由同位素組成計算相對原子質量

自然界中的氯原子並不總是具有相同的質量。有些氯原子含有 18 個中子，另一些則含有 20 個。然而，週期表上氯的相對原子質量約為 35.45。

那麼，質量為 35.45 的氯原子是甚麼？其實並不存在這樣的原子。

這個數值是一個平均值，但不是每個數值權重都相同的普通平均值。較常見的同位素對平均值的影響必須比稀有同位素更大。你需要掌握的技巧，就是如何根據同位素質量和天然豐度計算這個加權相對原子質量。

在繼續閱讀之前，先預測一下：某元素有兩種同位素，質量分別為 20 和 22。如果其中 90% 的原子屬於較輕的同位素，它的相對原子質量會較接近 20、21，還是 22？

答案應該較接近 20。加權平均值會被出現得更頻繁的數值拉近。

01從原子開始，而不是從公式開始

想像你收集了某元素的 100 個原子。

假設：

• 80 個原子的同位素質量為 10
• 20 個原子的同位素質量為 11

你可以把全部 100 個原子的質量貢獻相加，求出它們的平均質量：

\[
\frac{(80)(10)+(20)(11)}{100}
=
\frac{1020}{100}
=
10.2
\]

因此，相對原子質量為 10.2。

留意剛才發生了甚麼。我們並不是簡單地計算：

\[
\frac{10+11}{2}=10.5
\]

這樣的計算會錯誤地假設兩種同位素的豐度相同。

這就是核心概念：

一種同位素對相對原子質量的貢獻，同時取決於它的質量以及它有多常見。

如果你需要重溫同位素之間究竟有何不同，可以參閱 HSC 化學：穩定與不穩定同位素解說。

02相對原子質量實際上代表甚麼

元素的相對原子質量 \(A_r\)，是其天然存在原子的加權平均質量，相對於一個碳-12 原子質量的十二分之一。

這個定義包含兩個重要概念。

第一，它是加權平均值，因為不同同位素可以具有不同的天然豐度。

第二，它是相對值。相對原子質量是一個比值，因此沒有單位。

對大多數 HSC 計算而言，重要的公式是：

\[
A_r=\sum (\text{同位素質量})(\text{分數豐度})
\]

其中：

• \(A_r\) 是相對原子質量
• 同位素質量是某一特定同位素的相對質量
• 分數豐度是該同位素原子所佔的比例，以小數表示

例如，72% 可寫成：

\[
72\% = 0.72
\]

如果豐度以百分比表示，也可以計算：

\[
A_r=
\frac{\sum(\text{同位素質量})(\text{百分比豐度})}{100}
\]

兩種方法是等效的。

03為甚麼答案通常不是整數

學生有時會查看週期表，然後疑惑為甚麼會出現 24.305 或 63.546 之類的原子質量，明明原子中的質子和中子數都是整數。

原因有兩個。

其中一個原因，是不同同位素之間要作加權平均。

另一個原因，是實際的同位素質量本身通常也不是精確的整數。例如，鎂-24 原子的同位素質量接近 24，但並不恰好等於 24。

在很多 HSC 題目中，題目可能會給你 24、25 和 26 之類的質量數，並讓你把它們用作同位素質量的近似值。如果題目提供了更精確的同位素質量，就應使用那些數值。

題目本身決定了你的模型需要多高的精確度。

04理解加權平均的一個實用圖像

假設兩個人坐在蹺蹺板的兩端。一種同位素在左邊，另一種同位素在右邊。

相對原子質量位於兩者之間的某個位置。

但豐度就像帶來了額外的影響。如果某種同位素佔原子的 95%，平均值就會被強烈拉向該同位素的質量。

這個比喻並不完全精確。實際上並沒有任何力，也沒有真正的蹺蹺板。它只是幫助你想像，為甚麼平均值會比較接近豐度較高的同位素。

這也提供了一個非常實用的檢查方法：

你的相對原子質量必須位於最小和最大的同位素質量之間，而且通常應該較接近豐度較高的同位素質量。

如果某元素只含質量為 35 和 37 的同位素，那麼 38.1 這個答案是不可能的。

21 也同樣不可能。

05範例：兩種同位素及百分比豐度

某元素有兩種天然存在的同位素。其中一種的同位素質量為 62.93，豐度為 69.2%。另一種的同位素質量為 64.93，豐度為 30.8%。計算該元素的相對原子質量。

