拉塞福之前的原子模型有甚麼問題？
一束高速 α 粒子射向一片只有數百個原子厚的金箔。如果正電荷均勻分布在每個原子之中，那麼幾乎所有 α 粒子都應該直接穿過金箔，最多只受到輕微偏轉。然而，實驗結果卻顯示，極少數粒子發生了非常大角度的偏轉，有些甚至幾乎沿原路返回粒子源。 究竟甚麼樣的原子結構，才能造成這種現象？ 繼續閱讀之前，先試著預測一下：要使一個高速運動、帶正電的 α 粒子反向運動，你會選擇將原子的正電荷分散在整個原子中，還是將它
一束高速 α 粒子射向一片只有數百個原子厚的金箔。如果正電荷均勻分布在每個原子之中，那麼幾乎所有 α 粒子都應該直接穿過金箔，最多只受到輕微偏轉。然而，實驗結果卻顯示，極少數粒子發生了非常大角度的偏轉，有些甚至幾乎沿原路返回粒子源。
究竟甚麼樣的原子結構，才能造成這種現象？
繼續閱讀之前，先試著預測一下：要使一個高速運動、帶正電的 α 粒子反向運動，你會選擇將原子的正電荷分散在整個原子中，還是將它集中在一個極小的區域內？
答案是集中正電荷。要使粒子的運動方向發生巨大改變，就需要在極短距離內產生非常強大的作用力。這個簡單的物理道理，促使歐尼斯特・拉塞福（Ernest Rutherford）以一個截然不同的模型取代當時的原子觀念：原子幾乎所有的正電荷，以及大部分質量，都集中在一個極小的原子核內。
01拉塞福之前的原子模型有甚麼問題？
到了 20 世紀初，陰極射線實驗已提供強而有力的證據，證明原子內含有帶負電的電子。如果你想複習這部分的知識，可以參閱 陰極射線如何證明電子的存在：HSC 物理詳解。
但這帶來了一個新問題。一般物質在電性上呈中性，因此，如果原子含有帶負電的電子，就必須在某個地方同時存在正電荷。
J. J. 湯姆森（J. J. Thomson）提出了一個模型，認為原子的正電荷分布在一個大致呈球形的區域內，而電子則嵌在其中。歷史上用食物來比喻這個模型的方式，並不如其背後的物理概念重要：正電荷是分散的，而不是集中在某個位置。
這個模型提出了一項可以透過實驗檢驗的預測。
α 粒子帶有 \(+2e\) 的正電荷，其中 \(e\) 是基本電荷。當 α 粒子穿過原子時，會受到正電荷的排斥及電子的吸引。然而，電子的質量遠小於 α 粒子，而且湯姆森模型中的正電荷分布得相當分散。
那麼，當高速 α 粒子穿過一片薄金屬箔時，應該發生甚麼事？
它可能稍微偏轉，或許是多次微小相互作用累積的結果。但突然發生極大角度偏轉的機率應該非常低。
這項預測可以透過實驗驗證。
02蓋革－馬斯登散射實驗
拉塞福的核式原子模型源自漢斯・蓋革（Hans Geiger）和歐尼斯特・馬斯登（Ernest Marsden）在拉塞福指導下進行的散射實驗。完整的實驗過程可參閱 蓋革－馬斯登實驗：HSC 物理詳解。不過，這裡仍值得先了解實驗裝置，因為只有明白實際測量了甚麼，才能理解這個模型的意義。
先從粒子源開始。
放射性粒子源會放出 α 粒子。準直裝置將這些粒子限制成一束狹窄的粒子束，射向一片極薄的金屬箔。在這項著名實驗的典型描述中，所使用的金屬是金。
金屬箔周圍設有塗上硫化鋅的探測屏。當 α 粒子撞擊屏幕時，便會產生稱為「閃爍」（scintillation）的微弱光點。透過觀察不同位置出現的閃光，蓋革和馬斯登便能推斷粒子的偏轉程度。
在查看實驗結果之前，先作出預測。
如果湯姆森的分散正電荷模型基本正確，大部分閃光應該出現在哪個方向？
應該主要集中在粒子原本前進的方向附近。實驗確實觀察到了這個現象。
但真正重要的證據，不是大多數粒子的行為，而是極少數粒子的行為。
03改變原子模型的關鍵觀察
大部分 α 粒子直接穿過金屬箔，或只發生小角度偏轉。
數量少得多的 α 粒子發生大角度散射。
只有極少數 α 粒子向後散射。
