如何選擇圖表座標軸並將 HSC 物理數據線性化
學習如何選擇自變數與應變數、正確標示圖表座標軸，並將 HSC 物理數據轉換為直線關係。透過運動、電路及反平方光照度的完整例題，掌握斜率、截距的物理意義，並避免常見的繪圖錯誤。
你把時間放在縱軸、位移放在橫軸，畫出一條整齊得近乎完美的直線，然後把它的斜率當作速度來報告。單位卻悄悄暴露了問題：你的斜率單位是秒每公尺，而不是公尺每秒。或者，你看到一張彎曲的位移-時間圖，便把位移對時間平方作圖，期望得到一條直線，單純因為物體正在加速。結果圖線仍然是彎曲的。
這些並不是繪圖上的錯誤，而是在選擇變數和解讀物理模型時犯了錯。在拿起直尺之前，先把這些判斷弄清楚。
- 手推車測量數據；最佳擬合線斜率 ≈ 0.75 m/s
01繪圖前先選好座標軸
第一個決定很簡單：你正在改變什麼？又在測量什麼量來觀察其反應？
自變數是你刻意改變的變數，或用來解釋資料中某種模式的變數。它通常放在橫軸。
應變數是你為了觀察反應而測量的量。它通常放在縱軸。
例如，如果你測量手推車在不同時間的位置變化，時間就是自變數，而位移就是應變數。你應該把位移放在縱軸，時間放在橫軸。
在考試題目中，還有一條實用的解讀規則：
「將 A 對 B 作圖」表示 A 放在縱軸，B 放在橫軸。
因此：
- 將電壓對電流作圖：電壓放在縱軸，電流放在橫軸。
- 將速度對時間作圖：速度放在縱軸，時間放在橫軸。
- 將照度對距離平方倒數作圖：照度放在縱軸，\(1/r^2\) 放在橫軸。
資料表中各個物理量出現的先後順序，並不能決定座標軸的安排。也不能因為某種安排剛好能畫出比較直的線，就用它來決定座標軸。
正確標示兩條座標軸
每條座標軸都需要標出物理量、符號和單位。
| 物理量 | 合適的座標軸標籤 |
|---|---|
| 時間 | 時間，\(t\) (s) |
| 位移 | 位移，\(x\) (m) |
| 速度 | 速度，\(v\) (m/s) |
| 加速度 | 加速度，\(a\) (m/s²) |
| 電流 | 電流，\(I\) (A) |
| 電壓 | 電壓，\(V\) (V) |
| 距離 | 距離，\(r\) (m) |
| 照度 | 照度，\(E\) (lx) |
注意，將座標軸標示為 時間, t (s)，與只標示為 秒 有什麼不同。前者告訴讀者正在測量什麼，以及使用什麼單位；後者只提供單位。
- 手推車測量數據
選擇合理且間距均勻的刻度，並盡量利用可用的繪圖區域。應準確標出實驗數據點，並在適當時畫出最佳擬合線。
對於連續變化的物理實驗數據，散佈圖通常是合適的起點。不要自動用直線段連接每一個數據點。你的目標是找出變數之間的關係，而不是畫出一幅連點成線的圖。
02判斷圖表應該呈現什麼關係
在決定應該畫直線還是曲線之前，先寫出物理模型。
許多原本合理的繪圖方法會在這一步出錯。學生經常看到曲線，就開始嘗試各種變數轉換，直到數據看起來變直為止。更好的做法是根據方程式預測圖表的形狀。
在以下運動方程式中，\(x\) 是以公尺為單位的位置，\(x_0\) 是初始位置，\(t\) 是以秒為單位的時間，\(v\) 是以公尺每秒為單位的速度，\(u\) 是初速度，而 \(a\) 是以公尺每二次方秒為單位的加速度。相對於初始位置的位移為 \(\Delta x=x-x_0\)。
對於電路，\(V\) 是以伏特為單位的電壓，\(I\) 是以安培為單位的電流，而 \(R\) 是以歐姆為單位的電阻。對於光，\(E\) 是以勒克斯為單位的照度，\(E_{\mathrm{bg}}\) 是背景照度，\(r\) 是以公尺為單位的距離，而 \(k\) 是比例常數。
以下是一些值得認識的關係。
| 物理關係 | 合適的圖表 | 斜率的意義 |
|---|---|---|
