什麼時候正向力不等於重力？HSC 物理

你正在解一道斜面題，方塊處於靜止狀態，於是你寫下 \(N=mg\)。這看起來很合理：加速度為零，代表各力平衡。然而，你算出的正向力卻過大。

問題在於，你把「各力平衡」理解成「正向力平衡整個重力」。兩者並不相同。

在繼續閱讀之前，先預測一下：一個 \(4.0\ \text{kg}\) 的方塊靜置在與水平面夾角為 \(30^\circ\) 的固定斜坡上。它的正向力是 \(39.2\ \text{N}\)、\(19.6\ \text{N}\)，還是兩者皆非？

答案是兩者皆非。正向力約為 \(33.9\ \text{N}\)。重力的大小為 \(39.2\ \text{N}\)，而 \(19.6\ \text{N}\) 是重力沿斜坡向下的分量。

關鍵在於先確認正向力的作用方向，再計算該方向上的各個力。

01診斷：你平衡了錯誤的力

正向力 \(N\) 是表面施加、且垂直於該表面的接觸力。重力 \(mg\) 則是垂直向下作用的引力。

此處，\(m\) 是以公斤為單位的質量，而 \(g\) 是重力場強度，在地球表面附近約為 \(9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

在水平桌面上，正向力垂直向上，重力垂直向下。兩者可以直接互相平衡。

在斜面上，正向力相對於垂直方向有所傾斜。它無法平衡整個重力，因為這兩個力的方向並不相反。

這是你在受力圖中首先要檢查的事：將正向力畫成垂直於實際接觸表面，而不是一律畫成垂直向上。

你的受力圖應該顯示什麼

受力圖將單一物體獨立出來，並顯示作用在它上面的每一個力。解正向力題目時，請仔細標示這些力。

此處，\(a_y\) 是垂直加速度，\(a_\perp\) 是垂直於表面的加速度，而 \(F_y\) 是外力的垂直向上分量。表格假設沒有其他具有垂直於表面分量的力；若存在其他此類力，也必須將它們納入計算。

對於斜面的方程式，\(\theta\) 是斜面與水平面之間的夾角。該方程式使用的是重力垂直於斜面的分量 \(mg\cos\theta\)。

請注意，這些方程式有一個共同點：它們都是沿著垂直於表面的方向套用牛頓第二定律。

\[ \boxed{\sum F_\perp=ma_\perp} \]

符號 \(\sum F_\perp\) 代表垂直於表面的合力。解題時應從這個方程式開始，而不是直接假設 \(N=mg\)。

02什麼情況下 \(N=mg\) 才成立？

考慮一本放在水平書桌上的書。

這本書沒有垂直加速度。如果它受到的垂直方向作用力只有正向力和重力，那麼垂直方向的合力必須為零。

以向上為正方向，

\[ N-mg=0 \]

因此，

\[ \boxed{N=mg} \]

這個結果正確，是因為特定條件成立，而不只是因為書本處於靜止狀態。

現在，每次改變一個條件，看看會發生什麼事。

情況 1：物體位於斜面上

將重力分解成兩個分量：

• \(mg\cos\theta\)：垂直於斜面，方向指向斜面內部。
• \(mg\sin\theta\)：平行於斜面，方向沿斜坡向下。

如果物體持續與固定的直線斜面接觸，它在垂直於斜面的方向上就沒有加速度。若沒有其他力具有垂直於斜面的分量，正向力便只需平衡重力垂直於斜面的分量。

\[ N-mg\cos\theta=0 \]

因此，

\[ \boxed{N=mg\cos\theta} \]

物體可以保持靜止，也可以沿斜坡向下加速。無論哪種情況，只要垂直於斜面的加速度仍為零，而且沒有其他垂直於斜面的力作用，正向力就會是這個數值。

• N/(mg) = cos θ

在上述假設下，這張圖顯示斜面越陡，正向力就越小。當 \(\theta=0^\circ\) 時，斜面是水平的，因此 \(N=mg\)。當 \(\theta=60^\circ\) 時，正向力只有重力的一半。

分量 \(mg\sin\theta\) 並不是正向力。它沿斜坡方向作用，與物體平行於斜面的運動有關。

情況 2：有額外的力作用在物體上

回到水平桌面。假設你以斜向上的角度拉動一個箱子。

你的拉力有一部分沿水平方向作用，另一部分則垂直向上，有助於支撐箱子。

如果箱子沒有垂直加速度，垂直方向的各個力便滿足

\[ N+F_y-mg=0 \]

