核分裂：核分裂產物、中子與能量

假設一顆中子進入鈾-235 原子核，而該原子核分裂成兩個較小的原子核。過程中有另外三顆中子飛出，並釋放出約 200 MeV 的能量。這些能量從何而來？為甚麼這三顆中子能讓這個過程再次發生？

這些問題正是理解核分裂的切入點。重要的概念不只是大型原子核「分裂開來」，而是你需要追蹤產物是甚麼、中子從何而來，以及為甚麼最終粒子的總靜止質量比初始系統少。

01核分裂實際上會發生甚麼？

從一個鈾-235 原子核開始。它有 92 個質子和 143 個中子。

一顆中子可以被原子核吸收：

\[ {}^{235}_{92}\mathrm{U}+{}^{1}_{0}\mathrm{n} \rightarrow {}^{236}_{92}\mathrm{U}^{*} \]

星號表示鈾-236 原子核處於激發態。它具有額外的能量，而且不穩定到足以發生形變並分裂。

中子在這裡很有用，因為它不帶電。當帶正電的質子接近同樣帶正電的鈾原子核時，會受到靜電斥力；中子則不會面對這種斥力。

想像原子核被拉長

一個有用的初步模型，是把重原子核想像成一團擠得很密的核子。如果它獲得足夠的激發能量，就可能被拉長成啞鈴狀，然後分離。

這個過程涉及幾種作用力之間的競爭。

• 強核力將彼此接近的核子束縛在一起。
• 靜電力使帶正電的質子互相排斥。
• 在非常重的原子核中，質子的數目很多，因此總靜電斥力相當大。

想像一群非常擁擠的人試圖圍著一張小桌子擠在一起。兩端的人彼此之間的直接互動並不強，但他們仍然都想離開擁擠的人群。分成兩群，可能比維持一個難以容身的隊形更容易。

這個類比並不完全準確，因為原子核是量子系統，而不是一群人；此外，強核力的作用範圍非常短。不過，它仍然能提供正確的初步圖像：當重原子核發生足夠大的形變，使核吸引力與質子斥力之間的平衡有利於分離時，就會發生核分裂。

02核分裂產物並不總是相同

一個常見的錯誤，是以為鈾-235 每次都會分裂成兩個相等的部分。

事實並非如此。

只要符合守恆定律，一次核分裂就可以產生許多不同組合的兩個中等質量原子核。這兩個較大的原子核稱為核分裂碎片，它們通常具有放射性。

其中一種可能的核分裂反應是：

\[ {}^{235}_{92}\mathrm{U} + {}^{1}_{0}\mathrm{n} \rightarrow {}^{141}_{56}\mathrm{Ba} + {}^{92}_{36}\mathrm{Kr} + 3\,{}^{1}_{0}\mathrm{n} + \text{能量} \]

檢查各項數值。

反應前的總質量數為：

\[ 235+1=236 \]

反應後：

\[ 141+92+3=236 \]

反應前的總原子序為：

\[ 92+0=92 \]

反應後：

\[ 56+36=92 \]

因此，這兩個量都符合守恆。

在這裡，\(A\) 是質量數，即質子與中子的總數；而 \(Z\) 是原子序，即質子的數目。

這帶出一個重要的考試概念區分：

最後一列正是能量的來源。

03那麼，能量從何而來？

令人意外的是：

產物的總靜止質量略小於反應物的總靜止質量。

這並不違反能量守恆。減少的靜止質量已轉化為其他形式的能量，其中主要是核分裂碎片的動能。

這個關係式來自愛因斯坦：

\[ E=mc^2 \]

其中，\(E\) 是能量，\(m\) 是質量，而 \(c\) 是真空中的光速。

由於 \(c^2\) 的數值極大，即使質量只減少一點點，也會對應到大量能量。

束縛能提供了物理上的原因

我們可以把解釋說得更精確。

與原本非常重的原子核相比，核分裂產物通常具有較高的每核子束縛能。換句話說，它們的核子處於能量較低的原子核排列狀態。

初始狀態與最終狀態之間的能量差便會釋放出來。

你可以把它想像成物體從較高的架子移到較低的架子。物體下落時會失去重力位能。在核分裂中，原子核轉變成能量較低的核排列狀態，而兩者之間的能量差就會以釋放能量的形式出現。

