HSC 物理斯涅爾定律：折射角解析

一束雷射以一定角度射入玻璃磚。如果你把光束畫成繼續沿直線前進，你的圖通常就是錯的。但只記住「光在玻璃中會彎折」也不夠。你需要先預測它會往哪個方向彎折，然後計算新的角度。

在進行任何數學運算之前，先作出預測。一束光線從空氣以與表面成一定角度的方向進入玻璃。它會向法線偏折，還是遠離法線偏折？

它會向法線偏折。真正有用的問題是：為甚麼？

01為甚麼速度改變會使方向改變

光在不同物質中的傳播速度不同。我們用折射率 \(n\) 來描述這一點：

\[
n = \frac{c}{v}
\]

其中：

• \(n\) 是折射率，沒有單位
• \(c\) 是光在真空中的速度，約為 \(3.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}\)
• \(v\) 是光在該物質中的速度，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)

折射率越大，表示光在該介質中的速度越低。

空氣的折射率接近 \(1.00\)。水約為 \(1.33\)，而許多種類的玻璃約為 \(1.5\)。確切數值取決於物質以及光的波長。

因此，當光由空氣進入玻璃時，它的速度會下降。

想像一架購物手推車斜向地從平滑的混凝土地面駛入濃密的草地。其中一個前輪會先進入草地，因而比另一個前輪更早減速。手推車便會轉向。

波前也會以類似的方式表現。波前的一側先進入較慢的介質，因此那一側前進的距離較短。波前會旋轉，從而改變光的傳播方向。

當光進入傳播速度較低的介質時，這種旋轉會使光線向法線偏折。

購物手推車的類比有其局限。光不是具有輪子的剛性物體，而折射也不是由機械阻力造成的。更準確地說，在邊界處，電磁波的速度和波長會改變，而頻率保持不變。

由於

\[
v = f\lambda
\]

當頻率 \(f\) 保持不變時，波速 \(v\) 減小，就表示波長 \(\lambda\) 也會減小。

02所有角度都要從法線量起

這個細節會造成多得令人意外的錯誤答案。

法線是一條想像中的直線，與兩種介質之間的邊界垂直。

斯涅爾定律中的角度，是光線與法線之間的夾角，而不是光線與表面之間的夾角。

入射光線的角度稱為入射角 \(\theta_1\)。光線在第二種介質中的出射角度稱為折射角 \(\theta_2\)。

如果題目告訴你一束光線與表面成 \(25^\circ\)，那麼它與法線的夾角並不是 \(25^\circ\)，而是

\[
90^\circ – 25^\circ = 65^\circ
\]

在使用斯涅爾定律之前，就應先完成這項換算。

03斯涅爾定律

當幾何關係清楚之後，計算就很簡潔：

\[
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2
\]

其中：

• \(n_1\) 是包含入射光線之介質的折射率
• \(n_2\) 是包含折射光線之介質的折射率
• \(\theta_1\) 是入射角，從法線量起
• \(\theta_2\) 是折射角，從法線量起

如果要求折射角，可以重新整理為：

\[
\theta_2 = \sin^{-1}\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1\right)
\]

在 HSC 涉及角度的計算中，請確保計算機設定為角度制（degree mode）。

在按計算機之前，先預測答案。如果光進入折射率較大的介質，\(\theta_2\) 應該比 \(\theta_1\) 大還是小？

較小。光線會向法線偏折。

這個預測很有用，因為它可以立即幫你檢查是否出錯。

04快速判斷方向的規則

通常在進行任何計算之前，你就可以判斷偏折方向。

前兩列可以直接由斯涅爾定律推導出來。

假設 \(n_2 > n_1\)。重新整理可得

\[
\sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1
\]

由於 \(n_1/n_2 < 1\)，所以 \(\sin\theta_2\) 的值小於 \(\sin\theta_1\)。對於 \(0^\circ\) 至 \(90^\circ\) 之間的角度，這表示

\[
\theta_2 < \theta_1
\]