因此，

\[ \boxed{N=mg-F_y} \]

拉力的向上分量會降低正向力。如果你改為以斜向下的角度推箱子，向下的分量就會增加正向力。

如果某個力完全平行於直線表面，它在垂直於該表面的方向上就沒有分量。因此，只要垂直於表面的加速度仍為零，這個力就不會直接改變正向力。

情況 3：物體在垂直方向上加速

現在，讓物體站在電梯內的體重計上。

體重計測量的是作用在物體上的正向接觸力。如果電梯向上加速，正向力就必須大於重力，才能產生向上的合力。

以向上為正方向，

\[ N-mg=ma_y \]

重新整理後，

\[ \boxed{N=m(g+a_y)} \]

當向上加速度的大小為 \(a\) 時，

\[ N=m(g+a) \]

當向下加速度的大小為 \(a\) 時，

\[ N=m(g-a) \]

因此，即使質量和重力場強度都沒有改變，一個人仍然可能感覺自己變重或變輕。這是因為加速度改變了，支撐力也隨之改變。

在自由落體中，即使重力仍然作用，正向力也會是零。人和電梯一起向下加速，因此體重計不再支撐這個人。

03考試題目的可靠解題方法

每當題目要求你計算正向力時，都可以依照以下步驟進行。

步驟 1：確認接觸表面。

物體位於水平地面、斜面、牆壁，還是曲面上？正向力必須垂直於接觸點處的表面。

步驟 2：畫出受力圖。

將重力、正向力，以及所有作用在物體上的外力、張力和摩擦力都畫出來。靠近地球表面時，重力一律垂直向下。正向力則垂直於接觸表面。

步驟 3：選擇垂直於表面的軸。

對於水平表面，使用垂直軸。對於直線斜面，使用平行於斜面及垂直於斜面的座標軸。

步驟 4：將各個力分解成分量。

只有垂直於表面的力分量才應出現在垂直方向的力方程式中。平行於斜面的力不會對這個方程式產生貢獻。

步驟 5：套用牛頓第二定律。

寫出

\[ \sum F_\perp=ma_\perp \]

只有在物體於垂直於表面的方向上沒有加速度時，才能令 \(a_\perp=0\)。物體與固定的直線平面接觸時，通常會符合這個條件。

步驟 6：檢查接觸在物理上是否可能維持。

正向力可以將物體推離表面，但不能將物體拉向表面。在這個模型中，\(N\) 不可能是負值。

如果你的計算結果為 \(N<0\)，就代表假設的接觸條件不可能成立。當接觸失去後，令 \(N=0\)，接著在不再受到該正向力作用的情況下分析物體的運動。

04詳解範例

詳解範例：斜面上靜止的箱子

一個 \(6.0\ \text{kg}\) 的箱子靜置在與水平面夾角為 \(25^\circ\) 的光滑斜面上。一條與斜面平行的繩子將箱子固定在原處。計算正向力。取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

步驟 1：選擇平行於斜面及垂直於斜面的座標軸。

正向力垂直於斜面。重力垂直向下，而重力垂直於斜面、指向斜面內部的分量為 \(mg\cos25^\circ\)。

繩子的作用方向平行於斜面，因此它沒有垂直於斜面的分量。

步驟 2：沿垂直於斜面的方向套用牛頓第二定律。

箱子在垂直於斜面的方向上沒有加速度，因此

\[ N-mg\cos25^\circ=0 \]

因此，

\[ N=mg\cos25^\circ \]

步驟 3：代入數值。

\[ \begin{aligned} N&=(6.0\ \text{kg})(9.8\ \text{m s}^{-2}) \cos25^\circ\\ &=58.8\ \text{N}\times0.9063\\ &=53.3\ \text{N} \end{aligned} \]

正向力為 \(\boxed{53.3\ \text{N}}\)。

為什麼看似合理的答案會出錯： 寫成 \(N=mg=58.8\ \text{N}\)，等於假設正向力與整個重力互相平衡，但這兩個力的方向並不相反。繩子平衡的是重力平行於斜面的分量，而正向力平衡的是重力垂直於斜面的分量。