這三項觀察結果的組合非常重要。
第一項觀察告訴我們，原子不可能是由物質填滿的實心小球。如果原子是實心的，α 粒子就會不斷撞上具有相當質量的物質。
但實際上，大部分粒子幾乎不受影響地穿過金屬箔。因此，最合理的結論是：原子的大部分體積都是空間。
罕見的大角度偏轉則揭示了另一件事：原子內部必須存在一個能夠產生極強靜電力的區域。
由於 α 粒子帶正電，要產生強烈的排斥偏轉，就必須有高度集中的正電荷。
因此，拉塞福提出，原子包含一個極小、帶正電的原子核，而電子分布在原子核周圍。
04拉塞福的核式原子模型
這個基本模型有三項重要特徵：
| 特徵 | 拉塞福的結論 | 支持結論的證據 |
|---|---|---|
| 原子的大部分體積是空間 | 原子核只佔原子體積的極小部分 | 大部分 α 粒子穿過金屬箔時幾乎沒有偏轉 |
| 正電荷高度集中 | 正電荷集中在中央的一個小原子核內 | 部分帶正電的 α 粒子受到強烈排斥，產生極大角度的偏轉 |
| 原子的大部分質量集中在中心 | 原子核包含原子的大部分質量 | 質量小而分散的結構，無法以實驗觀察到的方式強烈改變高速、大質量 α 粒子的運動方向 |
使用「空間」這個說法時要小心。它並不是指原子核外完全沒有任何東西，因為那裡仍然存在電子。它的意思是，中央密集區域所佔的體積，相對於整個原子的體積極其微小。
我們可以利用一個大致的想像來理解。假設將原子放大，直到原子核有一顆豌豆那麼大，那麼電子與原子核的距離就會遠遠超過豌豆本身的大小。實際比例取決於原子的種類，因此不要把這個比喻當成精確測量。
另外，真實原子中的電子並不像微型太陽系中的行星，不會沿著明確、符合牛頓力學的經典軌道運行。這項限制稍後會變得非常重要。
05為甚麼集中的電荷能造成巨大偏轉？
假設一個 α 粒子幾乎正面朝著原子核運動。
α 粒子和原子核都帶正電，因此兩者之間的電力是排斥力。根據庫侖定律（Coulomb’s law），這個力的大小為：
\[ F=\frac{kq_1q_2}{r^2} \]
其中：
- \(F\) 是靜電力，單位為牛頓（N），
- \(k=8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}\) 是庫侖常數，
- \(q_1\) 和 \(q_2\) 是兩個電荷的電荷量，單位為庫侖（C），以及
- \(r\) 是兩個電荷之間的距離，單位為米（m）。
留意公式中的 \(1/r^2\) 關係。如果 α 粒子與原子核的距離縮小至原來的十分之一，電力便會增大至原來的 \(100\) 倍。
這正是正電荷高度集中如此重要的原因。
如果相同的正電荷分散在整個原子中，接近原子的 α 粒子便會受到來自不同位置、不同方向的電力。整體作用力會相對溫和。
但如果正電荷集中在極小的原子核內，從非常接近原子核的位置經過的 α 粒子，就可能在短時間內受到極強的作用力，令其動量方向發生巨大改變。
這有點像你要避開分散在整個足球場上的一群人，與突然發現所有人都擠成一個氣勢洶洶的密集人牆，正好擋在你的前進路線上。人數完全相同，但你遇到的情況卻截然不同。
不過，這個比喻有一個限制：靜電力不需要物體直接接觸便能產生作用。α 粒子不需要像球撞上牆壁一樣「撞到」原子核。
06例題詳解：為甚麼距離原子核較近的 α 粒子偏轉較大？
一個 α 粒子經過原子核時，最小距離為 \(4.0\times10^{-14}\ \text{m}\)。另一個在其他條件完全相同的 α 粒子，經過原子核時的最小距離為 \(8.0\times10^{-14}\ \text{m}\)。比較兩個粒子在這些距離下所受到的靜電力。
步驟 1
對於相同的兩個電荷，
