HSC 物理中的位移－時間圖與位移－位置圖

一個波通過繩上的某一點。你記錄繩子的位移，並畫出一條平滑的正弦曲線。水平軸標示的可能是時間，也可能是位置。

這兩種圖看起來幾乎可以一模一樣。

這正是它們容易造成混淆的原因。

繼續閱讀之前，先預測一下：如果相鄰兩個波峰在水平軸上相距 0.80 個單位，你是否已經量到波長？

只有當水平軸表示位置時才是。如果水平軸表示時間，那麼你量到的其實是週期。只看曲線形狀是不夠的。你必須先問：沿著圖從左向右移動，實際上代表甚麼？

01區分兩種圖的一個關鍵問題

當你沿著波形圖從左向右移動時，問自己：

我是在不同時間觀察同一個位置，還是在同一時間觀察不同位置？

這就能區分兩者：

兩種圖的縱軸都是位移。位移表示介質中的一個粒子偏離其平衡位置多遠。

對繩上的橫波而言，這可以表示繩子比靜止位置高出或低下多少。

真正改變圖表意義的是水平軸。

02位移－時間圖追蹤一個粒子

想像你在繩子上 \(x = 2.0\text{ m}\) 的位置塗上一個小白點。波沿著繩子傳播，但你的相機一直對準這一個白點。

在 \(t=0\) 時，白點可能位於平衡位置。過了一會兒，它向上移動，到達最大位移，再回到並穿過平衡位置，接著向下移動，最後又回來。

位移－時間圖記錄的就是這種運動。

你問的是：

隨著時間經過，這一個點的位移如何改變？

因此，水平座標是 \(t\)，以秒為單位。

從位移－時間圖可以量到甚麼？

最重要的量包括：

• 從縱軸讀出的振幅 \(A\)
• 從水平軸讀出的週期 \(T\)
• 由週期計算出的頻率 \(f\)
• 粒子在某一特定時間的位移
• 由圖表斜率得到的粒子速度

振幅是相對於平衡位置的最大位移大小。如果圖表最高達到 \(+0.040\text{ m}\)，最低達到 \(-0.040\text{ m}\)，那麼 \(A=0.040\text{ m}\)，而不是 \(0.080\text{ m}\)。

週期 \(T\) 是完成一個完整週期所需的時間。

你可以在相鄰兩個週期中任意兩個等效點之間量度，例如：

• 一個波峰到下一個波峰
• 一個波谷到下一個波谷
• 一次向上穿過平衡位置到下一次向上穿過平衡位置

知道 \(T\) 之後，頻率為

\[
f=\frac{1}{T}
\]

其中：

• \(f\) 是頻率，單位為赫茲，\(\text{Hz}\)
• \(T\) 是週期，單位為秒，\(\text{s}\)

頻率表示每秒發生多少次完整振動。

03位移－位置圖是瞬間快照

現在改變實驗方式。

不要連續幾秒觀察同一個白點，而是在某一瞬間拍攝整條繩子的照片。

照片可能顯示有些粒子位於平衡位置上方，有些在下方，還有些正好位於平衡位置。

位移－位置圖表示的就是這一瞬間的快照。

你問的是：

在這一特定時刻，位移如何隨位置改變？

因此，水平座標是位置 \(x\)，以米為單位。

這種圖有時很容易被誤讀，因為它確實可能看起來就像繩上橫波的實際形狀。對於繩上的橫波來說，這樣的圖像確實很有用。

但它仍然是一張位移對位置的圖，而不是記錄某個粒子沿著波浪形路徑移動的圖。

從位移－位置圖可以量到甚麼？

你可以判定：

• 從縱軸讀出的振幅 \(A\)
• 從水平軸讀出的波長 \(\lambda\)
• 某一特定位置的位移
• 不同位置粒子的相對相位
• 波在某一特定位置的空間梯度