箱子雖然處於靜止狀態，但這並不代表正向力等於它的重力。

詳解範例：以斜向上的角度拉動箱子

一個 \(10.0\ \text{kg}\) 的箱子受到 \(50.0\ \text{N}\) 的拉力，沿水平地面移動。拉力方向為水平面上方 \(30^\circ\)。箱子在水平方向上加速，但沒有垂直加速度，並且持續與地面接觸。計算正向力。

步驟 1：確認垂直方向的各個力。

正向力向上，重力向下，而拉力具有一個向上的分量。

拉力的向上分量為

\[ F_y=F\sin30^\circ \]

步驟 2：沿垂直方向套用牛頓第二定律。

由於沒有垂直加速度，因此

\[ N+F\sin30^\circ-mg=0 \]

重新整理可得

\[ N=mg-F\sin30^\circ \]

步驟 3：代入數值。

\[ \begin{aligned} N&=(10.0)(9.8)-50.0\sin30^\circ\\ &=98.0-25.0\\ &=73.0\ \text{N} \end{aligned} \]

正向力為 \(\boxed{73.0\ \text{N}}\)。

步驟 4：解釋為什麼水平方向的加速度不會改變這個結果。

拉力的水平分量會影響水平方向的運動。由於它沒有垂直分量，因此不會出現在垂直方向的力方程式中。

正向力小於重力，因為拉力的向上分量支撐了箱子部分的重量。

錯誤的解法是因為地面是水平的，就直接寫成 \(N=mg=98.0\ \text{N}\)。僅知道地面的方向並不足夠；你還必須考慮所有其他作用力，以及物體在垂直於地面的方向上是否有加速度。

05考試時容易出錯的捷徑

還有一種特殊情況值得注意。在曲面軌道上，物體可能在垂直於表面的方向上加速，因此即使使用 \(N=mg\cos\theta\)，也可能得到錯誤答案。此時應回到牛頓第二定律，而不是依賴記憶中的公式。

此外，正向力和重力並不是一組牛頓第三定律作用力與反作用力。這兩個力都作用在同一個物體上。重力的反作用力是物體對地球的引力；正向力的反作用力則是物體施加在表面上的接觸力。

為什麼正向力與摩擦力有關

這正是這個錯誤觀念可能引發第二個錯誤的地方。

最大靜摩擦力為

\[ f_{s,\max}=\mu_sN \]

此處，\(f_{s,\max}\) 是可提供的最大靜摩擦力，而 \(\mu_s\) 是靜摩擦係數。靜摩擦力並不會自動等於這個最大值；它會根據防止物體滑動所需的大小自行調整，但不能超過這個上限。

如果外力將物體拉離斜面，正向力就會減小。這也會降低最大靜摩擦力。

因此，將物體沿斜坡向上拉的力可能同時透過兩種方式，使物體更容易向上移動：它沿斜坡的分量增加了物體向上運動的趨勢，而它向外的分量則降低了可用來抵抗這種運動的摩擦力。

• 正向力 N
• 最大靜摩擦力 μₛN

0630 秒自我檢查

完成正向力計算後，在繼續下一題之前，先問自己：

• 我有將 \(N\) 畫成垂直於實際表面的方向嗎？
• 我有列出作用在物體上的每一個力嗎？
• 我有將各個力分解成沿正向力方向的分量嗎？
• 我有使用 \(\sum F_\perp=ma_\perp\)，而不是直接假設 \(N=mg\) 嗎？
• 在物體維持接觸時，我的答案是否符合物理條件，即 \(N\geq0\)？
• 如果題目涉及摩擦力，我有先計算 \(N\)，再求最大可用摩擦力嗎？

現在，測試自己能否在條件改變時，仍然正確運用這個方法。

07題目與解答

題目 1

一個 \(4.0\ \text{kg}\) 的箱子靜置在水平桌面上。沒有其他垂直方向的力作用在箱子上。計算桌面施加的正向力。取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

解答 1

正向力為 \(\boxed{39.2\ \text{N}}\)，因為箱子的垂直加速度為零，而且它在垂直方向上只受到正向力和重力。

以向上為正方向，

\[ N-mg=ma_y \]

由於 \(a_y=0\)，

\[ N=mg \]

代入數值：

\[ N=(4.0\ \text{kg})(9.8\ \text{m s}^{-2}) =39.2\ \text{N} \]

