原子鐘對相對論的檢驗：HSC 物理解說

把三個已同步的原子鐘放在一起。一個留在地面，一個向東繞地球飛行，另一個向西飛行。在繼續閱讀之前，先預測一下結果。兩個飛行中的時鐘是否都會因為正在運動而落後？向東飛行的時鐘會不會損失更多時間？還是向東與向西其實完全沒有差別？

在 1971 年的 Hafele-Keating 實驗中，答案遠比「運動中的時鐘走得較慢」奇特。向東飛行的時鐘回來後落後於參考時間，而向西飛行的時鐘則超前。相對論正確預測了這種與方向有關的結果：向東約為 \(-40 \pm 23\) ns，向西約為 \(+275 \pm 21\) ns。實際測得的偏移量分別為 \(-59 \pm 10\) ns 和 \(+273 \pm 7\) ns，其中 \(1\text{ ns}=10^{-9}\text{ s}\)。 PubMed

真正有意思的 HSC 問題不只是「相對論是否成立？」而是：一個正在運動的時鐘怎麼可能反而超前？

01這個實驗是兩種效應之間的競爭

Hafele 和 Keating 把可攜式銫原子束鐘帶上商業客機，先向東、再向西環繞世界飛行，然後把它們與美國海軍天文台的參考原子鐘比較。原子鐘之所以適合這項實驗，是因為它們的計時極為穩定，能夠測量只有數百奈秒的差異。 NIST

有兩種效應必須分開考慮：

第二列非常重要。Hafele-Keating 並不是一個純粹的狹義相對論實驗。如果忽略飛機的高度，就無法得到正確的預測。

對 HSC 物理而言，重要的能力是把這些效應分開、理解它們的正負號，然後再把它們合併。

02第一個問題：地面時鐘本身已經在運動

一個很容易想到的論證是：

兩架飛機相對於地面的速度大致相同，所以狹義相對論應該使兩個時鐘都以大致相同的幅度變慢。

如果地面能構成一個慣性參考系，這會是一個合理的初步模型。但地球正在自轉。

想像機場有一條向東移動的自動步道。一個人即使站在步道上不動，相對於航廈的地板仍然不是靜止的。如果另一個人向東走，他相對於地板的速度會增加；如果他向西走，他相對於地板的速度則會減少。

在 Hafele-Keating 計算的運動學部分，如果我們採用一個近似不旋轉、以地球為中心的參考系，地球表面的情況也很類似。

令：

• \(V\) 為地面因地球自轉而具有的向東速度，
• \(u\) 為飛機相對於地面的速度，
• \(v_{\text{E}}\) 為向東飛行的飛機在所選慣性參考系中的速度，而
• \(v_{\text{W}}\) 為向西飛行的飛機在該參考系中的速度。

對理想化的赤道飛行而言，

\[ v_{\text{E}}=V+u \]

而

\[ v_{\text{W}}=V-u. \]

如果 \(u>V\)，那麼 \(v_{\text{W}}\) 為負：飛機在所選參考系中實際上正向西運動。計算時間膨脹時，它的速率就是 \(|V-u|\)。

自動步道的類比有一個重要限制。航廈地板聽起來像是一個絕對靜止的背景，但相對論中並不存在普遍適用的絕對靜止背景。我們只是選擇一個方便、近似慣性的參考系來進行計算，而不是發現了空間中的絕對參考系。

03把速度轉換成經過時間

對一個以恆定速度 \(v\) 運動的時鐘，Lorentz 因子為

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \]

其中 \(c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}\) 是光速。

如果 \(\Delta \tau\) 是運動中時鐘所測得的固有時間，而 \(\Delta t\) 是慣性參考系中的時間間隔，那麼

\[ \Delta t=\gamma\Delta\tau. \]

因此

\[ \Delta\tau=\frac{\Delta t}{\gamma}. \]