\[ F\propto\frac{1}{r^2} \]
步驟 2
設 \(F_1\) 對應 \(r_1=4.0\times10^{-14}\ \text{m}\)，而 \(F_2\) 對應 \(r_2=8.0\times10^{-14}\ \text{m}\)。
\[ \begin{aligned} \frac{F_1}{F_2} &=\frac{r_2^2}{r_1^2}\\\\ &=\left(\frac{8.0\times10^{-14}}{4.0\times10^{-14}}\right)^2\\\\ &=2^2\\\\ &=4 \end{aligned} \]
步驟 3
第一個 α 粒子在最接近原子核的位置，受到的靜電力是第二個粒子的四倍。
但這不代表它的散射角必然剛好大四倍。最終的散射角取決於粒子的整條運動路徑，而不只是最大作用力。不過，這個結果解釋了為甚麼特別接近原子核的粒子可能發生異常大的偏轉。
07估算 α 粒子能夠接近原子核的最短距離
對於正面接近原子核的情況，有一個特別實用的概念。
α 粒子最初具有動能。當它接近帶正電的原子核時，由於需要克服逐漸增強的靜電排斥力，速度便會減慢。它的動能逐漸轉化為電勢能。
在理想的正面碰撞中，當 α 粒子到達最接近原子核的位置時，其速度會瞬間降至零，然後開始向外退回。
因此，如果忽略核力及原子核的反沖，
\[ E_k=E_{\text{電勢能}} \]
對於點電荷，
\[ E_{\text{電勢能}}=\frac{kq_1q_2}{r} \]
因此得到
\[ E_k=\frac{kq_1q_2}{r_{\min}} \]
其中 \(r_{\min}\) 是最小距離。
這不只是一個計算技巧。如果 α 粒子能夠非常接近原子核，才被靜電排斥力阻止繼續向內運動，就表示原子的正電荷必須集中在一個尺度至少如此之小的區域內。
例題詳解：估算 α 粒子與金原子核的最近距離
一個動能為 \(7.7\ \text{MeV}\) 的 α 粒子，正面朝著金原子核運動。估算它與原子核之間的最小距離。假設金原子核保持靜止，兩者之間只有靜電作用，而且金原子核帶有 \(+79e\) 的電荷。
使用 \(e=1.60\times10^{-19}\ \text{C}\)、\(k=8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}\)，以及 \(1\ \text{eV}=1.60\times10^{-19}\ \text{J}\)。
步驟 1
\[ \begin{aligned} E_k &=7.7\times10^6\ \text{eV}\times1.60\times10^{-19}\ \text{J/eV}\\\\ &=1.232\times10^{-12}\ \text{J} \end{aligned} \]
步驟 2
α 粒子的電荷量為
\[ q_\alpha=+2e \]
而金原子核的電荷量為
\[ q_{\text{Au}}=+79e \]
步驟 3
\[ E_k=\frac{kq_\alpha q_{\text{Au}}}{r_{\min}} \]
因此
\[ r_{\min}=\frac{k(2e)(79e)}{E_k} \]
步驟 4
\[ \begin{aligned} r_{\min} &= \frac{(8.99\times10^9)(2)(79)(1.60\times10^{-19})^2} {1.232\times10^{-12}}\\\\ &\approx2.95\times10^{-14}\ \text{m} \end{aligned} \]
所以，估算所得的最近距離為