步驟 1：把每個百分比豐度轉換成小數。

\[
69.2\%=0.692
\]

\[
30.8\%=0.308
\]

檢查分數豐度的總和是否為 1：

\[
0.692+0.308=1.000
\]

步驟 2：將每個同位素質量乘以其分數豐度。

\[
(62.93)(0.692)=43.54556
\]

\[
(64.93)(0.308)=19.999?
\]

更精確地說，

\[
(64.93)(0.308)=19.999?
\]

與其過早把個別貢獻值四捨五入，不如直接計算完整的算式。

步驟 3：把加權貢獻相加。

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(62.93)(0.692)+(64.93)(0.308)\\
&=63.546
\end{aligned}
\]

因此，相對原子質量約為：

\[
\boxed{A_r=63.55}
\]

答案位於 62.93 和 64.93 之間，而且較接近 62.93，因為較輕的同位素豐度較高。

這個最後的檢查很重要。它可以在你繼續作答之前，幫助你發現百分比方面的錯誤。

06最常見的錯誤：直接對同位素質量取平均

假設某元素由 99% 的 X-10 同位素和 1% 的 X-11 同位素組成。

學生可能會計算：

\[
\frac{10+11}{2}=10.5
\]

為甚麼這看起來好像合理？因為當我們聽到「平均值」時，往往會想到「把數值相加，再除以數值的個數」。

但這個方法回答了錯誤的問題。它求出的是兩個同位素質量的平均值，並把兩種同位素視為同樣常見。

正確的計算是：

\[
A_r=(10)(0.99)+(11)(0.01)=10.01
\]

這在物理上是合理的。如果每 100 個原子中有 99 個都是較輕的同位素，平均值就應該非常接近 10。

一個實用的判斷規則是：

07範例：三種同位素

某元素的樣本含有三種天然存在的同位素：

• 同位素 A：質量 27.98，豐度 92.2%
• 同位素 B：質量 28.98，豐度 4.7%
• 同位素 C：質量 29.97，豐度 3.1%

計算相對原子質量。

步驟 1：把百分比轉換成分數豐度。

\[
92.2\%=0.922,\qquad
4.7\%=0.047,\qquad
3.1\%=0.031
\]

檢查：

\[
0.922+0.047+0.031=1.000
\]

步驟 2：寫出加權平均的計算式。

\[
A_r=(27.98)(0.922)+(28.98)(0.047)+(29.97)(0.031)
\]

步驟 3：不要過早四捨五入，直接計算結果。

\[
\begin{aligned}
A_r
&=25.79756+1.36206+0.92907\\
&=28.08869
\end{aligned}
\]

因此：

\[
\boxed{A_r\approx28.09}
\]

結果非常接近 27.98，因為超過 92% 的原子都是同位素 A。

留意另外兩種較稀有的同位素仍然有影響。它們的豐度雖然很低，但由於兩者都較重，因此會使平均值稍微向上移。

08當某個豐度缺失時

很多時候，並不需要題目明確提供每一個豐度。

如果某元素只有兩種天然存在的同位素，而其中一種的豐度為 73%，那麼另一種必定為：

\[
100\%-73\%=27\%
\]

對三種或更多同位素，同樣的原則也適用。假設題目已包括樣本中存在的所有同位素，天然豐度的總和必須為 100%。

要小心這個假設。如果題目說列出的三種同位素是唯一的天然存在同位素，那麼你可以安全地用 100% 相減。如果列表並不完整，就不能這樣做。

這類隱含假設在較困難的題目中會變得很重要。

09相對豐度並不一定以百分比表示

質譜可能會改用相對強度來表示同位素峰。

假設兩個同位素峰的相對強度分別為 3 和 1。這並不代表 3% 和 1%。

它代表它們的豐度比為：

\[
3:1
\]

總共有四份，因此它們的分數豐度為：

\[
\frac{3}{4}=0.75
\]