波長 \(\lambda\) 是波中兩個同相位點之間最短的距離。

對正弦波而言，方便選擇的點包括：

• 一個波峰到下一個波峰
• 一個波谷到下一個波谷
• 一次向上穿過平衡位置到下一次向上穿過平衡位置

它的 SI 單位是米，\(\text{m}\)。

半個週期並不是一個波長

假設一個波峰位於 \(x=1.2\text{ m}\)，相鄰的波谷位於 \(x=1.7\text{ m}\)。

很容易會認為波長是 \(0.5\text{ m}\)。

但一個波峰與相鄰波谷之間只相隔半個週期。

因此，

\[
\frac{\lambda}{2}=1.7-1.2=0.5\text{ m}
\]

所以

\[
\lambda=1.0\text{ m}
\]

這就是為甚麼在等效點之間量度通常更穩妥。

04週期和波長彼此相關，但不是同一回事

一張正弦形的位移－時間圖和一張正弦形的位移－位置圖，視覺上可能完全相同。

在時間圖上，一個完整的水平週期代表 \(T\)。

在位置圖上，一個完整的水平週期代表 \(\lambda\)。

你可以用一個稍微荒謬的比喻來想像兩者的差異。

想像一排人在做觀眾席人浪。

位移－位置圖就像在某一刻替整排人拍一張照片。你可以看見誰坐著、誰站著，以及圖樣中重複部分彼此相隔多遠。

位移－時間圖則像只拍攝其中一個人。你會看到他的高度如何隨時間改變，但無法看到隊伍其他位置的人彼此相隔多遠。

這個比喻並不完全吻合，因為理想正弦波中的粒子是連續運動的，而不是選擇「站起來」，而且真實波動也可能涉及多種粒子運動方式。不過，空間中的瞬間快照與某一位置隨時間的歷史之間的區別，正是這個比喻最有用的地方。

05圖表的斜率意義也不同

水平軸不但改變你在波峰之間量到甚麼，也改變斜率所代表的意義。

位移－時間圖的斜率

如果位移是 \(y\)，其斜率為

\[
\frac{\Delta y}{\Delta t}
\]

而在時間間隔非常小的極限下，

\[
\frac{dy}{dt}
\]

這就是粒子沿位移方向的速度。

例如，在繩上的橫波中：

• 正斜率表示粒子正在向上移動
• 負斜率表示粒子正在向下移動
• 在最大或最小位移處斜率為零，表示粒子在該瞬間靜止

這是粒子速度，不是波速。

這項區別非常重要。

一個波可以快速向右傳播，而某一小段繩子在同一瞬間可能只是緩慢地向上移動。

位移－位置圖的斜率

現在斜率是

\[
\frac{\Delta y}{\Delta x}
\]

更精確地說，

\[
\frac{\partial y}{\partial x}
\]

它描述在該瞬間，位移從一個位置到下一個位置改變得有多快。

它是一個空間梯度。它並不會自動等於波的速度或粒子的速度。

因此，位移－位置圖很陡，並不表示「波移動得很快」。這張圖沒有提供可直接用來求速度的時間間隔。

06一個實用的判斷規則

在 HSC Physics 題目中看到波形圖時，不要一開始就量波峰之間的距離。

先讀取坐標軸。

然後使用以下規則：

振幅可以從任何一種圖讀出，因為兩者的縱軸都是位移。

對波速而言，

\[
v=f\lambda=\frac{\lambda}{T}
\]

你需要同時知道空間尺度和時間尺度。一張位移－位置圖可以提供空間尺度，一張位移－時間圖可以提供時間尺度。

07最容易犯的錯誤觀念：「波沿著曲線移動」

假設一張位移－位置圖在 \(x=3.0\text{ m}\) 有一個波峰。

學生可能會想像，繩子上的某個粒子原本位於左邊某處，之後沿著曲線向上移動，到達波峰，再繼續沿著另一邊向下移動。

這種解讀感覺很自然，因為圖看起來像是一條運動路徑。

但水平座標代表的是介質中的位置，而不是某一個運動粒子在其運動過程中的水平位置。

在同一瞬間：

• 位於 \(x=2.9\text{ m}\) 的點有一個位移
• 位於 \(x=3.0\text{ m}\) 的點有另一個位移
• 位於 \(x=3.1\text{ m}\) 的點又有另一個位移