\[ r_{\min}\approx3.0\times10^{-14}\ \text{m}. \]
步驟 5
在這個簡化模型中，α 粒子可以接近原子核至只有數十飛米的距離，然後靜電排斥力才會阻止它繼續向內運動。
這個距離遠小於一般約為 \(10^{-10}\ \text{m}\) 的原子半徑。因此，計算結果支持原子的正電荷只集中在中央極小區域內的觀點。
但這個結果並不能直接告訴我們金原子核的確切物理半徑，因為 α 粒子不一定要接觸原子核才會反向運動。
08拉塞福模型成功解釋了甚麼？
拉塞福模型之所以具有重大意義，是因為一個結構上的新觀念，就能同時解釋兩種看似不同的實驗觀察。
大部分 α 粒子幾乎沒有偏轉
如果原子核相對於整個原子非常小，大部分射入原子的 α 粒子便不會非常接近原子核。
因此，它們受到的合力相對有限，並大致沿原本的方向繼續前進。
這解釋了為甚麼粒子直接穿過金屬箔是常見現象，而不是令人意外的結果。
少數粒子發生大角度散射
如果粒子的運動路徑非常接近原子核，它便會遇到強得多的排斥電場。
粒子的軌跡可能急劇彎曲，甚至偏轉超過 \(90^\circ\)。
這種現象的罕見程度也很合理。由於原子核非常小，α 粒子必須穿過一個極小的目標區域附近，才會發生這種情況。
向後散射不再需要難以置信的巧合
在正電荷分散的模型中，要令一個高速 α 粒子反向運動，就需要許多微小偏轉碰巧幾乎朝同一方向累積。
從一般語言的角度來說，這並非絕對不可能，但實驗觀察到的大角度散射頻率，與這個模型的預測並不相符。
集中在原子核的正電荷則提供了直接的物理機制：只要一次近距離相互作用，就能造成巨大的動量改變。
09拉塞福散射實驗提供的是模型的證據，而不是原子的照片
這個區別在 HSC 物理中非常重要。
沒有人透過實驗裝置直接看見原子核。
科學家實際觀察到的是 α 粒子的散射分布，然後將這個分布與不同競爭模型的預測進行比較。
推理過程如下：
\[ \text{原子模型} \rightarrow \text{預測作用力} \rightarrow \text{預測運動軌跡} \rightarrow \text{測量散射結果} \]
如果模型的預測與測量所得的分布不一致，就表示模型存在問題。
如果兩者一致，模型便獲得更多支持。
但這不代表模型永遠都是最終答案。一個模型可能在某項實驗中取得巨大成功，卻仍然無法解釋其他現象。
拉塞福模型正是如此。
10第一個重大問題：為甚麼電子不會掉進原子核？
試著利用經典物理學想像拉塞福的原子。帶正電的原子核位於中央，而帶負電的電子在它周圍運動。
由於異性電荷互相吸引，電力可以提供向心力，使電子的運動路徑彎曲。
到目前為止，這個解釋似乎相當合理。
但根據經典電磁學，這裡存在一個嚴重問題。
電子沿彎曲路徑運動時，速度方向不斷改變，因此電子正在加速。根據經典電磁理論，加速運動的帶電粒子會以電磁輻射的形式釋放能量。
如果電子失去能量，它的軌道半徑便應該縮小。
隨著電子繼續失去能量，它應該沿著螺旋形路徑逐漸接近原子核。
最終，原子應該崩潰。
然而，穩定的原子顯然不會這樣運作。
這並不是一個無關緊要、尚待補充的小細節。它代表拉塞福模型無法解釋物質最基本的現象之一：原子為甚麼能夠持續穩定存在。
有些學生可能會問：「電子只要保持足夠快的速度，不就可以繼續運動嗎？」
不可以。在經典模型中，即使電子以很高的速度作圓周運動，它仍然具有加速度。問題不只是電子的速度可能太慢，而是任何作加速運動的帶電粒子都會輻射能量。
11第二個重大問題：原子線狀光譜
還有另一項證據，是拉塞福模型無法解釋的。
當低壓氣體受到激發時，它們不會發出所有可能波長的光。相反，每種元素都會產生特定的光譜線。
例如，氫原子只會在某些特定波長發出可見光。
為甚麼這對經典的拉塞福原子模型構成問題？
