核束縛能：使用 E = mc² 將質量虧損轉換為能量

想像一下，先測量一群自由質子和中子的總質量，再讓它們形成一個原子核。形成後的原子核，其質量會比這些粒子分開時的總質量略小。這些質量去了哪裡？又為什麼如此微小的質量差異，能轉化成數個 MeV 的能量？

答案是 \(E=mc^2\)，但 HSC 考試中重要的技能，是準確判斷應使用哪一個質量差、已知的單位是什麼，以及計算出的能量實際代表什麼。

01從物理圖像開始

可以把自由核子想像成位於較高的能階。當它們形成穩定的束縛原子核時，整個系統會轉移到較低的能量狀態。

要發生這種轉變，系統必須釋放能量。由於質量與能量等價，能量較低的原子核，其靜止質量也較小。

這個質量差稱為質量虧損，記作 \(\Delta m\)。

其定義為

\[ \Delta m = m_{\text{自由核子}} - m_{\text{原子核}} \]

因此，對一般的束縛原子核而言，質量虧損為正值。

相應的束縛能，記作 \(E_b\)，是將原子核完全分解成各個自由質子和中子所需的能量。在初始狀態與最終狀態相同的前提下，這也等於自由核子形成束縛原子核時所釋放的能量。

這裡有一個有用但有其局限的心智模型：想像一顆球滾進較低的山谷。球在谷底時的位能較低，而兩個位置之間的能量差已經釋放出來。當然，原子核並不是真的像球一樣滾進山谷。原子核的狀態由量子力學描述，而這個圖像也無法解釋核力。它只是幫助我們理解能量差的一種方式。

那麼，\(E=mc^2\) 在這裡有什麼作用？

嚴格來說，\(E=mc^2\) 給出的是與質量 \(m\) 相對應的靜止能量。

對於質量的變化，應使用

\[ \Delta E = \Delta m c^2 \]

其中：

• \(\Delta E\) 是相應的靜止能量變化，單位為焦耳；
• \(\Delta m\) 是質量差，單位為公斤；
• \(c\) 是光速，\(3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

計算原子核的束縛能時，我們取其正值：

\[ E_b=\Delta m c^2 \]

令人驚訝的地方在於 \(c^2\)。因為

\[ c^2 \approx 9.00\times10^{16}\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}, \]

即使質量虧損極小，也會對應到相當可觀的能量。

02讓計算變簡單的單位選擇

在使用計算機之前，先查看質量虧損的單位。

這裡的 \(\mathrm{u}\) 是原子質量單位，而 \(A\) 是質量數，即質子和中子的總數。

這個快捷換算式

\[ 1\ \mathrm{u}\,c^2 \approx 931.5\ \mathrm{MeV} \]

直接源自 \(E=mc^2\)，並不是另一套不同的物理原理。

使用

\[ 1\ \mathrm{u}=1.6605\times10^{-27}\ \mathrm{kg}, \]

可得

\[ (1\ \mathrm{u})c^2 \approx 1.49\times10^{-10}\ \mathrm{J}, \]

這相當於約 \(931.5\ \mathrm{MeV}\)。

因此，如果質量虧損已經以 u 表示，再乘一次 \(c^2\) 就是錯誤的。\(c^2\) 已經包含在 \(931.5\ \mathrm{MeV/u}\) 這個換算關係中。

03計算範例：氦-4 原子核的束縛能

氦-4 原子核的質量虧損為 \(0.0304\ \mathrm{u}\)。計算其總束縛能，分別以 MeV 和焦耳表示。

步驟 1：由於質量虧損以原子質量單位表示，因此使用快捷換算式。

\[ E_b=\Delta m\times931.5 \]

步驟 2：代入質量虧損。

\[ E_b=(0.0304)(931.5) \]

\[ E_b=28.3176\ \mathrm{MeV} \]

步驟 3：將答案適當地四捨五入。

\[ \boxed{E_b\approx28.3\ \mathrm{MeV}} \]

