HSC 物理中的長度收縮：固有長度與計算

一艘太空船停在你旁邊時，長度是 100 m。它加速離開，之後以 \(0.80c\) 的速度掠過地球。地球上的觀察者應該量到多長：100 m、超過 100 m，還是更短？

地球上的觀察者只會量到 60 m。

沒有任何東西被壓扁。船員量到的太空船仍然是 100 m 長。差異來自一條關於長度測量、出乎意料地重要的規則：要測量一個移動物體的長度，你必須在自己的參考系中，同一時間記錄它前端和後端的位置。不同的慣性參考系對於相隔一段距離的事件是否同時發生，並不總是有相同的判斷。

這就是長度收縮背後的概念。

01測量移動中的長度，實際上是甚麼意思？

假設一艘 100 m 長的太空船飛過地球上的兩個標記。

如果太空船是靜止的，測量它的長度會很容易。把一個標記放在船尾旁，另一個放在船頭旁，再量度兩者之間的距離即可。

但對於移動中的太空船，你不能現在標記船尾的位置，然後一秒後才標記船頭的位置。因為在這一秒內，太空船已經移動了。你需要的是，按照你所在參考系中的時鐘，在同一瞬間記錄太空船兩端的位置。

可以用以下方式來想像。假設兩位朋友站在一列高速行駛的火車旁，其中一人標記火車尾部所在的位置，另一人則標記火車前端的位置。若要讓這個結果代表火車的長度，兩個標記必須在他們的參考系中同時作出。

在日常速度下，大家對「同時」的判斷實際上幾乎一致，所以這個細節看起來沒有甚麼意義。但當速度接近光速時，情況就不同了。

而這也正是這個類比失效的地方：這不只是人類反應時間或秒錶沒有同步好的問題。狹義相對論指出，相對運動的觀察者對於相隔一段空間距離的事件是否同時發生，確實可能有不同的判斷。

02固有長度：找出端點保持靜止的參考系

在 HSC 的長度收縮題目中，最重要的技巧往往不是套用公式，而是判斷哪一個長度才是固有長度。

固有長度 \(L_0\) 是在所測量的兩個端點都保持靜止的參考系中量得的長度。

對太空船來說，它的固有長度由與太空船一同移動的觀察者量得。

對地球與一顆遙遠恆星之間的距離來說，固有長度則是在地球和該恆星都保持靜止的參考系中量得。

第二種情況很容易令學生出錯。固有長度並不代表「在地球上測得的長度」。它不屬於某一個特定的觀察者，而是取決於你正在測量哪一對端點。

一個可靠的判斷方法是：

固有長度有時也稱為靜止長度。這個名稱很有用，因為它提醒你應該尋找甚麼。

03長度收縮公式

如果一個物體的固有長度為 \(L_0\)，並以速度 \(v\) 相對於某觀察者沿著與其長度平行的方向運動，該觀察者量得

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \]

其中：

• \(L\) 是物體在移動的參考系中量得的收縮後長度，
• \(L_0\) 是固有長度，
• \(v\) 是物體與觀察者之間的相對速度，而
• \(c\) 是光速，約為 \(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}\)。

你也可以用洛倫茲因子來寫這條公式：

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

因此

\[ L=\frac{L_0}{\gamma}. \]

由於 \(\gamma\geq1\)，移動中的長度 \(L\) 永遠小於或等於固有長度 \(L_0\)。

同一個洛倫茲因子也會出現在時間膨脹中。這並不是巧合。長度收縮和時間膨脹都是空間與時間座標在不同慣性參考系之間轉換所產生的結果。

04長度收縮既可應用於物體，也可應用於旅程距離

現在假設地球與一個遙遠的太空站相距 8.0 光年，而且兩者彼此相對靜止。

一艘太空船以 \(0.80c\) 從地球飛往太空站。

在進行任何計算之前，先預測船員量得的地球-太空站距離。8.0 光年是固有長度，還是船員量得的距離才是固有長度？

地球和太空站在地球-太空站參考系中都保持靜止。因此，8.0 光年是固有長度。在太空船參考系中，地球與太空站向後移動，所以兩者之間的距離會收縮。

05實際上究竟是甚麼在收縮？

一種常見的想像是，移動中的物體因為速度而被物理上壓扁了。

這種理解會造成誤導。

如果你坐在一艘相對地球以 \(0.80c\) 平穩航行的太空船內，你的尺並不會莫名其妙地在你看來變短。你的桌子、太空船、尺和身體在你的參考系中全都保持靜止。本地測量一切如常。

