HSC Physics：恆定加速度位移公式的使用方法

一輛汽車正以 \(12\text{ m s}^{-1}\) 向東行駛。駕駛者持續煞車 \(3.0\text{ s}\)。你知道初速度、加速度和時間，但不知道汽車移動了多遠。

你可能會想直接計算 \(12 \times 3 = 36\text{ m}\)。但這假設汽車在整整三秒內都維持 \(12\text{ m s}^{-1}\) 的速度。實際上並非如此。汽車正在減速。

方程式

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

正好可以解決這個問題，前提是加速度為常數。

在 HSC 題目中，較困難的部分通常不是把數值代入方程式，而是判斷這條方程式是否適用，以及正確選擇 \(u\)、\(a\) 和 \(s\) 的正負號。

01這條方程式解決的是甚麼問題？

假設一個物體開始時的速度為 \(u\)，之後以恆定速率 \(a\) 加速。

我們可以把它的運動想像成兩個部分。

首先，想像物體在時間 \(t\) 內一直以初速度運動。它會產生位移

\[
ut.
\]

但加速度會在物體移動時改變它的速度。這種改變會帶來額外的位移；如果加速度方向與初始運動方向相反，也可能減少位移。

加速度所造成的這部分位移為

\[
\frac{1}{2}at^2.
\]

因此，總位移為

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2.
\]

其中：

• \(s\) 是位移，以米（\(\text{m}\)）為單位
• \(u\) 是初速度，以米每秒（\(\text{m s}^{-1}\)）為單位
• \(a\) 是恆定加速度，以米每平方秒（\(\text{m s}^{-2}\)）為單位
• \(t\) 是經過的時間，以秒（\(\text{s}\)）為單位

注意，\(s\) 是位移，不是路程。只要物體改變方向，這項區別就會變得很重要。如果你對這項區別仍不太熟悉，繼續之前可以先複習 HSC Physics 中的路程與位移。

02為甚麼會有 \(\frac{1}{2}\)？

\(\frac{1}{2}\) 這個因數可能看起來只是必須背下來的東西，但它並不是任意出現的。

想像一個物體從靜止開始，以恆定的 \(2\text{ m s}^{-2}\) 加速度運動 \(4\text{ s}\)。

它的速度會如下增加：

• 在 \(0\text{ s}\) 時：\(0\text{ m s}^{-1}\)
• 在 \(1\text{ s}\) 時：\(2\text{ m s}^{-1}\)
• 在 \(2\text{ s}\) 時：\(4\text{ m s}^{-1}\)
• 在 \(3\text{ s}\) 時：\(6\text{ m s}^{-1}\)
• 在 \(4\text{ s}\) 時：\(8\text{ m s}^{-1}\)

試著預測它的位移。會是 \(8 \times 4 = 32\text{ m}\) 嗎？

不是。物體只有在最後才達到 \(8\text{ m s}^{-1}\)。在這四秒的大部分時間裡，它都以較低的速度運動。

由於速度由 \(0\) 均勻增加至 \(8\text{ m s}^{-1}\)，它的平均速度為

\[
\frac{0 + 8}{2} = 4\text{ m s}^{-1}.
\]

因此，它的位移為

\[
s = v_{\text{av}}t = 4 \times 4 = 16\text{ m}.
\]

使用 \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\) 也會得到相同結果：

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (0)(4) + \frac{1}{2}(2)(4^2) \\
&= 16\text{ m}.
\end{aligned}
\]

\(\frac{1}{2}\) 之所以出現，是因為在恆定加速度下，速度是穩定地改變，而不是瞬間跳到最終值。

另一種理解方式是使用速度-時間圖。\(ut\) 項代表由初速度形成的矩形面積，而 \(\frac{1}{2}at^2\) 項代表速度改變所形成的三角形面積。

這個圖像很有用，但也有限制：只有在加速度恆定時，才會出現這種整齊的三角形。如果加速度隨時間改變，速度-時間圖通常不會是直線，因此不能直接把這條方程式套用於整個時間區間。