在這個參考系中速度較大的時鐘，累積的固有時間較少。

如果在繼續之前，你需要複習基本的 Lorentz 因子計算，可參閱 HSC 物理中的時間膨脹：使用 Lorentz 因子。

飛機的速度與 \(c\) 相比非常小。這會造成一個實際問題：\(\gamma\) 太接近 1，以致其差異可能在一般計算機的四捨五入中消失。對低速情況，Lorentz 結果可以近似為

\[ \Delta\tau\approx T\left(1-\frac{v^2}{2c^2}\right), \]

其中 \(T\) 是經過的座標時間。

因此，把飛機與地面時鐘比較時，近似的運動學時間偏移為

\[ \Delta\tau_{\text{k}}\approx -\frac{(v_{\text{air}}^2-v_{\text{ground}}^2)T}{2c^2}. \]

正負號會告訴你發生了什麼：

• \(\Delta\tau_{\text{k}}<0\)：飛機時鐘累積的時間比地面時鐘少。
• \(\Delta\tau_{\text{k}}>0\)：飛機時鐘累積的時間比地面時鐘多。

這個方程式是 Lorentz 因子結果在低速下的近似。它在這裡很有用，因為效應非常微小。當速度達到相對論性範圍時，它不能取代精確的時間膨脹方程式。

04第二個問題：飛機的位置較高

現在想像兩個彼此相對靜止的相同時鐘，但其中一個比另一個高出數公里。

哪一個應該走得比較快？

廣義相對論預測，位置較高的時鐘走得較快。在地球表面附近，累積的重力時間差可以用以下近似式表示：

\[ \Delta\tau_{\text{g}}\approx\frac{ghT}{c^2}, \]

其中：

• \(g\) 是以 \(\text{m s}^{-2}\) 為單位的重力場強度，
• \(h\) 是以公尺為單位的高度差，
• \(T\) 是以秒為單位的經過時間，而
• \(c\) 是光速。

對位於地面上方的飛機而言，這個貢獻為正值。

因此，簡化後的總偏移量為

\[ \Delta\tau_{\text{total}} = \Delta\tau_{\text{k}} + \Delta\tau_{\text{g}}. \]

這就是核心概念。速度效應與重力效應可以互相加強，也可以互相競爭。

05為什麼向東與向西會得到不同答案

對實際的 Hafele-Keating 飛行而言，預測的各項貢獻約為：

兩次實際旅程的飛行時間、高度和航線並不完全相同，因此精確的重力貢獻也不同。重要的是正負號的模式。 HyperPhysics

對向東飛行而言，在所選的不旋轉參考系中，飛機比原本已向東運動的地面更快。它的運動學時間損失大到足以超過高度所帶來的正向效應，因此時鐘最後落後。

對向西飛行而言，飛機的運動降低了它相對於旋轉地面的速度。因此，從運動學效應來看，它比地面時鐘累積了更多固有時間。高度效應也使它的讀數向前增加。兩種效應互相加強。

所以，「運動中的時鐘走得較慢」並沒有錯。錯的是只問飛機是否在運動，卻沒有同時問：它以多大速度運動、與哪一條其他世界線相比，以及在哪一個參考系中？

範例：向東飛行的飛機時鐘會增加還是損失時間？

一架飛機在赤道附近向東飛行 \(10.0\) h。在一個近似不旋轉、以地球為中心的參考系中，地球表面向東的速度為 \(465\text{ m s}^{-1}\)。飛機相對於地面以 \(250\text{ m s}^{-1}\) 飛行，並保持在 \(10.0\text{ km}\) 的高度。

使用 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) 和 \(c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}\)，估算飛機時鐘相對於地面時鐘的總偏移量。

步驟 1：找出兩者在同一參考系中的速度。

地面的速度為

\[ v_{\text{ground}}=465\text{ m s}^{-1}. \]

向東飛行的飛機與地球自轉方向相同，因此

\[ v_{\text{air}}=465+250=715\text{ m s}^{-1}. \]