在經典模型中，繞原子核運動的電子原則上可以連續地失去能量。這意味著隨著軌道改變，電子應該可以發出連續範圍內不同頻率的輻射。
但實際的原子光譜卻包含離散的譜線。
測量所得的光告訴物理學家：原子的能量變化並不是任意的。
拉塞福的核式原子模型並沒有任何機制，可以將電子的能量限制在特定數值。
這就是下一個成功的原子模型必須解決的問題。
12拉塞福模型沒有告訴我們甚麼？
我們應該清楚區分拉塞福模型確立的結論，以及後來物理學所補充的知識。
| 問題 | 拉塞福核式原子模型 |
|---|---|
| 正電荷是否分布在整個原子內？ | 不是。正電荷集中在極小的原子核內。 |
| 原子核是否佔據原子的大部分體積？ | 不是。與整個原子相比，原子核極其微小。 |
| 原子的大部分質量在哪裡？ | 集中在原子核內。 |
| 為甚麼原子能夠保持穩定？ | 未能成功解釋。 |
| 為甚麼原子會發出離散的光譜線？ | 未能成功解釋。 |
| 電子可以具有哪些允許的能量？ | 沒有明確規定。 |
| 原子核完整的內部結構是甚麼？ | 原始模型並未解決這個問題。 |
因此，說「拉塞福發現了現代原子」並不夠精確。
他確立了原子的核式結構。至於後來以量子理論描述電子，則需要對模型作出進一步修改。
13為甚麼這個模型仍然是一項重大成功？
科學模型不需要解釋所有現象，才能具有實用價值。
拉塞福模型非常成功地回答了一個具體的實驗問題：為甚麼原子會產生實驗觀察到的 α 粒子散射分布？
它以集中的原子核取代分散的正電荷，並成功將微觀原子結構與可測量的粒子軌跡聯繫起來。
而模型的不足之處，反而推動了後續研究。
一旦科學界接受原子核的存在，核心問題便改變了。物理學家不再主要需要問：「正電荷在哪裡？」而是需要問：「電子如何能夠存在於原子核周圍，卻不按照經典電動力學的預測運動？」
這個問題自然引向波耳原子模型，並進一步引向後來的量子力學。
14題目與解答
題目 1
在一項類似蓋革－馬斯登實驗的研究中，大部分 α 粒子穿過薄金屬箔時幾乎沒有偏轉或完全沒有偏轉，但少數粒子發生了大角度偏轉。
解釋這兩項觀察結果如何支持拉塞福的核式原子模型。
解答 1
這些觀察結果支持一個模型：原子的大部分體積是空間，而正電荷集中在一個極小的原子核內。
大部分 α 粒子幾乎沒有偏轉地穿過金屬箔，是因為它們沒有足夠接近原子核，因此不會受到很大的靜電力。
罕見的大角度偏轉發生在帶正電的 α 粒子非常接近原子核內集中的正電荷時。強大的靜電排斥力使 α 粒子的動量發生巨大改變。
一個看似合理的解釋是，大角度偏轉由 α 粒子與電子碰撞所造成。但這個解釋並不恰當，因為電子的質量遠小於 α 粒子，無法解釋實驗觀察到的強烈向後散射。真正重要的相互作用，是 α 粒子與集中正電荷的原子核之間的作用。
題目 2
一個動能為 \(6.0\ \text{MeV}\) 的 α 粒子正面接近一個原子核。該原子核帶有 \(+50e\) 的電荷。
估算 α 粒子與原子核之間的最近距離。假設原子核保持靜止，而且只有靜電力作用。
使用 \(e=1.60\times10^{-19}\ \text{C}\)、\(k=8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}\)，以及 \(1\ \text{eV}=1.60\times10^{-19}\ \text{J}\)。
然後預測，如果 α 粒子的動能增加一倍，最近距離會如何改變。
解答 2
最近距離約為 \(2.4\times10^{-14}\ \text{m}\)，而當動能增加一倍時，這個距離會減半。
在理想的正面接近情況中，當 α 粒子到達轉折點時，最初的動能已全部轉化為電勢能：