這個類比只涉及能量狀態。原子核並不是字面意義上在空間中向下掉落。

對於鈾等重原子核，核分裂會使核子轉變成每核子束縛能較高的原子核。束縛能的增加，就是核分裂能夠釋放能量的根本原因。

如果你還不熟悉質量虧損的概念，可以參考 tutorgum 的質量虧損與核束縛能指南，其中會更詳細地講解相關計算。

釋放出來的能量會變成甚麼？

核分裂事件釋放的能量並非全部由同一種粒子攜帶。

一次典型的核分裂事件總共會釋放約 200 MeV，但確切數值會因核分裂事件而異。

其中大部分能量最初會以兩個重核分裂碎片的動能形式出現。由於兩個碎片都帶正電，並且彼此強烈排斥，因此它們會向相反方向飛離。

部分能量也會以以下形式出現：

• 放出中子的動能，
• 伽馬射線，
• 與核分裂產物之後的放射性衰變有關的能量。

當高速粒子與周圍物質相互作用時，它們的動能會傳遞給該物質。在核反應堆中，這些能量最終會轉化為熱能，可用來加熱水並產生蒸汽。

04放出的中子有甚麼作用？

中子是核分裂過程中能把一次核反應轉變成多次核反應的關鍵。

在上面的例子中，一次核分裂會產生三顆中子。這些中子可以與其他鈾-235 原子核相互作用，並引發進一步的核分裂。

這就形成了連鎖反應。

但要小心措辭。

三顆中子並不等於一定會引發三次進一步的核分裂。

一顆中子可能會：

• 引發另一次核分裂，
• 逃離材料，
• 在不引發核分裂的情況下被吸收，
• 或以其他方式發生相互作用。

因此，重要的量並不只是「每次核分裂產生多少顆中子」。真正重要的是，有多少顆中子能成功引發進一步的核分裂。

在簡單的連鎖反應模型中，增殖因子 \(k\) 用來描述核分裂次數如何隨每一代而改變。

如果 \(k>1\)，核分裂次數通常會增加。

如果 \(k=1\)，連鎖反應會以大致相同的速率持續進行。

如果 \(k<1\)，反應通常會逐漸減弱，最後停止。

核反應堆的實際行為比這個簡單模型複雜得多，但這個概念非常有用。

快速判斷核分裂題目的方法

當你看到一道核分裂題目時，可以把資訊分成三個部分：

1. 核分裂產物

會產生兩個主要原子核，而且它們通常具有放射性。

2. 中子

每次核分裂通常會放出兩至三顆瞬發中子，具體數目取決於該次核分裂事件。

3. 能量

產物的總靜止質量較低，而總束縛能較高，因此質量差會以能量形式釋放。

只要把這三種產物分開考慮，就能避免幾種常見錯誤。

05為甚麼核分裂產物具有放射性？

核分裂碎片所含的中子，往往比同等大小的穩定原子核所能容納的中子更多。

因此，它們會經歷放射性衰變，逐步轉變成較穩定的原子核排列狀態。

其中一種常見的衰變途徑是β⁻ 衰變。在 β⁻ 衰變中，一顆中子會轉變成一顆質子，同時放出一顆電子。

例如，鋇-141 可以發生以下反應：

\[ {}^{141}_{56}\mathrm{Ba} \rightarrow {}^{141}_{57}\mathrm{La} + {}^{0}_{-1}\mathrm{e} + \bar{\nu}_e \]

