加速度-時間圖：面積與速度變化

一輛汽車以 \(3.0\ \text{m s}^{-2}\) 的加速度行駛 4 秒，之後加速度降為零。在這 4 秒之後，哪些量一定發生了改變：位置、速度，還是兩者都改變了？

它的位置確實發生了改變，但加速度-時間圖不能直接告訴你這個位置變化。它直接給出的是速度的變化量。在這個例子中，

\[
\Delta v = (3.0\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s}) = 12\ \text{m s}^{-1}
\]

留意我們剛才算的是甚麼：加速度乘以時間。在加速度-時間圖上，這個乘積會以面積的形式出現。

這就是本指南的核心概念：

加速度-時間圖與時間軸之間的帶符號面積，等於速度的變化量。

「帶符號」這一點很重要。時間軸上方的面積為正，時間軸下方的面積為負。

01加速度-時間圖實際上顯示甚麼

加速度-時間圖的：

• 橫軸是時間 \(t\)，單位為秒（s）
• 縱軸是加速度 \(a\)，單位為米每二次方秒（\(\text{m s}^{-2}\)）

假設圖上有一條位於 \(a = 2.0\ \text{m s}^{-2}\) 的水平線。

繼續之前，先作一個預測。這是否代表物體以恆定速度運動？

不是。這代表它的速度正以恆定速率改變。

加速度為 \(2.0\ \text{m s}^{-2}\)，表示每過一秒，速度就改變 \(2.0\ \text{m s}^{-1}\)。

所以，如果初始速度為 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\)：

• 1 s 後，速度為 \(7.0\ \text{m s}^{-1}\)
• 2 s 後，速度為 \(9.0\ \text{m s}^{-1}\)
• 3 s 後，速度為 \(11.0\ \text{m s}^{-1}\)

這就是為甚麼加速度-時間圖與速度-時間圖關係如此密切。加速度告訴你速度圖正在如何變化。

02為甚麼面積等於速度變化量

先從熟悉的恆加速度方程開始：

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

其中：

• \(a\) 是加速度，單位為 \(\text{m s}^{-2}\)
• \(\Delta v\) 是速度變化量，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(\Delta t\) 是經過的時間，單位為秒

重新整理後，

\[
\Delta v = a\Delta t
\]

現在想像加速度-時間圖上有一段恆定加速度。它下方的區域是一個長方形。

這個長方形的：

• 高為 \(a\)
• 寬為 \(\Delta t\)

因此，它的面積為

\[
\text{面積} = a\Delta t
\]

但 \(a\Delta t = \Delta v\)。

所以，面積並不只是方便解圖題的一個技巧，而是直接來自加速度的定義。

單位也能驗證這一點：

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

這正是速度的單位。

03圖表給出的是變化量，而不是自動給出最終速度

這是一個很容易失分的地方。

假設某加速度-時間圖下方的面積為 \(+8\ \text{m s}^{-1}\)。一名學生寫道：

最終速度 \(= 8\ \text{m s}^{-1}\)。

只有在物體由靜止開始運動時，這句話才成立。

圖表告訴我們的是

\[
\Delta v = +8\ \text{m s}^{-1}
\]

而不一定是 \(v_f = 8\ \text{m s}^{-1}\)。

一般而言，

\[
v_f = v_i + \Delta v
\]

例如，如果 \(v_i = -3\ \text{m s}^{-1}\)，

\[
v_f = -3 + 8 = +5\ \text{m s}^{-1}
\]

這段加速度歷程使速度改變了 \(+8\ \text{m s}^{-1}\)，在這個例子中，這足以令物體改變運動方向。

04時間軸下方的面積為負

想像加速度圖在 2.0 s 內一直位於

\[
a = -4.0\ \text{m s}^{-2}
\]

