多普勒效應：HSC 物理中的頻率變化

救護車鳴著警笛從你身旁駛過。就在它到達你身旁之前，音調很高；剛駛過之後，音調卻突然降低。警笛的設定並沒有改變，那麼究竟是甚麼改變了？

在繼續閱讀之前，先作一個預測：救護車向你駛近時，聲音本身的傳播速度會變快嗎？

不會。在靜止的空氣中，聲速主要由空氣的性質決定，而不是由聲源移動得多快決定。救護車改變的是另一件事：聲波之間的間距，以及聲波抵達你的頻率。這種觀察到的頻率改變，就是多普勒效應。

01先從波前開始，而不是公式

想像一個靜止的揚聲器發出穩定的音調。每一個週期都會在空氣中產生一次新的壓縮。這些壓縮以聲速向外傳播。

如果揚聲器每秒發出 \(500\) 個週期，它的頻率就是 \(500\ \text{Hz}\)。相鄰兩個週期之間的時間就是週期：

\[
T = \frac{1}{f}
\]

其中：

• \(T\) 是以秒為單位的週期，
• \(f\) 是以赫茲（\(\text{Hz}\)）為單位的頻率。

在一個週期產生的過程中，前一個波前已經在空氣中向前移動了一段距離。這就決定了波長：

\[
v = f\lambda
\]

其中：

• \(v\) 是以 \(\text{m s}^{-1}\) 為單位的波速，
• \(f\) 是以 \(\text{Hz}\) 為單位的頻率，
• \(\lambda\) 是以米為單位的波長。

對於靜止的聲源和靜止的觀察者，不會發生任何特別的情況。觀察者接收到波前的速率，與聲源產生波前的速率相同。

現在讓聲源或觀察者其中一方移動。這兩種情況看起來相似，但在物理上並不完全相同。

02當觀察者移動時

假設揚聲器保持靜止，但你向它跑去。

空氣中的波長不會改變。聲源仍然在相同的位置，以相同的方式產生波前。改變的是，你主動移向迎面而來的波前，因此你遇到波前的頻率更高。

想像你走向一排彼此相距一米站立的人。人與人之間的間距不會因為你在走動而改變。你只是每秒經過更多人而已。

當然，聲波的波前並不是站著不動的人。它們是在介質中傳播的擾動。這個類比的用途，只是幫助我們理解：觀察者可以改變與波前相遇的速率，而不改變空氣中原本已存在的波長。

如果觀察者以速度 \(v_o\) 向聲源移動，那麼波前相對於觀察者的有效接近速率便以 \(v + v_o\) 為基礎。

由於

\[
f_{\text{obs}} = \frac{\text{遇到波前的速率}}{\text{波長}},
\]

因此可得

\[
f_{\text{obs}}
= \frac{v+v_o}{\lambda}
= f_s\frac{v+v_o}{v}
\]

其中：

• \(f_{\text{obs}}\) 是觀察到的頻率，
• \(f_s\) 是聲源發出的頻率，
• \(v\) 是聲音在介質中的傳播速度，
• \(v_o\) 是觀察者朝向聲源的速度。

如果觀察者遠離聲源，則 \(v_o\) 為負值。觀察者每秒遇到的波前較少，因此觀察到的頻率會降低。

03當聲源移動時

現在讓觀察者保持靜止，並讓聲源向觀察者移動。

這次發生的情況有所不同。聲源產生一個波前後，會先向前移動一段距離，才產生下一個波前。這使聲源前方相鄰的波前距離變得更近。

假設聲源的週期為 \(T\)。在一個週期內：

• 第一個波前移動的距離為 \(vT\)，
• 聲源向前移動的距離為 \(v_sT\)。

因此，聲源前方相鄰波前之間的距離為

\[
\lambda’ = vT-v_sT
\]

提出公因式後得

\[
\lambda’ = (v-v_s)T
\]

而因為 \(T=1/f_s\)，

\[
\lambda’ = \frac{v-v_s}{f_s}
\]

