子修正。
在相同波長下，普朗克預測與相應的古典瑞利－金斯預測之間的比值可寫成
\[ \frac{\text{Planck}}{\text{classical}} = \frac{x}{e^x-1} \]
其中
\[ x=\frac{hc}{\lambda kT} \]
步驟 1
這裡，
\[ \lambda=10\,\mu\text{m}=1.0\times10^{-5}\text{ m} \]
因此
\[ x= \frac{(6.626\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {(1.0\times10^{-5})(1.381\times10^{-23})(5800)} \approx0.248 \]
步驟 2
\[ \frac{x}{e^x-1} = \frac{0.248}{e^{0.248}-1} \approx0.88 \]
普朗克的結果約為古典預測的 \(88\%\)。在這個較長的波長下，兩種模型的結果相當接近。
步驟 3
\[ \lambda=200\text{ nm}=2.00\times10^{-7}\text{ m} \]
\[ x= \frac{(6.626\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {(2.00\times10^{-7})(1.381\times10^{-23})(5800)} \approx12.4 \]
步驟 4
\[ \frac{x}{e^x-1} = \frac{12.4}{e^{12.4}-1} \approx5.1\times10^{-5} \]
在 \(200\text{ nm}\) 時，普朗克的預測只有古典結果的約 \(0.005\%\)。
這就是以數值呈現的紫外災難。古典預測在短波長下並不是只有輕微的誤差，而是最終會變得極度不準確。
07最容易令人誤解的觀念
一種常見的解讀是：普朗克透過設定一個最高允許頻率來解決問題。
事實並非如此。
不存在一道硬性的界線，使輻射在某個頻率突然變得不可能。黑體光譜在高頻端有一條平滑的尾部。
量子模型的做法，是讓高頻激發變得越來越不可能，因為所需的能量階距 \(hf\) 相對於 \(kT\) 會越來越大。
這個差異很重要。任意設定一個紫外線截止頻率，或許能避免總能量變成無限大，但這種做法無法自然地重現觀察到的平滑光譜，以及光譜隨溫度系統性變化的現象。
08溫度升高時，實際上改變了什麼？
假設溫度升高。
很容易讓人說：「光譜會向左移。」
但這種說法並不完整。
溫度較高的黑體會在廣泛的波長範圍內發出更強的輻射。同時，光譜峰值會移向較短的波長。
這個原因同樣可以從 \(hf\) 與 \(kT\) 之間的競爭看出。提高 \(T\) 會增加熱能尺度 \(kT\)。原本相對於可用熱能而言代價太高的頻率，現在就變得比較容易被激發。
因此，光譜中的高頻部分會有更多模式被激發，而特徵峰值則會移向較高的頻率，亦即較短的波長。
維恩位移定律
\[ \lambda_{\text{max}}T=b \]
就是這個現象可測量的結果。
09古典預測與量子預測的並列比較
| 特徵 | 古典瑞利－金斯模型 | 普朗克模型 | 觀察結果 |
|---|---|---|---|
| 長波長 | 表現良好 | 趨近古典結果 | 兩者都符合觀察 |
| 高頻率 | 能量持續增加 | 高頻模式受到強烈抑制 | 光譜下降 |
| 總發射能量 | 若包含所有頻率，則發散至無限大 | 有限 | 有限 |
| 光譜是否有峰值 | 高頻端不存在有限的峰值 | 有 | 有 |
| 能量交換 | 實際上是連續的 | 以與 \(hf\) 相關的離散份量進行量子化 | 量子模型符合光譜 |
| 溫度升高的影響 | 每個模式的古典能量增加，但紫外災難仍然存在 | 更高的頻率變得較容易被激發 | 峰值移向較短波長 |
重要的教訓並不只是「古典物理學錯了」。古典物理學其實是更完整的量子描述在低頻率下的極限情況。
10問題與解答
問題 1
一個黑體的溫度為 \(4000\text{ K}\)。
