光的色散：與波長相關的折射

長方形玻璃窗和三角形玻璃稜鏡可以由相同的材料製成。讓白光穿過玻璃窗，你通常仍會看到白光；讓白光穿過稜鏡，卻可以看到展開的一系列顏色。

那麼，稜鏡究竟做了甚麼，是玻璃窗沒有做的呢？

繼續閱讀之前，先作一個預測。如果每種顏色的光都穿過同一塊玻璃，它們是否應該以相同角度折射？

並不是。玻璃對不同波長的折射率會有輕微差異。這種折射上的小差異就是色散，而稜鏡的幾何形狀會把這種差異轉化為明顯的顏色分離。

01顏色實際上是如何分開的？

先從一般的折射說起。

想像一輛購物手推車斜著從光滑的混凝土地面駛上厚地毯。其中一個輪子會先接觸地毯並先減速，因此手推車會轉向。光在以一定角度跨越介面、速度發生改變時，在幾何上也會出現類似的情況。

這個比喻有其限制。玻璃不是靠摩擦使光減速，而光波也沒有輪子。真正有用的部分只是：波在介面上速度改變時，傳播方向也可能改變。

現在再加入一個事實。不同波長的光在玻璃中的傳播速度並不完全相同。

對可見光範圍內的常見玻璃而言：

• 紫光的波長較短，折射率通常略大
• 紅光的波長較長，折射率通常略小
• 折射率越大，代表光在該材料中的速度越低
• 當光以相同角度從空氣進入玻璃時，折射率較大的顏色會更向法線偏折

因此，白光在玻璃中並不像單一光線那樣傳播。它的不同波長成分會沿著略有不同的路徑前進。

關鍵預測

假設紅光和紫光以相同角度射到玻璃表面。玻璃對紫光的折射率比對紅光的折射率大。

哪一條光線在玻璃內會更接近法線？

紫光。

它的速度降低得更多，也就是說它在材料中的波速較低，因此根據斯涅爾定律，它的折射角較小。這表示它更大幅度地向法線偏折。

這就是色散的基本機制。

02從圖像到方程式

材料的折射率 \(n\) 與光在該材料中的速度有以下關係：

\[
n = \frac{c}{v}
\]

其中：

• \(n\) 是折射率，沒有單位
• \(c\) 是真空中的光速，約為 \(3.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}\)
• \(v\) 是光在材料中的速度，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)

如果兩種顏色的光在同一塊玻璃中具有不同的折射率，那麼它們在該玻璃中的速度也會不同。

折射可以用斯涅爾定律描述：

\[
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2
\]

這裡，\(n_1\) 和 \(n_2\) 是介面兩側的折射率，而 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\) 都是從法線量起，而不是從表面量起。

討論色散時，把折射率對波長的依賴明確寫出來很有用：

\[
n_1\sin\theta_1 = n_2(\lambda)\sin\theta_2
\]

符號 \(n_2(\lambda)\) 表示折射率取決於波長。

在入射角相同的情況下，\(n_2\) 越大，\(\theta_2\) 越小。因此，光線會更向法線偏折。

03頻率和波長會發生甚麼變化？

這裡很容易出現一個常見誤解。

學生可能會這樣推理：

「如果光在玻璃中的波長改變了，那麼它的顏色一定也改變了。」

這聽起來似乎合理，因為我們常用波長來辨認顏色。但當光從空氣進入玻璃時，它的頻率保持不變。

波動方程式為

\[
v = f\lambda
\]

其中 \(v\) 是波速，\(f\) 是頻率，而 \(\lambda\) 是波長。

在介面上，頻率由光源決定。如果速度降低，波長也必須隨之縮短。

利用 \(v=c/n\)：

\[
\lambda_{\text{material}} = \frac{\lambda_0}{n}
\]

其中 \(\lambda_0\) 是真空中的波長。

所以，藍光在玻璃內的波長可能比在空氣中短，但它的頻率並沒有突然變成另一種可見光顏色的頻率。當它再次回到空氣時，它的速度和波長也會恢復到在空氣中的數值。

一個實用的規則是：

04為甚麼折射率會取決於波長？

說「不同顏色的光以不同速度傳播」描述了會發生甚麼，但還沒有解釋原因。

光是一種電磁波。它的電場會與材料中的帶電粒子相互作用，尤其是受束縛的電子。這些電荷會對振盪電場作出反應，而它們的反應會影響整體電磁波在材料中的傳播方式。

這種反應取決於頻率。由於不同顏色具有不同頻率，因此產生的波速也可能不同。

這便造成了與頻率有關，或等效地說與波長有關的折射率。

對許多透明材料而言，在可見光譜範圍內，較短的波長具有較大的折射率。這種行為稱為正常色散。這就是為甚麼在普通玻璃稜鏡中，紫光通常比紅光折射得更強。

不要把這解釋成光子被每一個原子反覆吸收、停住，再重新發射。這種圖像可能會令人產生關於隨機延遲和方向改變的錯誤理解。折射更適合被理解為電磁波與整個材料相互作用時所呈現的行為。