在此情況下，\(N=mg\) 成立，是因為表面水平、沒有額外的垂直方向作用力，而且箱子沒有垂直加速度。不要將這個結果直接套用到所有表面或所有情況。

題目 2

一個 \(8.0\ \text{kg}\) 的貨箱被固定在與水平面夾角為 \(30^\circ\) 的斜面上，並保持靜止。一個 \(25\ \text{N}\) 的力平行於斜面，方向沿斜坡向上。靜摩擦力也會作用，而且表面可以提供所需大小的靜摩擦力。

計算：

(a) 正向力；

(b) 靜摩擦力的大小與方向。

取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

解答 2

正向力為 \(\boxed{67.9\ \text{N}}\)，而靜摩擦力為 \(\boxed{14.2\ \text{N}}\)，方向沿斜坡向上。外力與摩擦力會影響沿斜坡方向的力平衡，但兩者都沒有垂直於斜面的分量。

(a) 正向力

重力垂直於斜面的分量為 \(mg\cos30^\circ\)。貨箱在垂直於斜面的方向上沒有加速度，因此

\[ N-mg\cos30^\circ=0 \]

因此，

\[ \begin{aligned} N&=(8.0)(9.8)\cos30^\circ\\ &=78.4(0.8660)\\ &=67.9\ \text{N} \end{aligned} \]

(b) 靜摩擦力

重力沿斜坡向下的分量為

\[ mg\sin30^\circ =(8.0)(9.8)(0.5) =39.2\ \text{N} \]

外力為 \(25\ \text{N}\)，方向沿斜坡向上。如果沒有摩擦力，沿斜坡方向的合力將為

\[ 39.2-25.0=14.2\ \text{N} \]

方向沿斜坡向下。

由於貨箱保持靜止，摩擦力必須抵抗這個運動趨勢。因此，摩擦力的大小為 \(14.2\ \text{N}\)，方向沿斜坡向上。

常見的陷阱是認為，既然重力有沿斜坡向下的分量，摩擦力就一定也會沿斜坡向下。事實上，摩擦力抵抗的是兩個接觸表面之間相對運動的趨勢，而不是單純抵抗重力。

題目 3

一個 \(12.0\ \text{kg}\) 的貨箱正向右方沿水平地面移動。它受到一個 \(60.0\ \text{N}\) 的拉力，方向為水平面上方 \(35^\circ\)，同時還受到一個 \(20.0\ \text{N}\) 的垂直向下推力。動摩擦係數為 \(\mu_k=0.25\)。

假設貨箱沒有垂直加速度，並且持續與地面接觸。

計算：

(a) 正向力；

(b) 貨箱的水平加速度。

取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

解答 3

正向力為 \(\boxed{103.2\ \text{N}}\)，水平加速度約為 \(\boxed{1.95\ \text{m s}^{-2}}\)，方向向右。向下的推力會增加正向力，進而增加動摩擦力並減小水平合力。

(a) 正向力

垂直方向的作用力包括正向力和拉力的向上分量，它們與重力及額外的向下推力互相平衡。

由於垂直加速度為零，

\[ N+60.0\sin35^\circ-mg-20.0=0 \]

重新整理：

\[ N=mg+20.0-60.0\sin35^\circ \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} N&=117.6+20.0-34.4\\ &=103.2\ \text{N} \end{aligned} \]

(b) 水平加速度

由於貨箱相對於地面向右移動，動摩擦力的方向向左。

動摩擦力的大小為

\[ f_k=\mu_kN \]

因此，

\[ f_k=0.25(103.2)=25.8\ \text{N} \]

拉力的水平分量為

\[ F_x=60.0\cos35^\circ =49.1\ \text{N} \]

以向右為正方向，水平合力為

\[ \begin{aligned} F_{\text{net},x}&=F_x-f_k\\ &=49.1-25.8\\ &=23.3\ \text{N} \end{aligned} \]

沿水平方向套用牛頓第二定律：

\[ a_x=\frac{F_{\text{net},x}}{m} \]

\[ a_x=\frac{23.3}{12.0} =1.94\ \text{m s}^{-2} \]