以及

\[
\frac{1}{4}=0.25
\]

如果它們的同位素質量分別是 34 和 36，加權相對原子質量就是：

\[
A_r=(34)(0.75)+(36)(0.25)=34.5
\]

重要的概念不是「永遠除以 100」，而是「把每個豐度轉換成它在總量中所佔的分數」。

10你也可以反向計算

有時候，同位素質量和相對原子質量都是已知的，但其中一個豐度未知。

假設某元素有兩種同位素，質量分別為 79 和 81，而其相對原子質量為 79.6。

令質量為 79 的同位素所佔分數為 \(x\)。

由於只有兩種同位素，質量為 81 的同位素所佔分數必須為 \(1-x\)。

因此：

\[
79x+81(1-x)=79.6
\]

展開：

\[
79x+81-81x=79.6
\]

\[
-2x=-1.4
\]

\[
x=0.70
\]

所以豐度為：

• 質量為 79 的同位素：70%
• 質量為 81 的同位素：30%

同樣地，結果通過了物理上的合理性檢查。79.6 的平均值較接近 79，因此質量為 79 的同位素應該有較高的豐度。

11相對原子質量與質量數

這些量很容易混淆。

例如，氯-35 的質量數為 35，因為它的原子核總共有 35 個核子。

這並不代表氯的相對原子質量必須是 35。氯在自然界中以多於一種同位素存在，因此週期表上的數值是加權平均值。

電子排列則是另一個概念。改變中子數會形成不同的同位素，而改變電子數則會形成離子。如果你需要重溫這項分別，可以接著閱讀 HSC 化學電子組態：原子與離子。

12問題與解答

問題 1

某元素有兩種同位素，質量分別為 50.0 和 52.0。它們的天然豐度分別為 84.0% 和 16.0%。計算相對原子質量。

解答 1

相對原子質量為 \(\boxed{50.32}\)。

相對原子質量是加權平均值，因此每個同位素質量都必須乘以其分數豐度。

把百分比轉換成小數：

\[
84.0\%=0.840,\qquad16.0\%=0.160
\]

然後：

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(50.0)(0.840)+(52.0)(0.160)\\
&=42.0+8.32\\
&=50.32
\end{aligned}
\]

答案較接近 50.0，因為質量為 50 的同位素豐度高得多。

如果直接把 50.0 和 52.0 平均得到 51.0，就會錯誤地把兩種同位素視為具有相同豐度。

問題 2

某元素含有三種同位素，其組成如下：

計算其相對原子質量。

解答 2

相對原子質量約為 \(\boxed{70.03}\)。

把豐度轉換成分數：

\[
0.600,\qquad0.250,\qquad0.150
\]

它們的總和為 1.000，因此這組豐度數據在內部是一致的。

現在計算加權平均值：

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(68.93)(0.600)+(70.92)(0.250)+(71.92)(0.150)\\
&=41.358+17.730+10.788\\
&=69.876
\end{aligned}
\]

因此：

\[
\boxed{A_r=69.88}
\]

平均值較接近 68.93，而不是另外兩個較重的同位素，因為最輕的同位素佔樣本的 60%。

問題 3

某元素恰好有兩種天然存在的同位素。其中一種同位素的質量為 106.9，豐度為 51.8%。第二種同位素的質量為 108.9。

計算相對原子質量。

解答 3

相對原子質量約為 \(\boxed{107.86}\)。

由於恰好只有兩種同位素，它們的豐度總和必須為 100%。因此，第二種同位素的豐度為：

\[
100.0\%-51.8\%=48.2\%
\]

把兩個豐度都轉換成分數：

\[
0.518,\qquad0.482
\]

現在計算：

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(106.9)(0.518)+(108.9)(0.482)\\
&=55.3742+52.4898\\
&=107.864
\end{aligned}
\]

因此：

\[
\boxed{A_r\approx107.86}
\]

答案幾乎位於兩個同位素質量的中間，因為它們的豐度相當接近。答案稍微較接近 106.9，因為該同位素的豐度稍高。

問題 4

某元素的質譜顯示兩個同位素峰，質量分別為 84 和 86。它們的相對強度分別為 5 和 3。

計算該元素的相對原子質量。

解答 4

相對原子質量為 \(\boxed{84.75}\)。

數值 5 和 3 是一個比率，而不是百分比。合起來代表：

\[
5+3=8
\]