觀察者是靜止的，所以波前以速度 \(v\) 經過觀察者。因此，

\[
f_{\text{obs}}
= \frac{v}{\lambda’}
= f_s\frac{v}{v-v_s}
\]

接近中的聲源會使 \(v-v_s\) 變小，因此觀察到的頻率會變大。

如果聲源正在遠離，我們把 \(v_s\) 視為負值。分母會變大，而觀察到的頻率會降低。

04同時考慮聲源和觀察者的運動

如果聲源和觀察者都沿著連接兩者的直線移動，我們便要把兩種效應結合起來：

\[
\boxed{
f_{\text{obs}}
=
f_s
\frac{v+v_o}{v-v_s}
}
\]

使用以下正負號規則：

不要用「向左」或「向右」來決定正負號。應該根據靠近還是遠離來判斷。

這樣在圖示方向反轉時會安全得多。

05為甚麼只看「相對速度」並不足夠

一個很容易讓人接受的想法是：

如果聲源和觀察者以 \(20\ \text{m s}^{-1}\) 的速度彼此接近，應該不重要究竟是哪一方在移動。

這聽起來很合理，但對聲音而言並不完全正確。

假設 \(v=340\ \text{m s}^{-1}\)。

如果是觀察者以 \(20\ \text{m s}^{-1}\) 的速度接近一個靜止聲源，頻率的倍數為

\[
\frac{340+20}{340} = 1.0588
\]

如果是聲源以 \(20\ \text{m s}^{-1}\) 的速度接近一個靜止觀察者，倍數為

\[
\frac{340}{340-20} = 1.0625
\]

兩者很接近，但並不相同。

為甚麼？

因為聲音是在介質中傳播的。

觀察者移動時，改變的是觀察者遇到既有波前排列的速率。

聲源移動時，改變的是波前本身的間距。

這個分別是多普勒效應題目中最重要的概念之一。

06當聲源從你身旁經過時，實際上改變了甚麼？

回到救護車的例子。

當它接近時：

• 聲源在兩次發聲之間向前移動，
• 它前方的波前被壓縮，
• 波長變短，
• 你接收到波前的頻率更高，
• 觀察到的頻率較高。

當它駛過之後：

• 聲源正在遠離，
• 接連到達你的波前間距變得較大，
• 波長變長，
• 你接收到波前的頻率較低，
• 觀察到的頻率較低。

每一道聲波在靜止空氣中的傳播速度並沒有突然降低。

因此，說「接近中的聲音傳得更快」會形成錯誤的物理概念。

07計算前先快速檢查正負號

在使用公式之前，先預測答案應該高於還是低於發出的頻率。

如果聲源和觀察者正在彼此接近，通常應該預期觀察到的頻率較高。

如果兩者正在彼此分離，通常應該預期觀察到的頻率較低。

然後再查看公式：

\[
f_{\text{obs}}
=
f_s
\frac{v+v_o}{v-v_s}
\]

對於接近運動：

• \(v_o>0\) 使分子變大，
• \(v_s>0\) 使分母變小。

兩者都會提高 \(f_{\text{obs}}\)。

對於分離運動：

• \(v_o<0\) 使分子變小，
• \(v_s<0\) 使分母變大。

兩者都會降低 \(f_{\text{obs}}\)。

如果計算出的答案與你的物理預測不一致，先檢查正負號，再做其他處理。

08公式有其適用限制

看看聲源項：

\[
f_{\text{obs}}=f_s\frac{v}{v-v_s}
\]

當一個接近中的聲源速度愈來愈接近聲速時，\(v-v_s\) 會變得非常小。公式會預測聲源前方的波長極短，而觀察到的頻率極高。

如果 \(v_s=v\) 呢？

分母會變成零。

這不代表觀察者真的會聽到無限高頻率的聲音。這表示我們用來描述分離且穩定到達之波前的簡單模型，已經到達其適用極限。

在聲速下，接連產生的擾動會堆疊在一起。對於超音速運動，聲源會追過自己較早產生的一部分波前，形成衝擊波的波形，而不是簡單多普勒公式所假設的普通次音速波形。

因此，分母趨近於零是在提醒我們要思考背後的物理，而不是讓我們寫下「無限大 Hz」。

09問題與解答

問題 1

一個靜止的警報器發出 \(520\ \text{Hz}\) 的頻率。一名觀察者以 \(12\ \text{m s}^{-1}\) 的速度直接向它跑去。聲速為 \(340\ \text{m s}^{-1}\)。