它的帶符號面積為

\[
\Delta v = (-4.0)(2.0) = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

因此，速度減少了 \(8.0\ \text{m s}^{-1}\)。

要小心「速度減少」這句話。它不一定表示物體正在減速。

假設一個物體起初的速度為

\[
v_i = -5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

並經歷了以下速度變化：

\[
\Delta v = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

那麼

\[
v_f = -5.0 – 8.0 = -13\ \text{m s}^{-1}
\]

它的速度變得更負，但它的速率卻由 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\) 增加到 \(13\ \text{m s}^{-1}\)。

負加速度並不代表減速。

物體是加速還是減速，取決於速度和加速度兩者的符號。如果你需要複習這項分別，請參閱 Speed and Velocity: HSC Physics Explained Clearly。

05判斷加速和減速的實用規則

比較速度和加速度的符號。

為甚麼？

速度告訴你物體正朝哪個方向運動。加速度告訴你速度正被推向哪個方向。

可以把速度和加速度想像成兩個正在爭論該往哪裏走的人。如果它們同意方向，速度的大小就會增加。如果它們方向相反，速度的大小起初就會減少。

當速度達到零時，這個比喻便不再適用。物體之後可能反向運動，而同一個加速度接着可能又使它的速率增加。

06加速度改變，面積的形狀也會改變

加速度不一定要保持恆定。

假設加速度在 4.0 s 內由 \(0\) 穩定增加到 \(6.0\ \text{m s}^{-2}\)。

圖表下方的區域是一個三角形，所以

\[
\Delta v = \frac{1}{2}bh
\]

其中 \(b\) 是時間間隔，\(h\) 是最大加速度。

\[
\Delta v = \frac{1}{2}(4.0\ \text{s})(6.0\ \text{m s}^{-2})
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

即使加速度一直在連續變化，面積仍然給出總速度變化量。

更一般地，

\[
\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a\,dt
\]

積分符號的意思是「把整個時間區間內所有微小的 \(a\,dt\) 貢獻加起來」。對於由直線線段組成的 HSC 圖表題，你通常可以用長方形、三角形和梯形來求面積，而不需要實際進行微積分運算。

07正面積和負面積可以互相抵消

現在考慮一個物體有以下加速度歷程：

• 從 \(0\) 到 \(4.0\ \text{s}\)，加速度由 \(0\) 均勻增加到 \(4.0\ \text{m s}^{-2}\)
• 從 \(4.0\) 到 \(6.0\ \text{s}\)，加速度為 \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)

先預測在整個 6.0 s 期間，速度會發生甚麼變化。它會增加、減少，還是回到起始值？

使用帶符號面積來計算。

從 \(0\) 到 \(4.0\ \text{s}\)，三角形的正面積為

\[
\Delta v_1
= \frac{1}{2}(4.0)(4.0)
= 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

從 \(4.0\) 到 \(6.0\ \text{s}\)，長方形的負面積為

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(2.0)
= -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

因此，

\[
\Delta v_{\text{total}}
= 8.0 – 6.0
= 2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

最終速度比初始速度高 \(2.0\ \text{m s}^{-1}\)。

負面積的部分並沒有「抹去運動」。它只是抵消了早前一部分的速度增加量。

08零加速度並不代表零速度

加速度-時間圖中位於 \(a = 0\) 的水平線段，看起來可能很像「甚麼事都沒有發生」。

其實仍然有事情發生。物體可能仍在運動。

如果

\[
a = 0
\]

那麼速度不會改變。

因此，一個以 \(18\ \text{m s}^{-1}\) 運動且加速度為零的物體，會繼續以 \(18\ \text{m s}^{-1}\) 運動，前提是這個一維模型適用。