質量數維持在 141，因為核子總數並沒有改變。

原子序由 56 增加至 57，因為一顆中子已轉變成一顆質子。

放出的電子就是 β⁻ 粒子，而 \(\bar{\nu}_e\) 代表電子反中微子。

這與 β 衰變和核反應方程式 有直接關係。

這裡有一個重要的時間先後區別：

先發生核分裂。核分裂產物之後才可能發生放射性衰變。

因此，當題目提到核分裂產物發出的 β 或 γ 輻射時，不要自動把它們視為原始分裂事件的一部分。部分能量會在核分裂時立即釋放，而另一部分則會在不穩定的產物之後衰變時才釋放。

06最容易令人誤解的概念

一名學生可能會說：

「原子核分裂了，所以能量是由中子撞擊原子核而產生的。」

這並不是主要的解釋。

入射中子很重要，因為它能觸發核分裂過程，尤其是在它被合適的可裂變原子核吸收時。不過，大量能量的釋放，是來自初始與最終核能量狀態之間的差異。

另一名學生可能會說：

「有三顆中子飛出，所以一定有另外三個原子核分裂。」

同樣地，這是不正確的。

放出的中子只是令連鎖反應有可能發生。連鎖反應是否會持續增長，取決於這些中子之後的去向。

第三名學生可能會說：

「質量是守恆的，所以不可能有質量虧損。」

正確的說法是，核反應方程式中的質量數守恆，但靜止質量可以減少。核反應守恆的是總質量能，而不是單獨的靜止質量。

07題目與解答

題目 1

一個鈾-235 原子核吸收一顆中子，並產生氙-140、鍶-94 和 \(x\) 顆中子。

求出 \(x\)，並驗證原子序是否守恆。

解答 1

放出的中子數目是 2，因為根據質量數守恆：

\[ 235+1=140+94+x \]

\[ 236=234+x \]

因此：

\[ x=2 \]

原子序的檢查如下：

\[ 92=54+38 \]

所以電荷也守恆。

配平後的反應為：

\[ {}^{235}_{92}\mathrm{U} + {}^{1}_{0}\mathrm{n} \rightarrow {}^{140}_{54}\mathrm{Xe} + {}^{94}_{38}\mathrm{Sr} + 2\,{}^{1}_{0}\mathrm{n} + \text{能量} \]

容易犯的錯誤是只注意兩個較大的碎片，卻忘記有部分核子會以自由中子的形式離開。質量數計算會迫使你把它們也計算在內。

題目 2

某次核分裂事件的質量虧損為 \(0.214\,\mathrm{u}\)。

計算釋放的能量，並分別以：

(a) 焦耳，以及
(b) MeV 表示。

然後解釋為甚麼核分裂產物的總靜止質量比反應物低。

解答 2

釋放的能量約為 \(3.2\times10^{-11}\,\mathrm{J}\)，即 \(200\,\mathrm{MeV}\)。產物的靜止質量較低，是因為它們形成了束縛程度更高的原子核排列狀態。

步驟 1：把質量虧損換算成公斤。

\[ \Delta m = 0.214\times1.66\times10^{-27} \]

\[ \Delta m = 3.55\times10^{-28}\,\mathrm{kg} \]

步驟 2：套用愛因斯坦的質能方程式。

\[ E=\Delta mc^2 \]

\[ E = (3.55\times10^{-28}) (3.00\times10^8)^2 \]

\[ E \approx 3.20\times10^{-11}\,\mathrm{J} \]

步驟 3：換算成 MeV。

\[ E = \frac{3.20\times10^{-11}} {1.60\times10^{-13}} \]

\[ E\approx200\,\mathrm{MeV} \]

釋放能量的物理原因，是核分裂產物的每核子束縛能比原本的重原子核更高。因此，最終核系統的靜止質量能較低。兩者之間的差值會以動能、輻射及其他釋放能量的形式出現。

要避免的錯誤，是說質量只是「消失了」。事實並非如此。它的靜止質量能已轉移至其他形式的能量。

題目 3

在連鎖反應的某一代中，發生了 100 次核分裂。每次核分裂恰好釋放 3 顆中子。

在產生的 300 顆中子中：

• 20% 逃離，
• 30% 在不引發核分裂的情況下被吸收，
• 其餘的中子各自引發一次進一步的核分裂。

假設每一代都遵循相同比例。

求出：

(a) 下一代的核分裂次數，
(b) 再下一代的核分裂次數，以及
(c) 判斷連鎖反應是在增長還是逐漸減弱。

解答 3

下一代會有 150 次核分裂，再下一代則有 225 次，因此連鎖反應正在增長。

步驟 1：找出會引發核分裂的中子比例。

逃離及未引發核分裂的吸收比例合計為：

\[ 20\%+30\%=50\% \]