05為甚麼稜鏡會產生光譜，而玻璃窗通常不會？

現在可以回到開頭的問題。

長方形玻璃板有兩個互相平行的表面。稜鏡則沒有。

這個幾何差異非常重要。

穿過平行面的玻璃板

假設白光斜著射入一塊玻璃板。

在第一個表面，紫光比紅光更向法線偏折。不同顏色的光在玻璃內開始分開。

在第二個表面，每種顏色都從玻璃再次進入空氣。它們會偏離法線折射。

因為兩個表面互相平行，根據斯涅爾定律，每種顏色射出後的方向都會與原來入射時的方向平行。

對某一特定波長：

\[
n_{\text{air}}\sin i = n_{\text{glass}}\sin r
\]

而在第二個表面：

\[
n_{\text{glass}}\sin r = n_{\text{air}}\sin e
\]

因此，

\[
\sin i = \sin e
\]

而在這裡涉及的一般角度範圍內，

\[
e=i
\]

所以，理想的平行面玻璃板不會使射出的不同顏色形成以不同角度展開的扇形光譜。不同波長可能有略微不同的橫向位移，但它們射出的方向都與原來的入射光束平行。

穿過稜鏡

稜鏡的第二個表面相對於第一個表面是傾斜的。

因此，在第二個表面的偏折並不會簡單地抵消第一個表面的角度變化。相反，與波長有關的差異會累積，形成不同的總偏向角。

對普通玻璃而言，紫光的偏向比紅光更大。

這就是為甚麼玻璃的形狀，與它的折射率會隨波長改變這個事實同樣重要。

06色散中最容易犯的錯誤

幾個簡短的判斷規則可以避免大多數錯誤。

一個尤其重要的習慣，是把兩個問題分開考慮：

1. 材料的折射率是否隨波長而改變？
2. 幾何形狀是否會把這種差異轉化為角度上的分離？

對稜鏡而言，兩個答案都是「是」。對平行面玻璃板而言，第一個答案是「是」，但理想情況下，若看最後射出的方向，第二個答案是「否」。

07問題與解答

問題 1

紅光和紫光以相同且非零的入射角，從空氣進入一塊普通玻璃。玻璃的 \(n_{\text{red}}=1.50\)，而 \(n_{\text{violet}}=1.53\)。

哪一種顏色的光在玻璃內更接近法線？請在不作完整計算的情況下解釋。

解答 1

紫光在玻璃內更接近法線。

斯涅爾定律為

\[
n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2
\]

兩種顏色具有相同的入射角，而且都是從同一種介質出發。紫光在玻璃中的折射率較大，為 \(1.53\)，因此它的 \(\sin\theta_2\) 必須較小。

所以它的折射角較小，也就是紫光更接近法線。

常見的陷阱是認為偏折得越多，角度就一定越大。這裡的角度是從法線量起，因此越強烈地向法線偏折，反而會產生更小的角度。

問題 2

藍光的真空波長為 \(470\ \text{nm}\)，並進入折射率為 \(1.60\) 的玻璃。

計算：

a. 它在玻璃中的速度
b. 它在玻璃中的波長
c. 它的頻率是增加、減少，還是保持不變

使用 \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)。

解答 2

光的速度為 \(1.88\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)，波長變為約 \(294\ \text{nm}\)，而頻率保持不變。

先計算速度：

\[
n=\frac{c}{v}
\]

因此

\[
v=\frac{c}{n}
=\frac{3.00\times10^8}{1.60}
=1.875\times10^8\ \text{m s}^{-1}
\]

所以，

\[
v\approx1.88\times10^8\ \text{m s}^{-1}
\]

再計算波長：

\[
\lambda_{\text{glass}}
=\frac{\lambda_0}{n}
=\frac{470\ \text{nm}}{1.60}
=293.75\ \text{nm}
\]

因此

\[
\lambda_{\text{glass}}\approx294\ \text{nm}
\]