| \(x=x_0+vt\)，速度為定值 | \(x\) 對 \(t\) | 速度，\(v\) |
| \(v=u+at\)，加速度為定值 | \(v\) 對 \(t\) | 加速度，\(a\) |
| \(\Delta x=\frac12 at^2\)，當 \(u=0\) 時 | \(\Delta x\) 對 \(t^2\) | 加速度的一半，\(a/2\) |
| \(V=RI\)，溫度不變時的歐姆性電阻器 | \(V\) 對 \(I\) | 電阻，\(R\) |
| \(E=E_{\mathrm{bg}}+\frac{k}{r^2}\) | \(E\) 對 \(1/r^2\) | 常數，\(k\) |
這些條件十分重要。尤其是第三列，它假設物體從靜止開始，而且位移是相對於起始位置測量的。如果不符合這些條件，所提出的直線圖可能就不成立。
- 手推車數據；斜率 ≈ 0.75 m/s
什麼是數據線性化？
線性化是指轉換一個或兩個作圖變數，使物理模型預測圖表會呈現直線關係。
直線關係可以寫成
\[ Y=mX+c \]
其中：
- \(Y\) 是縱軸變數。
- \(X\) 是橫軸變數。
- \(m\) 是斜率。
- \(c\) 是縱截距。
關鍵在於，\(X\) 和 \(Y\) 可以是經過轉換的變數，而不一定是原始測量值。
例如，如果模型預測
\[ y=kx^2 \]
那麼將 \(y\) 對 \(x\) 作圖會得到曲線。改為將 \(y\) 對 \(x^2\) 作圖，則會得到直線，因為模型會變成 \(y=kX\)，其中 \(X=x^2\)。
但要小心。如果原始方程式包含其他項，例如 \(y=bx+cx^2\)，那麼將 \(y\) 對 \(x^2\) 作圖通常不會得到直線，因為 \(bx\) 這一項仍然存在。
這就是為什麼你應該根據物理模型推導變數轉換，而不是靠猜測。
從物理模型到有意義的圖表
- 識別變數
自變數：橫軸；應變數：縱軸。
- 寫出物理模型
確定變數關係及其假設條件。
- 選擇圖表
繪製原始變數，或推導合理的變數轉換。
- 解讀直線
根據實際座標軸，判斷斜率的單位、物理意義及截距。
03認識三種最容易出錯的關係
運動：加速度為定值，不代表位移一定與時間平方成正比
當加速度為定值時，位移可由下式描述：
\[ \Delta x=ut+\frac12at^2 \]
如果物體從靜止開始，則 \(u=0\)，所以
\[ \Delta x=\frac12at^2 \]
這個簡化方程式預測，將 \(\Delta x\) 對 \(t^2\) 作圖會得到直線。其斜率是 \(a/2\)，而不是 \(a\)。
如果物體具有非零初速度，\(ut\) 這一項就會保留下來。將位移對時間平方作圖，通常會得到曲線。
你有兩個選擇：如果有速度數據，可以使用速度-時間圖；或者找出一種能考慮初速度的變數轉換。第二種方法會在第 5 題中介紹。
電路：斜率取決於哪個物理量放在縱軸
對於溫度不變時的歐姆性電阻器，
\[ V=IR \]
如果電壓放在縱軸，而電流放在橫軸，圖表的斜率就是
\[ m=\frac{\Delta V}{\Delta I}=R \]
其單位是伏特每安培，等同於歐姆。
如果把座標軸對調，就會得到不同的斜率：
\[ m=\frac{\Delta I}{\Delta V}=\frac1R \]
這代表電導，而不是電阻。
兩種圖表都可以是完全筆直的直線，但只有其中一種的斜率等於電阻。
光照度：反平方關係需要轉換座標軸
對於理想點光源，在扣除背景照度後，照度遵循反平方關係：
\[ E=\frac{k}{r^2} \]
距離加倍，照度會降至原來的四分之一。距離變成三倍，照度則會降至原來的九分之一。
將 \(E\) 對 \(r\) 作圖會得到曲線。在這個模型的假設下，將 \(E\) 對 \(1/r^2\) 作圖則應該得到直線。