因此，有 50% 的中子會引發核分裂。

步驟 2：求出下一代的核分裂次數。

共有 300 顆中子：

\[ N_1=300\times0.50 \]

\[ N_1=150 \]

因此，下一代會發生 150 次核分裂。

步驟 3：求出這 150 次核分裂所產生的中子數目。

每次核分裂會產生 3 顆中子：

\[ 150\times3=450 \]

步驟 4：套用相同的 50% 成功率。

\[ N_2=450\times0.50 \]

\[ N_2=225 \]

因此，再下一代會有 225 次核分裂。

反應正在增長，因為每一代的核分裂次數都比上一代多：

\[ 100\rightarrow150\rightarrow225 \]

在這個簡化模型中，增殖因子為：

\[ k=3\times0.50=1.5 \]

由於 \(k>1\)，核分裂次數會增加。

容易犯的錯誤，是看到每次核分裂會產生三顆中子，就假設會引發三次進一步的核分裂。這忽略了每顆中子的去向。中子的產生只是連鎖反應的一部分。

題目 4

某次核分裂事件產生了具有放射性的核分裂產物 \({}^{141}_{56}\mathrm{Ba}\)。

一名學生聲稱：

「既然核分裂已經釋放能量，鋇產物就一定是穩定的。」

評估這個說法。寫出一個適用於鋇-141 的 β⁻ 衰變方程式，並說明其質量數、原子序和中子數會怎樣改變。

解答 4

這個說法不正確。鋇-141 可以發生 β⁻ 衰變，因為這種核分裂產物富含中子，並且可以透過將一顆中子轉變成一顆質子，形成更穩定的原子核。

簡化的核反應方程式為：

\[ {}^{141}_{56}\mathrm{Ba} \rightarrow {}^{141}_{57}\mathrm{La} + {}^{0}_{-1}\mathrm{e} + \bar{\nu}_e \]

步驟 1：追蹤質量數。

質量數保持不變：

\[ 141\rightarrow141 \]

β⁻ 衰變不會使原子核失去核子。

步驟 2：追蹤原子序。

原子序會增加：

\[ 56\rightarrow57 \]

這是因為一顆中子轉變成一顆質子。

步驟 3：追蹤中子數。

衰變前：

\[ N=141-56=85 \]

衰變後，子核的中子數為：

\[ N=141-57=84 \]

因此，中子數減少一，而質子數增加一。

步驟 4：把這一點與核分裂能量聯繫起來。

原本的核分裂事件與之後的放射性衰變是兩個不同階段。核分裂會產生不穩定的鋇原子核。之後，鋇可以透過 β 衰變及可能發生的 γ 衰變釋放額外能量，並逐漸轉變成較穩定的狀態。

要避免的錯誤，是把「核分裂產物」當成「穩定產物」的同義詞。核分裂產物往往具有放射性，正是因為分裂會產生中子與質子比例不理想的原子核。

題目 5

兩個理想化的可裂變系統 A 和 B，最初都發生了相同的 100 次核分裂。

本題假設以下平均行為在每一代中都完全準確：

假設沒有引發核分裂的中子不會產生其他影響。

求出：

(a) 哪個系統在下一代產生較多核分裂，
(b) 哪個系統在下一代釋放較多能量，
(c) 哪個系統在第五代釋放較多能量，以及
(d) 解釋為甚麼 (b) 的答案可能與 (a) 的答案不同。