如果物體原本已經靜止，它也會繼續保持靜止。

除非你也知道物體在某一時刻的速度，否則單靠加速度圖無法判斷上述哪一種情況成立。

09加速度-時間圖不能直接給出位移

學生經常混淆兩種不同的「面積規則」：

為甚麼加速度-時間圖下方的面積不能給出位移？

檢查單位：

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

這是速度的單位，而不是位移的單位。

要從一段加速度歷程求出位移，你首先需要有足夠資訊來確定速度如何隨時間變化。接着再求相應速度-時間圖下方的面積。

這也解釋了為甚麼初始速度很重要。兩個物體可以有完全相同的加速度-時間圖，但由於它們的初始速度不同，因此位移可以完全不同。

10如何在加速度-時間圖與速度-時間圖之間轉換

加速度-時間圖告訴你速度-時間圖的斜率變化情況。

記住，

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

所以，加速度就是速度-時間圖的斜率。

因此可以得到以下關係：

這裏有一個細微但重要的區別。加速度-時間圖的高度告訴你速度-時間圖的斜率；而加速度-時間圖的面積則告訴你速度本身改變了多少。

這兩者的作用不同。

11解答 HSC 圖表題的可靠方法

當你得到一張加速度-時間圖時，按以下順序處理：

1. 選定正方向。 通常圖表已經透過正負號為你設定好方向。
2. 記下初始速度。 如果題目沒有提供，便要小心判斷實際上能確定哪些量。
3. 把圖表分成簡單區域。 適當地使用長方形、三角形或梯形。
4. 為每個面積加上正負號。 時間軸上方為正，下方為負。
5. 把所有帶符號面積相加。 這會得到 \(\Delta v\)。
6. 使用 \(v_f = v_i + \Delta v\)。
7. 如果題目問及速率或方向，應檢查速度，而不是只看加速度。
8. 檢查單位。 加速度-時間圖下方的面積單位必須是 \(\text{m s}^{-1}\)。

最後這個單位檢查能找出數量驚人的錯誤。

12問題與解答

問題 1

一名單車手以 \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) 的加速度運動 4.0 s。在這段時間開始時，單車手的速度為 \(6.0\ \text{m s}^{-1}\)。

求 4.0 s 後單車手的速度。

解答 1

單車手的最終速度為 \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\)。

加速度-時間圖下方的面積給出速度變化量：

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (1.5\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s})
= 6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

現在把這個變化量加到初始速度上：

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= 6.0 + 6.0
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

常見的陷阱是把面積 \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) 當作最終速度。它只是速度的變化量。

問題 2

一個物體最初以 \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\) 運動。之後，它以 \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) 的恆定加速度運動 5.0 s。

計算它的最終速度，並指出它的運動方向是否已改變。

解答 2

最終速度為 \(\boxed{+3.0\ \text{m s}^{-1}}\)，所以物體已經改變方向。

速度變化量為

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (2.0\ \text{m s}^{-2})(5.0\ \text{s})
= +10\ \text{m s}^{-1}
\]

因此，

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= -7.0 + 10
= +3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

因為速度由負變正，所以在這段時間內，它必定曾經通過零。在那一瞬間，物體短暫靜止，然後反向運動。

一個很容易犯的錯誤是認為正加速度代表物體在整個 5.0 s 內都沿正方向運動。加速度描述的是速度如何改變，而不一定代表物體當前的運動方向。

問題 3

一個物體的加速度由 \(t=0\) 時的 \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\)，均勻改變至 \(t=4.0\ \text{s}\) 時的 \(+6.0\ \text{m s}^{-2}\)。

它的初始速度為 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\)。

求它在 \(t=4.0\ \text{s}\) 時的速度。

解答 3

物體在 \(4.0\ \text{s}\) 時的速度為 \(\boxed{21\ \text{m s}^{-1}}\)。

因為加速度呈線性變化，所以圖表下方的面積是一個梯形。其面積為

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(a_1+a_2)\Delta t
\]

其中 \(a_1 = 2.0\ \text{m s}^{-2}\)、\(a_2 = 6.0\ \text{m s}^{-2}\)，而 \(\Delta t = 4.0\ \text{s}\)。

代入數值，

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(2.0+6.0)(4.0)
= 16\ \text{m s}^{-1}
\]

然後，

\[
v_f
= 5.0 + 16
= 21\ \text{m s}^{-1}
\]