此時，橫軸的單位變成 \(\mathrm{m^{-2}}\)。斜率的單位是 \(\mathrm{lx\,m^2}\)，因為它等於照度除以距離平方的倒數。
如果沒有扣除背景光，較符合實際情況的模型是
\[ E=E_{\mathrm{bg}}+\frac{k}{r^2} \]
將 \(E\) 對 \(1/r^2\) 作圖仍然應該得到直線，但其截距是 \(E_{\mathrm{bg}}\)，而不是零。
04正確解讀斜率與截距
選好座標軸後，數學計算並不複雜。重要的是如何解讀結果。
斜率
對於縱軸變數為 \(Y\)、橫軸變數為 \(X\) 的圖表，
\[ m=\frac{\Delta Y}{\Delta X} \]
計算縱軸物理量的變化量，再除以橫軸物理量的變化量。
應該使用最佳擬合線上相距較遠的兩個點，而不是兩個相近的原始數據點。這樣可以減少細微讀數誤差的影響。用來計算斜率的點不一定要是原始測量值，只要它們位於最佳擬合線上即可。
務必檢查單位。
- 位移對時間：\(\mathrm{m/s}\)。
- 速度對時間：\(\mathrm{m/s^2}\)。
- 電壓對電流：\(\mathrm{V/A}=\Omega\)。
- 照度對 \(1/r^2\)：\(\mathrm{lx\,m^2}\)。
如果單位與你聲稱計算出的物理量不符，就應該停下來檢查座標軸。
此外，不要把斜率與比值 \(Y/X\) 混淆。只有當直線通過原點時，兩者才會相等。如果截距不為零，就應該使用物理量的變化量來計算斜率。
截距
縱截距是橫軸變數等於零時，縱軸變數的數值。
它可能代表：
- 位移-時間圖上的初始位置。
- 速度-時間圖上的初速度。
- 照度對 \(1/r^2\) 作圖時的背景照度。
- 電學實驗中的測量偏移量。
截距不為零並不一定代表實驗有錯誤。它可能是模型預測的結果。
同樣地，不要因為你記得的方程式沒有常數項，就強行讓最佳擬合線通過原點。應先檢查實驗條件是否符合該模型，以及測量結果是否與模型一致。
相同的直線形式，不同的物理意義
| 位移-時間 | x = x₀ + vt 橫軸：t (s)；縱軸：x (m)。 斜率 v (m/s)；截距 x₀ (m)，初始位置。 |
|---|---|
| 速度-時間 | v = u + at 橫軸：t (s)；縱軸：v (m/s)。 斜率 a (m/s²)；截距 u (m/s)，初速度。 |
| 反平方光照度 | E = E_bg + k(1/r²) 橫軸：1/r² (m⁻²)；縱軸：E (lx)。 斜率 k (lx·m²)；截距 E_bg (lx)，背景照度。 |
05計算示例
計算示例：利用位移-時間數據求速度
在不同時間，測量手推車相對於固定原點的位移。
| 時間，\(t\) (s) | 位移，\(x\) (m) |
|---|---|
| 0 | 0.20 |
| 1 | 0.95 |
| 2 | 1.71 |
| 3 | 2.48 |
| 4 | 3.20 |
選擇座標軸，估算手推車的速度和初始位置，並解釋如果對調座標軸會有什麼結果。
步驟 1
時間是自變數，位移是應變數。
將時間放在橫軸，位移放在縱軸。標示為 時間, t (s) 和 位移, x (m)。
步驟 2
各個數據點大致落在一條直線上，這與速度為定值的情況一致。不要強行讓直線通過原點，因為初始位移並不是零。
步驟 3
使用最佳擬合線的兩個端點作估算：
\[ \begin{aligned} v&=\frac{\Delta x}{\Delta t}\\ &=\frac{3.20-0.20}{4.0-0}\\ &=\frac{3.00\ \mathrm{m}}{4.0\ \mathrm{s}}\\ &=0.75\ \mathrm{m/s} \end{aligned} \]