飛行時間為

\[ T=10.0\times3600=3.60\times10^4\text{ s}. \]

步驟 2：計算運動學貢獻。

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{k}} &\approx-\frac{(715^2-465^2)(3.60\times10^4)} {2(3.00\times10^8)^2}\\ &=-5.90\times10^{-8}\text{ s}\\ &=-59.0\text{ ns}. \end{aligned} \]

因此，運動效應使飛機時鐘比地面時鐘落後 \(59.0\) ns。

步驟 3：計算重力貢獻。

高度為

\[ h=10.0\text{ km}=1.00\times10^4\text{ m}. \]

因此

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{g}} &\approx\frac{ghT}{c^2}\\ &=\frac{(9.8)(1.00\times10^4)(3.60\times10^4)} {(3.00\times10^8)^2}\\ &=3.92\times10^{-8}\text{ s}\\ &=39.2\text{ ns}. \end{aligned} \]

高度使飛機時鐘超前 \(39.2\) ns。

步驟 4：合併兩種效應。

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{total}} &=-59.0+39.2\\ &=-19.8\text{ ns}. \end{aligned} \]

飛機時鐘最後比地面時鐘落後約 \(19.8\) ns。真正重要的不是這個極小的數值，而是兩種真實的相對論效應朝相反方向作用，最後的正負號由較大的效應決定。

範例：測量結果是否支持預測？

對 Hafele-Keating 的向東飛行，預測的總偏移量為 \(-40\pm23\) ns。測得的偏移量為 \(-59\pm10\) ns。

使用所給的不確定度，以簡單的 HSC 方式判斷觀測結果是否與預測一致。

步驟 1：寫出近似的預測範圍。

\[ -40-23=-63\text{ ns} \]

以及

\[ -40+23=-17\text{ ns}. \]

因此，預測範圍約為

\[ -63\text{ ns 至 }-17\text{ ns}. \]

步驟 2：寫出測量範圍。

\[ -59-10=-69\text{ ns} \]

以及

\[ -59+10=-49\text{ ns}. \]

因此，測量範圍約為

\[ -69\text{ ns 至 }-49\text{ ns}. \]

步驟 3：比較兩者。

兩個區間從約 \(-63\) ns 到 \(-49\) ns 的部分互相重疊。

測量的中心值與預測的中心值並不完全相同，但實驗結果要與預測一致，並不要求兩者的中心值完全相等。在所報告的實驗不確定度範圍內，觀測結果與預測一致。NIST 也同樣指出，這些飛行實驗的結果在實驗誤差範圍內與狹義及廣義相對論的預測相符。 NIST

這種區間比較是刻意簡化的。論文所報告的不確定度並不全都是完全相同類型的統計量，因此嚴謹的科學分析會更仔細地處理它們。對 HSC 的推理而言，重要的是明白：一項實驗預測通常不是一個所有測量結果都必須精確命中的神奇單一數字。

06要避免的誤解：「向西飛行的時鐘走得較快」

這個說法太過籠統。

在歷史上的實驗中，向西飛行的時鐘相對於地面參考鐘確實增加了時間。但「向西」這個方向本身並不會讓時鐘走得更快。

假設你不斷提高一架向西飛行的飛機速度。起初，向西飛行會降低它在不旋轉、以地球為中心的參考系中的速度。在某個特定的地面相對速度下，飛機甚至可能在那個參考系中瞬間靜止，而地球表面則在它下方向東移動。

然而，如果再把速度提高很多，飛機就會在慣性參考系中高速向西飛行。它的速率大小可能變得比地面時鐘的速率更大。此時，它的運動學效應又會變成負值。

所以判斷規則不是：

• 向東 = 時鐘較慢，
• 向西 = 時鐘較快。

較好的規則是：

1. 選擇一個合適的參考系，
2. 計算兩個時鐘在該參考系中的速度，
3. 比較這些速度的平方，
4. 加上任何需要考慮的重力貢獻，然後
5. 最後才判斷哪一個時鐘累積較多時間。