03學生常忘記的條件：加速度必須恆定

這條方程式屬於恆定加速度方程式。

這表示在你分析的整段時間內，\(a\) 必須保持不變。

例如，如果題目要求你如此建模，以下情況可以合理地視為恆定加速度運動：

• 忽略空氣阻力時，物體在地球表面附近自由落下
• 汽車沿直路均勻加速
• 火車以恆定速率煞車
• 小車沿軌道以恆定加速度運動

但假設一輛汽車先以 \(2\text{ m s}^{-2}\) 加速兩秒，之後再以 \(5\text{ m s}^{-2}\) 加速另外兩秒。

你可以把 \(t = 4\text{ s}\) 代入

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

並使用某個方便的單一 \(a\) 值嗎？

除非該數值確實代表整段時間內的恆定加速度，否則不可以。在這個例子中，它並不符合這項條件。

你應該把運動分成不同區間。先求第一個恆定加速度區間內的位移，找出新的速度，然後再分析第二個區間。

加速度-時間圖 可以幫助你判斷加速度何時為常數，以及何時需要把運動分成不同部分分析。

04選擇正負號：先選定正方向

許多原本正確的解題過程，就是在這裡出錯。

速度和加速度都是向量。在一維運動中，它們的正負號表示所指的方向。

代入任何數值之前，先選定正方向。

對於水平運動，你可以選擇：

\[
\text{向東} = +
\]

這就自動代表

\[
\text{向西} = -.
\]

對於垂直運動，你可以選擇：

\[
\text{向上} = +
\]

這表示

\[
\text{向下} = -.
\]

你也可以選擇相反的慣例，仍然能得到正確的物理結果。重要的是要保持一致。

可以把選擇正方向想成決定走廊哪一端的房間編號採用正數。物理並不在乎你選哪一端；它在乎的是你不要走到一半突然改變規則。

正負號並不代表「好」、「壞」、「加速」或「減速」

負加速度並不自動代表物體正在減速。

它只表示加速度指向負方向。

假設向東為正。

如果汽車向東行駛，那麼 \(u > 0\)。

如果它的加速度向西，那麼 \(a < 0\)。加速度與速度方向相反，因此汽車會減速。

但假設汽車正在向西行駛。此時 \(u < 0\)。如果它的加速度也向西，那麼 \(a < 0\)，而汽車反而會加速。

因此，一個有用的規則是：

正負號首先告訴你方向。速率增加還是減少，則要比較速度和加速度的方向。

05一個可靠的正負號設定方法

使用方程式之前，先寫下你選擇的正方向。

然後按照這個方向慣例，把每個向量量寫成帶正負號的數值。

假設一顆球以 \(15\text{ m s}^{-1}\) 向上拋出，而你選擇向上為正。

那麼：

\[
u = +15\text{ m s}^{-1}
\]

而重力加速度向下，所以

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

如果計算得到位移 \(s = +6.0\text{ m}\)，代表球最後位於起點上方 \(6.0\text{ m}\)。

如果 \(s = -6.0\text{ m}\)，則代表它最後位於起點下方 \(6.0\text{ m}\)。

不要只是因為物體正在「減速」，就為加速度加上負號。正負號應該根據方向來決定。

06解題範例：單車手由已知速度開始加速

一名單車手以 \(4.0\text{ m s}^{-1}\) 向東行駛，並以 \(1.5\text{ m s}^{-2}\) 向東均勻加速 \(6.0\text{ s}\)。計算單車手的位移。

步驟 1：選擇正方向。

取向東為正。因此，

\[
u = +4.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = +1.5\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 6.0\text{ s}.
\]

速度和加速度都是正數，因為兩者都指向東方。

步驟 2：選擇方程式。

我們知道 \(u\)、\(a\) 和 \(t\)，並要求 \(s\)。加速度為常數，因此

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

適用。

步驟 3：代入數值。

\[
\begin{aligned}
s &= (4.0)(6.0) + \frac{1}{2}(1.5)(6.0^2) \\
&= 24 + 27 \\
&= 51\text{ m}.
\end{aligned}
\]

步驟 4：解釋正負號和結果。

位移為

\[
\boxed{s = 51\text{ m 向東}}.
\]

前面的 \(24\text{ m}\) 來自單車手的初速度。額外的 \(27\text{ m}\) 則來自加速度所造成的速度增加。

07解題範例：向上拋出的球

一顆球從露台以 \(18.0\text{ m s}^{-1}\) 垂直向上拋出。忽略空氣阻力。求 \(2.50\text{ s}\) 後它相對於拋出點的位移。取 \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\)。

步驟 1：選擇正方向。

取向上為正。

初速度向上：

\[
u = +18.0\text{ m s}^{-1}.
\]

重力向下：

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

時間為

\[
t = 2.50\text{ s}.
\]

步驟 2：代入恆定加速度方程式。

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (18.0)(2.50) + \frac{1}{2}(-9.8)(2.50^2) \\
&= 45.0 – 30.625 \\
&= 14.375\text{ m}.
\end{aligned}
\]

取適當的有效數字後，

\[
\boxed{s = +14.4\text{ m}}.
\]

