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位移-時間圖：如何在 HSC 物理中解讀運動

學習如何從位移-時間圖判讀位移、斜率、方向、靜止狀態與速度變化，並透過例題與常見迷思加深理解。

4 分鐘閱讀

位移-時間圖看起來可能很簡單，但也很容易把它完全看反。

假設一個人從起點往外走，停下五秒，然後往回走，並越過原本的起點。這個圖應該是甚麼樣子？

一個常見的第一直覺是，圖上的線應該會以某種方式畫出這個人的行走路徑。其實不會。這個圖並不是旅程的圖像。它記錄的是在每一個時刻，這個人相對於原點的位置。

理解了這一點，位移-時間圖上的幾乎所有其他概念都會變得更容易。

01兩條座標軸實際上告訴你甚麼

在位移-時間圖中：

  • 水平軸是時間，通常以秒（s）為單位
  • 垂直軸是位移，通常以米（m）為單位

位移表示物體相對於所選原點的位置，而且包括方向。

例如：

  • \(x = +6\text{ m}\) 表示物體位於原點正方向一側 6 m
  • \(x = 0\text{ m}\) 表示物體位於原點
  • \(x = -4\text{ m}\) 表示物體位於原點負方向一側 4 m

這裡的 \(x\) 表示位移。

如果你對路程與位移之間的差別仍然有點模糊，最好先閱讀 HSC 物理中的路程與位移清楚解析 把這個概念弄清楚。

預測：圖上的一個點代表甚麼？

想像圖上有一個點 \((3\text{ s}, 8\text{ m})\)。

這是否表示物體在第三秒內移動了 8 m？

不是。它表示在 \(t = 3\text{ s}\) 時，物體的位移是 \(+8\text{ m}\)。

單一個點告訴你物體在某一瞬間的位置。要判斷物體如何運動，你需要觀察圖形隨時間如何變化。

02斜率告訴你速度

考慮一個物體，在 \(t = 1\text{ s}\) 時位於 \(x = 2\text{ m}\)，並在 \(t = 5\text{ s}\) 時移動到 \(x = 10\text{ m}\)。

它的位移改變了：

\[
\Delta x = 10 – 2 = 8\text{ m}
\]

所經過的時間間隔為：

\[
\Delta t = 5 – 1 = 4\text{ s}
\]

因此，它的平均速度是：

\[
v = \frac{\Delta x}{\Delta t}
= \frac{8}{4}
= 2\text{ m s}^{-1}
\]

這個計算與求直線的斜率完全相同。

對位移-時間圖而言：

\[
v = \frac{\Delta x}{\Delta t}
\]

其中：

  • \(v\) 是速度，單位為米每秒（\(\text{m s}^{-1}\)）
  • \(\Delta x\) 是位移的變化量，單位為米（m）
  • \(\Delta t\) 是時間的變化量，單位為秒（s）

因此，關鍵規則是：

位移-時間圖的斜率代表速度。

這不只是一個數學技巧。如果位移快速改變，物體就移動得快。如果位移改變得慢，物體就移動得慢。

問題：哪個物體移動得較快？

物體 A 的圖形在 3 s 內上升了 12 m。

物體 B 的圖形在 5 s 內上升了 10 m。

哪個物體的速率較大？

答案

對 A：

\[
v_A = \frac{12}{3} = 4\text{ m s}^{-1}
\]

對 B：

\[
v_B = \frac{10}{5} = 2\text{ m s}^{-1}
\]

物體 A 移動得較快，因為它的圖形具有較陡的斜率。

真正重要的比較不是哪一條線在頁面上的位置較高，而是哪一條線的位移隨時間改變得更快。

03正斜率、負斜率與方向

速度是向量，因此它的正負號能告訴你方向。

一條由左至右向上傾斜的直線具有正斜率。這表示速度為正。

一條由左至右向下傾斜的直線具有負斜率。這表示速度為負。

這是位移-時間圖最有用的資訊之一。

圖形形狀速度運動
向上傾斜的直線正且恆定沿正方向運動
水平線零靜止
向下傾斜的直線負且恆定沿負方向運動
越來越陡的曲線速度的大小正在增加速率正在增加
越來越平坦的曲線速度的大小正在減少速率正在減少