步驟 4：如果題目有要求，將 MeV 轉換成焦耳。

由於 \(1\ \mathrm{MeV}=1.602\times10^{-13}\ \mathrm{J}\)，

\[ E_b=(28.3176)(1.602\times10^{-13}) \]

\[ \boxed{E_b\approx4.54\times10^{-12}\ \mathrm{J}} \]

步驟 5：解釋結果的物理意義。

要將氦-4 原子核完全分解成兩個自由質子和兩個自由中子，需要約 \(28.3\ \mathrm{MeV}\) 的能量。

請注意，這個答案並不是說原子核內含有一小包 \(28.3\ \mathrm{MeV}\) 的能量，可以直接將它取出。束縛能描述的是束縛原子核與核子彼此分離時的狀態之間的能量差。

04計算範例：總束縛能與每核子束縛能

假設鐵-56 原子核的質量虧損為 \(0.5285\ \mathrm{u}\)。計算其總束縛能，以及每核子的束縛能。

步驟 1：利用質量虧損計算總束縛能。

\[ E_b=(0.5285)(931.5) \]

\[ E_b=492.3\ \mathrm{MeV} \]

因此，總束縛能為

\[ \boxed{E_b\approx492\ \mathrm{MeV}} \]

步驟 2：除以質量數，求出每核子的束縛能。

鐵-56 的 \(A=56\)。

\[ \frac{E_b}{A} \= \frac{492.3}{56} \]

\[ \boxed{\frac{E_b}{A}\approx8.79\ \mathrm{MeV/nucleon}} \]

步驟 3：分別解釋這兩個數值。

\(492\ \mathrm{MeV}\) 是整個原子核的束縛能。

\(8.79\ \mathrm{MeV/nucleon}\) 是平均值，可用來比較不同大小的原子核。

這並不代表每個核子都恰好貢獻 \(8.79\ \mathrm{MeV}\)。核子之間並不是平均分配核束縛能的。

05提交答案前值得檢查的錯誤

1. 使用錯誤的單位

如果 \(\Delta m\) 的單位是 kg，

\[ E_b=\Delta m c^2 \]

得出的單位是焦耳。

如果 \(\Delta m\) 的單位是 u，

\[ E_b=\Delta m\times931.5 \]

得出的單位是 MeV。

不要在第二個計算中再次乘上 \(c^2\)。

2. 把質量虧損的相減次序顛倒

一般採用的定義是

\[ \Delta m \= m_{\text{自由核子}} - m_{\text{原子核}} \]

如果正常的束縛原子核算出負值，請檢查相減的次序。

束縛能以正值表示：

\[ E_b=\Delta m c^2 \]

這裡使用的是正的質量虧損。

3. 混淆總束縛能與每核子束縛能

含有較多核子的原子核，其總束縛能可能大得多，單是因為它含有更多核子。

比較不同原子核時，每核子束縛能通常更有參考價值：

\[ \text{每核子束縛能} \= \frac{E_b}{A} \]

除非題目要求計算每核子的數值，否則不要除以 \(A\)。

4. 認為質量只是被摧毀了

更準確的說法是：束縛原子核的靜止質量較低，因為系統已經釋放能量。

總質能守恆。

「消失的質量」是一種方便的簡稱，但質量並沒有憑空消失。

5. 把所有核能釋放都稱為束縛能

束縛能是將特定原子核分解成自由核子所需的能量。

核衰變或核反應則是另一類問題。要計算核反應釋放的能量，應比較初始狀態與最終狀態的總質能。

這個區別在核分裂中特別重要。

如果你需要先利用質子、中子和原子核的質量計算質量虧損，請參閱質量虧損：消失的質量如何轉化為原子核的束縛能。

06可靠的 HSC 計算流程

遇到質量虧損題目時，依照以下次序處理：

1. 確認 \(\Delta m\) 的單位。
2. 選擇相應的公式。
3. 計算總束縛能。
4. 只有在題目要求其他單位時，才進行單位換算。
5. 只有在題目要求每核子束縛能時，才除以 \(A\)。
6. 檢查答案的數值大小和單位是否合理。
7. 說明能量的物理意義。