貨箱以約 \(1.95\ \text{m s}^{-2}\) 的加速度向右移動。

常見錯誤是在計算摩擦力時使用 \(N=mg\)。這樣會忽略拉力的向上分量和額外的向下作用力，導致摩擦力計算錯誤，進而得到錯誤的加速度。

題目 4

一名 \(60.0\ \text{kg}\) 的乘客站在電梯內的體重計上，體重計讀數為 \(510\ \text{N}\)。

(a) 計算乘客的垂直加速度。

(b) 你能對電梯的運動作出什麼結論？請解釋為什麼單憑體重計的讀數，無法判斷電梯正在向上還是向下行駛。

取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。假設體重計的讀數等於作用在乘客身上的正向力，而且沒有其他垂直方向的力作用。

解答 4

乘客的加速度為 \(\boxed{1.30\ \text{m s}^{-2}}\)，方向向下。體重計的讀數可以確定加速度的方向，卻不能確定速度的方向。

(a) 加速度

以向上為正方向。垂直方向的力方程式為

\[ N-mg=ma_y \]

重新整理，

\[ a_y=\frac{N-mg}{m} \]

乘客的重力為

\[ mg=(60.0)(9.8)=588\ \text{N} \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} a_y&=\frac{510-588}{60.0}\\ &=\frac{-78}{60.0}\\ &=-1.30\ \text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

負號表示加速度方向向下。

(b) 運動方向

電梯正在向下加速。如果電梯正向上行駛，它就必須正在減速。如果電梯正向下行駛，它就必須正在加速。

電梯也可能在開始向下移動的瞬間處於靜止狀態。單憑體重計的讀數，無法得知電梯的速度。

容易犯的錯誤是認為，當讀數小於乘客的重力時，電梯就一定正在向下行駛。讀數告訴你的是加速度，而不是運動方向。速度和加速度是不同的物理量。

題目 5

一個 \(5.0\ \text{kg}\) 的方塊靜置在粗糙、固定且與水平面夾角為 \(30^\circ\) 的斜面上。靜摩擦係數為 \(\mu_s=0.70\)。

一個大小為 \(F\) 的力以高於斜面 \(20^\circ\) 的角度施加，方向沿斜坡向上，並且遠離斜面。從 \(F=0\) 開始，緩慢增加這個力。

假設方塊最初保持靜止，斜面為直線，而且在持續接觸期間，方塊在垂直於斜面的方向上沒有加速度。取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

求：

(a) 靜摩擦力改變方向時的外力大小；

(b) 方塊開始沿斜坡向上滑動時的外力大小；

(c) 方塊是否會在開始向上滑動之前失去與斜面的接觸。

請解釋為什麼將 \(N=mg\cos30^\circ\) 視為常數，會使第 (b) 題的答案出錯。

解答 5

靜摩擦力在外力約為 \(\boxed{26.1\ \text{N}}\) 時改變方向。方塊在外力約為 \(\boxed{46.0\ \text{N}}\) 時開始向上滑動，遠早於外力將正向力降至零的時刻；後者約為 \(\boxed{124\ \text{N}}\)。

關鍵在於，外力有兩個分量：一個沿斜坡向上作用，另一個則將方塊拉離表面。第二個分量會降低正向力，因此也會降低最大可用靜摩擦力。

步驟 1：確認方塊最初能否保持靜止。

當 \(F=0\) 時，正向力為

\[ N=mg\cos30^\circ \]

\[ N=(5.0)(9.8)\cos30^\circ =42.4\ \text{N} \]

重力沿斜坡向下的分量為

\[ mg\sin30^\circ =(5.0)(9.8)(0.5) =24.5\ \text{N} \]

最大靜摩擦力為

\[ f_{s,\max}=\mu_sN \]

\[ f_{s,\max}=0.70(42.4)=29.7\ \text{N} \]

由於 \(24.5\ \text{N}<29.7\ \text{N}\)，靜摩擦力最初足以使方塊保持靜止。因此，題目給定的初始條件在物理上是可行的。

步驟 2：找出摩擦力改變方向的時刻。

外力平行於斜面的分量為 \(F\cos20^\circ\)，方向沿斜坡向上。

一開始，重力沿斜坡向下的分量較大，因此摩擦力會沿斜坡向上作用，以防止方塊向下滑動。

當兩個平行於斜面的分量互相平衡時，摩擦力就會變為零：

\[ F\cos20^\circ=mg\sin30^\circ \]

因此，

\[ F=\frac{mg\sin30^\circ}{\cos20^\circ} \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} F&=\frac{(5.0)(9.8)\sin30^\circ} {\cos20^\circ}\\ &=\frac{24.5}{0.9397}\\ &=26.1\ \text{N} \end{aligned} \]