容易犯的錯誤：「向下」表示物體正在往下移動

學生看到一條向下傾斜的線，可能會想：「物體一定是在下坡。」

這種想法看似合理，因為圖形看起來像一座山坡。

但要記住，這個圖不是地圖。

如果位移從 \(+8\text{ m}\) 降到 \(+3\text{ m}\)，代表物體正在沿著我們所選的一維座標軸的負方向運動。這可能表示向西、向左、向後，或朝向原點。

圖中沒有任何資訊表示物體在物理空間中真的正在向下移動。

把這個圖想成一本日記，而不是一張照片。每一個點都在說：「在這個時刻，物體位於這裡。」線條只是把這些位置紀錄連接起來。

不過，這個比喻也有其限制。真正的圖形可以表示連續變化的運動，而不只是一些分開的日記紀錄。

04水平線表示物體處於靜止狀態

想像圖形從 \(t = 2\text{ s}\) 到 \(t = 7\text{ s}\) 一直維持在 \(x = 5\text{ m}\)。

在這五秒內，時間持續流逝，但位移沒有改變。

因此：

\[
\Delta x = 0
\]

所以：

\[
v = \frac{0}{\Delta t} = 0
\]

物體是靜止的。

注意水平線不代表甚麼。它並不表示物體已回到原點。

如果水平線位於 \(+5\text{ m}\)，那麼物體是停在距離原點 5 m 的位置。

問題：如果圖形沿著時間軸呢？

假設位移維持在 \(0\text{ m}\) 四秒。

物體正在做甚麼？

答案

它是靜止的，而且位於原點。

位於任何位置的水平線都表示速度為零。它在垂直方向上的位置只告訴你物體停在哪裡。

05例題：從圖中讀取恆定速度

某物體的位移從 \(t = 2\text{ s}\) 時的 \(-3\text{ m}\)，變為 \(t = 8\text{ s}\) 時的 \(+9\text{ m}\)。位移-時間圖上這兩點之間是一條直線。

計算物體的速度，並描述它的運動。

步驟 1：求位移的變化量

\[
\Delta x = x_f – x_i
= 9 – (-3)
= 12\text{ m}
\]

物體的位移改變了 \(+12\text{ m}\)。

步驟 2：求時間的變化量

\[
\Delta t = t_f – t_i
= 8 – 2
= 6\text{ s}
\]

步驟 3：計算斜率

\[
v = \frac{\Delta x}{\Delta t}
= \frac{12}{6}
= 2.0\text{ m s}^{-1}
\]

步驟 4：解釋結果

速度為：

\[
\boxed{v = +2.0\text{ m s}^{-1}}
\]