最後一步很容易被忽略。在書面答案中，不要只把 \(E_b=492\ \mathrm{MeV}\) 留在紙上。應說明這是將原子核分解成自由核子所需的能量。

07題目與解答

題目 1

某原子核的質量虧損為 \(0.00400\ \mathrm{u}\)。計算其以 MeV 表示的束縛能。

解答 1

束縛能為 \(3.73\ \mathrm{MeV}\)。 由於質量虧損以原子質量單位表示，因此使用 \(931.5\ \mathrm{MeV/u}\) 的換算關係。

\[ E_b=\Delta m\times931.5 \]

\[ E_b=(0.00400)(931.5) \]

\[ \boxed{E_b=3.73\ \mathrm{MeV}} \]

關鍵在於選擇適當的單位換算方式。如果直接使用 \(E_b=\Delta mc^2\)，就必須先將質量虧損由 u 轉換成 kg。

題目 2

某原子核的質量虧損為 \(6.64\times10^{-29}\ \mathrm{kg}\)。

計算：

• 以焦耳表示的束縛能；
• 以 MeV 表示的束縛能。

解釋為什麼以 MeV 表示時，數值會大幅增加。

解答 2

束縛能為 \(5.98\times10^{-12}\ \mathrm{J}\)，亦即 \(37.4\ \mathrm{MeV}\)。 質量虧損已經以公斤表示，因此可以直接使用 \(E_b=\Delta mc^2\)。

步驟 1：代入質量虧損和光速。

\[ E_b \= (6.64\times10^{-29}) (3.00\times10^8)^2 \]

\[ E_b=5.976\times10^{-12}\ \mathrm{J} \]

因此，

\[ \boxed{E_b=5.98\times10^{-12}\ \mathrm{J}} \]

步驟 2：將焦耳轉換成 MeV。

由於

\[ 1\ \mathrm{MeV}=1.60\times10^{-13}\ \mathrm{J}, \]

\[ E_b \= \frac{5.976\times10^{-12}} {1.60\times10^{-13}} \]

\[ \boxed{E_b\approx37.4\ \mathrm{MeV}} \]

數值之所以改變，是因為 MeV 是比焦耳小得多的能量單位。實際的物理能量並沒有增加。

一個容易犯的錯誤，是看到 \(6.64\times10^{-29}\ \mathrm{kg}\)，便預期能量也會有同樣小的數值。將這個微小質量差轉換成大得多的能量尺度，關鍵就在於因子 \(c^2\)。

題目 3

原子核 A 的質量數為 \(A=40\)，質量虧損為 \(0.342\ \mathrm{u}\)。

原子核 B 的質量數為 \(A=16\)，質量虧損為 \(0.150\ \mathrm{u}\)。

計算每個原子核的總束縛能和每核子束縛能。哪個原子核的總束縛能較大？哪個原子核的每核子束縛能較大？

解答 3

原子核 A 的總束縛能較大，但原子核 B 的每核子束縛能較大。 這題的陷阱，是假設「總束縛能較大」和「每核子束縛能較大」必定會指向同一個原子核。

對原子核 A：

\[ E_{b,A}=(0.342)(931.5) \]

\[ E_{b,A}=318.6\ \mathrm{MeV} \]

因此，

\[ \boxed{E_{b,A}\approx319\ \mathrm{MeV}} \]

每核子的束縛能為

\[ \frac{E_{b,A}}{A} \= \frac{318.6}{40} \]

\[ \boxed{7.96\ \mathrm{MeV/nucleon}} \]