計算它的峰值波長。第二個黑體的溫度為 \(8000\text{ K}\)。不必重複完整的計算，直接寫出第二個物體的峰值波長，並解釋這個變化。
使用 \(b=2.898\times10^{-3}\text{ m K}\)。
解答 1
溫度為 \(4000\text{ K}\) 的物體，其峰值波長約為 \(725\text{ nm}\)；而溫度為 \(8000\text{ K}\) 的物體，其峰值波長約為 \(362\text{ nm}\)。
對第一個物體，
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T} = \frac{2.898\times10^{-3}}{4000} = 7.245\times10^{-7}\text{ m} \]
因此，
\[ \lambda_{\text{max}}\approx725\text{ nm} \]
對第二個物體，溫度加倍。由於
\[ \lambda_{\text{max}}\propto\frac{1}{T} \]
當 \(T\) 加倍時，峰值波長就會減半：
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{725}{2} \approx362\text{ nm} \]
容易犯的錯誤是說，較熱物體的整個光譜只是移到了 \(362\text{ nm}\)。事實並非如此。光譜仍然涵蓋廣泛的波長範圍，其強度會增加，而峰值則移向較短的波長。
問題 2
根據瑞利－金斯定律，
\[ u(f,T)=\frac{8\pi f^2kT}{c^3} \]
同一個腔體內的兩個頻率分別為 \(3.0\times10^{14}\text{ Hz}\) 和 \(9.0\times10^{14}\text{ Hz}\)。
在相同溫度下：
- 計算這兩個頻率所對應的古典光譜能量密度之比。
- 解釋為什麼將這種推論延伸至任意高的頻率，會導致紫外災難。
解答 2
瑞利－金斯模型預測，在 \(9.0\times10^{14}\text{ Hz}\) 時的光譜能量密度，是在 \(3.0\times10^{14}\text{ Hz}\) 時的九倍；而且，隨著頻率持續按 \(f^2\) 增長，將所有頻率都納入計算時，總能量就會變成無限大。
在溫度固定時，除了 \(f^2\) 以外的所有因子都會相消：
\[ \frac{u_2}{u_1} = \frac{f_2^2}{f_1^2} \]
代入數值，
\[ \frac{u_2}{u_1} = \left( \frac{9.0\times10^{14}} {3.0\times10^{14}} \right)^2 = 3^2 = 9 \]
因此，
\[ u_2=9u_1 \]
這個計算本身還不會造成災難。問題在於，如果不設上限，就一直套用同一條規則。
當 \(f\) 增加時，
\[ u(f,T)\propto f^2 \]
因此，預測的能量密度會持續增加，而不是先達到峰值，再逐漸下降。
一個容易讓人走錯的思路是：「每個個別頻率仍然有有限的數值，所以沒有問題。」真正改變結論的關鍵條件是，黑體光譜包含連續的頻率範圍。將越來越高頻率所對應的預測貢獻全部加起來，就無法得到有限的總能量。
然而，真實光譜在高頻端會急劇下降。
問題 3
一個腔體的溫度為 \(6000\text{ K}\)。使用下式比較 \(500\text{ nm}\) 和 \(200\text{ nm}\) 的輻射：
\[ x=\frac{hf}{kT}=\frac{hc}{\lambda kT} \]
取 \(h=6.626\times10^{-34}\text{ J s}\)、\(c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}\)，以及 \(k=1.381\times10^{-23}\text{ J K}^{-1}\)。
- 計算每個波長所對應的 \(x\)。
- 指出哪個波長受到量子效應的抑制較強。
- 解釋為什麼在這種情況下，古典能量均分定理會變得特別不準確。