正號表示物體沿正方向運動。

因為圖形是一條直線，所以斜率恆定，因此物體在整個時間區間內的速度都保持不變。

物體一開始位於 \(-3\text{ m}\) 並不代表它的速度是負的。位置與速度是不同的物理量。

06穿過位移的零點並不等於改變方向

假設某物體在圖上沿直線從 \(-5\text{ m}\) 移動到 \(+5\text{ m}\)。

在某個時刻，這條線會穿過 \(x = 0\)。

實際上發生了甚麼？

物體通過了原點。

它在那裡改變方向了嗎？

沒有。

如果在穿過 \(x = 0\) 前後，斜率都保持為正，那麼它的速度仍然是正的。它只是穿過原點並繼續前進。

因此我們可以得到一條重要規則：

位移的正負號改變，不一定表示運動方向改變。速度的正負號改變才表示方向改變。

只要把位移、速率與速度清楚區分，就更容易看懂這一點。速率與速度：HSC 物理清楚解析 會進一步說明這個差別。

07如何判斷方向改變

當物體的速度改變正負號時，物體就會改變方向。

由於速度是位移-時間圖的斜率，因此要觀察斜率是否由：

  • 正變為負，或
  • 負變為正

想像一個圖形先上升，到達最大位移後，再開始下降。

在最高點之前：

  • 斜率為正
  • 速度為正

在最高點：

  • 切線是水平的
  • 瞬時速度為零

在最高點之後：

  • 斜率為負
  • 速度為負

因此，物體曾短暫停下，然後反轉方向。

你可以想像某人走向一位朋友，結果發現認錯了人，短暫停下後，又尷尬地往另一個方向走。圖形記錄的是他的位置，而不是這場社交災難。

問題：速度為零的每一個點都表示物體會停留一段時間嗎？

答案

不是。

一段水平的線段表示物體在一段時間內持續靜止。

只有單一個具有水平切線的點，則可能表示物體只在那一瞬間靜止，之後便反轉方向。

在曲線圖形中，這個差別非常重要。

08彎曲的位移-時間圖表示速度正在改變

到目前為止，我們主要討論的是直線。

直線具有恆定斜率，因此代表恆定速度。

曲線則不同。它的斜率會隨每一個時刻而改變，因此速度也在改變。

例如，想像一條位移-時間曲線向上延伸，而且變得越來越陡。

在運動的早期，它的斜率可能是：

\[
1\text{ m s}^{-1}
\]

稍後可能是：

\[
3\text{ m s}^{-1}
\]

再晚一些則可能是：

\[
5\text{ m s}^{-1}
\]

物體正在沿正方向加速。

預測：如果圖形仍然上升，但變得越來越平坦呢？

假設位移仍在增加，但曲線逐漸變得沒有那麼陡。

物體是在向前移動還是向後移動？

它仍然沿著正方向移動，因為斜率仍然是正的。

但它的速度正在變小。它正在減速。

學生在這裡常常會把圖形往哪裡走和圖形有多陡混淆。

垂直高度告訴你位移。

斜率告訴你速度。

09平均速度與瞬時速度

在位移-時間圖的一段直線上，所有位置的斜率都相同，因此沒有問題。

然而，在曲線上，斜率會持續改變。

如果你在曲線上的兩點之間畫一條直線，這條直線的斜率會給出該時間區間內的平均速度：

\[
v_{\text{avg}} = \frac{\Delta x}{\Delta t}
\]

如果你想知道某一特定瞬間的速度，就需要求該點曲線的切線斜率。

這就是瞬時速度。

切線是一條直線，在所選的那一瞬間與曲線具有相同的方向。

這個概念在 HSC 物理中的平均速度與瞬時速度 中有更詳細的說明。

10例題：解讀一段包含多個階段的旅程

某位學生的位移由以下位移-時間圖資訊描述：

  • 在 \(t = 0\text{ s}\) 時，\(x = 0\text{ m}\)
  • 在 \(t = 4\text{ s}\) 時，\(x = 12\text{ m}\)
  • 從 \(t = 4\text{ s}\) 到 \(t = 7\text{ s}\)，位移保持在 \(12\text{ m}\)
  • 在 \(t = 13\text{ s}\) 時，\(x = -6\text{ m}\)

每一段都是直線。

求每個階段的速度，指出學生在哪段時間處於靜止狀態，並判斷學生在最後一個階段是否通過原點。

步驟 1：計算 0 s 至 4 s 的速度

\[
v_1
= \frac{12 – 0}{4 – 0}
= \frac{12}{4}
= +3.0\text{ m s}^{-1}
\]

學生以 \(3.0\text{ m s}^{-1}\) 的恆定速度沿正方向運動。

步驟 2：分析 4 s 至 7 s 的部分

位移保持在 \(12\text{ m}\)，因此：

\[
\Delta x = 0
\]

所以：

\[
v_2 = 0\text{ m s}^{-1}
\]

學生在位移 \(+12\text{ m}\) 的位置靜止了 3 s。

步驟 3：計算 7 s 至 13 s 的速度

位移從 \(+12\text{ m}\) 變為 \(-6\text{ m}\)：

\[
\Delta x = -6 – 12 = -18\text{ m}
\]

時間間隔為：

\[
\Delta t = 13 – 7 = 6\text{ s}
\]

因此：

\[
v_3
= \frac{-18}{6}
= -3.0\text{ m s}^{-1}
\]