對原子核 B：

\[ E_{b,B}=(0.150)(931.5) \]

\[ E_{b,B}=139.7\ \mathrm{MeV} \]

因此，

\[ \boxed{E_{b,B}\approx140\ \mathrm{MeV}} \]

每核子的束縛能為

\[ \frac{E_{b,B}}{A} \= \frac{139.7}{16} \]

\[ \boxed{8.73\ \mathrm{MeV/nucleon}} \]

因此，A 的總束縛能較大，因為 \(319\ \mathrm{MeV}>140\ \mathrm{MeV}\)。

B 的每核子束縛能較大，因為 \(8.73>7.96\ \mathrm{MeV/nucleon}\)。

關鍵在於兩個原子核的核子數不同。總束縛能是整個原子核中束縛能的總和，而每核子束縛能則消除了原子核大小的影響。

題目 4

某原子核處於基態時，質量虧損為 \(0.250\ \mathrm{u}\)。它吸收了 \(5.00\ \mathrm{MeV}\) 的能量，並在核子數沒有增加或減少的情況下進入激發態。

計算：

• 激發態原子核以 u 表示的質量虧損；
• 激發態原子核以 MeV 表示的束縛能。

一名學生說：「原子核獲得了能量，所以它的質量虧損必定增加。」解釋為什麼這個說法是錯誤的。

解答 4

激發態原子核的質量虧損為 \(0.2446\ \mathrm{u}\)，束縛能為 \(227.9\ \mathrm{MeV}\)。 關鍵在於，加入能量會增加原子核的質能，使其質量更接近彼此分離的核子的總質量。因此，它的質量虧損會減少。

步驟 1：計算基態的束縛能。

\[ E_b=(0.250)(931.5) \]

\[ E_b=232.875\ \mathrm{MeV} \]

步驟 2：將 \(5.00\ \mathrm{MeV}\) 的激發能轉換成相應的質量。

由

\[ E=\Delta mc^2, \]

並使用核物理的換算關係，

\[ \Delta m \= \frac{5.00}{931.5} \]

\[ \Delta m=0.00537\ \mathrm{u} \]

步驟 3：求出激發態的質量虧損。

自由核子的參考質量並沒有改變。激發態原子核的質量增加了 \(0.00537\ \mathrm{u}\)，所以質量虧損會減少：

\[ \Delta m_{\text{激發態}} \= 0.250-0.00537 \]

\[ \boxed{\Delta m_{\text{激發態}} \=0.2446\ \mathrm{u}} \]

步驟 4：求出激發態的束縛能。

\[ E_{b,\text{激發態}} \= (0.2446)(931.5) \]

\[ \boxed{E_{b,\text{激發態}}\approx227.9\ \mathrm{MeV}} \]

學生的預測聽起來似乎合理，因為「更多能量」容易讓人聯想到「更強的束縛」。但激發態的情況恰好相反：原子核移至較高的能量狀態，相對於自由核子的參考狀態而言，其束縛程度較低。束縛能恰好減少了 \(5.00\ \mathrm{MeV}\)。

題目 5

考慮一個假想的原子核 X。

X 處於基態時，質量虧損為 \(0.400\ \mathrm{u}\)。X 最初處於高出基態 \(6.00\ \mathrm{MeV}\) 的激發態。

它最終可以透過以下任一途徑，變成相同的兩個基態子核：

• 途徑 A： X 先放出一個 \(6.00\ \mathrm{MeV}\) 的伽瑪射線光子，返回基態，然後分裂成兩個子核。
• 途徑 B： X 在仍處於激發態時直接分裂，產生相同的兩個基態子核，而不先放出伽瑪射線。

兩個子核的質量虧損總和為 \(0.460\ \mathrm{u}\)。

假設沒有核子被放出或吸收，且所有釋放的能量都以伽瑪射線或產物的動能形式帶走。

計算途徑 A 中分裂步驟所釋放的能量，再計算兩條途徑從最初激發態開始所釋放的總能量。最後，解釋為什麼途徑 B 不會釋放較少的總能量，即使激發態原子核的束縛能較小。