手推車的速度約為 \(0.75\ \mathrm{m/s}\)。
步驟 4
直線在縱軸上的截距約為 \(0.20\ \mathrm{m}\)。這就是初始位置 \(x_0\)。
因此，兩者的關係約為
\[ x=0.20+0.75t \]
其中 \(x\) 的單位是公尺，而 \(t\) 的單位是秒。
如果對調座標軸，斜率的單位就會變成 \(\mathrm{s/m}\)。它描述的是每單位位移所對應的時間變化量，而不是速度。直線並不保證你計算出來的就是原本想求的物理量。
- 測量數據
- 最佳擬合線，0.75 m/s
計算示例：利用電路測量數據求電阻
一名學生測量電阻器在不同電流下兩端的電壓。
| 電流，\(I\) (A) | 電壓，\(V\) (V) |
|---|---|
| 0.10 | 0.48 |
| 0.20 | 1.01 |
| 0.30 | 1.49 |
| 0.40 | 2.02 |
| 0.50 | 2.51 |
利用圖表估算電阻，並評論截距。
步驟 1
電流是自變數，電壓是應變數。將 \(V\) 放在縱軸，\(I\) 放在橫軸。
步驟 2
對於溫度不變時的歐姆性電阻器，
\[ V=IR \]
將此式與 \(Y=mX+c\) 比較，可知電壓-電流圖的斜率就是電阻。
步驟 3
使用第一筆和最後一筆測量值，估算最佳擬合線的斜率：
\[ \begin{aligned} R&=\frac{\Delta V}{\Delta I}\\ &=\frac{2.51-0.48}{0.50-0.10}\\ &=\frac{2.03\ \mathrm{V}}{0.40\ \mathrm{A}}\\ &=5.075\ \Omega\\ &\approx 5.1\ \Omega \end{aligned} \]
估算的電阻為 \(5.1\ \Omega\)。
步驟 4
利用估算的斜率和第一筆測量值，
\[ \begin{aligned} c&\approx V-RI\\ &=0.48-(5.075)(0.10)\\ &\approx -0.03\ \mathrm{V} \end{aligned} \]
與測量數據的散佈程度相比，這個數值接近零。數據與理想模型一致，但不應對這個小小的計算截距作過度解讀。
容易犯的錯誤是把座標軸對調，卻仍然把斜率稱為電阻。如果電流放在縱軸、電壓放在橫軸，斜率代表 \(1/R\)。解讀斜率之前，務必先確認縱軸和橫軸分別代表什麼。
- 測量數據
- 最佳擬合線：斜率 ≈ 5.1 Ω
計算示例：將反平方光照度數據線性化
一項理想化的點光源實驗得到以下扣除背景照度後的測量結果。
| 距離，\(r\) (m) | 照度，\(E\) (lx) |
|---|---|
| 0.50 | 40.0 |
| 0.70 | 20.4 |
| 1.00 | 10.0 |
| 1.40 | 5.1 |
| 2.00 | 2.5 |
假設光源輸出和探測器的方向保持不變。選擇一種能檢驗反平方模型的圖表，並估算 \(E=k/r^2\) 中的 \(k\)。
步驟 1
距離是自變數，照度是應變數。
如果反平方模型正確，將 \(E\) 對 \(r\) 作圖應該會得到曲線。圖表呈現曲線，本身並不代表模型失效。
步驟 2
模型為
\[ E=\frac{k}{r^2} \]
改寫為
\[ E=k\left(\frac1{r^2}\right) \]
現在將 \(E\) 放在縱軸，\(1/r^2\) 放在橫軸。
計算轉換後的數值：
| \(1/r^2\) (m⁻²) | \(E\) (lx) |
|---|---|
| 4.00 | 40.0 |
| 2.04 | 20.4 |
| 1.00 | 10.0 |
| 0.510 | 5.1 |
| 0.250 | 2.5 |
步驟 3