計算觀察到的頻率。

解答 1

觀察到的頻率約為 \(\boxed{538\ \text{Hz}}\)。

聲源是靜止的，而觀察者向它移動，因此 \(v_o=+12\ \text{m s}^{-1}\)，而 \(v_s=0\)。

使用

\[
f_{\text{obs}}
=
f_s\frac{v+v_o}{v-v_s},
\]

可得

\[
\begin{aligned}
f_{\text{obs}}
&=520\left(\frac{340+12}{340}\right)\\
&=520\left(\frac{352}{340}\right)\\
&=538.35\ \text{Hz}
\end{aligned}
\]

因此，

\[
\boxed{f_{\text{obs}}\approx538\ \text{Hz}}
\]

結果高於 \(520\ \text{Hz}\)，正如預期，因為觀察者正在移向迎面而來的波前。

問題 2

一輛小車載著一個發出 \(900\ \text{Hz}\) 聲音的蜂鳴器。小車以 \(18\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向一名學生移動。學生則以 \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速度遠離小車。

取聲速為 \(340\ \text{m s}^{-1}\)。

計算學生聽到的頻率。

解答 2

學生聽到的頻率約為 \(\boxed{939\ \text{Hz}}\)。

聲源向觀察者移動，因此

\[
v_s=+18\ \text{m s}^{-1}
\]

觀察者遠離聲源，因此

\[
v_o=-4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

使用多普勒公式，

\[
\begin{aligned}
f_{\text{obs}}
&=f_s\frac{v+v_o}{v-v_s}\\
&=900\left(\frac{340-4.0}{340-18}\right)\\
&=900\left(\frac{336}{322}\right)\\
&=939.13\ \text{Hz}
\end{aligned}
\]

因此，

\[
\boxed{f_{\text{obs}}\approx939\ \text{Hz}}
\]

觀察者遠離會傾向使頻率降低，而聲源接近則會傾向使頻率升高。在這個情況中，聲源造成的效應較強，因此整體觀察到的頻率高於 \(900\ \text{Hz}\)。

問題 3

在兩個實驗中都使用了 \(700\ \text{Hz}\) 的聲音。取聲速為 \(340\ \text{m s}^{-1}\)。

在實驗 A 中，聲源靜止，而觀察者以 \(30\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向它移動。

在實驗 B 中，觀察者靜止，而聲源以 \(30\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向觀察者移動。

計算每個實驗中的觀察頻率，並判斷兩個頻率是否相等。

解答 3

兩個頻率不相等。實驗 A 約為 \(\boxed{762\ \text{Hz}}\)，而實驗 B 約為 \(\boxed{768\ \text{Hz}}\)。

對於實驗 A，只有觀察者移動：

\[
\begin{aligned}
f_A
&=700\left(\frac{340+30}{340}\right)\\
&=761.76\ \text{Hz}
\end{aligned}
\]

所以

\[
\boxed{f_A\approx762\ \text{Hz}}
\]

對於實驗 B，只有聲源移動：

\[
\begin{aligned}
f_B
&=700\left(\frac{340}{340-30}\right)\\
&=767.74\ \text{Hz}
\end{aligned}
\]

所以

\[
\boxed{f_B\approx768\ \text{Hz}}
\]

一個很容易犯的錯誤，是認為兩個實驗的接近速度都是 \(30\ \text{m s}^{-1}\)，所以它們必定產生相同的多普勒頻移。

但事實並非如此。觀察者移動會改變遇到既有波前的速率；聲源移動則會改變介質中產生的波長。這兩種改變在物理上並不相同，因此 \(v_o\) 和 \(v_s\) 會出現在公式的不同位置。