它們是不同的粒子。

對橫波而言，每個粒子的運動方向主要與波的傳播方向垂直。波形會穿過介質向前傳播，但物質並不是簡單地沿著波浪形曲線前進。

08相位能讓我們更精確地比較不同位置

當兩個點處於振動的相同階段時，它們就是同相位。

對正弦行波而言，相距一個波長的粒子同相位。相距任何整數倍波長的粒子也同相位。

相距半個波長的粒子則相差 \(180^\circ\)。

因此，位移－位置圖能告訴你的不只是波長。它也能幫助你比較不同位置粒子的振動狀態。

例如，如果兩個點相距

\[
\frac{\lambda}{4}
\]

它們的相位差就是

\[
\frac{1}{4}\times360^\circ=90^\circ
\]

同樣的邏輯也適用於位移－時間圖。相隔一個週期的兩個時刻，對應振動中的相同相位。

這個對應關係值得記住：

\[
\text{空間中的一個波長} \longleftrightarrow \text{時間中的一個週期}
\]

兩者都代表一個完整週期，只是分別沿著不同的水平變數。

09問題與解答

問題 1

某條弦上一個點的位移－時間圖中，相鄰兩個波谷分別出現在 \(t=0.20\text{ s}\) 和 \(t=0.70\text{ s}\)。振幅為 \(4.0\text{ cm}\)。

求週期和頻率。能否只根據這張圖求出波長？

解答 1

週期為 \(0.50\text{ s}\)，頻率為 \(2.0\text{ Hz}\)，而且無法只根據這張圖求出波長。

相鄰兩個波谷是相隔一個完整週期的等效點，因此

\[
T=0.70-0.20=0.50\text{ s}
\]

然後

\[
f=\frac{1}{T}
=\frac{1}{0.50}
=2.0\text{ Hz}
\]

振幅是 \(4.0\text{ cm}\)，但這並不能幫助我們求波長。水平軸是時間，因此這張圖並沒有提供沿弦方向的距離量度。

常見陷阱是把水平間距 \(0.50\) 當成波長。它的單位是秒，而不是米，所以它代表的是週期。

問題 2

一張位移－位置圖顯示，一個波峰位於 \(x=1.4\text{ m}\)，而相鄰波谷位於 \(x=2.0\text{ m}\)。

求波長。

解答 2

波長是 \(1.2\text{ m}\)。

相鄰的波峰與波谷相距半個波長，因此

\[
\frac{\lambda}{2}=2.0-1.4=0.60\text{ m}
\]

所以，

\[
\lambda=2(0.60)=1.2\text{ m}
\]

最容易犯的錯誤是把 \(0.60\text{ m}\) 當成波長。這段距離只涵蓋半個週期，也就是從最大正位移到最大負位移。

問題 3

某行波的波長為 \(0.80\text{ m}\)。在某個固定位置，相鄰兩次向上穿過平衡位置之間相隔 \(0.25\text{ s}\)。

求此波的頻率和波速。

解答 3

頻率是 \(4.0\text{ Hz}\)，波速是 \(3.2\text{ m s}^{-1}\)。

相鄰兩次向上穿過平衡位置相隔一個完整週期，因此

\[
T=0.25\text{ s}
\]

頻率為

\[
f=\frac{1}{T}
=\frac{1}{0.25}
=4.0\text{ Hz}
\]

使用 \(v=f\lambda\)，

\[
v=(4.0)(0.80)
=3.2\text{ m s}^{-1}
\]