\[ E_k=\frac{kq_\alpha q_N}{r_{\min}} \]
α 粒子的電荷量為 \(q_\alpha=2e\)，而原子核的電荷量為 \(q_N=50e\)。
首先將動能換算為焦耳：
\[ \begin{aligned} E_k &=6.0\times10^6\times1.60\times10^{-19}\\\\ &=9.60\times10^{-13}\ \text{J} \end{aligned} \]
然後計算：
\[ \begin{aligned} r_{\min} &=\frac{k(2e)(50e)}{E_k}\\\\ &=\frac{(8.99\times10^9)(100)(1.60\times10^{-19})^2} {9.60\times10^{-13}}\\\\ &\approx2.40\times10^{-14}\ \text{m} \end{aligned} \]
因此
\[ r_{\min}\approx2.4\times10^{-14}\ \text{m}. \]
如果動能增加一倍，
\[ r_{\min}=\frac{kq_\alpha q_N}{E_k} \]
顯示 \(r_{\min}\propto1/E_k\)。因此，新的最近距離約為
\[ 1.2\times10^{-14}\ \text{m}. \]
一個容易出現的錯誤預測是：因為靜電學中經常出現平方反比關係，所以動能增加一倍時，距離應該縮小為原來的 \(1/\sqrt{2}\)。這是混淆了力與勢能。這裡的靜電勢能與 \(1/r\) 成正比，而不是 \(1/r^2\)。
題目 3
兩片薄金屬箔所含原子的核電荷量不同。金屬箔 A 的原子核帶有 \(+40e\) 的電荷，而金屬箔 B 的原子核帶有 \(+80e\) 的電荷。在其他條件相若的情況下，將相同的 α 粒子射向兩片金屬箔。
一名學生聲稱：
「由於金屬箔 B 的核電荷量是金屬箔 A 的兩倍，因此每個 α 粒子在金屬箔 B 中的散射角都應該剛好是兩倍。」
評估這項說法。
解答 3
這項說法並不正確。金屬箔 B 較大的核電荷量會產生較強的靜電相互作用，因此對於可比較的粒子軌跡，發生大角度偏轉的可能性會提高，但個別粒子的散射角並不會簡單地增加一倍。
靜電力為
\[ F=\frac{kq_\alpha q_N}{r^2}. \]
在相同距離 \(r\) 下，將核電荷量 \(q_N\) 增加一倍，確實會使該瞬間的作用力增加一倍。
然而，散射角取決於 α 粒子的整條運動軌跡。當作用力改變時，粒子的路徑也會改變，進而影響粒子與原子核之間的距離，以及之後各個時刻作用力的方向。
因此，這個相互作用並不是一個大小固定的力，在固定時間內持續作用那麼簡單。
另一個重要變數是碰撞參數（impact parameter），即假設粒子沒有受到偏轉，它原本的路徑與原子核中心之間的垂直距離。即使核電荷量相同，兩個碰撞參數不同的 α 粒子也可能產生非常不同的散射結果。
容易犯的錯誤是看到 \(F\propto q_N\)，便直接將這個正比關係套用到最終散射角。真正需要注意的是，散射角由粒子沿彎曲軌跡運動時累積的動量變化決定，而不是由某一瞬間的作用力決定。
題目 4
假設有一種理想化的原子，具有以下性質：
- 所有正電荷都集中在中央一個極小的原子核內，
- 電子按照經典力學和經典電磁學的規律在原子核周圍運動，以及
- 原子最初處於一個看起來穩定的圓形運動狀態。
一名學生認為，由於拉塞福散射實驗已證明原子核非常小，因此也已證明這個模型是正確的。
解釋為甚麼不能得出這個結論。你的答案必須同時運用 α 粒子散射和電磁輻射的概念。
解答 4