07是什麼讓這個實驗成為有力的證據？

一個有用的實驗不只是事後產生一個奇怪的結果。理論必須先提出一個有可能被證明錯誤的預測。

Hafele-Keating 實驗具有幾個重要特點。

第一，在比較時鐘之前，相對論就已經預測了結果的正負號：向東會損失時間，而向西會增加更多時間。這種不對稱並不是事後為了挽救模型才加進去的。 PubMed

第二，這個實驗產生了定量預測。只說「這些時鐘可能會有一點差異」會是很弱的預測。預測數十或數百奈秒尺度的變化，讓測量能夠檢驗一個明確的數值結果。

第三，計算必須納入實際的物理條件。速度、方向、高度、持續時間以及地球自轉都很重要。忽略相關效應的模型很容易連正負號都預測錯。

最後，實驗結果一致並不表示一次實驗就「永遠證明了相對論」。實驗之所以能支持模型，是因為模型通過了原本有可能顯示不一致的檢驗。後來的時鐘實驗已經以遠高得多的精度檢驗了相對論的時間效應。 NIST

這就是值得帶進 HSC 作答中的證據分析能力：陳述預測、陳述觀測結果、結合不確定度比較兩者，並解釋為什麼兩者的一致具有意義。

08問題與解答

問題 1

太空船上的一個原子鐘相對於某慣性觀察者以 \(0.80c\) 運動。太空船時鐘記錄到兩個事件之間經過 \(3.0\) h，而這兩個事件發生在太空船上的同一位置。

計算慣性觀察者測得的時間間隔，並指出太空船時鐘少記錄了多少時間。

解答 1

慣性觀察者測得 \(5.0\) h，因此太空船時鐘少記錄了 \(2.0\) h。

太空船時鐘測量的是固有時間，

\[ \Delta\tau=3.0\text{ h}. \]

Lorentz 因子為

\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta t &=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(3.0\text{ h})\\ &=5.0\text{ h}. \end{aligned} \]

兩者之差為

\[ 5.0-3.0=2.0\text{ h}. \]

一個很容易犯的錯誤，是在還沒先判斷哪個時間間隔是固有時間之前，就直接乘上或除以 \(\gamma\)。因為兩個事件在太空船自身的參考系中發生於同一位置，所以與太空船一起運動的時鐘測量的是固有時間。

問題 2

一對理想化的飛機在赤道附近、\(9.00\text{ km}\) 的高度飛行 \(12.0\) h。兩架飛機相對地面的速率都為 \(300\text{ m s}^{-1}\)，其中一架向東，另一架向西。

取地面因自轉而產生的速率為 \(465\text{ m s}^{-1}\)、\(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)，以及 \(c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}\)。

對每一架飛機，計算：

• 它在不旋轉、以地球為中心的參考系中的速度，
• 它相對於地面的運動學時鐘偏移，
• 它的重力時鐘偏移，以及
• 它的總時鐘偏移。

使用

\[ \Delta\tau_{\text{k}} \approx-\frac{(v_{\text{air}}^2-v_{\text{ground}}^2)T}{2c^2} \]

以及

\[ \Delta\tau_{\text{g}}\approx\frac{ghT}{c^2}. \]

解答 2

向東飛行的時鐘最後比地面時鐘落後約 \(46.2\) ns，而向西飛行的時鐘最後超前約 \(87.7\) ns。

首先換算持續時間：

\[ T=(12.0)(3600)=4.32\times10^4\text{ s}. \]

對向東飛行的飛機，

\[ v_{\text{E}}=465+300=765\text{ m s}^{-1}. \]