這個結果表示波形每秒沿介質前進 \(3.2\text{ m}\)。

它並不表示介質中的某個粒子每秒沿波的傳播方向移動 \(3.2\text{ m}\)。

問題 4

兩張圖具有相同的正弦曲線形狀，而相鄰波峰之間的水平數值間距都為 \(0.40\)。

圖 A 的水平軸為以秒計的 \(t\)。圖 B 的水平軸為以米計的 \(x\)。

一名學生說：「兩張圖都表示波長為 \(0.40\)，因為波長就是波峰之間的距離。」

準確解釋這名學生的推理哪裡有錯，並說明 \(0.40\) 在每張圖上分別代表甚麼。

解答 4

圖 A 顯示的是 \(0.40\text{ s}\) 的週期，而圖 B 顯示的是 \(0.40\text{ m}\) 的波長。

學生所說的「波長就是波峰之間的距離」並不完整。波長是相鄰兩個同相位點之間的空間距離。這要求水平軸表示位置或距離。

對圖 A 而言，

\[
T=0.40\text{ s}
\]

因為水平移動代表在觀察同一固定位置的同時，時間向前推移。

對圖 B 而言，

\[
\lambda=0.40\text{ m}
\]

因為水平移動代表在同一瞬間，從介質中的一個位置移到另一個位置。

兩張圖即使形狀完全相同，也不代表同一個物理量。坐標軸的標示、變數和單位決定了圖表的意義。

問題 5

在某一瞬間，一個橫向行波的位移－位置圖在 \(x=1.0\text{ m}\) 處穿過平衡位置，而且斜率為很大的正值。

一名學生聲稱：「\(x=1.0\text{ m}\) 的粒子一定正在快速向上移動，因為圖很陡。」

只根據位移－位置圖，這個結論是否合理？請解釋。

解答 5

不合理。位移－位置圖上很大的正斜率，本身並不能告訴我們該粒子正在快速向上移動。

圖表的梯度是

\[
\frac{\partial y}{\partial x}
\]

它描述的是在該瞬間，位移如何隨位置改變。這是一個空間梯度。

粒子的垂直速度則取決於它的位移如何隨時間改變：

\[
\frac{\partial y}{\partial t}
\]

單靠位移－位置圖並不能直接提供這個對時間的變化率。

對某一個已知的行波，如果有額外資訊，例如波的傳播方向和速度，就可以在數學上把空間梯度和粒子速度聯繫起來。但題目所述的圖本身並不包含這些資訊。

陷阱在於把任何陡峭的圖都理解成「快速運動」。只有在先確認兩個坐標軸分別表示甚麼之後，圖表的斜率才有明確意義。

問題 6

一個正弦波沿弦傳播。一張位移－位置瞬間圖顯示波長為 \(1.5\text{ m}\)。另一張針對弦上某一點的位移－時間圖顯示，該點從最大正位移移動到下一個最大負位移需要 \(0.20\text{ s}\)。

一名學生把波速計算為

\[
v=\frac{1.5}{0.20}=7.5\text{ m s}^{-1}
\]

指出其中隱藏的錯誤，並求出正確的波速。

解答 6

正確波速為 \(3.75\text{ m s}^{-1}\)。隱藏的錯誤是把從波峰到下一個波谷所需的時間當成一個完整週期。

粒子從最大正位移移動到下一個最大負位移，只完成了半次振動。因此，

\[
\frac{T}{2}=0.20\text{ s}
\]

所以

\[
T=0.40\text{ s}
\]

波長為

\[
\lambda=1.5\text{ m}
\]

使用

\[
v=\frac{\lambda}{T}
\]

得到

\[
v=\frac{1.5}{0.40}
=3.75\text{ m s}^{-1}
\]

這名學生的算術沒有問題，錯的是物理解讀。在把數值代入波動方程之前，你必須先判斷所量得的間隔代表一個完整週期、半個週期，還是其他比例的週期。

10理解這項區別之後，你可以進一步做甚麼

一旦你能正確讀懂這兩種圖，波動方程的意義就會清楚得多。

位移－時間圖透過 \(T\) 或 \(f\) 提供振動的時間尺度。位移－位置圖則透過 \(\lambda\) 提供空間尺度。把兩者結合起來，就能得到傳播速度：

\[
v=f\lambda=\frac{\lambda}{T}
\]

同樣地，區分某一位置隨時間發生甚麼變化與某一瞬間不同位置呈現甚麼狀態，也是理解相位差、行波、駐波和干涉的基礎。