解答 5

兩條途徑都會釋放總共 \(61.9\ \mathrm{MeV}\) 的能量，但途徑 B 在直接分裂時釋放 \(61.9\ \mathrm{MeV}\)，而途徑 A 則先以伽瑪輻射釋放 \(6.00\ \mathrm{MeV}\)，再於隨後的分裂過程中釋放 \(55.9\ \mathrm{MeV}\)。 關鍵在於，兩條途徑都從相同的激發態開始，並以相同的最終狀態結束。

步驟 1：計算 X 在基態時的束縛能。

\[ E_{b,X} \= (0.400)(931.5) \]

\[ E_{b,X}=372.6\ \mathrm{MeV} \]

步驟 2：計算兩個子核的總束縛能。

\[ E_{b,\text{產物}} \= (0.460)(931.5) \]

\[ E_{b,\text{產物}} \= 428.49\ \mathrm{MeV} \]

因此，兩個產物的總束縛程度比基態的母核更高。

步驟 3：求出基態 X 分裂時釋放的能量。

總束縛能的增加量為

\[ 428.49-372.6 \= 55.89\ \mathrm{MeV} \]

因此，途徑 A 中的分裂步驟會釋放

\[ \boxed{55.9\ \mathrm{MeV}} \]

這裡容易犯的錯誤，是直接把產物的質量虧損 \(0.460\ \mathrm{u}\) 當成釋放的能量。這是不正確的。能量釋放取決於最終與初始質能狀態之間的差值。

步驟 4：計入初始激發能。

在兩條途徑開始之前，X 的能量比基態 X 多出 \(6.00\ \mathrm{MeV}\)。

對途徑 A：

\[ E_{\text{總}} \= 6.00+55.89 \]

\[ \boxed{E_{\text{總}}=61.9\ \mathrm{MeV}} \]

最初的 \(6.00\ \mathrm{MeV}\) 以伽瑪射線的形式釋放。其餘的 \(55.9\ \mathrm{MeV}\) 則在基態原子核分裂時釋放。

步驟 5：考慮途徑 B。

激發態原子核的初始能量比基態原子核高 \(6.00\ \mathrm{MeV}\)，但它與途徑 A 一樣，最終都會到達完全相同的狀態。

因此，初始狀態與最終狀態之間的總能量差仍然是

\[ \boxed{61.9\ \mathrm{MeV}} \]

在途徑 B 中，\(6.00\ \mathrm{MeV}\) 的激發能並沒有消失。當激發態原子核分裂時，這部分能量仍然可供釋放，因此直接分裂會釋放

\[ 55.89+6.00 \= \boxed{61.9\ \mathrm{MeV}} \]

這些能量會由產物帶走。

步驟 6：解釋表面上的矛盾。

激發態原子核的束縛能確實比基態原子核小。這表示，相對於自由核子的狀態而言，激發態原子核的束縛程度較低。

但是，「束縛程度較低」並不代表「能量較低」。

事實上，激發態原子核具有較高的質能。從較高能量的狀態出發，並到達相同的最終狀態，就會有更多能量可供釋放。

因此，如果學生預測途徑 B 必定釋放較少能量，就代表他混淆了束縛能與初始能量。

更深層的原則很簡單：如果兩條核反應途徑具有相同的初始狀態和相同的最終狀態，那麼兩者釋放的總能量必定相同，即使能量在過程中的分配方式不同。

08這些知識如何幫助你理解下一個主題

一旦你能將質量虧損轉換成束縛能，分析核反應就會容易得多。你可以比較初始與最終原子核的束縛能，並判斷反應是否有可釋放的能量。

這正是核分裂：分裂產物、中子與能量背後的關鍵概念：分裂產物的總束縛能可能高於原始原子核，這對應於較低的總質能，因此會釋放能量。