步驟 3：解釋答案。

正號表示在 \(2.50\text{ s}\) 後，球位於拋出點上方 \(14.4\text{ m}\)。

注意，單靠這項計算不能告訴我們球在那一刻是向上還是向下運動。

位移告訴我們相對於起點的位置，而不是運動方向。

事實上，球在少於 \(2.50\text{ s}\) 時就已到達最高點，因此此時它已經向下運動，但仍位於起點上方。因此，一個物體可以在同一時刻具有正位移和負速度。

這項區別是 HSC 題目中常見的陷阱。

08為甚麼 \(t^2\) 很重要

學生有時會記得方程式的結構是「初始運動加上加速度造成的運動」，但忘記時間需要平方。

檢查單位。

第一項的單位為

\[
ut = (\text{m s}^{-1})(\text{s}) = \text{m}.
\]

第二項的單位為

\[
at^2 = (\text{m s}^{-2})(\text{s}^2) = \text{m}.
\]

因此，兩項的單位都是位移。

如果你誤用了 \(\frac{1}{2}at\)，它的單位會是

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1},
\]

這是速度，而不是位移。

檢查單位無法找出所有物理錯誤，但它可以很容易地抓出不少代數錯誤。

09為甚麼位移會隨 \(t^2\) 增長

假設一個物體從靜止開始，以恆定加速度運動。

此時 \(u = 0\)，所以

\[
s = \frac{1}{2}at^2.
\]

如果你把時間加倍，位移會怎樣變化？

一個很容易出現的直覺是位移也會加倍。但

\[
(2t)^2 = 4t^2,
\]

因此位移會變成原來的四倍。

例如，一個從靜止開始、加速度為 \(3.0\text{ m s}^{-2}\) 的物體，在 \(2.0\text{ s}\) 內移動

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(2.0^2) = 6.0\text{ m}.
\]

經過 \(4.0\text{ s}\) 後，

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(4.0^2) = 24\text{ m}.
\]

時間加倍，位移變成四倍。

為甚麼？因為物體不但有更長時間移動，而且在這段更長時間的後半部分，它的速度也更快。

10最容易出現的誤解：負位移代表正在向後移動

不一定。

假設向東為正。如果某個物體有

\[
s = -5\text{ m},
\]

這只表示它的最終位置在起點以西 \(5\text{ m}\)。

它目前可能正在向西運動。

它也可能先向西移動，之後轉向，現在正向東運動，但仍位於起點以西 \(5\text{ m}\)。

位移描述位置的改變。速度則描述在某一瞬間，位置改變的速率和方向。

這兩個概念互有關聯，但不能互相代替。

11HSC 題目的簡潔判斷規則

在使用

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

之前，檢查四件事。

1. 在你分析的區間內，運動是否為一維？
   選擇一條坐標軸，並定義它的正方向。

2. 加速度是否恆定？
   如果不是，就不能把這條方程式套用於整個加速度變化的區間。

3. 你是否知道 \(u\)、\(a\) 和 \(t\)，或者能否求出它們？
   這條方程式特別有用，因為其中不包含末速度。

4. 你是否已按照方向指定正負號？
   要在代入數值之前完成，而不是之後才處理。

一個有用的習慣是在進行任何垂直運動計算前，先寫一行，例如

\[
\text{向上為正}
\]

這只需要幾秒鐘，卻可以避免很大一部分的正負號錯誤。

12題目與解答

問題 1

一名滑板手以 \(3.0\text{ m s}^{-1}\) 向北移動，並以 \(0.80\text{ m s}^{-2}\) 向北均勻加速 \(5.0\text{ s}\)。計算滑板手在這段時間內的位移。

解答 1

滑板手移動了 \(\boxed{25\text{ m 向北}}\)。

取向北為正。則

\[
u = +3.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = +0.80\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 5.0\text{ s}.
\]

使用

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

可得

\[
\begin{aligned}
s &= (3.0)(5.0) + \frac{1}{2}(0.80)(5.0^2) \\
&= 15 + 10 \\
&= 25\text{ m}.
\end{aligned}
\]

正值表示位移向北。\(u\) 和 \(a\) 都是正數，因為它們都指向所選定的正方向。

問題 2

一部升降機正以 \(2.4\text{ m s}^{-1}\) 向上移動。它以 \(0.60\text{ m s}^{-2}\) 向下均勻加速 \(3.0\text{ s}\)。

計算它在這 \(3.0\text{ s}\) 內的位移。

解答 2

升降機的位移為 \(\boxed{+4.5\text{ m}}\)，因此最後位於初始位置上方 \(4.5\text{ m}\)。

選擇向上為正。則

\[
u = +2.4\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = -0.60\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 3.0\text{ s}.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (2.4)(3.0) + \frac{1}{2}(-0.60)(3.0^2) \\
&= 7.2 – 2.7 \\
&= 4.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