份相等的豐度。

因此，分數豐度為：

\[
\frac{5}{8}=0.625
\]

以及

\[
\frac{3}{8}=0.375
\]

現在計算加權平均值：

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(84)(0.625)+(86)(0.375)\\
&=52.5+32.25\\
&=84.75
\end{aligned}
\]

一個很容易犯的錯誤，是把 5 和 3 當成 5% 和 3%。它們是相對強度，因此必須先轉換成各自在總和中所佔的分數。

問題 5

某元素恰好有兩種天然存在的同位素，其同位素質量分別為 112.0 和 115.0。量得的相對原子質量為 114.1。

求每種同位素的百分比豐度。

解答 5

質量為 112.0 的同位素豐度為 \(\boxed{30.0\%}\)，而質量為 115.0 的同位素豐度為 \(\boxed{70.0\%}\)。

令 \(x\) 為質量為 112 的同位素的分數豐度。

由於只有兩種同位素，質量為 115 的同位素的分數豐度就是 \(1-x\)。

使用加權平均公式：

\[
112.0x+115.0(1-x)=114.1
\]

展開並求解：

\[
\begin{aligned}
112.0x+115.0-115.0x&=114.1\\
-3.0x&=-0.9\\
x&=0.300
\end{aligned}
\]

因此：

\[
112.0:\quad0.300\times100\%=30.0\%
\]

以及：

\[
115.0:\quad100.0\%-30.0\%=70.0\%
\]

在進行代數計算之前，這個結果其實也已經合理。相對原子質量 114.1 比 112.0 更接近 115.0，因此較重的同位素應該具有較高的豐度。

問題 6

一名學生得知某元素有三種天然存在的同位素，質量分別為 40、42 和 44。量得的兩個豐度分別是：質量為 40 的同位素佔 70%，質量為 42 的同位素佔 20%。

該學生計算質量為 44 的同位素豐度為 10%，然後得到：

\[
A_r=(40)(0.70)+(42)(0.20)+(44)(0.10)=40.8
\]

之後第二次實驗顯示，樣本其實還含有少量質量為 43 的第四種同位素，而原始資料中遺漏了它。

解釋為甚麼即使算術本身正確，該學生的數值計算也不能再被接受。

解答 6

這項計算不能被接受，因為用來得到 10% 豐度的假設已經不再成立。

該學生的推理是：

\[
100\%-70\%-20\%=10\%
\]

只有在質量為 40、42 和 44 的同位素代表樣本中存在的所有同位素時，這個計算才是正確的。

一旦證實質量為 43 的同位素也存在，剩餘的 10% 豐度中就有一部分必須屬於該同位素。因此，分配給質量為 44 的同位素的豐度便變成未知。

例如，如果質量為 43 的同位素豐度為 2%，那麼質量為 44 的同位素便只有：

\[
100\%-70\%-20\%-2\%=8\%
\]

此時加權平均值為：

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(40)(0.70)+(42)(0.20)+(43)(0.02)+(44)(0.08)\\
&=40.78
\end{aligned}
\]

修正後的精確數值取決於質量為 43 的同位素豐度。

這裡的重要陷阱是：即使算術運算本身正確，如果數值背後的假設有誤，仍然可能得出無效的科學結論。

13這項計算接下來會連繫到甚麼

加權相對原子質量把同位素這個微觀概念，連繫到你在整個化學課程中都會使用的一個數值。

當你能熟練地在同位素質量、豐度和 \(A_r\) 之間轉換後，質譜就會容易理解得多。你可以利用峰的位置辨認同位素質量，利用峰的大小推斷相對豐度，再把這兩項資料結合起來，解釋為甚麼週期表會給某元素列出相應的原子質量。

相同的原子結構概念之後還會延伸到電子組態、化學鍵和週期趨勢。原子核決定你所具有的是哪一種元素，同位素會改變其中子數和質量，而電子則決定了該元素大部分的化學性質。