問題 4

一個聲源以 \(20\ \text{m s}^{-1}\) 的速度直接向一名觀察者移動。觀察者本身也可以移動。

觀察者必須以甚麼速度移動，才能使觀察到的頻率剛好等於聲源發出的頻率？假設兩者都在靜止空氣中沿同一直線移動。

解答 4

觀察者必須以 \(\boxed{20\ \text{m s}^{-1}}\) 的速度遠離聲源。

要使觀察到的頻率與發出的頻率相等，

\[
f_{\text{obs}}=f_s
\]

因此，多普勒公式中的倍數必須等於 \(1\)：

\[
\frac{v+v_o}{v-v_s}=1
\]

所以，

\[
v+v_o=v-v_s
\]

消去 \(v\) 後得

\[
v_o=-v_s
\]

聲源速度為

\[
v_s=+20\ \text{m s}^{-1}
\]

所以

\[
v_o=-20\ \text{m s}^{-1}
\]

因此，觀察者必須以

\[
\boxed{20\ \text{m s}^{-1}}
\]

的速度遠離聲源。

這在物理上也合理。如果聲源和觀察者以相同速度向同一方向移動，它們之間的距離會保持不變。聲源會壓縮其前方的波前，但觀察者沿著這個波前排列遠離的速率，恰好可以抵消頻率增加的效果。

問題 5

一個聲源在接近靜止觀察者的同時，發出 \(500\ \text{Hz}\) 的音調。

聲速為 \(340\ \text{m s}^{-1}\)。

先計算聲源以 \(330\ \text{m s}^{-1}\) 移動時，普通多普勒公式所預測的頻率。然後解釋當聲源速度接近 \(340\ \text{m s}^{-1}\) 時，公式會發生甚麼情況，以及這是否代表實際的物理頻率會變成無限大。

解答 5

在 \(330\ \text{m s}^{-1}\) 時，公式預測的頻率為 \(\boxed{17\,000\ \text{Hz}}\)。當聲源速度接近聲速時，普通公式會失效。這不代表真實的觀察者會接收到無限高頻率的聲音。

對於靜止的觀察者，

\[
f_{\text{obs}}
=
f_s\frac{v}{v-v_s}
\]

代入 \(f_s=500\ \text{Hz}\)、\(v=340\ \text{m s}^{-1}\) 和 \(v_s=330\ \text{m s}^{-1}\)，

\[
\begin{aligned}
f_{\text{obs}}
&=500\left(\frac{340}{340-330}\right)\\
&=500\left(\frac{340}{10}\right)\\
&=17\,000\ \text{Hz}
\end{aligned}
\]

這個非常大的結果，是因為模型預測聲源前方的波長會變得極短。

如果把 \(v_s\) 增加到剛好 \(340\ \text{m s}^{-1}\)，分母會變成

\[
340-340=0
\]

因此公式將沒有定義。

容易掉入的陷阱，是把這個沒有定義的結果當成字面上的無限頻率。這個公式假設次音速聲源產生的是一連串彼此分離的普通波前。在聲速下，波前會堆疊起來。一旦聲源進入超音速狀態，就必須改為考慮衝擊波的行為。數學上的失效是在告訴我們，簡單模型背後的假設已經不再成立。

10這個概念接下來能帶你理解甚麼

從多普勒效應題目中最值得養成的習慣，不是死記正號和負號應該放在哪裡，而是思考運動在物理上究竟改變了甚麼。

觀察者的運動改變的是遇到波前的速率。聲源的運動改變的是波前之間的間距。

一旦牢固掌握這個分別，多普勒效應的計算就更容易檢查，而頻率偏移這個相同的基本概念，也可以延伸到科學家利用波來推斷運動的其他情況。對電磁波而言，細節會有所不同，因為光的行為不像在空氣中傳播的聲音，但核心的測量仍然非常有用：觀察到的頻率變化，可以揭示你無法直接測量的運動。