加速度為負，是因為它向下，而不只是因為升降機正在減速。

在這三秒內，向上的速度與向下的加速度方向相反，因此升降機的速率減少。

問題 3

一顆小球從地面以 \(14.0\text{ m s}^{-1}\) 垂直向上拋出。忽略空氣阻力，並取 \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\)。

一名學生把 \(3.00\text{ s}\) 後的位移計算為

\[
s = (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(9.8)(3.00^2)
\]

並得到 \(86.1\text{ m}\)。

指出錯誤，計算正確的位移，並說明結果的正負號代表甚麼。

解答 3

學生的錯誤是為重力加速度使用了錯誤的正負號。正確的位移為 \(\boxed{-2.1\text{ m}}\)，表示如果允許球在不受阻礙的情況下繼續運動，那麼在 \(3.00\text{ s}\) 後，它會位於拋出高度下方 \(2.1\text{ m}\)。

如果向上為正，則

\[
u = +14.0\text{ m s}^{-1}
\]

但重力向下，因此

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

所以，

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(-9.8)(3.00^2) \\
&= 42.0 – 44.1 \\
&= -2.1\text{ m}.
\end{aligned}
\]

這項計算中還隱含了一個重要的物理假設。題目說球從地面拋出。現實中的球在到達地面以下 \(2.1\text{ m}\) 的位置之前，就會先撞到地面，除非拋出點下方有洞穴或落差。

因此，這條方程式正確描述了數學上的恆定加速度軌跡，但真實的物理情況可能會在球接觸地面時終止。方程式不會自動知道障礙物的存在。

問題 4

一輛測試車的初速度為 \(+6.0\text{ m s}^{-1}\)，其中向東為正。

在最初的 \(2.0\text{ s}\) 內，它的恆定加速度為 \(-2.0\text{ m s}^{-2}\)。接下來的 \(3.0\text{ s}\) 內，它的加速度恆定為 \(+1.0\text{ m s}^{-2}\)。

一名學生建議在完整的 \(5.0\text{ s}\) 內只使用一次

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

並取 \(u = 6.0\text{ m s}^{-1}\)，再把 \(-2.0\) 和 \(+1.0\) 的平均值作為加速度。

解釋為甚麼這種方法無效，然後計算車輛的總位移。

解答 4

使用單一方程式的方法無效，因為在完整的 \(5.0\text{ s}\) 內，加速度並不恆定。正確的總位移為 \(\boxed{19.5\text{ m 向東}}\)。

必須把運動分成兩個加速度各自恆定的區間。

對第一個區間，

\[
u_1 = +6.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_1 = -2.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_1 = 2.0\text{ s}.
\]

位移為

\[
\begin{aligned}
s_1 &= u_1t_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2 \\
&= (6.0)(2.0) + \frac{1}{2}(-2.0)(2.0^2) \\
&= 12 – 4 \\
&= 8.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

我們還需要求出這個區間結束時的速度，因為它會成為第二個區間的初速度。

使用

\[
v = u + at,
\]

\[
\begin{aligned}
v_1 &= 6.0 + (-2.0)(2.0) \\
&= 2.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

對第二個區間，

\[
u_2 = +2.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_2 = +1.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_2 = 3.0\text{ s}.
\]

所以

\[
\begin{aligned}
s_2 &= u_2t_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2 \\
&= (2.0)(3.0) + \frac{1}{2}(1.0)(3.0^2) \\
&= 6.0 + 4.5 \\
&= 10.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

總位移為

\[
\begin{aligned}
s_{\text{total}} &= s_1 + s_2 \\
&= 8.0 + 10.5 \\
&= 18.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

因此，

\[
\boxed{s_{\text{total}} = 18.5\text{ m 向東}}.
\]

重要的是，把兩個加速度值取平均並不能重現實際的運動。每個加速度發生的時間順序十分重要，因為第一個區間會改變進入第二個區間時的速度。

13這條方程式為你接下來的學習奠定甚麼基礎

方程式

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

不只是一條代入數值的公式。它連繫了三個概念：物體的初始運動、恆定加速度如何改變這項運動，以及隨時間累積的位移。

當你理解正負號的意義後，其他恆定加速度方程式也會更容易整理。相同的慣例會一直適用：選擇正方向，把速度和加速度視為有正負號的量，並思考計算結果在物理上代表甚麼。

下一個有用的學習步驟，是學會在這些方程式與運動圖像之間轉換。圖像可以立即顯示加速度何時為常數、物體何時改變方向，以及何時不能再使用單一的恆定加速度方程式。