解答 3
計算結果約為：在 \(500\text{ nm}\) 時，\(x=4.80\)；在 \(200\text{ nm}\) 時，\(x=12.0\)。因此，\(200\text{ nm}\) 的輻射受到的抑制強得多。
對於 \(500\text{ nm}\)，
\[ \lambda=5.00\times10^{-7}\text{ m} \]
而且
\[ x= \frac{(6.626\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {(5.00\times10^{-7})(1.381\times10^{-23})(6000)} \approx4.80 \]
對於 \(200\text{ nm}\)，
\[ \lambda=2.00\times10^{-7}\text{ m} \]
因此
\[ x= \frac{(6.626\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {(2.00\times10^{-7})(1.381\times10^{-23})(6000)} \approx12.0 \]
在 \(200\text{ nm}\) 時，量子能量尺度 \(hf\) 約為熱能尺度 \(kT\) 的十二倍。因此，激發這種模式需要相對較大的能量階距。
容易讓人誤信的古典論證是：不論頻率是多少，每個模式都應該獲得平均能量 \(kT\)。這個假設忽略了最低量子能量階距會隨頻率增加的事實。
由於在 \(200\text{ nm}\) 時 \(hf\gg kT\)，高頻激發不太可能發生。因此，普朗克的表示式所分配給這些模式的平均能量，會遠低於古典能量均分定理的預測。
問題 4
一名學生將黑體光譜繪製成以波長為橫軸的圖，發現圖形在 \(500\text{ nm}\) 處達到峰值。
學生立即聲稱，同一輻射以頻率為橫軸繪圖時，峰值必定出現在
\[ f=\frac{c}{500\text{ nm}} \]
因為波長與頻率滿足 \(c=f\lambda\)。
這個結論一定正確嗎？
使用以下事實：對應的小區間內所包含的能量必須滿足
\[ B_\nu\,d\nu=B_\lambda\,|d\lambda| \]
而且
\[ \left|\frac{d\lambda}{d\nu}\right|=\frac{c}{\nu^2} \]
其中 \(B_\lambda\) 是每單位波長的光譜輻亮度，而 \(B_\nu\) 是每單位頻率的光譜輻亮度。
解答 4
不一定。頻率光譜的峰值通常不會出現在波長光譜峰值的簡單倒數所對應的位置。
關係式
\[ c=f\lambda \]
確實可以將某個特定波長對應到某個特定頻率。問題在於，假設改變橫軸變數後，縱軸所代表的量仍然保持不變。
光譜描述的是每個區間內的能量。相同大小的波長區間，並不對應相同大小的頻率區間。
根據
\[ B_\nu\,d\nu=B_\lambda\,|d\lambda| \]
可得
\[ B_\nu = B_\lambda \left|\frac{d\lambda}{d\nu}\right| \]
因此
\[ B_\nu = B_\lambda\frac{c}{\nu^2} \]
等價地，由於 \(\lambda=c/\nu\)，
\[ B_\nu=B_\lambda\frac{\lambda^2}{c} \]
這個乘數並不是常數，而是會隨波長或頻率改變。
這會改變圖形的形狀，因而也會改變其最大值的位置。
容易讓人走錯的思路，是將光譜當成一組只需重新標示橫軸就能直接轉換的點。真正的問題在於，每個繪圖高度所代表的是「每單位橫軸區間的能量」。從波長區間改成頻率區間時，區間大小也隨之改變。
這並不會改變實際的輻射，只會改變表示同一輻射的方式。
問題 5
假設你不知道普朗克的精確公式。你只知道，一個成功的理論必須在頻率足夠高時，使每個腔體模式的平均能量低於古典值。
一位理論學家提出以下一般形式：
\[ \overline{E} = kT\, g\left(\frac{hf}{kT}\right) \]