使用 \((4.00,\ 40.0)\) 和 \((0.250,\ 2.5)\) 這兩個點：
\[ \begin{aligned} k&=\frac{\Delta E}{\Delta(1/r^2)}\\ &=\frac{40.0-2.5}{4.00-0.250}\\ &=\frac{37.5\ \mathrm{lx}}{3.75\ \mathrm{m^{-2}}}\\ &=10.0\ \mathrm{lx\,m^2} \end{aligned} \]
估算的常數為 \(k=10.0\ \mathrm{lx\,m^2}\)。
這表示模型預測 \(E=10.0/r^2\)，其中 \(r\) 以公尺為單位。斜率的單位正確，因為它等於照度除以距離平方的倒數。
這種變數轉換之所以合理，是因為反平方模型支持這種做法，而不只是因為轉換後的圖表看起來是直線。
- 已扣除背景照度
- 加入 2 lx 背景照度（示意）
06考試前 20 秒檢查清單
提交圖表之前，檢查以下各點：
- [ ] 我是否已識別自變數和應變數？
- [ ] 「將 A 對 B 作圖」是否表示 A 在縱軸、B 在橫軸？
- [ ] 每條座標軸是否都標出了物理量、符號和單位？
- [ ] 如果我轉換了變數，能否從物理模型推導出這種轉換？
- [ ] 斜率的單位是否與我聲稱計算出的物理量一致？
- [ ] 我是否根據實際實驗條件解讀截距，而不是假設它必須為零？
- [ ] 我是否畫出了合適的最佳擬合直線或曲線，而不是自動連接每一個數據點？
07問題與解答
問題 1
記錄一名騎單車者的位移如下。
| 時間，\(t\) (s) | 位移，\(x\) (m) |
|---|---|
| 0 | 0.0 |
| 1 | 2.4 |
| 2 | 4.9 |
| 3 | 7.1 |
選擇座標軸，估算騎單車者的平均速度，並解釋為什麼對調座標軸會改變斜率的意義。
解答 1
將位移 \(x\) 放在縱軸，時間 \(t\) 放在橫軸。斜率給出的平均速度約為 \(2.4\ \mathrm{m/s}\)。
使用第一筆和最後一筆測量值：
\[ \begin{aligned} v_{\mathrm{avg}}&=\frac{\Delta x}{\Delta t}\\ &=\frac{7.1-0.0}{3.0-0}\\ &=\frac{7.1\ \mathrm{m}}{3.0\ \mathrm{s}}\\ &\approx 2.37\ \mathrm{m/s} \end{aligned} \]
使用全部四個數據點繪製的最佳擬合線，也會得到相近的估算值。
如果對調座標軸，斜率的單位就會變成 \(\mathrm{s/m}\)。它描述的是每單位位移所對應的時間變化量，而不是騎單車者的速度。斜率的物理意義取決於實際繪製的物理量。
問題 2
一盞白熾燈產生以下測量結果。
| 電流，\(I\) (A) | 電壓，\(V\) (V) |
|---|---|
| 0.20 | 1.0 |
| 0.40 | 2.4 |
| 0.60 | 4.2 |
一名學生認為，因為 \(V=IR\)，所以電壓-電流圖必定是直線。他們還計算第一個和最後一個數據點之間的斜率，並聲稱這就是燈在所有電流下的電阻。
計算每筆測量值的 \(V/I\)，求出第一個和最後一個數據點之間的斜率，並解釋這兩個錯誤。將 \(V\) 對 \(I^2\) 作圖，是否就一定能將數據線性化？
解答 2
在這些測量結果中，燈的電阻逐漸增加，而第一個和最後一個數據點之間的斜率並不等於燈在每一個工作電流下的電阻。只有當 \(R\) 保持不變時，方程式 \(V=IR\) 才會預測直線關係。
計算每個數據點的電壓與電流之比：