當外力為 \(26.1\ \text{N}\) 時，沿斜坡方向不需要摩擦力來平衡各個力。

當外力較小時，摩擦力沿斜坡向上。當外力較大時，外力沿斜坡向上的分量便超過重力沿斜坡向下的分量，因此摩擦力必須改為沿斜坡向下，以防止方塊向上移動。

步驟 3：考慮正向力的變化。

外力具有一個向外的分量 \(F\sin20^\circ\)，這個分量會降低正向力。

由於方塊在保持接觸期間，沒有垂直於斜面的加速度，因此

\[ N+F\sin20^\circ-mg\cos30^\circ=0 \]

因此，

\[ \boxed{N=mg\cos30^\circ-F\sin20^\circ} \]

代入已知數值：

\[ N=42.4-F\sin20^\circ \]

這是關鍵關係式。隨著 \(F\) 增大，正向力並不是固定不變的。

步驟 4：找出方塊開始向上滑動的時刻。

當方塊即將向上滑動時，靜摩擦力沿斜坡向下，且大小達到最大值：

\[ f_s=\mu_sN \]

在剛要開始運動的臨界時刻，沿斜坡方向的合力仍然為零。因此，

\[ F\cos20^\circ-mg\sin30^\circ=\mu_sN \]

代入 \(N\) 的表示式：

\[ F\cos20^\circ-mg\sin30^\circ =\mu_s(mg\cos30^\circ-F\sin20^\circ) \]

將含有 \(F\) 的項移到同一側：

\[ F(\cos20^\circ+\mu_s\sin20^\circ) =mg(\sin30^\circ+\mu_s\cos30^\circ) \]

重新整理：

\[ F= \frac{mg(\sin30^\circ+\mu_s\cos30^\circ)} {\cos20^\circ+\mu_s\sin20^\circ} \]

代入 \(m=5.0\ \text{kg}\)、\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) 和 \(\mu_s=0.70\)，

\[ \begin{aligned} F&= \frac{49.0(0.500+0.70\times0.8660)} {0.9397+0.70\times0.3420}\\ &=\frac{54.2}{1.1791}\\ &=46.0\ \text{N} \end{aligned} \]

當外力達到約 \(46.0\ \text{N}\) 時，方塊便會開始沿斜坡向上滑動。

為什麼這個數值比將 \(N=mg\cos30^\circ\) 固定不變時算出的結果小？如果錯誤地將正向力固定為 \(42.4\ \text{N}\)，就會得到

\[ F= \frac{mg\sin30^\circ+\mu_smg\cos30^\circ} {\cos20^\circ} \]

這會算出約 \(57.7\ \text{N}\)。

這個答案過大，是因為它假設最大靜摩擦力維持不變。實際上，外力向外的分量會降低 \(N\)，因此最大摩擦力會隨外力增加而減小。方塊會更早達到摩擦力的極限。

步驟 5：檢查是否會先失去接觸。

當正向力降至零時，物體就會失去與斜面的接觸：

\[ mg\cos30^\circ-F\sin20^\circ=0 \]

因此，

\[ F=\frac{mg\cos30^\circ}{\sin20^\circ} \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} F&=\frac{(5.0)(9.8)\cos30^\circ} {\sin20^\circ}\\ &=\frac{42.4}{0.3420}\\ &=124\ \text{N} \end{aligned} \]

當外力達到向上滑動的臨界值 \(46.0\ \text{N}\) 時，正向力仍然大於零：

\[ \begin{aligned} N&=42.4-46.0\sin20^\circ\\ &\approx26.7\ \text{N} \end{aligned} \]

因此，方塊會先開始沿斜坡向上滑動，之後才可能失去接觸。

這裡重要的是，外力會同時改變物體沿斜坡運動的趨勢，以及垂直於斜面的接觸力。正向力決定了最大可用靜摩擦力，因此，如果不考慮外力的兩個分量，就無法正確計算物體開始滑動的臨界值。

下次遇到涉及摩擦力的題目時，請先計算正向力，再使用 \(f_{s,\max}=\mu_sN\)。遇到電梯題目時，也可以運用相同的垂直方向受力分析方法來求出視重。可靠的解題習慣始終相同：確認接觸表面、分解各個力，並沿著垂直接觸面的方向套用牛頓第二定律。