地球上的觀察者量得你的太空船發生長度收縮，是因為他們的測量採用地球參考系中的同時性。

另一方面，你也會量得地球參考系中的距離發生收縮。

任何一方都不能說：「我的才是真正的長度，因為我才是真的靜止。」勻速運動是相對的。真正重要的是，對於正在測量的那一對特定端點，在哪一個參考系中它們保持靜止。

還有一項限制：一般的長度收縮只發生在相對運動的方向上。太空船若水平運動，船上一根 2.0 m 高的垂直天線不會因為長度收縮而在垂直方向變短。

06最容易犯的錯誤：從題目措辭判斷 \(L_0\)

考慮以下敘述：

一名觀察者量得一艘移動中的太空船長 18 m。

18 m 是固有長度嗎？

不是。關鍵在於「移動中」這個詞。如果太空船相對於該觀察者正在移動，該觀察者量得的是收縮後的長度 \(L\)。

再考慮：

一艘太空船在自己的靜止參考系中長 30 m。

這個 30 m 就是 \(L_0\)。

不要根據哪個數字先出現、哪一位觀察者在地球上，或哪一個測量聽起來比較「正式」來判斷。你應該問：這兩個端點在進行測量的參考系中是否靜止？

07為甚麼「同時性」隱藏在公式之中

假設地球上的觀察者要測量一艘太空船的長度。

地球上的觀察者必須找出：

• 船尾在某個地球參考系時間 \(t\) 的位置，以及
• 船頭在同一個地球參考系時間 \(t\) 的位置。

這兩個位置之間的距離，就是地球參考系中的長度。

太空船上的船員同樣會同時測量船頭和船尾，但此時「同時」指的是在相同的太空船參考系時間。

狹義相對論指出，這兩種對「同時」的定義通常並不等價。

在涉及一艘很長的太空船和一條較短隧道的問題中，這一點會變得非常重要。一個參考系可以認為太空船在某一瞬間完全位於隧道內，而太空船參考系則可以認為從來沒有任何一個瞬間整艘太空船都在隧道內。分歧並不在於物體位於哪裡，而在於哪些彼此分隔的事件應算作同時發生。

這聽起來很奇怪，因為它確實很違反直覺。但這是狹義相對論的一個精確結果，而不是長度收縮公式中的漏洞。

08題目與解答

問題 1

一個科學探測器的固有長度為 \(40.0\text{ m}\)。它以 \(0.60c\) 掠過地球上的一名觀察者，運動方向與其長度平行。

計算地球上的觀察者量得的探測器長度，並指出兩個長度中哪一個是固有長度。

解答 1

地球上的觀察者量得 \(32.0\text{ m}\)，而 \(40.0\text{ m}\) 是固有長度。

探測器在自己的參考系中保持靜止，因此

\[ L_0=40.0\text{ m}. \]

對於 \(v=0.60c\)，

\[ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(0.60)^2}} =1.25. \]

因此，

\[ L=\frac{L_0}{\gamma} =\frac{40.0}{1.25} =32.0\text{ m}. \]

最容易犯的錯誤，是因為 32.0 m 是地球上的觀察者「直接量得」的數值，就把它稱為固有長度。固有長度的定義並不取決於某種測量感覺有多直接，而是在端點保持靜止的參考系中量得的長度。

問題 2

一艘太空船的固有長度為 \(1.50\text{ km}\)。一名觀察者量得其沿運動方向的長度為 \(0.900\text{ km}\)。

計算太空船的速度，以 \(c\) 的倍數表示。

一名學生認為 \(0.900\text{ km}\) 應稱為固有長度，因為這是觀察者的測量設備記錄到的長度。解釋這個說法的錯誤。

解答 2

太空船以 \(0.800c\) 運動，而 \(1.50\text{ km}\)，不是 \(0.900\text{ km}\)，才是它的固有長度。

使用

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}. \]

代入 \(L=0.900\text{ km}\) 和 \(L_0=1.50\text{ km}\)，

\[ 0.900 =1.50\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}. \]

兩邊除以 \(1.50\)：

\[ 0.600 =\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}. \]

兩邊平方得

\[ 0.360 =1-\frac{v^2}{c^2}. \]