\[ \begin{aligned} R_1&=\frac{1.0}{0.20}=5.0\ \Omega\\ R_2&=\frac{2.4}{0.40}=6.0\ \Omega\\ R_3&=\frac{4.2}{0.60}=7.0\ \Omega \end{aligned} \]
比值 \(V/I\) 從 \(5.0\ \Omega\) 增加至 \(7.0\ \Omega\)。
現在計算第一個和最後一個數據點之間的斜率：
\[ \begin{aligned} m&=\frac{\Delta V}{\Delta I}\\ &=\frac{4.2-1.0}{0.60-0.20}\\ &=\frac{3.2\ \mathrm{V}}{0.40\ \mathrm{A}}\\ &=8.0\ \Omega \end{aligned} \]
這是該區間內電壓變化量除以電流變化量的平均值，並不是每個數據點的 \(V/I\) 值。對於彎曲的電壓-電流圖，某一點的切線斜率代表電壓相對於電流的局部變化率，而這個變化率不一定等於 \(V/I\)。
圖線彎曲的物理原因是電流增加時，燈絲會升溫。燈絲的溫度改變，因此其電阻並非定值。歐姆性電阻器通常呈現直線關係的預測，是以溫度保持不變為前提。
最後，將 \(V\) 對 \(I^2\) 作圖並沒有自動成立的理由。數據顯示 \(V/I\) 正在增加，但這並不能證明電壓與電流平方成正比。變數轉換應該建立在合理的物理關係上，而不是猜測哪一種圖表可能看起來是直線。
問題 3
一名學生測量距離光源不同位置的照度，得到以下三組數據。
| 距離，\(r\) (m) | 照度，\(E\) (lx) |
|---|---|
| 0.50 | 50 |
| 1.00 | 14 |
| 2.00 | 5 |
這些測量結果包含固定的背景照度。假設模型為
\[ E=E_{\mathrm{bg}}+\frac{k}{r^2} \]
其中 \(E_{\mathrm{bg}}\) 是背景照度，而 \(k\) 是常數。
選擇正確的圖表，求出 \(k\) 和 \(E_{\mathrm{bg}}\)，並解釋為什麼不應強行讓圖線通過原點。
解答 3
將照度 \(E\) 放在縱軸，距離平方的倒數 \(1/r^2\) 放在橫軸。斜率為 \(k=12\ \mathrm{lx\,m^2}\)，而縱截距為 \(E_{\mathrm{bg}}=2\ \mathrm{lx}\)。
首先，轉換距離數據：
| \(r\) (m) | \(1/r^2\) (m⁻²) | \(E\) (lx) |
|---|---|---|
| 0.50 | 4.00 | 50 |
| 1.00 | 1.00 | 14 |
| 2.00 | 0.25 | 5 |
使用前兩個數據點，斜率為
\[ \begin{aligned} k&=\frac{50-14}{4.00-1.00}\\ &=\frac{36\ \mathrm{lx}}{3.00\ \mathrm{m^{-2}}}\\ &=12\ \mathrm{lx\,m^2} \end{aligned} \]
檢查剩下的區間：
\[ \frac{14-5}{1.00-0.25} =\frac{9}{0.75} =12\ \mathrm{lx\,m^2} \]
這些數據與直線關係一致。
當 \(r=1.00\ \mathrm{m}\) 時，距離平方的倒數為 \(1.00\ \mathrm{m^{-2}}\)。因此，
\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{bg}}&=E-\frac{k}{r^2}\\ &=14-12(1.00)\\ &=2\ \mathrm{lx} \end{aligned} \]
因此，模型為
\[ E=2+\frac{12}{r^2} \]
