HSC 物理中的勻速運動與勻加速運動

一輛汽車在第一秒行駛 20 m，接下來一秒又行駛 20 m，第三秒再行駛 20 m。另一輛汽車在同樣三個各為一秒的時間間隔內，依次行駛 5 m、15 m 和 25 m。

哪一輛汽車正在加速？

第一輛汽車在相等時間內產生相等位移，因此它的速度保持不變。第二輛汽車在每一個接續的一秒內都行駛得更遠，這表示它的速度正在改變。

這個差異帶出了 HSC 物理中兩種最實用的運動模型：

• 勻速運動（uniform motion）：速度保持不變
• 勻加速運動（uniformly accelerated motion）：加速度保持不變

這兩個名稱聽起來很容易混淆。重點不是把它們當成定義死記，而是問一個問題：

哪一個物理量保持不變？

01勻速運動：速度保持不變

想像一輛汽車沿直線道路以 \(12\text{ m s}^{-1}\) 行駛。

1 秒後，它行駛了 12 m。再過 1 秒，又行駛 12 m。再過 1 秒，又行駛 12 m。

繼續閱讀之前，先預測一下它的速度會怎樣變化。

它會維持在 \(12\text{ m s}^{-1}\)。

這就是勻速運動。

更精確地說：

當物體的速度保持不變時，物體處於勻速運動。

這表示速度的大小和方向都保持不變。

如果你對這個區別還不完全熟悉，繼續之前值得先複習速率與速度。

哪些物理量保持不變？

對於勻速運動：

由於速度沒有改變，

\[
a = 0
\]

其中 \(a\) 是加速度，單位為 \(\text{m s}^{-2}\)。

對於一維運動，

\[
v = \frac{\Delta x}{\Delta t}
\]

其中 \(v\) 是速度，\(\Delta x\) 是位移，而 \(\Delta t\) 是時間間隔。

整理後可得：

\[
\Delta x = v\Delta t
\]

這條方程很有用，因為速度恆定表示物體在每個相等的時間間隔內都會產生相同的位移。

快速預測

一名單車手以恆定的 \(6.0\text{ m s}^{-1}\) 向東行駛。單車手的加速度是多少？

檢查你的理解

一名跑手以 \(4.0\text{ m s}^{-1}\) 向西跑 15 s。跑手的位移是多少？

02勻加速運動：加速度保持不變

現在想像一輛汽車的速度按以下方式變化：

你注意到甚麼規律？

速度每秒增加 \(3\text{ m s}^{-1}\)。

因此速度明顯不是恆定的，但它的變化率是恆定的。

加速度為：

\[
a = 3\text{ m s}^{-2}
\]

這就是勻加速運動。

當物體的加速度保持不變時，物體進行勻加速運動。

也可以用另一種方式表達同一件事：

在相等的時間間隔內，速度改變相等的量。

在表格中，第二種說法通常更容易辨認。

03相等的時間間隔是否代表相等的距離？

這裡很容易出現一個看似合理的錯誤。

假設一輛汽車以恆定加速度運動。它行駛一秒，再行駛一秒，再行駛一秒。

它在每一秒內行駛的距離會相等嗎？

不會。

如果它正在加速，每一個一秒時間間隔開始時的速度都比前一個時間間隔開始時更大。因此，它在較後的時間間隔內會產生更大的位移。

加速度恆定代表的是速度有相等的變化量，而不是位置有相等的變化量。

這個區別值得記住。

04四條恆加速度方程

只要加速度保持恆定，就可以使用幾條實用的關係式。

對於一維運動：

\[
v = u + at
\]

\[
\Delta x = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

\[
v^2 = u^2 + 2a\Delta x
\]

\[
\Delta x = \frac{u+v}{2}t
\]

其中：

• \(u\) 是初速度，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(v\) 是末速度，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) 是恆定加速度，單位為 \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) 是時間，單位為秒
• \(\Delta x\) 是位移，單位為米

這些方程有時稱為恆加速度方程，或 SUVAT 方程。

不要因為某條方程「看起來很熟悉」就選它。應該先看你已知哪些資料，以及需要求哪一個物理量。

例如，如果題目給出 \(u\)、\(a\) 和 \(t\)，並要求 \(v\)，那麼

\[
v = u + at
\]

正好包含這四個物理量。

05為甚麼位移包含 \(t^2\)

方程

\[
\Delta x = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

看起來可能像是只能死記硬背，但其形式其實有一個實際的物理原因。

先考慮一輛初速度為 \(u\) 的汽車。如果它完全沒有加速，那麼經過時間 \(t\) 後，它會行駛：

\[
ut
\]

但隨著時間經過，加速度會帶來額外的速度。這部分額外運動產生的位移為：

\[
\frac{1}{2}at^2
\]

因此總位移為：

\[
\Delta x = \underbrace{ut}_{\text{由初速度造成的運動}} + \underbrace{\frac{1}{2}at^2}_{\text{由加速度造成的額外運動}}
\]

\(t^2\) 很重要。如果一個物體由靜止開始，以恆定加速度運動，把時間加倍不會只是把位移加倍，而是會令位移變成原來的四倍。

預測

一個物體由靜止開始作勻加速運動。它在最初 2 秒內行駛 10 m。如果同樣的加速度持續，總共運動 4 秒，它是否會行駛 20 m？

不會。

由靜止開始表示 \(u=0\)，因此：

\[
\Delta x = \frac{1}{2}at^2
\]

位移與 \(t^2\) 成正比。

時間由 2 s 變成 4 s，即時間乘以 2，因此位移會乘以：

\[
2^2 = 4
\]