它的運動學偏移為

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{k,E}} &=-\frac{(765^2-465^2)(4.32\times10^4)} {2(3.00\times10^8)^2}\\ &=-8.856\times10^{-8}\text{ s}\\ &=-88.6\text{ ns}. \end{aligned} \]

對向西飛行的飛機，

\[ v_{\text{W}}=465-300=165\text{ m s}^{-1}. \]

它的運動學偏移為

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{k,W}} &=-\frac{(165^2-465^2)(4.32\times10^4)} {2(3.00\times10^8)^2}\\ &=4.536\times10^{-8}\text{ s}\\ &=45.4\text{ ns}. \end{aligned} \]

兩架飛機的高度和飛行時間都相同，所以它們有相同的重力貢獻：

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{g}} &=\frac{(9.8)(9.00\times10^3)(4.32\times10^4)} {(3.00\times10^8)^2}\\ &=4.2336\times10^{-8}\text{ s}\\ &=42.3\text{ ns}. \end{aligned} \]

因此，向東飛行的總偏移為

\[ \Delta\tau_{\text{E}} =-88.6+42.3 =-46.2\text{ ns}, \]

而向西飛行的總偏移為

\[ \Delta\tau_{\text{W}} =45.4+42.3 =87.7\text{ ns}. \]

陷阱在於把 \(300\text{ m s}^{-1}\) 當成兩架飛機都應使用的相關速度。這只是它們相對於旋轉地面的速率。進行相對論比較時，兩個時鐘的速度都必須一致地表示在所選的慣性參考系中。

問題 3

一架假想的飛機在赤道附近以相對地面 \(1200\text{ m s}^{-1}\) 的速率向西飛行，在 \(10.0\text{ km}\) 高度持續 \(6.00\) h。

在不旋轉、以地球為中心的參考系中，地面以 \(465\text{ m s}^{-1}\) 向東運動。

使用本文中的低速運動學與重力近似式，判斷飛機時鐘最後是超前還是落後於地面時鐘。

解釋為什麼這個答案並不與 Hafele-Keating 的向西飛行結果矛盾。

解答 3

向西飛行的飛機時鐘最後比地面時鐘落後約 \(15.4\) ns。

這是刻意設計成與歷史上的向西飛行結果不同。「向西」並不能保證時鐘會增加時間。

取向東為正方向。飛機在以地球為中心的參考系中的速度為

\[ v_{\text{air}}=465-1200=-735\text{ m s}^{-1}. \]

它的速度方向是向西，但它的速率為

\[ |v_{\text{air}}|=735\text{ m s}^{-1}. \]

這比地面時鐘的速率 \(465\text{ m s}^{-1}\) 更大。

飛行時間為

\[ T=6.00\times3600=2.16\times10^4\text{ s}. \]

運動學偏移為

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{k}} &=-\frac{(735^2-465^2)(2.16\times10^4)} {2(3.00\times10^8)^2}\\ &=-3.888\times10^{-8}\text{ s}\\ &=-38.9\text{ ns}. \end{aligned} \]

重力貢獻為

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{g}} &=\frac{(9.8)(1.00\times10^4)(2.16\times10^4)} {(3.00\times10^8)^2}\\ &=2.352\times10^{-8}\text{ s}\\ &=23.5\text{ ns}. \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{total}} &=-38.9+23.5\\ &=-15.4\text{ ns}. \end{aligned} \]

這架飛機雖然向西飛行，但它向西飛得非常快，因此在慣性參考系中的速率大小超過了地面的速率。它的運動學時間損失因此大於重力帶來的時間增加。

歷史上的向西飛行處於不同的情況：向西飛行降低了飛機相對於不旋轉參考系的速率，因此運動學貢獻為正。決定結果的原則不是方向標籤，而是實際的速率。

問題 4

兩架飛機以相同的地面相對速率 \(u=250\text{ m s}^{-1}\) 和相同的固定高度，朝相反方向飛行 \(8.00\) h。在完成與實驗有關的所有修正後，它們相對於同一地面參考鐘的時鐘偏移為

\[ \Delta\tau_{\text{E}}=-10.64\text{ ns} \]