容易犯的錯誤是以為反平方關係必須呈現一條通過原點的直線。當 \(E\) 對 \(1/r^2\) 作圖時，反平方關係確實會呈現直線，但背景光會為每次測量增加一個固定值。強行讓直線通過原點，會掩蓋這項貢獻，並使估算的斜率產生偏差。
問題 4
記錄一輛小車在四秒內的速度。
| 時間，\(t\) (s) | 速度，\(v\) (m/s) |
|---|---|
| 0 | 6 |
| 1 | 3 |
| 2 | 0 |
| 3 | −3 |
| 4 | −6 |
將速度對時間作圖，求出小車的加速度、四秒內的位移，以及移動的總距離。
一名學生聲稱，斜率代表位移，而圖線下的面積總是代表距離。解釋為什麼這兩個說法都不正確。
解答 4
小車的加速度是 \(-3.0\ \mathrm{m/s^2}\)，位移是 \(0\ \mathrm{m}\)，而移動的總距離是 \(12\ \mathrm{m}\)。
將速度 \(v\) 放在縱軸，時間 \(t\) 放在橫軸。
斜率代表加速度：
\[ \begin{aligned} a&=\frac{\Delta v}{\Delta t}\\ &=\frac{-6-6}{4-0}\\ &=\frac{-12\ \mathrm{m/s}}{4\ \mathrm{s}}\\ &=-3.0\ \mathrm{m/s^2} \end{aligned} \]
負斜率表示速度隨時間減小。
要計算位移，應計算速度-時間圖下方的帶正負號面積。從 \(t=0\) 到 \(t=2\ \mathrm{s}\)，正三角形的面積為
\[ A_+=\frac12(2\ \mathrm{s})(6\ \mathrm{m/s})=6\ \mathrm{m} \]
從 \(t=2\) 到 \(t=4\ \mathrm{s}\)，負三角形的面積為
\[ A_-=-\frac12(2\ \mathrm{s})(6\ \mathrm{m/s})=-6\ \mathrm{m} \]
因此，
\[ \Delta x=A_++A_-=6-6=0\ \mathrm{m} \]
小車最後回到起始位置。
計算總路程時，則要把兩個面積的絕對值相加：
\[ d=|6|+|-6|=12\ \mathrm{m} \]
這名學生混淆了三種不同的物理量。速度-時間圖的斜率代表加速度；帶正負號的面積代表位移；絕對面積的總和則代表移動的距離。
當速度改變正負號時，這個區別尤其重要。小車在最初兩秒向前移動，接著瞬間停止，然後向後移動。兩段位移互相抵消，但路程不會。
問題 5
一輛小車以固定加速度運動，但並非從靜止開始。它的位置是相對於固定原點測量的。
| 時間，\(t\) (s) | 位置，\(x\) (m) |
|---|---|
| 0 | 4 |
| 1 | 7 |
| 2 | 12 |
| 3 | 19 |
已知初始位置為 \(x_0=4.0\ \mathrm{m}\)。假設測量值完全準確，而且加速度為定值。
兩名學生提出不同的方法，希望得到直線圖。
- 學生 A 將位移 \(\Delta x=x-x_0\) 對 \(t^2\) 作圖，理由是固定加速度會令位移與時間平方成正比。
- 學生 B 計算每個非零時間對應的 \(\Delta x/t\)，並將這個量對 \(t\) 作圖。
哪一種方法適用於這些數據？求出初速度和加速度。解釋為什麼學生 A 的方法失效，以及為什麼將絕對位置除以時間，即將 \(x/t\) 作圖，也會失效。
解答 5
學生 B 的方法能使這些數據呈現直線關係。它給出的初速度是 \(2.0\ \mathrm{m/s}\)，加速度是 \(2.0\ \mathrm{m/s^2}\)。關鍵步驟是先減去初始位置，再除以時間。
首先，計算相對於起始位置的位移：
\[ \Delta x=x-x_0 \]