因此，

\[ \frac{v^2}{c^2}=0.640 \]

以及

\[ \frac{v}{c}=0.800. \]

所以，

\[ v=0.800c. \]

這名學生的說法混淆了「測得的長度」和「固有長度」。兩個長度在各自的參考系中都是有效的測量結果。固有長度特指在太空船的靜止參考系中量得的長度；在這個參考系中，船頭和船尾都是靜止的。

問題 3

地球與一個中繼站相距 \(12.0\) 光年，而且彼此相對靜止。一艘固有長度為 \(50.0\text{ m}\) 的太空船以 \(0.80c\) 從地球飛向該中繼站。

計算：

(a) 太空船船員量得的地球-中繼站距離，

(b) 從地球量得的太空船長度，以及

(c) 解釋為甚麼在 (a) 中，固有長度屬於地球-中繼站參考系，而在 (b) 中，固有長度屬於太空船參考系。

解答 3

船員量得的地球-中繼站距離為 \(7.20\text{ ly}\)，地球量得太空船長 \(30.0\text{ m}\)，而這兩個固有長度屬於不同的參考系，因為它們所指的是不同的兩對端點。

在 \(0.80c\) 時，

\[ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}} =\frac{1}{0.600} =1.67. \]

在 (a) 中，地球與中繼站在它們共同的參考系中都保持靜止。因此，兩者之間 \(12.0\text{ ly}\) 的距離就是固有長度：

\[ L_0=12.0\text{ ly}. \]

太空船船員看見兩個地點都在移動，因此

\[ L=\frac{12.0}{1.67}=7.20\text{ ly}. \]

在 (b) 中，太空船本身在船員的參考系中保持靜止，所以其固有長度為

\[ L_0=50.0\text{ m}. \]

地球看見太空船正在移動：

\[ L=\frac{50.0}{1.67}=30.0\text{ m}. \]

這裡的陷阱，是試圖找出一個對整道題目而言都是「固有參考系」的參考系。並沒有這樣的規則。

對地球-中繼站之間的距離來說，相關端點是地球和中繼站。它們在地球-中繼站參考系中保持靜止。

對太空船的長度來說，相關端點是它的船頭和船尾。它們在太空船參考系中保持靜止。

固有長度屬於某一對特定的端點，而不是自動屬於某一位特定觀察者。

問題 4

兩艘小型太空船 A 和 B 一同以 \(0.60c\) 掠過地球。它們彼此相對靜止。

在地球參考系中的某一瞬間，觀察者記錄到 A 和 B 上對應點之間的距離為 \(240\text{ m}\)。

每艘太空船還裝有一根沿運動方向排列、長 \(20.0\text{ m}\) 的伸桿，其中 20.0 m 是伸桿的固有長度。

(a) \(240\text{ m}\) 是 A 與 B 之間的固有距離嗎？

(b) 計算它們的固有距離。

(c) 計算從地球量得的伸桿長度。

(d) 解釋為甚麼地球上的觀察者同時測量 A 和 B 的位置，並不代表他們量得的 \(240\text{ m}\) 就是固有長度。

解答 4

固有距離為 \(300\text{ m}\)，從地球量得每根伸桿的長度為 \(16.0\text{ m}\)，而 \(240\text{ m}\) 並不是固有距離，因為 A 和 B 在地球參考系中正在移動。

對於 \(v=0.60c\)，

\[ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(0.60)^2}} =1.25. \]

對於 (a) 和 (b)，A 和 B 彼此相對靜止。因此，它們共享一個兩個距離端點都靜止的參考系。

這個共同的太空船參考系量得的就是固有距離。

地球看見這個距離發生收縮，因此

\[ L=\frac{L_0}{\gamma}. \]

所以，

\[ L_0=\gamma L =(1.25)(240) =300\text{ m}. \]

在 (c) 中，每根伸桿的固有長度為

\[ L_0=20.0\text{ m}. \]

因此，地球量得

\[ L=\frac{20.0}{1.25} =16.0\text{ m}. \]