以及

\[ \Delta\tau_{\text{W}}=+53.36\text{ ns}. \]

假設簡化的低速模型為

\[ \Delta\tau_{\text{E}} = G-\frac{(2Vu+u^2)T}{2c^2} \]

以及

\[ \Delta\tau_{\text{W}} = G+\frac{(2Vu-u^2)T}{2c^2}, \]

其中 \(V\) 是地面在慣性參考系中的向東速度，而

\[ G=\frac{ghT}{c^2}. \]

使用 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) 和 \(c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}\)，推算 \(V\) 與飛機高度 \(h\)。

解答 4

這些數據表示 \(V=400\text{ m s}^{-1}\)，而 \(h=1.00\times10^4\text{ m}=10.0\text{ km}\)。

關鍵做法是用不同方式組合這兩個測量結果。

首先，用向西的結果減去向東的結果：

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{W}}-\Delta\tau_{\text{E}} &=53.36-(-10.64)\\ &=64.00\text{ ns}\\ &=6.400\times10^{-8}\text{ s}. \end{aligned} \]

將兩個模型方程式相減後，\(G\) 會消去：

\[ \Delta\tau_{\text{W}}-\Delta\tau_{\text{E}} =\frac{2VuT}{c^2}. \]

持續時間為

\[ T=(8.00)(3600)=2.88\times10^4\text{ s}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} V &=\frac{(\Delta\tau_{\text{W}}-\Delta\tau_{\text{E}})c^2}{2uT}\\ &=\frac{(6.400\times10^{-8})(3.00\times10^8)^2} {2(250)(2.88\times10^4)}\\ &=400\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

現在取兩個測得偏移量的平均值：

\[ \frac{-10.64+53.36}{2}=21.36\text{ ns}. \]

一個很容易想到的論證是，對向東與向西的結果取平均值，應該會消去所有運動學效應。其實並不會。

把兩個模型方程式相加再除以二，可得

\[ \frac{\Delta\tau_{\text{E}}+\Delta\tau_{\text{W}}}{2} = G-\frac{u^2T}{2c^2}. \]

含 \(Vu\) 的項會消去，但 \(u^2\) 項仍然存在。

計算這個剩餘項：

\[ \begin{aligned} \frac{u^2T}{2c^2} &=\frac{(250)^2(2.88\times10^4)} {2(3.00\times10^8)^2}\\ &=1.00\times10^{-8}\text{ s}\\ &=10.0\text{ ns}. \end{aligned} \]

因此，

\[ G=21.36+10.0=31.36\text{ ns}. \]

現在使用

\[ G=\frac{ghT}{c^2}. \]

重新整理後，

\[ \begin{aligned} h &=\frac{Gc^2}{gT}\\ &=\frac{(31.36\times10^{-9})(3.00\times10^8)^2} {(9.8)(2.88\times10^4)}\\ &=1.00\times10^4\text{ m}\\ &=10.0\text{ km}. \end{aligned} \]

更深一層的重點是，向東與向西結果之差可以獨立出速度效應中的一種組合，而平均值仍然包含另一種。相反方向並不會單純地讓狹義相對論效應消失，因為時間膨脹取決於 \(v^2\)，而不是直接取決於 \(v\) 的正負號。

問題 5

考慮一個理想化實驗，其中兩架飛機在相同高度停留相同時間 \(T=10.0\) h。它們以相同的地面相對速率 \(u=220\text{ m s}^{-1}\) 飛行，一架向東，另一架向西。在它們所在的緯度，地面在慣性參考系中的向東速率為 \(V=350\text{ m s}^{-1}\)。