所以物體會行駛：

\[
4(10\text{ m}) = 40\text{ m}
\]

08負加速度不一定表示正在減速

這是運動學中最常見的錯誤之一。

學生看到：

\[
a = -3\text{ m s}^{-2}
\]

然後說：「物體正在減速。」

不一定。

負號只告訴我們加速度的方向。

要判斷物體正在加速還是減速，需要比較速度與加速度的方向。

可以用一個有點滑稽的方式來想像。速度和加速度就像兩個人在決定約會要往哪裡走。如果他們對方向意見一致，關係就會變得更「熱烈」，速率也會增加。如果他們往相反方向拉扯，速率便會減少。

這個比喻在哪裡失效？速度和加速度是向量，不是有意圖的人。真正有用的部分，只是判斷它們的方向是否一致。

檢查你的理解

一個物體的速度為 \(-8\text{ m s}^{-1}\)，加速度為 \(-2\text{ m s}^{-2}\)。它正在加速還是減速？

09如何從文字描述辨認兩種模型

HSC 題目不一定會直接說「這個物體進行勻速運動」。更多時候，你需要從描述中辨認所使用的模型。

勻速運動的提示

留意以下類似字眼：

• 「恆定速度」
• 「以 \(15\text{ m s}^{-1}\) 向東運動」
• 「在相等時間間隔內產生相等位移」
• 「以恆定速率沿直線運動」

關鍵概念是：

\[
\boxed{v = \text{恆定}}
\]

因此：

\[
\boxed{a=0}
\]

勻加速運動的提示

留意：

• 「恆定加速度」
• 「以 \(4.0\text{ m s}^{-2}\) 加速」
• 「以恆定速率減速」
• 「速度每秒增加相同的量」
• 「自由落體」，前提是忽略空氣阻力，並把地球表面附近的重力加速度視為恆定

關鍵概念是：

\[
\boxed{a = \text{恆定}}
\]

速度通常會改變。

10如何從圖像辨認兩種模型

圖像可以特別清楚地顯示兩者的區別。

11位置-時間圖

位置-時間圖的斜率代表速度。

在勻速運動中，速度恆定，因此斜率也是恆定的。

所以圖像是一條直線。

斜率較大的直線代表速度大小較大。

水平線表示：

\[
v=0
\]

因此物體是靜止的。

在勻加速運動中，速度會隨時間改變。因此，位置-時間圖的斜率也會改變。

圖像是曲線，而不是直線。

檢查你的理解

一幅位置-時間圖隨時間經過變得愈來愈陡。物體是否處於勻速運動？

12速度-時間圖

速度-時間圖的斜率代表加速度：

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

這給我們一個非常實用的辨認規則。

勻速運動

恆定速度在速度-時間圖上是一條水平線。

它的斜率為零：

\[
a=0
\]

勻加速運動

恆定加速度在圖上是一條傾斜直線。

之所以是直線，是因為它的斜率保持不變。

正斜率表示正加速度。

負斜率表示負加速度。

不要把「直線」和「恆定速度」混淆。在速度-時間圖上，傾斜的直線表示加速度恆定。

檢查你的理解

一幅速度-時間圖是一條直線，由 \(t=0\) 時的 \(4\text{ m s}^{-1}\) 上升至 \(t=6\text{ s}\) 時的 \(16\text{ m s}^{-1}\)。求加速度。

13加速度-時間圖

加速度-時間圖更加直接。

對於勻速運動：

\[
a=0
\]

因此圖線會沿著時間軸。

對於勻加速運動，加速度是某個恆定值，所以圖像是一條位於時間軸上方或下方的水平線。

這給我們一個實用的比較：

14一個重要的複雜情況：恆定速率不一定是勻速運動

假設一輛汽車在圓形賽道上以恆定速率 \(10\text{ m s}^{-1}\) 行駛。

它的速度是否恆定？

不是。

速度包含方向。汽車繞著圓形賽道行駛時，運動方向持續改變。

這表示它的速度正在改變，因此即使速率保持不變，它仍然有加速度。

這就是為甚麼「恆定速率」和「恆定速度」並不總是可以互換。

在 HSC 的直線運動學題目中，如果速率恆定且方向固定，就相當於速度恆定。一旦運動變成二維，方向便會重要得多。如果這個概念對你來說不熟悉，運動學中的純量與向量是很有用的先備知識。

15考試題目的判斷規則

遇到運動問題時，不要立刻開始找方程。

先問：

1. 哪一個物理量保持不變？

如果速度恆定：

\[
a=0
\]

你面對的是勻速運動。

如果加速度恆定：

\[
a=\text{恆定}
\]

你便可以使用恆加速度方程。

2. 我選擇哪個方向為正方向？

在代入數值之前先決定正負號。

3. 我已知哪些物理量？

列出 \(u\)、\(v\)、\(a\)、\(t\) 和 \(\Delta x\)。

4. 哪一條方程同時包含我已知的量和要求的量？

例如：

恆加速度方程只有在你所分析的時間間隔內加速度保持恆定時才適用。

這個條件並不是無關緊要的技術細節，而正是這些方程成立的原因。

16最後檢查：你能分辨這兩種模型嗎？

考慮以下四種描述。

A. 一列火車以 \(22\text{ m s}^{-1}\) 向北行駛 30 s。

B. 一輛汽車在 4 s 內把速度由 \(5\text{ m s}^{-1}\) 增加至 \(17\text{ m s}^{-1}\)，每秒增加 \(3\text{ m s}^{-1}\)。

C. 一個球被陣陣強風吹動，速度不規則地改變。

D. 一輛汽車以恆定速率繞彎行駛。

每種情況適用哪一種模型？