所以「向法線偏折」並不是另一條需要另外背誦的規則。它可以直接由斯涅爾定律得出。

05「向法線偏折」實際上是甚麼意思

學生有時會把法線想像成好像在把光線往旁邊拉。事實並非如此。

「向法線偏折」只是表示折射光線與法線的夾角，比入射光線與法線的夾角小：

\[
\theta_2 < \theta_1
\]

同樣地，「遠離法線偏折」表示

\[
\theta_2 > \theta_1
\]

只有在兩個角度都是從法線量起時，這種說法才有意義。

還有一個重要的特殊情況。假設光正好沿着法線撞上邊界：

\[
\theta_1 = 0^\circ
\]

斯涅爾定律給出

\[
n_1\sin0^\circ = n_2\sin\theta_2
\]

由於 \(\sin0^\circ = 0\)，

\[
\sin\theta_2 = 0
\]

因此

\[
\theta_2 = 0^\circ
\]

光速仍然可能改變，波長也仍然可能改變。但光線的方向不會改變，因為沒有橫向分量可以被重新導向。

所以，觀察到「沒有偏折」並不能自動證明兩種介質具有相同的折射率。

06斯涅爾定律中最常見的錯誤

使用相對於表面的角度

這是最常見的錯誤。斯涅爾定律永遠使用相對於法線的角度。

如果一束光線與表面成 \(70^\circ\)，那麼它與法線只成 \(20^\circ\)。

把折射率對調

下標必須跟隨光線的傳播順序。

介質 1 包含入射光線。介質 2 包含折射光線。

一個實用的習慣是在代入數值之前先寫下

\[
\text{介質 1} \rightarrow \text{介質 2}
\]

用錯誤的規則預測偏折方向

折射率越大，光速越低。

所以：

• 較低 \(n\) 到較高 \(n\)：向法線偏折
• 較高 \(n\) 到較低 \(n\)：遠離法線偏折

不要根據某種材料比較「厚」或「密」之類模糊的概念來判斷方向。在這裏真正重要的物理量是折射率。

忘記使用反正弦

求出 \(\sin\theta_2\) 之後，你仍然需要求出角度本身。

如果

\[
\sin\theta_2 = 0.60
\]

那麼

\[
\theta_2 = \sin^{-1}(0.60)
\]

而不是 \(0.60^\circ\)。

不檢查物理意義就直接相信計算機結果

假設光由空氣進入玻璃。如果你計算出的折射角比入射角更大，那麼很可能某個步驟出了問題。

定性預測是解題的一部分，不只是裝飾。

07當斯涅爾定律得出不可能的正弦值

考慮光由玻璃進入空氣。由於它從較高折射率的介質進入較低折射率的介質，光線會遠離法線偏折。

隨着入射角增加，折射角會越來越接近 \(90^\circ\)。

最後，使用斯涅爾定律計算時可能會得到像這樣的結果：

\[
\sin\theta_2 = 1.08
\]

不存在正弦值為 \(1.08\) 的實數角。實數角的正弦值不可能大於 \(1\)。

這並不代表斯涅爾定律失效。它表示第二種介質中不存在能夠傳播的折射光線。光會發生全內反射。

臨界情況發生在折射光線相對於法線成 \(90^\circ\)，也就是沿着邊界傳播時。對應的入射角稱為臨界角。

對於光由 \(n_1\) 進入折射率較低的介質 \(n_2\)，

\[
n_1\sin\theta_c = n_2\sin90^\circ
\]

所以

\[
\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}
\]

當斯涅爾定律給出大於 \(1\) 的值時，你不需要強行進行反正弦計算。能夠辨認出這個不可能的數值，本身就是物理判斷。

08問題與解答

問題 1

一束光由空氣 \(n_1 = 1.00\) 進入水 \(n_2 = 1.33\)，入射角為 \(48.0^\circ\)。

計算折射角，並指出光線是向法線偏折還是遠離法線偏折。

解答 1

折射角為 \(34.0^\circ\)，而光線向法線偏折。

光線進入折射率較高的介質，因此我們應預期它與法線的夾角會減小。

使用斯涅爾定律，

\[
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2
\]