學生以 \(3.0\text{ m s}^{-1}\) 的恆定速度沿負方向運動。

步驟 4：判斷學生是否通過原點

是。

位移連續地從 \(+12\text{ m}\) 變為 \(-6\text{ m}\)，因此必然會通過 \(x = 0\)。

我們甚至可以算出是在甚麼時候通過。

從 \(+12\text{ m}\) 出發，以 \(-3.0\text{ m s}^{-1}\) 運動，需要：

\[
t = \frac{12\text{ m}}{3.0\text{ m s}^{-1}}
= 4.0\text{ s}
\]

回程在 \(t = 7\text{ s}\) 開始，因此學生到達原點的時間為：

\[
7 + 4 = 11\text{ s}
\]

所以圖形會在以下時間穿過 \(x = 0\)：

\[
\boxed{t = 11\text{ s}}
\]

注意，學生並沒有在 \(t = 11\text{ s}\) 時改變方向。斜率仍然是負的。學生只是通過了原點。

11越陡代表越快，但要注意正負號

假設兩段直線的斜率分別為：

\[
+4\text{ m s}^{-1}
\]

以及

\[
-7\text{ m s}^{-1}
\]

哪一段表示較快的運動？

第二段。

速率是速度的大小：

\[
|-7| = 7\text{ m s}^{-1}
\]

因此，以 \(-7\text{ m s}^{-1}\) 運動的物體，比以 \(+4\text{ m s}^{-1}\) 運動的物體更快。

在圖上，\(-7\text{ m s}^{-1}\) 那一段會更陡，即使它是向下傾斜的。

問題：比較以下三個斜率

三個物體的速度分別為：

\[
v_A = +2\text{ m s}^{-1}, \qquad
v_B = -5\text{ m s}^{-1}, \qquad
v_C = 0\text{ m s}^{-1}
\]

哪一個圖形最陡？哪一個物體處於靜止狀態？

答案

物體 B 的圖形最陡，因為它的速率是：

\[
|v_B| = 5\text{ m s}^{-1}
\]

物體 C 處於靜止狀態，因為：

\[
v_C = 0\text{ m s}^{-1}
\]

它的位移-時間圖是一條水平線。

12解讀任何位移-時間圖的一個實用方法

遇到不熟悉的圖形時，不要試圖一次理解整張圖。

從左到右閱讀，並針對每一段提出相同的問題：

  1. 物體在哪裡？
    從垂直軸讀取位移。

  2. 位移正在增加、減少，還是保持不變？
    這會告訴你速度的正負號。

  3. 圖形有多陡？
    這會告訴你速度的大小。

  4. 斜率是恆定的，還是在改變？
    恆定斜率代表恆定速度。改變中的斜率代表速度正在改變。

  5. 斜率是否改變正負號？
    如果有，物體就改變了方向。

這種方法比死記圖形的形狀可靠得多。

13最容易造成問題的迷思

考慮一個位移-時間圖，先陡峭地上升，然後變成水平。

學生可能會說：

「物體一開始移動得很快，之後它的位移變成恆定，所以它的速度也保持恆定。」

前半句是對的。後半句混淆了位移與速度。

恆定的位移表示物體的位置沒有改變。

因此：

\[
\Delta x = 0
\]

所以：

\[
v = 0
\]

物體已經停下來。

如果要表示恆定且非零的速度，圖形必須具有恆定且非零的斜率，看起來就是一條向上或向下傾斜的直線。

要把以下兩個概念分清楚：

  • 位移恆定表示速度為零
  • 斜率恆定表示速度恆定

14從位移-時間圖進一步理解加速度

位移-時間圖不會直接顯示加速度，但它會提供你所需要的線索。

加速度表示速度正在改變。

由於斜率代表速度，因此，如果位移-時間圖的斜率正在改變，就表示物體正在加速。

直線表示斜率恆定，因此速度恆定，加速度為零。

曲線表示斜率改變，因此速度改變，加速度不為零。

這就是通往運動學下一種重要圖形–速度-時間圖–的橋樑。一旦你能看到位移-時間圖，並在心中把它的斜率理解為速度，速度-時間圖就會容易解讀得多。