拉塞福散射實驗強烈支持正電荷集中在原子核內的觀點，但並不能證明以經典軌道描述電子運動的模型，就是對原子的完整描述。
散射實驗主要研究 α 粒子如何受到原子內部正電荷及質量分布的影響。一個極小、帶正電的原子核，能夠成功解釋實驗中罕見的大角度偏轉。
但這些證據對電子的詳細運動方式所提供的資訊則少得多。
根據經典電磁學，作圓周運動的電子具有加速度，因為其速度方向不斷改變。加速運動的帶電粒子會以電磁輻射的形式釋放能量。
因此，電子會逐漸失去能量，其軌道半徑無法保持不變。它應該沿著螺旋形路徑向內運動，最終接近原子核。
所以，同一個模型可以通過一項實驗檢驗，卻無法滿足另一項物理要求。
一個容易出現的錯誤，是將實驗支持視為非黑即白：只要某項預測成功，就認為模型的所有部分必然正確。實際上，科學檢驗的結論更具體。蓋革－馬斯登實驗結果對正電荷的分布提供了強烈限制，但並沒有證明經典電子運動理論正確。
這正是為甚麼拉塞福核式原子模型是原子理論發展中的重要一步，而不是最終的原子理論。
題目 5
考慮以下兩種原子模型。
模型 X 具有一個極小的正電原子核，以及可以在任何半徑、以任何能量繞核運動的經典電子。
模型 Y 同樣具有一個極小的正電原子核，但電子只能處於某些特定的允許能態。
一項 α 粒子散射實驗顯示，在實驗裝置的測量精度範圍內，兩個模型的結果完全相同。
另一項獨立實驗則顯示，原子受到激發後，只會發出四種波長明確且譜線銳利的光。
一名學生得出以下結論：
「既然 α 粒子散射實驗無法區分 X 和 Y，就沒有實驗理由支持選擇 Y。」
評估這項結論。然後解釋，如果發射光譜實驗顯示的不是離散譜線，而是平滑的連續光譜，你的推理會如何改變。
解答 5
這項結論是錯誤的。α 粒子散射實驗可能無法區分模型 X 和模型 Y，但離散發射光譜提供了獨立證據，支持模型 Y。
兩個模型都包含與拉塞福散射最相關的共同特徵：一個極小、正電荷高度集中的原子核。因此，兩個模型完全有可能預測出基本相同的 α 粒子運動軌跡。
但它們對電子能量的描述不同。
模型 X 允許電子具有連續範圍內的能量。單靠這個模型，並沒有自然的理由可以解釋原子為甚麼只會發出四種能量明確的光子。
模型 Y 則將電子限制在特定的能態。如果電子從能量為 \(E_i\) 的初始狀態，轉移至能量較低、為 \(E_f\) 的狀態，所發出的光子能量可以表示為
\[ E_\gamma=E_i-E_f. \]
由於只有某些初始能量和最終能量是允許的，因此只能出現特定的能量差。利用
\[ E_\gamma=hf, \]
其中 \(E_\gamma\) 是光子能量，單位為焦耳；\(h\) 是普朗克常數，單位為焦耳秒；\(f\) 是頻率，單位為赫茲。特定的能量差便對應特定的頻率，因而對應特定的波長。
關鍵的推理是：不同實驗會對模型的不同部分施加限制。α 粒子散射特別適合檢驗原子核的電荷分布，而光譜學則特別適合檢驗原子的能量結構。一個模型必須接受所有相關證據的檢驗，而不能只考慮它表現最好的一項實驗。
一個容易犯的錯誤是說：「既然散射結果相同，兩個模型就同樣好。」這忽略了第二項實驗所提供的限制。
如果發射光譜實驗反而產生真正平滑的連續光譜，那麼這項特定觀察就不會再以相同方式支持離散能態。我們需要重新考慮產生輻射的機制，並將兩個模型與完整的實驗證據進行比較。
即使如此，拉塞福散射實驗仍然會支持兩個模型共同具有的核式結構特徵。它不會因此突然證明模型 X 對電子的經典描述正確。
這正是拉塞福原子模型帶給我們更深層的啟示：一項實驗可以迫使科學家對物質結構作出重大修正，卻不一定能回答關於整個系統的所有問題。當原子核的存在得到確立後，電子尚未獲得解釋的行為便成為下一個研究重點，直接推動了量子化原子模型及量子物理學的發展。