加速度並不是一直維持在 \(6.0\ \text{m s}^{-2}\)，所以若用 \(6.0\) 乘以完整的 4.0 s，便會高估速度變化量。

問題 4

一個機械人在一條直線軌道上運動。從 \(t=0\) 到 \(t=3.0\ \text{s}\)，它的加速度為 \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\)。從 \(t=3.0\) 到 \(t=7.0\ \text{s}\)，它的加速度為 \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)。

一名學生說：

「正、負兩部分的效果相等，因為 \(4\times3 = 3\times4\)，所以機械人最後一定回到起點。」

機械人的初始速度為 \(+5.0\ \text{m s}^{-1}\)。

求機械人的最終速度，並評估該學生關於其最終位置的結論。

解答 4

機械人的最終速度為 \(\boxed{+5.0\ \text{m s}^{-1}}\)，但「它一定回到起點」這個說法並不正確。

在第一個時間區間，

\[
\Delta v_1
= (4.0)(3.0)
= +12\ \text{m s}^{-1}
\]

在第二個時間區間，

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(4.0)
= -12\ \text{m s}^{-1}
\]

因此，

\[
\Delta v_{\text{total}}
= +12 -12
= 0
\]

而

\[
v_f
= v_i + \Delta v_{\text{total}}
= 5.0 + 0
= 5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

所以，該學生所說「速度回到初始值」這一點是正確的。

然而，淨速度變化量為零，並不代表位移為零。機械人在這段時間內一直有運動，而且在運動的大部分時間裏，它的速度都高於 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\)。

加速度-時間圖下方的面積給出速度變化量，而不是位移。要確定機械人的位置變化，我們需要建立它的速度-時間關係，或根據該關係進行計算。

問題 5

兩輛手推車 A 和 B 沿平行的直線軌道運動。

從 \(t=0\) 到 \(t=8.0\ \text{s}\)，兩輛手推車的加速度-時間圖完全相同。該圖下方的總帶符號面積為 \(-6.0\ \text{m s}^{-1}\)。

手推車 A 的初始速度為 \(+2.0\ \text{m s}^{-1}\)，而手推車 B 的初始速度為 \(+10.0\ \text{m s}^{-1}\)。

一名學生聲稱，由於兩輛手推車的加速度圖相同，所以它們一定有相同的最終速度，並且移動相同的位移。

評估這項說法的兩個部分。

解答 5

這項說法的兩個部分都不正確。手推車 A 的最終速度為 \(\boxed{-4.0\ \text{m s}^{-1}}\)，手推車 B 的最終速度為 \(\boxed{+4.0\ \text{m s}^{-1}}\)，而它們在 8.0 s 內的位移也不相等。

相同的加速度歷程令兩輛手推車有相同的速度變化量：

\[
\Delta v = -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

對手推車 A 而言，

\[
v_{A,f}
= v_{A,i}+\Delta v
= 2.0-6.0
= -4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

對手推車 B 而言，

\[
v_{B,f}
= v_{B,i}+\Delta v
= 10.0-6.0
= 4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

因此，除非初始速度也相同，否則相同的加速度歷程並不會產生相同的最終速度。

它們的位移也不同。在每一個時刻，手推車 B 的速度都比手推車 A 高 \(8.0\ \text{m s}^{-1}\)，因為它們一開始的速度相差 \(8.0\ \text{m s}^{-1}\)，之後又經歷完全相同的加速度。

在 8.0 s 內，這個恆定的速度差會產生以下位移差：

\[
\Delta x_B-\Delta x_A
= (8.0\ \text{m s}^{-1})(8.0\ \text{s})
= 64\ \text{m}
\]

所以，在這段時間內，手推車 B 沿正方向比手推車 A 多移動 \(64\ \text{m}\)。

更深一層的重點是：加速度-時間圖告訴你速度如何改變。要知道實際速度，你還需要知道初始速度。知道完整的速度歷程後，再利用速度-時間圖下方的面積，就可以求出位移。理解從加速度到速度，再到位置的這條關係鏈，是掌握運動圖表判讀時下一個很有用的重點。