解答 5

系統 A 在之後每一代都會產生較多核分裂，因為它的中子增殖因子較大；但系統 B 的每次核分裂釋放較多能量。系統 B 在最初幾代釋放較多能量，而系統 A 最終會超越它，因為 A 的核分裂數量增長得更快。到了第五代，系統 A 釋放的能量略多。

步驟 1：求出每個系統的增殖因子。

對於 A，每次核分裂會產生 3 顆中子，其中 55% 會引發另一次核分裂：

\[ k_A=3\times0.55 \]

\[ k_A=1.65 \]

對於 B：

\[ k_B=2\times0.80 \]

\[ k_B=1.60 \]

因此，A 的增殖因子較大。

步驟 2：求出下一代的核分裂次數。

從 100 次核分裂開始：

\[ N_{A,1}=100\times1.65=165 \]

\[ N_{B,1}=100\times1.60=160 \]

因此，A 在下一代產生較多核分裂。

步驟 3：計算該代釋放的能量。

對於 A：

\[ E_{A,1}=165\times190 \]

\[ E_{A,1}=31\,350\,\mathrm{MeV} \]

對於 B：

\[ E_{B,1}=160\times220 \]

\[ E_{B,1}=35\,200\,\mathrm{MeV} \]

因此，B 在下一代釋放較多能量。

這是整道題目的關鍵。B 的核分裂次數較少，但每次核分裂釋放的能量較多。

步驟 4：追蹤第五代。

第 \(n\) 代的核分裂次數，可以透過每一代乘以相應的 \(k\) 值求得。

對於 A：

\[ N_{A,5} = 100(1.65)^5 \]

\[ N_{A,5} \approx1223 \]

對於 B：

\[ N_{B,5} = 100(1.60)^5 \]

\[ N_{B,5} \approx1049 \]

現在計算該代釋放的能量。

對於 A：

\[ E_{A,5} = 1223\times190 \]

\[ E_{A,5} \approx232\,000\,\mathrm{MeV} \]

對於 B：

\[ E_{B,5} = 1049\times220 \]

\[ E_{B,5} \approx231\,000\,\mathrm{MeV} \]

因此，到了第五代，系統 A 釋放的能量略多。

容易犯的錯誤，是因為 \(220\,\mathrm{MeV}\) 大於 \(190\,\mathrm{MeV}\)，就直接選擇 B。這只比較了單次核分裂所釋放的能量，卻忽略了核分裂的次數。

更深層的關鍵在於，每次核分裂的能量與中子增殖是不同的物理量。一個系統即使每次核分裂都釋放較多能量，其連鎖反應仍可能增長得較慢。在這個例子中，A 較大的增殖因子最終會帶來足夠多的額外核分裂，抵銷它每次核分裂釋放能量較少的劣勢。

在真實的核反應堆中，這個簡單模型並不完整。中子能量、幾何形狀、中子洩漏、吸收、燃料成分及控制系統，都會影響連鎖反應。不過，這個區分仍然非常重要：中子決定核分裂次數如何改變，而每次核分裂釋放的能量，則取決於初始與最終狀態之間的核能量差。

08必須一起理解的三個概念

在 HSC 作答時解釋核分裂，應該把各個部分連繫起來，而不是把它們分開列出：

1. 一顆中子可以被重的可裂變原子核吸收，形成激發態原子核。
2. 激發態原子核可以發生形變，並分裂成兩個核分裂碎片。
3. 這些碎片不一定大小相等，而且通常具有放射性。
4. 通常會放出兩至三顆瞬發中子，因此有可能形成連鎖反應。
5. 最終核產物的總靜止質量較低，而總束縛能較高。
6. 質量差會轉化為釋放的能量，主要表現為核分裂碎片的動能。
7. 具有放射性的核分裂產物之後可能發生 β 衰變和 γ 衰變，釋放額外能量。

下一個值得學習的步驟，是把這個微觀圖像與核反應堆的運作聯繫起來：當你能辨認核分裂產物、中子和能量的去向時，就能理解為甚麼中子慢化與控制會決定連鎖反應是逐漸減弱、維持穩定，還是持續增長。