其中 \(g(x)\) 具有以下性質：
- 當 \(x\ll1\) 時，\(g(x)\rightarrow1\)；
- 當 \(x\gg1\) 時，\(g(x)\) 會迅速下降並趨近零。
每單位頻率的電磁模式數量仍然與 \(f^2\) 成正比。
即使不知道 \(g\) 的確切數學形式：
- 解釋為什麼這個模型在低頻率下會恢復瑞利－金斯定律的結果。
- 解釋這個模型如何避免紫外災難。
- 證明光譜的特徵頻率必須與 \(T\) 成正比。
- 因此解釋為什麼特徵波長必須與 \(1/T\) 成正比。
- 不使用詳細積分，而是根據光譜的形狀，預測總輻射能量密度如何隨溫度變化。
解答 5
這個模型會自動在低頻率下呈現古典行為，抑制足夠高的頻率，預測 \(f_{\text{characteristic}}\propto T\)，預測 \(\lambda_{\text{characteristic}}\propto1/T\)，並得出總輻射能量與 \(T^4\) 成正比的結果。
從提出的模式平均能量開始：
\[ \overline{E} = kT\, g\left(\frac{hf}{kT}\right) \]
在低頻率下，
\[ \frac{hf}{kT}\ll1 \]
因此，根據題目給出的規則，
\[ g\left(\frac{hf}{kT}\right)\rightarrow1 \]
所以
\[ \overline{E}\rightarrow kT \]
這正是古典能量均分定理的結果。由於模式密度仍然與 \(f^2\) 成正比，
\[ u(f,T)\propto f^2kT \]
因此可以恢復瑞利－金斯定律的行為。
在高頻率下，
\[ \frac{hf}{kT}\gg1 \]
而 \(g\) 會迅速下降並趨近零。儘管模式數量仍然隨 \(f^2\) 增加，但每個模式的平均能量可以下降得足夠快，使高頻尾部逐漸減小，而不是發散至無限大。
這就是關鍵的競爭關係。即使模式數量更多，只要每個模式的能量下降得足夠快，就不一定會出現紫外災難。
現在定義
\[ x=\frac{hf}{kT} \]
光譜中的某個特徵，例如峰值，只要函數 \(g\) 本身不隨溫度改變，就會出現在某個特定的 \(x\) 值，假設這個值為 \(x=x_0\)。
那麼
\[ x_0=\frac{hf_{\text{peak}}}{kT} \]
因此
\[ f_{\text{peak}} = \frac{x_0k}{h}T \]
乘在 \(T\) 前面的所有量都是常數。因此，
\[ f_{\text{peak}}\propto T \]
由於波長與頻率的關係為
\[ \lambda=\frac{c}{f} \]
可得
\[ \lambda_{\text{peak}}\propto\frac{1}{T} \]
這就是維恩位移定律背後的基本結構。
同樣的推理還隱藏著另一個結果。光譜的形式為
\[ u(f,T)\propto f^2kT\, g\left(\frac{hf}{kT}\right) \]
對於縮放變數 \(x\) 的固定值，頻率與 \(T\) 成正比。因此，\(f^2kT\) 這一部分所決定的縱向尺度，會與下式成正比：
\[ T^2\times T=T^3 \]
同時，由於特徵頻率與 \(T\) 成正比，在頻率圖上，光譜的水平寬度也會隨 \(T\) 成正比。
因此，光譜下方的面積會與下式成正比：
\[ T^3\times T=T^4 \]
所以，總輻射能量密度與
\[ T^4 \]
成正比。
一個容易令人誤解的答案是，普朗克的解決方法只是「截斷紫外線」。這個一般性論證揭示了更深層的道理。成功的量子修正會透過 \(hf/(kT)\) 這個比值，將頻率與溫度聯繫起來。單是這個比較，就能解釋為什麼古典物理學會在低頻率下重新成立、為什麼紫外線發散會消失、為什麼光譜峰值會隨溫度移動，以及為什麼物體越熱，總發射能量就會增加得越快。
同樣的概念–將 \(hf\) 這類量子能量尺度與另一個物理上可用的能量尺度進行比較–在研究光子與光電效應時也會再次派上用場。