一名學生提出三個說法：

1. 因為兩架飛機相對於地面的速率相同，所以狹義相對論預測它們的時鐘不會有差異。
2. 因為兩架飛機的高度和飛行時間都相同，所以直接比較兩個時鐘偏移量時，重力時間膨脹會互相消去。
3. 如果以地球為中心的慣性參考系計算能正確預測差異，就證明這個參考系是宇宙中物理上優先的參考系。

使用低速模型計算兩個飛行中時鐘偏移量之間的預測差異，然後評估這三個說法。

解答 5

預測向西飛行的時鐘最後會比向東飛行的時鐘超前 \(61.6\) ns；說法 1 錯誤，說法 2 在所述理想化條件下正確，而說法 3 錯誤。

對相同高度和飛行時間，令共同的重力貢獻為 \(G\)。

向東飛行的偏移為

\[ \Delta\tau_{\text{E}} = G-\frac{(2Vu+u^2)T}{2c^2}. \]

向西飛行的偏移為

\[ \Delta\tau_{\text{W}} = G+\frac{(2Vu-u^2)T}{2c^2}. \]

相減可得

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{W}}-\Delta\tau_{\text{E}} &= \frac{(2Vu-u^2)T+(2Vu+u^2)T}{2c^2}\\ &=\frac{2VuT}{c^2}. \end{aligned} \]

注意哪些項消失了。共同的重力貢獻 \(G\) 被消去，兩個 \(u^2\) 項也互相消去。

當

\[ T=10.0\times3600=3.60\times10^4\text{ s}, \]

差值為

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{W}}-\Delta\tau_{\text{E}} &=\frac{2(350)(220)(3.60\times10^4)} {(3.00\times10^8)^2}\\ &=6.16\times10^{-8}\text{ s}\\ &=61.6\text{ ns}. \end{aligned} \]

所以，向西飛行的時鐘比向東飛行的時鐘超前 \(61.6\) ns。

說法 1 錯誤，因為相對於地面的速度 \(+u\) 和 \(-u\) 並不是這項計算所需的完整速度。旋轉中的地面本身也有速度 \(V\)。因此，兩架飛機在慣性參考系中的速度分別為 \(V+u\) 與 \(V-u\)，而它們的速率平方通常不同。

說法 2 在這裡是正確的。因為題目已說明高度和持續時間完全相同，所以兩個時鐘得到相同的重力貢獻；當兩者的偏移量相減時，這一項就會消失。在真實實驗中，若航線、高度與持續時間不同，就必須把這些差異納入計算，而不能直接假設它們相同。

說法 3 是比較隱蔽的陷阱。使用以地球為中心的慣性參考系，並不表示這個參考系是絕對的。它只是讓運動學計算較為簡潔的一個方便座標系。

實驗最後比較的量，是每個時鐘沿各自路徑所經歷的固有時間。不同的慣性觀察者在旅途中可能會指定不同的座標速度與座標時間，但完整的相對論計算在比較時鐘時，必須對實際讀數得出相同結果。如果不同參考系對時鐘重聚時的讀數得出真正不同的結果，那麼相對論本身就會前後矛盾。

真正失敗的捷徑並不是「使用了錯誤的優先參考系」，而是把地球旋轉的表面當成一個全域慣性參考系，然後只使用飛機相對於該表面的局部速度。

09接下來你可以理解什麼

原子鐘實驗把時間膨脹從一條方程式轉變成可以檢驗的預測。重要的方法是比較完整的時鐘路徑：辨認正確的速度、納入任何重要的重力效應、預測差異的大小與正負號，然後把預測與測量結果及其不確定度比較。

同樣的證據分析邏輯也出現在一個非常不同、涉及短壽命粒子的實驗中。μ 子提供的時間膨脹證據 提供了一個很有用的比較，因為在那個實驗中，觀測量不是兩個時鐘的讀數，而是有多少不穩定粒子能存活足夠長的時間，到達地球表面。實驗裝置改變了，但問題仍然相同：自然界所產生的經過時間，是否就是相對論所預測的時間？