可得

\[
1.00\sin48.0^\circ = 1.33\sin\theta_2
\]

因此，

\[
\sin\theta_2
= \frac{1.00\sin48.0^\circ}{1.33}
= 0.559
\]

以及

\[
\theta_2 = \sin^{-1}(0.559) = 34.0^\circ
\]

所以

\[
\boxed{\theta_2 = 34.0^\circ}
\]

由於 \(34.0^\circ < 48.0^\circ\)，光線已向法線偏折。這也提供了一項有用的檢查，證明計算結果在物理上合理。

問題 2

一束光從折射率為 \(1.52\) 的玻璃進入折射率為 \(1.36\) 的液體。在到達邊界之前，光線與邊界表面成 \(52.0^\circ\)。

計算從法線量起的折射角。

解答 2

折射角為相對於法線的 \(43.5^\circ\)。

這題的重要陷阱在於，題目給出的 \(52.0^\circ\) 是從表面量起，而不是從法線量起。

因此，入射角為

\[
\theta_1 = 90.0^\circ – 52.0^\circ = 38.0^\circ
\]

現在套用斯涅爾定律：

\[
1.52\sin38.0^\circ = 1.36\sin\theta_2
\]

重新整理，

\[
\sin\theta_2
= \frac{1.52\sin38.0^\circ}{1.36}
= 0.688
\]

因此，

\[
\theta_2 = \sin^{-1}(0.688) = 43.5^\circ
\]

所以，

\[
\boxed{\theta_2 = 43.5^\circ}
\]

折射率由 \(1.52\) 降至 \(1.36\)，因此光線應遠離法線偏折。角度由 \(38.0^\circ\) 增加至 \(43.5^\circ\)，與這項預測一致。

問題 3

一束光由空氣 \(n = 1.00\) 以 \(60.0^\circ\) 的入射角進入一塊玻璃片 \(n = 1.50\)。之後，它再由玻璃進入水 \(n = 1.33\)。

玻璃的兩個表面互相平行。

計算：

• 光線在玻璃內的角度
• 光線進入水後的角度

一名學生聲稱，改變玻璃的折射率一定會改變光線在水中的最終角度。假設兩個邊界保持平行，評估這項說法。

解答 3

光線在玻璃中以相對於法線 \(35.3^\circ\) 的角度傳播，並以 \(40.6^\circ\) 的角度進入水中。對於平行邊界，改變玻璃的折射率會改變光線在玻璃內的路徑，但不會改變它在水中的最終角度。

在空氣與玻璃的邊界，

\[
1.00\sin60.0^\circ = 1.50\sin\theta_g
\]

其中 \(\theta_g\) 是玻璃內的角度。

因此，

\[
\sin\theta_g
= \frac{1.00\sin60.0^\circ}{1.50}
= 0.577
\]

所以

\[
\theta_g = \sin^{-1}(0.577) = 35.3^\circ
\]

因此，

\[
\boxed{\theta_g = 35.3^\circ}
\]

在玻璃與水的邊界，

\[
1.50\sin35.3^\circ = 1.33\sin\theta_w
\]

其中 \(\theta_w\) 是光線在水中的角度。

由此得到

\[
\sin\theta_w
= \frac{1.50\sin35.3^\circ}{1.33}
= 0.651
\]

所以

\[
\theta_w = \sin^{-1}(0.651) = 40.6^\circ
\]

因此，

\[
\boxed{\theta_w = 40.6^\circ}
\]

還有一種更能揭示結果本質的方式。由於玻璃的兩個表面互相平行，它們的法線也互相平行。兩個斯涅爾定律方程式為

\[
1.00\sin60.0^\circ = 1.50\sin\theta_g
\]

以及

\[
1.50\sin\theta_g = 1.33\sin\theta_w
\]

把它們合併可得

\[
1.00\sin60.0^\circ = 1.33\sin\theta_w
\]

玻璃的折射率已經消去。

所以，在邊界平行的情況下，該學生對最終方向的說法並不正確。改變玻璃的折射率會改變光線在玻璃內的角度及路徑長度，但光線在水中的最終角度是由初始介質、最終介質以及初始角度決定的。