| \(t\) (s) | \(x\) (m) | \(\Delta x\) (m) | \(\Delta x/t\) (m/s) |
|---|---|---|---|
| 1 | 7 | 3 | 3 |
| 2 | 12 | 8 | 4 |
| 3 | 19 | 15 | 5 |
現在考慮固定加速度方程式：
\[ \Delta x=ut+\frac12at^2 \]
當 \(t>0\) 時，將等式兩邊除以 \(t\)：
\[ \frac{\Delta x}{t}=u+\frac12at \]
這是一個直線方程式。縱軸變數是 \(\Delta x/t\)，單位為 \(\mathrm{m/s}\)；橫軸變數是 \(t\)，單位為秒。
斜率是 \(a/2\)，而縱截距是 \(u\)。
求出加速度。
使用 \(t=1\ \mathrm{s}\) 和 \(t=3\ \mathrm{s}\) 時的數據點，
\[ \begin{aligned} m&=\frac{5-3}{3-1}\\ &=\frac{2\ \mathrm{m/s}}{2\ \mathrm{s}}\\ &=1.0\ \mathrm{m/s^2} \end{aligned} \]
由於 \(m=a/2\)，
\[ a=2m=2.0\ \mathrm{m/s^2} \]
求出初速度。
這條直線關係通過 \((1,3)\)、\((2,4)\) 和 \((3,5)\) 這些點，其中第一個座標是以秒為單位的時間，第二個座標是以公尺每秒為單位的 \(\Delta x/t\)。
直線方程式為
\[ \frac{\Delta x}{t}=2+t \]
將直線外推至 \(t=0\)，可得截距 \(2.0\ \mathrm{m/s}\)。因此，
\[ u=2.0\ \mathrm{m/s} \]
這也符合原始方程式的預測。當 \(t=3\ \mathrm{s}\) 時，
\[ \begin{aligned} \Delta x&=ut+\frac12at^2\\ &=(2.0)(3)+\frac12(2.0)(3^2)\\ &=6+9\\ &=15\ \mathrm{m} \end{aligned} \]
加上初始位置，得到 \(x=15+4=19\ \mathrm{m}\)，與表格中的數據一致。
為什麼學生 A 的圖表方法會失效
學生 A 假設固定加速度必定保證 \(\Delta x\propto t^2\)。但完整的方程式包含兩項：
\[ \Delta x=ut+\frac12at^2 \]
當 \(u\ne0\) 時，\(ut\) 這一項仍然存在。將 \(\Delta x\) 對 \(t^2\) 作圖，並不能消除這一項，因此兩者的關係一般不會是直線。
如果小車從靜止開始，也就是 \(u=0\)，學生 A 的方法便會有效。在這種特殊情況下，
\[ \Delta x=\frac12at^2 \]
而位移對時間平方圖的斜率就是 \(a/2\)。
為什麼將 \(x/t\) 作圖也會失效
測量的位置包含初始位置：
\[ x=x_0+ut+\frac12at^2 \]
兩邊除以時間後，得到
\[ \frac{x}{t}=\frac{x_0}{t}+u+\frac12at \]
額外的一項 \(x_0/t\) 會隨時間改變。當 \(x_0\ne0\) 時，它會使圖表無法呈現直線關係。
先減去 \(x_0\)，就能消除這一項，並得到學生 B 所使用的有效變數轉換。另外，當 \(t=0\) 時，\(\Delta x/t\) 沒有定義，因此必須使用非零時間的數據來擬合直線，再將直線外推以求得截距。
更廣泛的教訓是：只有在完整的物理方程式支持的情況下，變數轉換才是有效的。正確完成線性化後，下一個值得考慮的問題是如何精確測量斜率：數據的散佈程度，以及可能的最佳擬合線範圍，會決定你所報告的加速度具有多大的不確定性。