頻率保持不變，因為頻率由光源決定，而振盪在介面兩側必須保持連續。

這個結果不代表藍光只是因為在玻璃中的波長變成 \(294\ \text{nm}\)，就轉變成了另一種新顏色。它的速度和波長一起改變，但頻率保持固定。

問題 3

一束狹窄的白光以斜角射入一塊平行面玻璃板，之後再射回空氣。

一名學生預測，射出的光必定會形成扇形光譜，因為紅光和紫光在玻璃內的折射角不同。

對理想的平行面玻璃板而言，這個預測正確嗎？請解釋。

解答 3

不正確。在理想的平行面玻璃板中，每個波長的光射出後都與原來的入射方向平行，因此玻璃板不會像稜鏡那樣產生角度展開的光譜。

在第一個表面，不同的折射率確實會使紅光和紫光在玻璃內以略有不同的角度傳播。

然而，第二個表面與第一個表面平行。對每個波長而言，在進入玻璃時，

\[
n_{\text{air}}\sin i=n_{\text{glass}}\sin r
\]

而在離開玻璃時，

\[
n_{\text{glass}}\sin r=n_{\text{air}}\sin e
\]

把兩個方程式結合可得

\[
\sin i=\sin e
\]

因此對相關的光線幾何關係而言，\(e=i\)。

不同顏色可能有不同的橫向位移，但它們最後的傳播方向是平行的。

這名學生的推理正確注意到第一個介面上的色散，卻忽略了第二個平行介面的作用。

問題 4

白光沿著三角形玻璃稜鏡第一個表面的法線方向準確入射。

一名學生說：「第一個表面沒有發生折射，所以稜鏡不可能把不同顏色分開。」

評價這個說法。

解答 4

這個說法不正確。第一個表面不會造成角度分離，但第二個表面仍然可以使光發生色散。

在垂直入射時，

\[
\theta_i=0^\circ
\]

因此，斯涅爾定律給出

\[
n_1\sin0^\circ=n_2\sin\theta_r
\]

所以

\[
\theta_r=0^\circ
\]

對所有波長都成立。沒有任何顏色在第一個介面改變方向。

然而，稜鏡的兩個表面並不平行。光沿直線進入稜鏡後，會以非零入射角到達第二個表面。

在那個介面上，折射率會隨波長而變，所以紅光和紫光可以以不同角度離開。

隱藏的錯誤在於，學生假設只要其中一個介面沒有產生角度色散，整個稜鏡就不能產生色散。第二個表面的方向會改變整個情況。

問題 5

某種透明材料量得以下折射率：

\[
n_{450\text{ nm}}=1.48
\]

以及

\[
n_{650\text{ nm}}=1.52
\]

一束包含這兩種波長的光從空氣斜著射入該材料。

一名學生說，\(450\ \text{nm}\) 的光一定會偏折得更多，因為波長較短的光總是折射得更強。

實際上哪個波長會更向法線偏折？請解釋這名學生的規則錯在哪裡。

解答 5

\(650\ \text{nm}\) 的光更向法線偏折，因為它在該材料中的折射率較大。

對相同的入射角，斯涅爾定律給出

\[
\sin\theta_2=\frac{n_1\sin\theta_1}{n_2}
\]

\(650\ \text{nm}\) 成分的 \(n=1.52\)，而 \(450\ \text{nm}\) 成分的 \(n=1.48\)。

較大的分母使 \(650\ \text{nm}\) 光具有較小的折射角，因此它更向法線偏折。

這名學生的錯誤，是把一個常見的規律當成絕對定律。在普通玻璃的可見光範圍內，較短的波長通常具有較大的折射率。但如果測量數據顯示不同的波長依賴關係，斯涅爾定律會依照實際折射率，而不是依照背誦下來的紅光-紫光排列。

這就是色散背後更深一層的概念：顏色分離來自 \(n(\lambda)\) 的差異，而不是來自顏色名稱本身。

08色散可以幫助你進一步理解甚麼？

當你能把與波長有關的折射率和不同光線路徑連繫起來後，其他幾種光學現象也會更容易理解。

鏡片可以把不同波長的光聚焦在略有不同的位置，因為它的折射具有色散性。這會產生色差。分光鏡會刻意利用色散把不同波長分開，使光譜可以被分析。彩虹也涉及色散，不過其中的折射還會與水滴內部的反射結合。

值得記住的因果鏈是：

\[
\text{波長}
\rightarrow
\text{折射率}
\rightarrow
\text{波速}
\rightarrow
\text{折射角}
\rightarrow
\text{顏色分離}
\]

如果你能解釋這條因果鏈中的每一個箭頭，就表示你真正理解了色散的物理原理，而不只是記住「紫光偏折得更多」。