在 (d) 中，一個很容易採取的錯誤推理是：有效的長度測量需要同時取得兩個端點的位置，所以任何同時進行的測量都必定是固有長度。

前半部分是正確的，但結論並不正確。

地球上的觀察者確實需要同時取得地球參考系中的位置，才能測量地球參考系中的距離。這使 \(240\text{ m}\) 成為地球參考系中的有效長度。

但固有長度還有一項額外要求：端點必須在進行測量的參考系中保持靜止。A 和 B 相對地球正在移動，所以它們在地球參考系中的距離已經收縮。

在 A 和 B 的共同靜止參考系中，它們之間的距離是 300 m。

問題 5

一條隧道的固有長度為 \(70.0\text{ m}\)。一艘太空船的固有長度為 \(100\text{ m}\)，並以 \(0.80c\) 穿過隧道。

在隧道參考系中，操作員安排入口門與出口門在太空船位於隧道中央時，同時關閉極短的一瞬間，然後立即重新打開。

假設兩扇門都不會撞到太空船。

(a) 計算太空船在隧道參考系中的長度。它是否能在隧道參考系的某一瞬間完全位於隧道內？

(b) 計算隧道在太空船參考系中的長度。船員是否會在太空船參考系的某一瞬間，量得整艘 100 m 長的太空船都位於隧道內？

(c) 一名學生認為 (a) 和 (b) 彼此矛盾：「整艘太空船要麼在同一時間位於隧道內，要麼就不是。」指出這個說法中隱藏的假設。

(d) 在太空船參考系中，兩次關門事件可以同時發生嗎？解釋兩個參考系之間必須有甚麼改變，才能令兩種描述彼此一致。

解答 5

太空船在隧道參考系中長 \(60.0\text{ m}\)，因此可以在隧道參考系的某一瞬間完全位於 70.0 m 長的隧道內；但船員量得隧道只有 \(42.0\text{ m}\) 長，因此他們不會認為整艘 100 m 長的太空船曾在太空船參考系的某一瞬間完全位於隧道內。這並不矛盾，因為兩個參考系對同時性的判斷不同。

在 \(0.80c\) 時，

\[ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}} =1.67. \]

對於 (a)，太空船的固有長度為 \(100\text{ m}\)。隧道參考系看見它正在移動，因此

\[ L=\frac{100}{1.67} =60.0\text{ m}. \]

隧道在自己的靜止參考系中長 70.0 m。因此，在所選定的隧道參考系瞬間，60.0 m 長的太空船可以完全位於隧道內，太空船兩端與兩扇門之間合共有 10.0 m 的空間。

在 (b) 中，改用相反的觀點。

隧道的固有長度為

\[ L_0=70.0\text{ m}. \]

太空船船員看見隧道正在移動，因此船員量得

\[ L=\frac{70.0}{1.67} =42.0\text{ m}. \]

太空船在自己的參考系中仍然長 100 m。一條 42.0 m 長的隧道不可能在太空船參考系的同一瞬間容納整艘 100 m 長的太空船。

在 (c) 中，很容易得出的錯誤結論是，「同一時間」這個說法在兩個參考系中必須具有相同意義。

這就是隱藏的假設。

隧道觀察者的敘述更精確地說是：

在某一個隧道參考系時間，太空船的兩端都位於兩扇門之間。

船員的敘述則涉及在某一個太空船參考系時間測量到的位置。這兩者所對應的是不同的一組同時事件。

對於 (d)，兩次關門事件在太空船參考系中不能也是同時發生的。如果它們同時發生，就代表儘管兩個參考系彼此相對運動，卻仍然對兩個空間上分離事件的同時性達成一致，而狹義相對論正指出，在這種情況下並不會如此。

在太空船參考系中，出口門關閉事件先於入口門關閉事件發生。因此，船員不會描述成兩扇門在同一個太空船參考系瞬間同時關上，把整艘太空船夾在中間。

這就是解決表面悖論的關鍵限制。如果只考慮長度收縮，兩種描述似乎會互不相容。正是同時性的相對性使它們能夠彼此一致。

09掌握長度收縮後，你可以進一步理解甚麼？

當你不再把 \(L_0\) 當成「較大的那個數值」，而是改為問一個物理問題–哪一個參考系中兩個端點都保持靜止？–長度收縮就最容易運用。

一旦這一點確定，計算通常很簡短。

更深入的一步，是理解為甚麼不同的參考系可以一致地給出不同的長度。長度測量不只是關於空間，也同時包含一項關於哪些端點位置是在同一時間測量的判斷。

長度與同時性之間的這種關係，直接通向狹義相對論更完整的架構。它也解釋了為甚麼長度收縮與時間膨脹必須一同出現，而不是兩條互不相關的公式。