問題 4

一束光由一種透明材料進入另一種透明材料時，方向沒有改變。

一名學生因此認為，兩種材料必定具有相同的折射率。

這個結論合理嗎？說明你可以如何改變實驗，以區分不同的可能解釋。

解答 4

不合理。光線穿越邊界而方向沒有改變，本身並不能證明兩種材料具有相同的折射率。

一種可能是

\[
n_1 = n_2
\]

在這種情況下，斯涅爾定律給出

\[
\sin\theta_1 = \sin\theta_2
\]

所以光線會沿同一方向繼續前進。

但還有另一種可能：光線可能沿法線入射，即

\[
\theta_1 = 0^\circ
\]

此時，斯涅爾定律給出

\[
n_1\sin0^\circ = n_2\sin\theta_2
\]

所以

\[
\theta_2 = 0^\circ
\]

無論兩種介質的折射率是否相同，結果都是如此。

要區分這兩種解釋，可以讓光線以非零角度射向邊界。

如果光線仍然穿過邊界而不改變方向，那麼折射率相同便與觀察結果一致。如果光線發生偏折，那麼原先的直線路徑是因為第一束光沿法線入射。

這裏的陷阱是把「沒有偏折」當成「光學性質沒有改變」。在垂直入射時，即使方向不變，光速和波長仍然可能改變。

問題 5

光在折射率為 \(1.40\) 的透明聚合物內傳播，並以 \(55.0^\circ\) 的入射角到達聚合物與空氣的邊界。

一名學生套用斯涅爾定律後得到

\[
\sin\theta_2 = 1.15
\]

他因此認為計算機一定故障了。

解釋光實際上會發生甚麼。然後計算仍能讓傳播中的折射光線進入空氣的最大入射角。

解答 5

光在 \(55.0^\circ\) 時發生全內反射。極限入射角就是臨界角，約為 \(45.6^\circ\)。

對聚合物取 \(n_1 = 1.40\)，對空氣取 \(n_2 = 1.00\)，套用斯涅爾定律：

\[
1.40\sin55.0^\circ = 1.00\sin\theta_2
\]

所以

\[
\sin\theta_2
= 1.40\sin55.0^\circ
= 1.15
\]

該學生得到的數值並不是計算機有問題的證據。相反，它正是重要的線索。

對任何實數角，

\[
-1 \leq \sin\theta \leq 1
\]

因此，不存在能滿足 \(\sin\theta_2 = 1.15\) 的實數折射角。所以空氣中不存在能夠傳播的折射光線。光會發生全內反射。

要找出仍然允許折射的最大入射角，把折射角設為其極限值：

\[
\theta_2 = 90^\circ
\]

於是

\[
1.40\sin\theta_c = 1.00\sin90^\circ
\]

由於 \(\sin90^\circ = 1\)，

\[
\sin\theta_c = \frac{1.00}{1.40} = 0.714
\]

因此，

\[
\theta_c = \sin^{-1}(0.714) = 45.6^\circ
\]

所以

\[
\boxed{\theta_c = 45.6^\circ}
\]

當入射角恰好為 \(45.6^\circ\) 時，折射光線相對於法線成 \(90^\circ\)，並沿着邊界傳播。當入射角大於 \(45.6^\circ\) 時，包括 \(55.0^\circ\)，便會發生全內反射。

關鍵的推理步驟是注意到，一個「不可能」的正弦值其實是具有物理意義的結果，而不是要透過更改計算機設定或強行求出角度來修正的錯誤。

09接下來可以用斯涅爾定律做甚麼

斯涅爾定律不只是用來計算一個未知角度。它把光線的幾何方向與波在邊界處的速度變化聯繫起來。

只要你能可靠地辨認法線、預測偏折方向，並套用

\[
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2
\]

你就可以處理幾個密切相關的概念：穿越多個邊界的折射、視深度、臨界角以及全內反射。

在學習這些主題時，值得保留的習慣很簡單：先預測物理結果，再進行計算。如果數值與預測不符，就找出原因，而不是自動相信計算機。